Bat Dang Thuc 2

1. Cho

. Chứng minh rằng

( đúng theo Côsi). Đẳng thức xảy ra

đều.

2. Chứng minh với mọi

ta có

( đẳng thức xảy ra

)

Lại có Đẳng thức xảy ra

hoặc

.

3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

Ta có :

Đặt

.

Khi đó Xét hàm số Suy ra :

.

Vậy

,chẳng hạn khi

4. Trong các số thực Hãy tìm

thỏa mãn hệ thức

để cho biểu thức

. đạt giá trị lớn nhất. Xác định giá trị lớn nhất đo.

đạt giá trị lớn nhất 1

5. Tùy theo giá trị của m, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

và đạt dấu "=" khi

thỏa mãn

Hệ này có

hệ có nghiệm

khi

.

Vậy khi Với

.

Đặt và đạt dấu = khi Vậy 6. Cho

là độ dài trung tuyến,

là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

.

.

Đẳng thức xảy ra

đều.

7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số :

Ta có : Đặt

Điều kiện :

Ta có : 2

. Chứng minh rằng

Thay vào biểu thức của y ta được : +

đồng biến trên

( vì

).

Vậy 8.

là 2 nghiệm của phương trình:

Với giá trị nào của

thì biểu thức

đạt giá trị lớn nhất .

Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

Ta có : Khi đó :

Vì

Do đó

Vậy

9. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

Đặt

nên , khi

với

thì . Khi đó :

Xét Ta có : Xét bảng biến thiên: 10. Cho

là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng:

3

.

Do giả thiết

(đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi 11. Cho

. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Áp dụng Côsi cho trường hợp 2 số và trường hợp 3 số, ta có:

Vậy GTNN của P là . Dấu = 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

Đặt

với .

- Nếu

nghịch biến trong .

- Nếu

- Nếu

đồng biến tròn

thì có bbt

Vậy 4

.

Kết luận

13. Giả sử

.

là hai số dương thỏa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

.

Giá trị

đạt được khi

Vậy 14. Chứng minh:

ta có:

Nhận xét:

Dấu “

” xảy ra

15. Cho 3 số dương

thoả mãn

Chứng minh:

Ta có:

5

16. Chứng minh Ta có: BĐT đã cho đúng, “

17. Cho

” xảy ra

. Chứng minh

Ta có:

bất đẳng thức đã cho đúng, dấu “ ” xảy ra 18. Chứng minh

Dấu

xảy ra

19 Chứng minh rằng Ta có: Dấu 20. Chứng minh rằng với mọi số dương

xảy ra

ta luôn có bất đẳng thức

Vì

Tương tự: Do đó vế trái bất đẳng thức cần chứng minh không lớn hơn : (đpcm). Đẳng thức xảy ra

. 6

21. Cho

thoả mãn

Chứng minh:

Từ giả thiết suy ra:

*) Xét Ta có: Mà

nên

là nghiệm của phương trình

*) Trường hợp:

Mà

là nghiệm của phương trình:

Từ Tương tự cho

, ta có:

22. Cho 3 số

thoả mãn

Chứng minh:

Từ

Kết hợp mà

nên

là 2 nghiệm của phương trình

Tương tự cho 7

23. Cho 3 số thực

thoả mãn các điều kiện sau:

Từ giả thiết suy ra:

Do

là nghiệm của phương trình:

nên

24. Cho

Dấu “

. Chứng minh

. Chứng minh:

” xảy ra

hoặc 2 trong 3 số

25. Cho

Chứng minh:

26. Cho

Chứng minh :

bằng 1, số còn lại bằng 0

(*)đúng 8

Dấu “

” xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số

27. Cho

có 1 số bằng 2 và 1 số bằng 0

Chứng minh:

Ta chứng minh:

. Thật vậy:

Ta có:

dấu “

”

28. Cho

29. Chứng minh trong

Chứng minh:

ta có

Ta có :

9

Dấu “

” xảy ra

đều

30. Chứng minh :

ta có:

+) Ta chứng minh:

Nhận xét: Cho Thật vậy

đúng do

đúng

Áp dụng:

đúng +) Ta chứng minh:

Ta có: Tương tự: đúng Từ

BĐT cần chứng minh đúng

31. Cho

thoả mãn:

Chứng minh:

Từ giả thiết suy ra

10

Dấu “

” xảy ra

32. Cho

Chứng minh

Nhận xét: Ta có

Dấu

xảy ra

33. Cho

. Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức

Do

nên

( luôn đúng do áp dụng bất đẳng thức Côsi ) (đpcm).

34. Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số:

.

Đặt

luôn cùng dấu với

35. Cho các số

,do đó

. Chứng minh rằng :

11

Ta có : Áp dụng bất đẳng thức Côsi hoặc Bunhiacopxki:

Dấu " = " xảy ra khi 36. Chứng minh rằng nếu

thì (1)

(do x > 0) (2) luôn đúng nên (1) được chứng minh . 37. Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:

, 38. Cho

là hai số thực thỏa mãn

và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Theo bất đẳng thức Côsi ta có :

Suy ra : 12

Với

thỏa mãn giả thiết thì

Vậy

, đạt khi

39. Chứng minh rằng nếu

là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì .

Có

. Do đó theo Côsi:

. Đẳng thức xảy ra

.

40. Cho Chứng minh rằng : (1)

Cộng vế với vế suy ra:

(1) 41. Với

thỏa mãn đẳng thức

Chứng minh rằng

.

Biến đổi :

13

Đặt

thì giả thiết

Và đpcm

.

Theo Bunhiacopxki :

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có: . Đẳng thức xảy ra 42. Chứng minh rằng với các số dương

bất kỳ, ta có:

.

Có Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.

43. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Điều kiện

.

.Ta có :

Đẳng thức đạt được khi và chỉ khi

.

Vậy GTLN bằng 1 . Mặt khác Đẳng thức xảy ra

.

Vậy GTNN bằng -1. 44. Chứng minh rằng với mọi

Áp dụng Côsi:

:

.Cộng lại ta có (đpcm)

45. Chứng minh rằng: Với 14

Đặt Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho số dương ,

số dương

46. Chứng minh rằng: Ta có: Hoàn toàn tương tự ta có: Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh

47. Cho a>0,b>0.Chứng minh rằng: với Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có:

48. Cho

.Chứng minh rằng:

Vì Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho bốn số dương: Ta có:

Thu gọn ta có: 15

và số dương ta có:

49. Chứng minh rằng:

với

Ta có: Ta lại có: Vậy

(đpcm)

50. Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất: Ta có: Lại có: Cộng 3 BDT ta có: Vạy

51. Cho

khi

và: a+b=2.Tìm giá trị lớn nhất của:

Ta có b=2-a. Thay vào có:

với

.

Khảo sát F trên [0;2] ta có MaxF=F(2;0)=40. 52. Cho a,b,c>0. Chứng minh: Ta có các bất đẳng thức:

;

;

.

Vậy có: Lại có: 53. Cho 3 số

nên có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức khi a=b=c và a+b+c=3.Chứng minh rằng:

54. Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có:

16

55. Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: 56. Cho a,b,c>0 và thoả mãn:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

57. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

58. Cho a,b>2 và: a+b=8. Tìm giá trị nhỏ nhất của: Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 và b-2>0. Theo BDT Cosi ta có:

hay:

hay:

Cộng vế hai bất đẳng thức ta có: Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 320 khi a=b=4. 59. Cho a,b,c>0 và thoả:

60. Cho a,b,c>0 và thoả mãn:

61. Cho a,b,c>2 và thoả mãn:

. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

. Chứng minh rằng:

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

62. Cho tam giác ABC có ba cạnh a,b,c thoả: a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

63. Cho a,b,c>0 và thoả: abc=ab+bc+ca. Tìm giá trị lớn nhất của: 64. Cho a,b,c thoả:

. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của:

65. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

66. Cho bốn số x, y, z , t thay đổi thỏa mãn hệ điều kiện : 17

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

.

Theo bunhiacôxki ta có :

.

Ngoài ra, với

ta có

. Mặt khác,

, và với thì

67. Cho các số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện

và

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Đặt

. .

thì : có

;

Từ Bảng biến thiên ta có: 68. Các số x, y, z thay đổi nhưng luôn luôn thỏa mãn điều kiện : Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Đẳng thức Mặt khác :

Có thể chọn

thì

( và

69. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : 18

)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương

ta có :

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương

ta có :

Tương tự ta cũng có :

Suy ra : (đpcm)

Dấu “=” xảy ra

và

và

70. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Có Đặt

thì giả thiết và

.

Theo Bunhiacopxki :

Nếu

thì

Đảo lại , nếu

thì

.

19

Vậy 71. Cho

. Chứng minh rằng

( đúng theo Côsi). Đẳng thức xảy ra

đều.

72. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Ta luôn có : Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

nên

(1)

(2)

(3)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 73. Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có:

nên

(1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có:

(2)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

20

(3)

74. Tìm giá trị nhỏ nhất của ta có

1+

M=

với x ; y; z > 0

=

tương tự với các nhân tử trong ngoặc còn lại ta được

M

dấu = xảy ra khi x = y = z 75. Cho a,b,c là các số dương và a+b+c = 1.Chứng minh rằng : Áp dụng BĐT

được:

suy ra

Mà ta có Vậy

Đẳng thức xảy ra

76. Cho x và y là nghiệm của phương trình: .

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

77. Cho x và y là nghiệm của phương trình:

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

. 21

78. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

biết x và y thay đổi thoả mãn điều kiện:

79. Cho x,y,z thay đổi thoả điều kiện : .

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

80. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng :

Đẳng thức xảy ra 81. Cho x, y, z là những số dương . Chứng minh rằng

Có ( dấu = xảy ra

). Do đó :

82. Cho a,b,c,d là 4 số dương thỏa mãn điều kiện Tìm Max của A=abcd

22

83. Cho x,y,z > 0 và x*y*z=1, n thuộc tập hợp các số nguyên dương.

Tìm Min của biểu thức :

84. CMR nếu tam giác ABC có các cạnh a,b,c và có diện tích bằng 1 thì

Ta có Vậy nên 23

.

Biến đổi Từ đó

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c 85. Cho x,y dương thỏa mãn :

Tìm giá trị nhỏ nhất của x+y.

Áp dụng bất đẳng thức BunhiaCopxkia ta có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy 86. Cho

. Chứng minh:

BĐT đã cho tương đương với: Đặt

với

Ta có: AD định lí Lagrange đối với hàm số:

trên

, thì tồn tại

. Từ (1) suy ra: Suy ra: 87. Cho

(đpcm). CMR:

Đặt Khi đó bất đẳng thức trở thành

Ta có vì Tương tự ta có : Cộng lại với nhau

(x)

24

sao cho:

Côsi cho 2 số dương

và (y)

Từ x,y được Bài giải hay vô đối,mình pro` thật.Nhưng nhận xét bài toán là các bạn khó biết được dấu bằng xảy ra khi nào,đó chính là vấn đề phức tạp của bài toán Đa số các bài toán bđt thường có kết quả xảy ra khi các giá trị bằng nhau ví như trong bài toán này mà ta mong đợi điều kì diệu xảy ra khi x=y=z thì ta thu được vậy là vô lý rồi,vậy bằng ở đâu đây,chỉ có 1 cách chứng minh duy nhất nhưng vấn đề bài toán chưa chọn vẹn về mặt tương đương.Ai pro` giải tiếp hoặc chứng minh cách khác nhé 88. chứng minh với mọi a,b,c dương: Sử dụng bdt Cauchy - Schwarz ta có:

Từ hai bdt trên suy ra điều phải chứng minh 89. Cho

. Chứng minh rằng:

90. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: trong đó x,y là các số thực thỏa mãn: 91. Cho a>0,b>0,c>0 và abc=1 ,chứng minh : P= ta có bất đẳng thức với a,b,c >0 : Vì tích abc=0 và a>0,b>0,c>0 nên ta đặt :

(với x,y,z >0}

vậy

92. Cho

,tìm min A = 25

93. Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = ta có theo cauchy tương tự lại có Cộng theo vế 6 bdt rút gọn dc

vậy 94. Cho tam giác

. Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta có:

vì Vậy Bất đẳng thức đúng 95. Trong các nghiệm (x;y) của bất phương trình:

.

hãy tìm nghiệm có tổng (x+3y) nhỏ nhất. 96. tìm min:

với x>0,y>0,z>0 và :

áp dụng BĐT với 6 số dương : Đặt

,phương trình tương đương

26

áp dụng BĐT cosi : nên dễ thấy nên min 97. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa

.tìm min : A=

ta có vậy min P =9 98. Tìm min : A= Ta có:

,biết

P=

mà :

vậy min P = khi x=y=

99. Cho x,y,z là 3 số dương và

. Chứng minh rằng

Ta có Tương tự

Cộng vế theo vế ta được

100. Cho 3 số dương

. Chứng minh rằng:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

27

Do đó:

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 101. Cho a, b, c> 0 và a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: 102. Cho a, b, c>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: Áp dụng bất đẳng thức Cosi có:

;

;

Vậy có: Vậy MinF=6 khi a=b=c=1. 103. Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: Ta có: Tương tự có:

;

Do đó: Từ đó có điều phải chứng minh. Dấu bằng khi: a=b=c. 104. Cho a, b, c>0 và thoả: Tìm giá trị nhỏ nhất của: 105. Cho 106. Cho a, b, c>0 và

107. cho

. Tìm giá trị lớn nhất của: . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

, chứng minh:

28

108. Cho a,b,c > 0.

.

Có:

;

Chứng minh rằng :

;

Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: Dấu đẳng thức khi : 109. Cho a,b,c>0 và:

. Tìm giá trị nhỏ nhất:

(1) (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: Áp dụng bất đẳng thức Svacso ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 110. Cho a,b>o và thoả:

khi và chỉ khi a=b=c=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

(1) (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: từ (*) ta cũng có Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có:

29

(*)

.

(**) Áp dụng bất đẳng thức Svacso ta có:

Từ (*) và (**) ta có: Vậy

khi và chỉ khi a=b=c=1.

111. Cho a,b,c>0 và: a+b+c=abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của: ta có theo cauchy tương tự

(1) (2)

Mặt khác ta lại có:

(3) (4)

(5)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2),(3),(4),(5) và (6) ta có:

vậy 112. Cho a,b,c>0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: Đặt : a=x; b+1=y; z+2=c ta có bất đẳng thức dạng:

Ta có: Theo BDT Cosi:

Vậy:

hay

113. Cho a,b,c>0 và: Ta có:

. Dấu bằng xảy ra khi: a=b+1=c+2. . Tìm giá trị nhỏ nhất của: Do:

30

(6)

Lại có: Lại có:

Nên có: . Dấu bằng khi:

31