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El vector p da las probabilidades de los estados a largo plazo, y esta distribución es independiente del estado inicial. Si consideramos, a continuación, el diagrama de estados p (0) .

La probabilidad de primer retorno para cada uno de los estados fi ( n ) se puede calcular observando el diagrama de estados previo. Así,

1 5 0

fi (1)  fi (2)

4 4 x1x1  5 5  0, n  4

fi (3)  fi ( n )

De igual manera:

f 2(1)  f3(1)  0 f 2(2)  f3(2)  0 f

(n) 2

 f

(n) 3

1   5

n 3

4 x , 5

n3

Para calcular los tiempos de recurrencia medios, en cada caso 

1 12 13  5 5 5

1   nf1( n )   n 1



2  3   nf1( n )  n 1

4  1 n  5 n 1  5 

n 3

*



65 4 13 x  16 5 4

(*) donde se ha empleado la misma relación que en los ejemplos anteriores: 

 nq

n 3



n 3

3 q 3 q 65     2 2 1  q (1  q) 1  1  1  16 5  1  5 

Se observa que el vector de recíprocos

1   1

1 2

1 5 4 4  3   13 13 13 

es igual que el vector p calculado mediante los autovalores y autovectores. Cadenas erráticas Una cadena de Márkov se dice irreducible si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre sí): a. Desde cualquier estado de E se puede acceder a cualquier otro. b. Todos los estados se comunican entre sí. c. C  x   E para algún x  E. d. C  x   E para todo x  E.

e. El único conjunto cerrado es el total. Cadenas positivo-recurrentes Una cadena de Márkov se dice positivo-recurrente si todos sus estados son positivo-recurrentes. Si la cadena es además irreducible es posible demostrar que existe un único vector de probabilidad invariante y está dado por:

x 

1

x

Cadenas regulares Una cadena de Márkov se dice regular (también primitiva o ergódica) si existe alguna potencia positiva de la matriz de transición cuyas entradas sean todas estrictamente mayores que cero. Cuando el espacio de estados E es finito, si P denota la matriz de transición de la cadena se tiene que:

lim Pn  W n1

donde W es una matriz con todos sus renglones iguales a un mismo vector de probabilidad w, que resulta ser el vector de probabilidad invariante de la cadena. En el caso de cadenas regulares, éste vector invariante es único. Cadenas absorbentes Una cadena de Márkov con espacio de estados finito se dice absorbente si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1. La cadena tiene al menos un estado absorbente. 2. De cualquier estado no absorbente se accede a algún estado absorbente. Si denotamos como A al conjunto de todos los estados absorbentes y a su complemento como D, tenemos los siguientes resultados: 

Su matriz de transición siempre se puede llevar a una de la forma

Q R P  0 I  donde la submatriz Q corresponde a los estados del conjunto D, I es la matriz identidad, 0 es la matriz nula y R alguna submatriz. Representación Canónica de una matriz de transición Se trata de reordenar la matriz de transición separando los estados recurrentes de los transitorios. A su vez, los estados recurrentes se tienen que reordenar juntando aquellos que se comunican entre sí. El estado de una cadena se puede dividir en dos subconjuntos disjuntos (alguno puede ser ∅): uno está formado por los estados transitorios y el otro por los recurrentes, de modo que los estados transitorios son inaccesibles desde los estados recurrentes. Los estados recurrentes se pueden subdividir de manera única en conjuntos cerrados e irreducibles. Dentro de cada conjunto cerrado todos los estados se comunican y son del mismo tipo (recurrentes positivos o recurrentes nulos) y con el mismo periodo en su caso. Si dos estados están en distintos conjuntos cerrados, no se pueden comunicar. Además, si dos estados i y j pertenecen al mismo conjunto cerrado e irreducible entonces: fij  f ji  1

y si están en conjuntos distintos entonces fij  f ji  0

De acuerdo con este resultado se puede hacer una reordenación de los estados, y así de las filas y columnas de la matriz de transición, colocando los estados transitorios en último lugar.

 P1 0   0 P2 P  0 0 Q Q  1 2

0 0 Pr Qr

0  0   0 Q 

donde las submatrices Pi (i  1,..., r ) están asociadas a subcadenas recurrentes cerradas, Qi (i  1,..., r ) dan la probabilidad de pasar a los estados recurrentes desde los transitorios y Q da la probabilidad de pasar de transitorios a transitorios.



Px (TA  1)  1 esto es, no importa en donde se encuentre la cadena, eventualmente terminará en un estado absorbente.



Estado transitorio



En un estado recurrente, la probabilidad de que se regrese por primera vez a ese estado en algún paso es 1, pero para otros estados sucede que 

 

f j   f j (n)  1 n 1

lo que significa es que no se regresa al estado Ej de modo seguro. Un estado así se denomina transitorio.



 0  1 T 2  0  0 





1 2 1 2 0 0

1 4  0   0 1  2

1 4 0 1 1 2

cuyo diagrama es

 

El estado E1 es transitorio ya que,

f1(1)  0 (2) 1

f

1 1 1  x   2 2 2

1 f1(3)    2

2

3

1 f1( n )    2 asi

n

n



  1 1 1 1 f1   f1( n )      1   1 1 2 2 n 1 n2  2  1 2



luego E1 es un estado transitorio. De hecho no se puede acceder a E1 desde E3 ó E4 .

Ejercicios de aplicación 1.- Los consumidores de café en el área de Pontevedra usan tres marcas A, B, C. En diciembre de 2018 se hizo una encuesta en lo que entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados fueron: a) Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de café en Pontevedra en el mes de junio? b) A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café? c) En junio, ¿cuál es la proporción de clientes leales a sus marcas de café? Compra en el siguiente mes

TOTALES

Compra actual

Marca A

Marca B

Marca C

Marca A = 1690

507

845

338

1690

Marca B = 3380

676

2028

676

3380

Marca C = 3380

845

845

1690

3380

TOTALES

2028

3718

2704

8450

Solución: A la vista de las frecuencias anteriores, las probabilidades de transición, conservando el mismo orden que la tabla (A, B, C) es:

2 y  2.5 z  7 x  0 5 x  2.5 z  4 y  0   2 x  2 y  5 z  0  x  y  z  1 De marzo a Junio hay 4 etapas por lo que nos piden las probabilidades de transición al cabo de 4 meses, las que vendrán dada por los coeficientes de P 4 .

 0.3 0.5 0.2   0.24 0.44 0.32  0.2 0.6 0.2    0.24 0.464 0.296 ;  0.25 0.25 0.2   

 24 50 26  1   P  23 51 26  100    25 40 35   2376 4790 2834  1   4 P  2375 4790 2384  1000    2395 4690 2915   0.2376 0.4790 0.2834    4 P   0.2375 0.4790 0.2384   0.2395 0.4690 0.2915    4

b) A la larga se trata de la situación estable:

2 y  2.5 z  7 x  0 5 x  2.5 z  4 y  0   2 x  2 y  5 z  0  x  y  z  1 Aplicando el método de Gauss

5   7 2 2   5 4 5  2   2 2 5  1 1 1 

 0  0   0 1 

Multiplicamos la fila 1 por

5 y lo sumamos con la fila 2. 7

x  y  z 1

 2  7   0  18  7   2 2  1 1 

5 2 30 7 30 7 1

 0  0   0  1 

Multiplicamos la fila 1 por

 2  7   0  18  7  18  0  7 1 1 

5 2 30 7 30 7 1

2 y lo sumamos con la fila 3. 7

 0  0 .  0  1 

Multiplicamos la fila 1 por y

 2  7   0  18  7  18  0  7  9  0 7 

1 lo sumamos con la fila 4. 7

5  0 2  30 0  7  30 0  7  19 1 14 

Multiplicamos la fila 2 por 1 y lo sumamos con la fila 3.

 2  7   0  18  7  0  0  9  0 7 

5 2 30 7 0 19 14

 0  0   0  1 

Multiplicamos la fila 2 por

 2  7   0  18  7  0  0  0  0 

5 2 30 7 0 7 2

1 y lo sumamos con la fila 4. 2

 0  0   0  1 

Intercambiamos la fila 3 con la fila 4

 2  7   0  18  7   0 0   0 0 

5 2 30 7 7 2 0

 0  0   1  0 

Según el sistema de ecuaciones se iguala: La ecuación resultante de la fila 3. 7 z 1 2 2 z 7

La ecuación resultante de la fila 2.

18 30 y z 0 7 7 18 30  2   y  0 7 7 7 18 60 y 7 49 60 7 10 y x  49 18 21 

La ecuación resultante de la fila 1. 5 z0 2  10  5  2  7 x  2       0  21  2  7  5  7x 3 5 x 21

7 x  2 y 

Entonces: x

5 10 2 ; y  ;z  21 21 7

c) En Marzo la proporción de clientes de A  para C 

3718 2028  0.44 y  0.24 ; para B  8450 8450

2704  0.32 . 8450

En el mes de junio la proporción es:

 0.3 0.5 0.2   0.24 0.44 0.32   0.2 0.6 0.2    0.24 0.464 0.296   0.25 0.25 0.2    Respuesta: Es decir 24% para A, 46,4% para B y 29,6% para C.