Bat Dang Thuc Bunhiakovski

Chương I

Các bất đẳng thức cơ bản I.1 I.1.1

Bất đẳng thức Cauchy Các định lí và hệ quả

Định lí 1 (Bất đẳng thức AM-GM 1 ). Với mọi số thực không âm a1 , a2 , ..., an ta có bất đẳng thức √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 ...an n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an . Chứng minh. (Dùng phương pháp quy nạp theo kiểu Cauchy). Rõ ràng bất đẳng thức đúng với n = 2, nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số, do đó bất đẳng thức đúng khi n là một lũy thừa của 2. Ta còn phải chứng minh nếu bđt đúng với n số thì nó cũng đúng với n − 1 số. Thật vậy, đặt s = a1 + a2 + · · · + an−1 và chọn an = s/(n − 1), suy ra r s a1 a2 ...an−1 s s+ ≥nn n−1 n−1 √ ⇒ s ≥ (n − 1) n−1 a1 a2 ...an−1 Vậy bđt được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = · · · = an . Hệ quả 1. Với mọi số thực dương a1 , a2 , ..., an ta có 1 1 1 n2 + + ··· + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + · · · + an 1 Theo

cách gọi tên chung của thế giới, bđt Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM( Arithmetic Means-Geometer Means). Cauchy chỉ là người đưa ra cách chứng minh hay nhất của mình(như chứng minh trên) chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Có lẽ vì vậy mà nhiều người nhầm lẩn rằng ông là người phát hiện ra bất đẳng thức này.

1

2 I.1.2

Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có 9 1 1 1 + + ≥ a b c a+b+c Ví dụ 2. (Bất đẳng thức Nesbitt với 3 số). Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có a b c 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2 Chứng minh. Có nhiều cách chứng minh cho bđt này. Sau đây xin nêu ra một số cách để các bạn tham khảo. C1: Bất đẳng thức đã cho tương đương với a b c 9 +1+ +1+ +1≥ b+c c+a a+b 2 1 1 1 9 ⇔ + + ≥ b+c c+a a+b 2(a + b + c) Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức AM-GM ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. C2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars(xem thêm mục I.2) ta có VT =

a2 b2 c2 (a + b + c)2 3 + + ≥ ≥ a(b + c) b(c + a) c(a + b) 2(ab + bc + ca) 2

C3: Xét các biểu thức sau S=

a b c + + b+c c+a a+b

b c a + + b+c c+a a+b c a b N= + + b+c c+a a+b Ta có M + N = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM thì M=

Created by hcl30784

M +S =

a+b b+c c+a + + ≥3 b+c c+a a+b

N +S =

a+c b+a c+b + + ≥3 b+c c+a a+b

3

Vậy M + N + 2S ≥ 3 suy ra 2S ≥ 3. Đây là điều phải chứng minh. C4: Dùng kỉ thuật phân tích bình phương(xem chương II. Các kỉ thuật thường sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức), ta biến đổi được (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 VT −VP = + + ≥0 2(a + c)(b + c) 2(b + a)(c + a) 2(c + b)(a + b) Đây là đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Trong bốn cách chứng minh nêu trên thì cách thứ nhất và thứ hai là những cách chứng minh quen thuộc, cách thứ tư đã sử dụng một kỉ thuật mạnh và có thể coi là khó đối với những bạn chưa từng dùng kỉ thuật này, riêng cách thứ ba, theo tôi đó là cách chứng minh độc đáo và hay nhất. Các bạn hãy thử áp dụng cách này để chứng minh bất đẳng thức Nesbitt cho 4 biến sau Ví dụ 3. (Bất đẳng thức Nesbitt với 4 số). Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c, d ta có a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a+b Sau đây là một số ví dụ khác xem như bài tập để các bạn thử sức Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a1 , a2 , ..., an và mọi số nguyên dương k ta có bất đẳng thức sau ak1 + ak2 + · · · + akn  a1 + a2 + · · · + an k ≥ n n Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có bất đẳng thức 1 1 27 1 + + ≥ a(a + b) b(b + c) c(c + a) 2(a + b + c)2 Ví dụ 6. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abcd = 1. Chứng minh hai bất đẳng thức sau a3 + b3 + c3 + d3 ≥ a + b + c + d 1 1 1 1 a3 + b3 + c3 + d3 ≥ + + + . a b c d Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có bất đẳng thức sau 1 1 1 1 + 3 + 3 ≤ 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc

Created by hcl30784

4

Ví dụ 8. Các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x2 + y 2 + z 2 = 3. Hãy chứng minh xy yz zx + + ≥3 z x y Ví dụ 9. Các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x3 + y 3 + z 3 = 3. Hãy chứng minh xy yz zx + + ≥3 z x y Ví dụ 10. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có x+y+z x y z + + ≥ √ 3 xyz y z x Ví dụ 11. Với mọi x, y, z dương, hãy chứng minh x3 y3 z3 + + ≥x+y+z yz zx xy Ví dụ 12. Chứng minh với mọi x, y, z dương ta có √ x2 + y 2 + z 2 ≥ 2x(y + z) I.2 I.2.1

Bất đẳng thức Cauchy-Schwars Các định lí và hệ quả

Định lí 2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwars2 Với hai dãy số thực tùy ý a1 , a2 , ..., an và b1 , b2 , ..., bn ta luôn có bất đẳng thức (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a1 , a2 , ..., an ) và (b1 , b2 , ..., bn ) là hai bộ tỉ lệ, tức là tồn tại số thực k để ai = kbi ∀i = 1, n. Chứng minh. Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức trên, sau đây là ba cách chứng minh đơn giản nhất. Cách 1: Dùng tam thức bậc hai. Bất đẳng thức hiển nhiên đúng khi a21 + a22 + · · · + a2n = 0. Khi a21 + a22 + · · · + a2n 6= 0, xét tam thức bậc hai sau đây f (x) = (a1 x − b1 )2 + (a2 x − b2 )2 + · · · + (an x − bn )2 2 Chúng ta quen gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức BunhiaCopxki, thực chất đây là phát minh của ba nhà toán học Schwars, Bunhiacopxki và Cauchy. Theo cách gọi tên chung của thế giới, bất đẳng thức này có tên gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwars.

Created by hcl30784

5

Khai triển ta được f (x) = (a21 + a22 + · · · + a2n )x2 − 2(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )x + (b21 + b22 + · · · + b2n ) Mặt khác vì f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R nên theo định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có ∆0f ≤ 0. Đây là đpcm. Cách 2: Dùng hằng đẳng thức sau n 1X 2 2 2 2 2 2 2 (a1 +a2 +· · ·+an )(b1 +b2 +· · ·+bn )−(a1 b1 +a2 b2 +· · ·+an bn ) = (ai bj −aj bi )2 2 i,j=1 Cách 3: Dùng bất đẳng thức AM-GM (các bạn tự chứng minh) Hệ quả 2. Với hai dãy số a1 , a2 , ..., an và b1 , b2 , ..., bn , bất đẳng thức Schwars sau

bi ≥ 0 ∀i = 1, n ta có

a21 a22 a2 (a1 + a2 + · · · + an )2 + + ··· + n ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + · · · + bn Hệ quả 3. Với mọi dãy số thực a1 , a2 , ..., an ta có (a1 + a2 + · · · + an )2 ≤ n(a21 + a22 + · · · + a2n )

I.2.2

Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 13. Giả sử a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng b c 9 a + + ≥ (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 4(a + b + c) Ví dụ 14. Giả sử a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3, chứng minh rằng b2 c2 a2 + + ≥1 a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2 Ví dụ 15. Giả sử x, y, z ≥ 1 và x1 + y1 + z1 = 2. Chứng minh rằng p √ √ √ x+y+z ≥ x−1+ y−1+ z−1 Ví dụ 16. Với a, b, c là các số thực dương tùy ý,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4b 5c 3a P = + + b+c c+a a+b Ví dụ 17. Chứng minh với mọi a, b, c dương ta có a3 b 3 c 3 a2 b 2 c 2 + + ≥ + + b2 c2 a2 b c a

Created by hcl30784

6

I.3 I.3.1

Bất đẳng thức Chebyshev Các định lí và hệ quả

Định lí 3. (Bất đẳng thức Chebyshev). Với hai dãy số thực đơn điệu cùng chiều a1 , a2 , ..., an và b1 , b2 , ..., bn ta có 1 a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ≥ (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) n Chứng minh. Bằng phân tích trực tiếp ta có đẳng thức sau n(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) − (a1 + a2 + · · · + an )(b1 + b2 + · · · + bn ) n 1X = (ai − aj )(bi − bj ) ≥ 0 2 i,j=1

Nếu hai dãy a1 , a2 , ..., an và b1 , b2 , ..., bn đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức trên đổi chiều. Hệ quả 4. Nếu a1 , a2 , ..., an là các số thực dương có tổng bằng n thì an+1 + an+1 + · · · + an+1 ≥ an1 + an2 + · · · + ann n 1 2

I.3.2

Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 18. Cho các số thực dương a1 , a2 , ..., an có tổng bằng 1. Chứng minh rằng a2 an n a1 + + ··· + ≥ 2 − a1 2 − a2 2 − an 2n − 1 Ví dụ 19. Cho các dương a, b, c, d có tổng bình phương bằng 4. Chứng minh rằng a2 b2 c2 d2 4 + + + ≥ b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c 3

I.4 I.4.1

Bất đẳng thức Jensen Các định lí và hệ quả

Định lí 4. (Bất đẳng thức Jensen). Nếu f là hàm lồi trên khoảng I thì với mọi x1 , x2 , ..., xn ∈ I ta đều có x + x + · · · + x  1 2 n f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ nf n Created by hcl30784

7

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = . . . = xn Nếu các bạn chưa biết khái niệm về hàm lồi thì hãy dùng dạng phát biểu khác của định lí trên như sau Định lí 5. Cho f là một hàm số xác định trên tập D ⊂ R+ và thỏa mãn f (x) + f (y) ≥ 2f ( x+y 2 ) ∀x, y ∈ D. Khi đó với mọi x1 , x2 , ..., xn ∈ D ta đều có x + x + · · · + x  1 2 n f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ nf n Chứng minh. Dùng phương pháp quy nạp kiểu Cauchy Chú ý rằng nếu bất đẳng thức điều kiện đổi chiều thì bất đẳng thức tổng quát cũng đổi chiều. Hệ quả 5. Cho f là một hàm số xác định trên tập D ⊂ R+ và thỏa mãn √ f (x) + f (y) ≥ 2f ( xy) ∀x, y ∈ D. Khi đó với mọi x1 , x2 , ..., xn ∈ D ta đều có √ f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ nf ( n x1 x2 ...xn )

I.4.2

Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 20. (Bất đẳng thức AM-GM).Với mọi số thực không âm a1 , a2 , ..., an ta có bất đẳng thức √ a1 + a2 + · · · + an ≥ n a1 a2 ...an n Ví dụ 21. Với mọi số thực dương a1 , a2 , ..., an ta có 1 1 1 n2 + + ··· + ≥ a1 a2 an a1 + a2 + · · · + an Ví dụ 22. Chứng minh rằng với mọi dãy số dương x1 , x2 , ..., xn thì q x1 + x2 + · · · + xn ≤ n(x21 + x22 + · · · + x23 )

I.5 I.5.1

Khai triển Abel Các định lí và hệ quả

Định lí 6. (Công thức khai triển Abel). Giả sử x1 , x2 , ..., xn và y1 , y2 , ..., yn là các số thực tùy ý. Đặt ck = y1 + y2 + · · · + yk ∀k = 1, n. Khi đó x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = (x1 − x2 )c1 + (x2 − x3 )c2 + · · · + (xn−1 − xn )cn−1 + xn cn Created by hcl30784

8

Định lí 7. Cho hai dãy số thực x1 , x2 , ..., xn và y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn . Đặt Sk = x 1 + x 2 + · · · + x k M = max Sk , k=1,n

∀k = 1, n

m = min Sk k=1,n

Khi đó ta có bất đẳng thức my1 ≤ x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn ≤ M y1

I.5.2

Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 23. Cho hai dãy số dương a1 , a2 , ..., an và b1 , b2 , ..., bn thỏa mãn điều kiện   a1 , a2 , ..., an ≥ 0      b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn    a ≥b 1

1

 a1 a2 ≥ b 1 b 2      ···     a a ...a ≥ b b ...b 1 2 n 1 2 n Chứng minh bất đẳng thức a1 + a2 + · · · + an ≥ b 1 + b 2 + · · · + b n Ví dụ 24. Giả sử 0 ≤ x ≤ y ≤ z và a, b, c ≥ 0 thỏa mãn hệ điều kiện  c/z ≤ 1   a/x + b/y ≤ 2   a/x + b/y + c/z ≤ 3 √ √ √ √ √ √ Chứng minh rằng a+ b+ c≤ x+ y+ z Ví dụ 25. (Bất đẳng thức hoán vị).Cho hai dãy số đơn điệu tăng a1 , a2 , ..., an và b1 , b2 , ..., bn . Giả sử (i1 , i2 , ..., in ) là một hoán vị bất kì của (1, 2, ..., n), ta luôn có a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn ≥ a1 bi1 + a2 bi2 + ... + an bin Ngoài ra nếu hai dãy đơn điệu ngược chiều nhau thì bất đẳng thức trên đổi chiều. Ví dụ 26. Chứng minh với mọi a, b, c không âm ta luôn có a5 + b 5 + c 5 ≥ a4 b + b 4 c + c 4 a Created by hcl30784

9

Ví dụ 27. Chứng minh với mọi số dương a, b, c thì a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + ≥a+b+c b+c c+a a+b

I.6 I.6.1

Bất đẳng thức Schur Các định lí và hệ quả

Định lí 8. (Bất đẳng thức Schur).Với mọi số thực không âm a, b, c ta luôn có bất đẳng thức a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a). Bất đẳng thức Schur còn có các dạng phát biểu tương đương sau đây

I.6.2

(1) (2)

a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) ≥ 0. abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b)

(3)

(a + b + c)3 + 9abc ≥ 4(a + b + c)(ab + bc + ca)

Các ví dụ áp dụng

Ví dụ 28. (Olympic Toán Châu á-Thái Bình Dương-2004). Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) Ví dụ 29. (Olympic Toán Ba Lan-2005), Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + 6abc ≥ 9 Ví dụ 30. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca)

Created by hcl30784

Chương II

Một số kĩ thuật thường sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức II.1

Kĩ thuật chọn điểm rơi khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Ý tưởng chính trong kĩ thuật này là dự đoán xem dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi nào do đó nó chỉ thật sự hiệu quả đối với các bất đẳng thức đối xứng. Các bạn hãy xem kĩ ví dụ sau đây và thử tìm hiểu xem kĩ thuật này được áp dụng như thế nào? Ví dụ 31. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau √ a+b ab S= √ + a+b ab Lời giải: √ √ a+b ab ab a+b a+b a+b a+b S= √ + = √ + √ + √ + √ + a + b 4 ab 4 ab 4 ab 4 ab a + b ab s s s   3 3 (a + b) 1 a+b 5 5  a + b 3 5 5 5 √ √ √ =5 = ≥ ≥5 28 2 2 44 ( ab)3 ab 2 ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Vậy min S = 5/2. Ví dụ 32. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ 3/2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 S = a2 + b 2 + c 2 + + + a b c Ví dụ 33. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20. Chứng minh rằng 3 9 4 a+b+c+ + + ≥ 13 a 2b c 10

11

II.2

Kĩ thuật cân bằng hệ số

Ví dụ 34. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa điều kiện xy + yz + zx = 1. Chứng minh bất đẳng thức 10x2 + 10y 2 + z 2 ≥ 4

Chứng minh. Bất đẳng thức đã cho tương đương với 1 1 (2x2 + 2y 2 ) + (8x2 + z 2 ) + (8y 2 + z 2 ) ≥ 4 2 2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2x2 + 2y 2 ≥ 4xy 8x2 + 12 z 2 ≥ 4yz 8y 2 + 21 z 2 ≥ 4xz Cộng ba bất đẳng thức trên lại ta được điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1/3, z = 4/3. Chắc chắn các bạn sẽ thắc mắc tại sao lại tách 10=2+8 và 1=1/2+1/2, liệu các cách tách khác như 10=4+6 chẳng hạng thì có giải quyết được bài toán không? Các bạn hãy tìm hiểu điều đó và nếu tự mình trả lời được thì có nghĩa là bạn đã có thêm một kĩ thuật nữa để áp dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức: kĩ thuật cân bằng hệ số. Sau đây là một số ví dụ để các bạn luyện tập. Ví dụ 35. Giả sử các số thực x, y, z thỏa mãn 2xyz = 3x2 + 4y 2 + 5z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau P = 3x + 2y + z Ví dụ 36. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1 và k là một hằng số dương. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = k(x2 + y 2 ) + z 2 Ví dụ 37. Giả sử các số thực a, b, c, d thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = 5x2 + 4y 2 + 5z 2 + t2 Hãy tổng quát hóa bài toán.

Created by hcl30784

12

Ví dụ 38. Cho x > y > 0. Chứng minh rằng

√ 1 4 4 12 x+ ≥ xy(x − y) 3

Ví dụ 39. Giả sử các số thực dương x, y, z có tổng bằng 3. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + y 2 + z 3 Ví dụ 40. Chứng minh rằng nếu x, y ≥ 0 và x2 + y 2 = 5 thì x3 + y 6 ≥ 9 II.3

Kĩ thuật Côsi ngược dấu

P Giả sử ta cần đánh giá bất đẳng thức dạng Q ≥ k và ta muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy với mẫu số, tuy nhiên nếu làm như vậy thì bất đẳng thức sẽ đổi chiều và ta không đạt được mục đích. Vậy ta phải làm thế nào để có thể áp dụng được bất đẳng Cauchy với mẫu số mà bất đẳng thức vẫn không đổi chiều? Rất đơn giản, các bạn hãy tìm cách làm xuất hiện dấu "trừ" trước biểu thức cần đánh giá. Sau đây là một số ví dụ minh họa cho kĩ thuật này.

Ví dụ 41. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh bất đẳng thức b c 3 a + + ≥ 1 + b2 1 + c2 1 + a2 2 Chứng minh. Đánh giá từng số hạng ở vế trái, ta có a ab2 ab2 ab = a − ≥ a − = a − 1 + b2 1 + b2 2b 2 Xây dựng thêm 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng cả 3 bất đẳng thức lại ta được b c ab + bc + ca 3 a + + ≥ a + b + c − ≥ 1 + b 2 1 + c 2 1 + a2 2 2 2 vì 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c) . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Ví dụ 42. Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 4 ta có bất đẳng thức sau a b c d + + + ≥2 1 + b2 1 + c2 1 + d2 1 + a2 Ví dụ 43. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c, d ta luôn có a3 b3 c3 d3 a+b+c+d + + + ≥ a2 + b2 b2 + c2 c2 + d2 d2 + a2 2 Created by hcl30784

13

Ví dụ 44. Chứng minh với mọi số dương a, b, c có tổng bằng 3 thì a+1 b+1 c+1 + + ≥3 b 2 + 1 c 2 + 1 a2 + 1 Ví dụ 45. Chứng minh với mọi số dương a, b, c, d có tổng bằng 4 thì 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 ≥2 2 a +1 b +1 c +1 d +1

II.4

Kĩ thuật đổi biến số

Ví dụ 46. Chứng minh rằng nếu a, b, c ≥ 0 và abc = 1 thì 1 1 1 + + ≤1 2+a 2+b 2+c Chứng minh. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng a b c + + ≥1 2+a 2+b 2+c Vì abc = 1 nên tồn tại các số thực x, y, z sao cho a = x/y, b = y/x, c = z/x. Ta cần phải chứng minh x/y y/z z/x + + ≥1 2 + x/y 2 + y/z 2 + z/x x y z ⇔ + + ≥1 x + 2y y + 2z z + 2x Nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng ở vế trái lần lượt với x, y, z rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c = 1. Ví dụ 47. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c có tích bằng 1 thì 1 1 1 1 + + + ≥2 a(1 + b) b(1 + c) c(1 + d) d(1 + a)

II.5

Kĩ thuật chuẩn hóa đối với các bất đẳng thức thuần nhất

Ví dụ 48. Chứng minh rằng với mọi a, b, c không âm thì r r ab + bc + ca 3 (a + b)(b + c)(c + a) ≤ 3 8 Created by hcl30784

14

Ví dụ 49. Chứng minh rằng với mọi a, b, c không âm ta luôn có p a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b) ≥ (ab + bc + ca) 3 (a + b)(b + c)(c + a) Ví dụ 50. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số thực không âm a, b, c (2a + b + c)2 (2b + c + a)2 (2c + a + b)2 + + ≤8 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2

II.6

Kĩ thuật phân tích bình phương S.O.S (Sum of Square)

Đây là một kĩ thuật rất hiệu quả đối với các bất đẳng thức dạng P (a, b, c) ≥ 0, trong đó P (a, b, c) là biểu thức đối xứng đối với ba biến a, b, c và thỏa mãn điều kiện P (a, a, a) = 0. Nội dung chính của kĩ thuật này là tìm cách phân tích biểu thức P (a, b, c) về dạng P (a, b, c) = Pa (b − c)2 + Pb (c − a)2 + Pc (c − a)2 Khi đó, nếu các hệ số Pa , Pb , Pc đều không âm thì ta có điều phải chứng minh, còn nếu trong chúng có số âm thì ta vẫn hi vọng chứng minh được biểu thức P (a, b, c) không âm bằng cách đánh giá các hệ số Pa , Pb , Pc mà thông thường thì việc làm này ít khó khăn hơn. Theo tôi khó khăn nhất đối với kĩ thuật này là làm thế nào để phân tích được biểu thức P (a, b, c) về dạng chuẩn trên. Các bạn hãy tự tìm hiểu điều đó, còn bây giờ tôi sẽ làm thử một vài ví dụ để các bạn tham P khảo. Chú ý rằng, ta dùng kí hiêu cyc để chỉ tổng hoán vị(cyc là viết tắt của P từ cyclic)1 và sym để chỉ tổng đối xứng(sym là viết tắt của từ symmetric)2 . Ví dụ 51. Chứng minh rằng với mọi a, b, c không âm ta có bất đẳng thức a3 + b3 + c3 ≥ 3abc. Chứng minh. Xét biểu thức P = a3 + b3 + c3 − 3abc ta có  X X 1X  2 3 2 2 2 2 P = (a − abc) = a(a − bc) = a 2a − b − c + (b − c) 2 cyc cyc cyc =

1X 1X a(a2 − b2 + a2 − c2 ) + a(b − c)2 2 cyc 2 cyc 1X 1X 2 = (a + b)(a − b) + a(b − c)2 2 cys 2 cyc

1 Ví

dụ 2 Ví dụ

P a2 b = a2 b + b2 c + c2 a Pcyc 2 2 2 2 2 2 2 sym a b = a b + b c + c a + ab + bc + ca

Created by hcl30784

15

 a + b + c 1X 2 2 2 2 (a + b + c)(a − b) = = (a − b) + (b − c) + (c − a) 2 cys 2 Đó là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Ví dụ 52. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)

Chứng minh. Xét biểu thức P = a4 + b4 + c4 − abc(a + b + c). Ta có  a2  2 4 2 2 2 2 2 2 a − a bc = a (a − bc) = 2a − b − c + (b − c) 2 a2 a2 a2 = (a2 − b2 ) + (a2 − c2 ) + (b − c)2 2 2 2  1X X X 1 4 2 2 2 2 2 2 2 P = (a − a bc) = a (a − b ) − a (a − c ) + a2 (b − c)2 2 cyc 2 cyc cyc  1X 1X 2 1 X 2 2 2 2 2 = (a + b) + c (a − b)2 (a + b) (a − b) + c (a − b) = 2 cyc 2 cyc 2 cyc Từ đó ta có các hệ số của (a − b)2 , (b − c)2 , (c − a)2 lần lượt là    1 1 1 2 2 2 2 2 2 Pc = (a + b) + c ; Pa = (b + c) + a ; Pb = (c + a) + b 2 2 2 Dễ thấy các hệ số này không âm nên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Qua hai ví dụ trên, chắc các bạn sẽ cho rằng hai bài toán thì quá đơn giản(ta có thể chứng minh nhẹ nhàng bằng bất đẳng thức Cauchy) còn cách chứng minh trên lại quá phức tạp? Tôi cũng đồng ý với các bạn như vậy, nhưng ở đây tôi chỉ lấy hai ví dụ đơn giản nhất để minh họa cho kĩ thuật phân tích này, còn ứng dụng thực sự của nó không phải là để giải các bài toán trên. Chỉ khi nào các bạn có thời gian vận dụng kĩ thuật này để giải các bài toán khó hơn (như các ví dụ dưới đây) thì các bạn mới thấy được tầm quan trọng của nó. Ví dụ 53. Chứng minh bất đẳng thức Schur sau a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) Trong đó a, b, c là các số thực không âm. Ví dụ 54. (HSG Tỉnh TT Huế 97). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ≥ a(b − c)2 + b(c − a)2 + c(a − b)2 Created by hcl30784

16

Ví dụ 55. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng b c a + + ≥1 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Ví dụ 56. Tìm hằng số k dương lớn nhất để ta có bất đẳng thức a b c ab + bc + ca 3 + + +k 2 ≥ k + b+c c+a a+b a + b2 + c2 2 Ví dụ 57. Tìm hằng số thực k tốt nhất cho bất đẳng thức sau 1 + ca 1 + ab 12 1 + bc + + ≥ ka2 + bc kb2 + ca kc2 + ab k+1 Ví dụ 58. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có a2 b 2 c 2 3(a3 + b3 + c3 ) + + ≥ b c a a2 + b 2 + c 2 Ví dụ 59. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có a3 + b 3 + c 3 54abc + ≥5 abc (a + b + c)3 Ví dụ 60. Tìm hằng số k dương nhỏ nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi số a, b, c dương X ab a2 + b 2 + c 2 3 k + k ≥ + 2 2 (a + b) (a + b + c) 4 3 cyc Ví dụ 61. Tìm hằng số k dương nhỏ nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi số a, b, c dương 8abc a2 + b 2 + c 2 k +k ≥ 1 + (a + b)(b + c)(c + a) (a + b + c)2 3 Ví dụ 62. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có bất đẳng thức a2 + bc b2 + ac c2 + ab 3 + + ≥ (b + c)2 (a + c)2 (a + b)2 2

II.7

Dùng phương pháp phản chứng để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức mới tương đương nhưng dễ chứng minh hơn

Nội dung chính của kĩ thuật này là chuyển bất đẳng thức cần chứng minh thành đẳng thức (đây cũng là điều kiện của bài toán mới) đồng thời chuyển giả thiết Created by hcl30784

17

thành kết luận, sau đó kết hợp với phản chứng. Sau đây là một số ví dụ cho kĩ thuật này. Ví dụ 63. Cho các số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd + cda + dab = 8 Chứng minh rằng

a + b + c + d ≤ 4.

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh bổ đề (đây chính là bài toán mới) Nếu a, b, c, d không âm và thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 4 thì ta có a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd + cda + dab ≥ 8 Các bạn tự tìm lời giải cho bổ đề trên, bây giờ ta sẽ chứng minh bài toán bằng phản chứng như sau Giả sử a + b + c + d > 4 khi đó tồn tại số thực k > 1 và các số a0 , b0 , c0 , d0 sao cho a = ka0 , b = kb0 , c = kc0 , d = kd0 và a0 + b0 + c0 + d0 = 4. Rõ ràng các số a0 , b0 .c0 , d0 thỏa mãn điều kiện của bổ đề trên nên áp dụng bổ đề ta có a2 +b2 +c2 +d2 +abc+bcd+cda+dab > a02 +b02 +c02 +d02 +a0 b0 c0 +b0 c0 d0 +c0 d0 a0 +d0 a0 b0 ≥ 8 Mâu thuẩn này cho ta điều phải chứng minh. Đây là một kĩ thuật rất hay, nhờ nó ta có thể chứng minh được nhiều bài toán khó một cách sáng sủa. Điểm khó của kĩ thuật này là phát biểu đúng bài toán mới và chứng minh được nó. Hãy đọc lại ví dụ trên một lần nữa và các bạn sẽ thắc mắc tại sao trong bổ đề trên ta không thay dấu "=" trong giả thiết a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd + cda + dab = 8 bởi dấu ≤ mà phải thay bởi dấu ≥? Hãy tìm hiểu điều đó nhé! Ví dụ 64. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng √ √ √ a+3+ b+3+ c+3≥6 Ví dụ 65. Cho các số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 + d2 + 2abcd = 6 Chứng minh rằng a + b + c + d ≤ 4 Ví dụ 66. Giả sử a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 1/a + 1/b + 1/c = 3. Chứng minh bất đẳng thức √ √ √ √ a+b+ b+c+ c+a≥3 2

Created by hcl30784

18

Ví dụ 67. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 3a2 + 3b2 + c2 = 10. Chứng minh rằng xy + yz + zx ≤ 5

II.8

Khảo sát hàm số

II.9

Kĩ thuật giảm biến

Ví dụ 68. Chứng minh rằng với a, b, c là các số dương có tích bằng 1 thì ta có bất đẳng thức (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 4(a + b + c − 1) Ví dụ 69. Chứng minh rằng với a, b, c dương có tổng bằng 3 thì 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ) Ví dụ 70. cho a, b, c không âm thỏa mãn a2 + b2 = c2 = 3, chứng minh rằng a + b + c ≥ a2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a2

Created by hcl30784