Bat Dang Thuc - Khoi Nguyen

MOÄT SOÁ KÓ THUAÄT GIAÛI TOAÙN BAÁT ÑAÚNG THÖÙC




Taùc giaû: Nguyeãn Huyønh Khoâi Nguyeân Nguyeãn Ñình Thi Lôùp 10Toaùn 1 THPT chuyeân Löông Vaên Chaùnh.

Tuy hoøa,thaùng 2 naêm 2008

Baát ñaúng thöùc laø moät noäi dung raát hay vaø khoù .Caøng nghieân cöùu ta caøng thaáy söï ña daïng,phong phuù cuûa noù.Chuùng toâi vieát baøi vieát nay nhaèm goùp moät phaàn nhoû cuûa mình vaøo vieäc reøn luyeän kó naêng giaûi baát ñaúng thöùc.Vì ñaây laø baøi vieát ñaàu tieân,vaø chuùng toâi ñang ôû trình ñoä lôùp 10 neân maëc duø ñaõ coù nhieàu coá gaéng nhöng khoâng theå traùnh khoûi sai xoùt.Chuùng toâi raát mong nhaän ñöôïc söï goùp yù cuûa ñoäc giaû. MOÄT SOÁ KÓ THUAÄT ÑEÅ CHÖÙNG MINH BAÁT ÑAÚNG THÖÙC 1.Kó thuaät taùch soá muõ +Ñeå thuaän tieän cho vieäc chöùng minh,toâi xin ñeà caäp laïi tôùi baát ñaúng thöùc(bñt) Hon-ñe Vôùi a,b,c,x,y,z laø nhöõng soá thöïc döông thì ta coù

(a

3

)(

)(

)

+ b3 + c3 x 3 + y3 + z3 m3 + n3 + p3 ≥ ( axm + byn + czp )

3

Baøi toaùn 1 Cho a, b, c > 0 .Chöùng minh

a2 b2 c2 a4 + b4 + c4 4 + + ≥3 b c a 3 Lôøi giaûi: Theo bñt Hon-ñe thì ta coù 2

 a2 b2 c2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 + +   a b + b c + c a ≥ (a + b + c ) c a   b 2 Ñaët x = a , y = b 2 , z = c 2

(

)

Ta caàn chöùng minh bñt

( x + y + z )3 ≥ 9 xy + yz + zx

x2 + y2 + z2 3

< = > ( x + y + z )3 ≥ 3

Ta coù

=

(x + y + z)

(∑ x

2

3

)

3 ( xy + yz + zx )

x2 + y2 + z2

= [( x + y + z ) ] 2

3 2

+ 2 ∑ xy ≥ 3  ( ∑ x 2 )( ∑ xy ) 2  3

3 2

= 3 3( xy + yz + zx ) x 2 + y2 + z 2 Vaäy baøi toaùn chöùng minh Ñaây chæ laø kó thuaät nhoû,taùch muõ 3 thaønh 2.

3 nhöng noù coù veû hieäu quaû vaø laøm cho lôøi 2

giaûi baøi toaùn goïn hôn . Vaø ta tieáp tuïc vôùi kó thuaät naøy qua baøi toaùn sau Baøi toaùn 2 Vôùi a,b,c>0 v& a2 + b 2 + c2 = 3 .Chöùng minh a b c 9 + + ≥ b c a a+b+c Lôøi giaûi: Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

1

a b c a 2 b 2 c 2 ( a + b + c)2 + + = + + ≥ b c a ab bc ca ab + bc + ca Vaäy vieäc coøn laïi laø chöùng minh bñt sau ( a + b + c )2 9 ≥ ab + bc + ca a + b + c Ta coù

3

Ta coù ( a + b + c ) 3 = [( a + b + c ) 2 ] 2 = (

∑a

2

cyc

  + 2∑ ab) ≥  3 3 (∑ a2 )(∑ ab)2    cyc cyc cyc   3 2

3 2

= 9(ab + bc + ca) ⇒ (a + b + c)3 ≥ 9(ab + bc + ca) (ñpcm) (!) Baøi toaùn 3 Vôùi a, b, c > 0 & a4 + b4 + c 4 = 3 .Chöùng minh a2 b2 c2 a2 b2 c2 3 + + ≥ a) + + ≥ 3 b) b c a b+c c+a a+b 2 Lôøi giaûi: a)Theo bñt Hon-ñe thì a2 b2 c 2 ( + + )2 ( ∑ a 2 b 2 ) ≥ ( ∑ a 2 )3 b c a cyc cyc Vậy ta chỉ cần chứng minh (a2 + b 2 + c 2 )3 ≥ 9(a 2 b 2 + b2 c 2 + c 2 a2 ) Neáu ñaët x = a2 , y = b2 , z = c 2 thì bñt caàn chöùng minh

⇔ ( x + y + z)3 ≥ 9( xy + yz + zx ) Tôùi ñaây,vieäc chöùng minh hoaøn toaøn töông töï nhö bñt (!) b)Theo bñt Hon-ñe thì

(∑ cyc

a2 2 ) ( ∑ a 2 ( b + c )2 ) ≥ ( ∑ a 2 )3 b + c cyc cyc

Vaäy caàn chöùng minh bñt sau 4 ( ∑ a 2 )3 ≥ 9 (∑ a 2 ( b + c )2 ) cyc

cyc

  <=> 4(∑ a2 )3 ≥ 9  2∑ a2 b2 + 2abc(a + b + c)  cyc  cyc 

Maø a 2 b2 + b 2 c 2 + c 2 a2 ≥ abc( a + b + c ) Vaäy ta coøn chöùng minh bñt naøy 4(a 2 + b2 + c 2 )3 ≥ 9 4(a2 b 2 + b2 c 2 + c2 a2 )

(

)

Bñt naøy ñaõ ñöôïc chöùng minh trong caâu a Qua 3 baøi,ta coù theå thaáy ñöôïc hieäu quaû cuûa kó thuaät nhoû naøy Keát thuùc kó thuaät naøy,ta xeùt baøi toaùn sau Baøi toaùn 4: (Nguyeãn Huyønh Khoâi Nguyeân)

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

2

2 2 2 Vôùi a, b, c > 0.a + b + c = 3 . Chöùng minh ∑ cyc

a ab + bc + ca ≥ a + 2 bc 3 3

Lôøi giaûi: Theo bñt(!) thì (∑ a)3 ≥ 9(∑ ab) => cyc

cyc

(a + b + c)3 ab + bc + ca ≥ 27 3

Vì vaäy,ta caàn chöùng minh bñt sau a ( a + b + c )3 ≥ ∑ 3 27 cyc a + 2 bc ÔÛ bñt naøy,veá phaûi coù daïng muõ 3,vì theá ta nghó tôùi vieäc duøng bñt Hon-ñe.Nhöng muoán duøng ñöôïc thì ta phaûi tìm caùch khöû caùc maãu ôû veá traùi.Vì theá,ta caàn chöùng minh bñt phuï sau

9 = (∑ a 2 )2 ≥ ∑ a 3 + 2 ∑ ab cyc

cyc

cyc

⇔ 9 − (∑ ab) ≥ (∑ a − 3abc ) + (∑ ab)(3 − ∑ ab) − (∑ ab − 3abc) 2

cyc

3

cyc

cyc

cyc

cyc

⇔ (3 − ∑ ab)(3 + ∑ ab) + (∑ ab − 3abc ) cyc

cyc

cyc

≥ (∑ a )(3 − ∑ ab ) + (∑ ab)(3 − ∑ ab ) cyc

cyc

cyc

cyc

⇔ (3 − ∑ ab)(3 + ∑ ab − ∑ a − ∑ ab) + (∑ ab − 3abc) ≥ 0 cyc

cyc

cyc

cyc

cyc

Vì a + b + c = 3 ≥ 3 a b c ⇒ 1 ≥ abc vaø deã daøng ta coù 3 − ab − bc − ca ≥ 0 & 3 − a − b − c ≥ 0 2

2

2

3

2

2 2

⇒ (3 − ∑ ab)(3 − ∑ a) + ∑ ab − 3abc ≥ 0 + 3 3 a 2 b2 c 2 .1 − 3abc cyc

cyc

cyc

≥ 3abc − 3abc = 0

⇒ 9 ≥ a3 + b3 + c3 + 2ab + 2 bc + 2ca Vaø ta aùp duïng bñt treân cho vieäc chöùng minh baøi toaùn a a Ta coù: 27(∑ 3 ) ≥ (1 + 1 + 1)(∑ a3 + 2∑ ab)(∑ 3 ) cyc a + 2 bc cyc cyc cyc a + 2 bc ≥ (a + b + c)3 a b c ( a + b + c )3 + + ≥ a3 + 2 bc b3 + 2ca c3 + 2ab 27 Vaäy baøi toaùn chöùng minh xong. Vaø chuùng ta seõ keát thuùc kó thuaät ñaàu tieân qua baøi toaùn sau Baøi toaùn 5: (Nguyeãn Huyønh Khoâi Nguyeân). Cho a,b,c>0 vaø a2 + b2 + c 2 = 3 .Chöùng minh bñt 3a 4 ≥ 3 3( ab + bc + ca )2 ∑ 3 a + 2 bc cyc ⇒

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

3

Lôøi giaûi: Hoaøn toaøn töông töï,theo bñt(!) thì (a + b + c)3 ≥ 9(ab + bc + ca)

( a + b + c )6 ≥ 3( ab + bc + ca ) 2 27 ( a + b + c )2 3 ⇔ ≥ 3(ab + bc + ca)2 3 Vì vaäy,ta caàn chöùng minh bñt sau 3a ( a + b + c)2 4 ≥ ∑ a3 + 2 bc 3 cyc ⇔

Tôùi ñaây,ta coù 1 boå ñeà khaùc ñoù laø baøi cuûa Phaùp 2005 Vôùi a,b,c>0 vaø a2 + b2 + c 2 = 3 thì ta coù ab bc ca + + ≥ 3 (1) c a b Chöùng minh boå ñeà naøy: a 2 b2 b 2 c 2 c 2 a 2 Bñt(1) ⇔ 2 + 2 + 2 + 2(a + b + c) ≥ 9 = 3(a + b + c) c a b 2 2 2 2 2 2 ab bc ca ⇔ 2 + 2 + 2 ≥ a+b+c c a b 2 2 2 2 ab bc c 2 a 2 ab bc bc ca ca ab Ta coù 2 + 2 + 2 ≥ . + . + . = a + b + c (ñpcm) c a b c a a b b c ⇒ 2 a 2 b 2 + b2 c 2 + c 2 a 2 ≥ 6 abc

(

)

Vaø ta trôû laïi vôùi baøi toaùn Chuùng ta caàn chöùng minh bñt

∑

4

cyc

3a ( a + b + c)2 ≥ a3 + 2 bc 3

4

  3a2 3a   4 Ta coù  ∑ 4 3 = ∑ 4    cyc a + 2bc   cyc a + 2abc     

  3a 2 ≥ ∑ 4 4   cyc a + 2 abc   

4

  3a2 = ∑ 4 4   cyc a + 2 abc   

4

 ≥   

∑

8

(a

4

+ b 4 + c 4 + 6 abc

4

(a

2

+ b2 + c2

)

2

9

)

9

(a

4

+ 2 abc + b 4 + 2abc + c 4 + 2 abc

3 a 2 .a 6 .( a 4 + 2 a b c ) ( a 4 + 2 a b c ) . 9 .2 7

9    

8

=

(a

) . (a

+ b + c)

2

+ b2 + c2

)

3

27

8

34

(Theo bñt Cauchy-Schwarz suy

roäng cho 3 bieán vaø 8 daõy) 3a ( a + b + c )2 4 ⇒∑ ≥ (ñpcm) a 3 + 2 bc 3 cyc Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

4

2.Kó thuaät Coâ-si ñaûo Chuùng ta seõ môû ñaàu kó thuaät naøy qua baøi toaùn sau Baøi toaùn 1:Cho a,b,c laø ñoä daøi 3 caïnh cuûa 1 tam giaùc.Chöùng minh a ∑ b+c−a ≥3 Lôøi giaûi: b+c−a b+c−a b+c b+c−a a 2a Ta coù +1 ≥ 2 ⇔ ≥2 ⇔ ≥ a a a a b+c−a b+c Hoaøn toaøn töông töï,ta coù caùc bñt sau:

b 2b vaø ≥ a+c−b a+c

c 2c ≥ a+b−c a+b

Coäng 3 bñt treân veá theo veá ta ñöôïc a a ∑ b + c − a ≥ 2∑ b + c a 3 Maët khaùc,theo bñt Nesbit thì ∑ ≥ b+c 2 a ⇒∑ ≥3 b+c−a Vaäy baøi toaùn ñöôïc chöùng minh Lôøi giaûi naøy vaän duïng bñt Cauchy moät caùch kheùo leùo ñoù laø ñem töøng phaân soá nghòch ñaûo laïi roài duøng môùi duøng bñt.Vieäc laøm nhö vaäy ñaõ laøm cho lôøi giaûi baøi toaùn khaù goïn vaø ñeïp. Baøi toaùn 2: (Phaïm Kim Huøng) Cho a, b, c, d ≥ 0 .Chöùng minh a 4 ≥ ∑ 2 2 2 a+b+c+d b +c +d cyc

a , b ,c , d

Lôøi giaûi: Söû duïng bñt Cauchy-Schwarz ta ñöôïc

 a a2   + + + ≥ ( a b c d )  ∑ 2 2 2   ∑ b2 + c2 + d 2  b +c +d   Vì theá,ta caàn chöùng minh

∑

   

2

a2 ≥2 b2 + c 2 + d 2

b2 + c2 + d 2 ( + 1)2 2 b2 + c2 + d 2 a2 + b2 + c2 + d 2 2 a .1 ≤ = ( ) maët khaùc a2 4 2a2

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

5

⇒

a2 2a2 ≥ b2 + c 2 + d 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2

chöùng minh töông töï thì ta coù

b2 2 b2 ≥ c2 + d 2 + a2 a2 + b 2 + c 2 + d 2 c2 2c 2 ≥ d 2 + a2 + b2 a 2 + b2 + c 2 + d 2

d2 2d 2 ≥ a2 + b2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 Coäng caùc bñt treân veá theo veá ta ñöôïc ñpcm Ñaúng thöùc xaûy ra khi 2 bieán baèng 0 vaø 2 bieán coøn laïi baèng nhau Baøi toaùn 3:(Vasile Girtoaje,MS,2006) Vôùi a,b,c laø caùc soá khoâng aâm.Chöùng minh a(b + c) b( c + a ) c( a + b ) + + ≥2 2 2 a + bc b + ca c 2 + ab Lôøi giaûi: Ta coù: ⇔

a2 + bc a2 + bc a2 + bc + ab + ac a 2 + bc +1 ≥ 2 ⇔ ≥2 a( b + c ) a( b + c ) a( b + c ) a( b + c )

a( b + c ) 2 a( b + c ) ≥ 2 a + bc (a + b)(a + c)

Chöùng minh töông töï,ta coù caùc bñt b(c + a) 2 b(c + a) ≥ 2 b + ca (b + c)(b + a) c( a + b ) 2 c( a + b ) ≥ 2 c + ab (c + a)(c + b) Coäng 3 bñt treân veá theo veá ta ñöôïc a( b + c ) 2 a( b + c ) ∑ a2 + bc ≥ ∑ (a + b)(a + c) Ta coù: 2 ∑ a( b + c ) 2 2 a(b + c) = ∑ (a + b)(a + c) (a + b)(b + c)(c + a) 2(a + b)(b + c)(c + a) + 6 abc 6abc = =2+ ≥2 (a + b)(b + c)(c + a) (a + b)(b + c)(c + a) Ñaúng thöùc khi 1 bieán baèng 0 vaø 2 bieán coøn laïi baèng nhau. Vaäy baøi toaùn ñöôïc chöùng minh Baøi toaùn 4:(Nguyeãn Ñình Thi) Vôùi a,b,c laø ñoä daøi 3 caïnh cuûa moät tam giaùc.Chöùng minh Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

6

∑

3

a(b + c) 3 > 2 a + ( b + c) 2 2

Lôøi giaûi: Ta coù

a 2 + ( b + c )2 a 2 + ( b + c )2 + 1 + 1 ≥ 33 a( b + c ) a( b + c )

⇔

a 2 + ( b + c ) 2 + 2 a( b + c ) a 2 + ( b + c)2 ≥ 33 a( b + c ) a( b + c )

⇔

3

a( b + c ) 3a(b + c ) ≥ 2 a + ( b + c) ( a + b + c )2 2

Hoaøn toaøn töông töï,ta coù caùc bñt sau: b( c + a ) 3b(c + a) c( a + b ) 3c(a + b) 3 vaø 3 2 ≥ ≥ 2 2 2 2 b + (c + a) (a + b + c) c + ( a + b) ( a + b + c )2 Coäng 3 bñt treân veá theo veá a( b + c ) 6(ab + bc + ca) ⇒∑3 2 ≥ 2 a + ( b + c) ( a + b + c)2 6(ab + bc + ca) 3 4(ab + bc + ca) 3 Maø = . > ( Do a,b,c laø 3 ñoä daøi 3 caïnh cuûa 1 tam giaùc) ( a + b + c )2 2 ( a + b + c )2 2 Vaäy baøi toaùn ñöôïc chöùng minh Ta seõ tieáp tuïc vôùi kó thuaät khaù thuù vò qua baøi toaùn sau Baøi toaùn 5: (Nguyeãn Huyønh Khoâi Nguyeân) Vôùi a, b, c > 0 & a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chöùng minh 4

a2 + 2 b2 + 2 c2 + 2 ( a + b + c )2 4 4 + + ≥ a3 + 2 bc b3 + 2ca c3 + 2 ab 3

a3 + 2 bc a3 + 2 bc 4 +1+1+1 ≥ 4 Ta coù a2 + 2 a2 + 2

⇔

a3 + 2 bc + 3a2 + 6 a3 + 2 bc 4 ≥ 4 a2 + 2 a2 + 2

⇔

4

a2 + 2 4( a 2 + 2) ≥ a 3 + 2 bc a 3 + 2 bc + 3 a 2 + 6

Chöùng minh töông töï ta coù caùc bñt sau 4

b2 + 2 4( a 2 + 2) ≥ b 3 + 2 ca a 3 + 2 bc + 3 a 2 + 6

4

c2 + 2 4( c 2 + 2) ≥ c 3 + 2 ab c 3 + 2 ab + 3 c 2 + 6

Coäng caùc bñt treân veá theo veá ta ñöôïc

∑

4

a2 + 2 4(a2 + 2) ≥ ∑ a3 + 2bc + 3a2 + 6 a3 + 2bc Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

7

Tôùi ñaây,ta duøng bñt Cauchy-Schwarz,tieáp ñoù duøng bñt Mincopski vaø moät boå ñeà phuï 9 ≥ (a3 + b3 + c3 + 2ab + 2bc + 2ca) Ta coù

∑a cyc

4( a + 2) ≥ 3 + 2 bc + 3a 2 + 6

4

2

∑a

3

(∑

)

2

+ 2 ∑ ab + 18 + 3∑ a 2

cyc

 2 2  ( ∑ a ) + (3 2 ) cyc ≥4 9 + 18 + 9

a2 + 2

cyc

cyc

2

   4  ( ∑ a )2 + 2( ∑ a ) 2  ( ∑ a )2  cyc  ≥  cyc  = cyc 36 3

⇒ baøi toaùn ñöôïc chöùng minh coù leõ kó thuaät naøy coù hieäu löïc khoâng keùm vaø ta tieáp tuïc vôùi Baøi toaùn 6: (Nguyeãn Huyønh Khoâi Nguyeân) Với a,b,c>0.chứng minh 3

∑

4

 7( b + c )   8 a + 3( b + c )  ≥ 3  

Lôøi giaûi: Cuõng gioáng nhö baøi treân,ta ñem töøng phaân soá nghòc ñaûo laïi roài duøng bñt Cauchy Ta coù 8a + 3(b + c) 8a + 3(b + c) 3 3. +1 ≥ 44 ( ) 7(b + c) 7(b + c)

24 a + 9(b + c) + 7(b + c)  8a + 3(b + c)  ⇔ ≥ 44   7(b + c)  7(b + c)  ⇔4(

3

7( b + c ) 3 28( b + c ) ) ≥ 8a + 3(b + c ) 24 a + 16( b + c )

Hoaøn toaøn töông töï,ta coù caùc bñt 3

28(c + a)  7(c + a)  4  8b + 3(c + a)  ≥ 24b + 16(c + a)   3

28(a + b)  7( a + b)  4  8c + 3(a + b)  ≥ 24c + 16( a + b)   Coäng 3 bñt treân veá theo veá ta ñöôïc

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

8

3

28(b + c)  7(b + c)  ∑ 4  8a + 3(b + c)  ≥ ∑ 24a + 16(b + c) Khoâng maát tính toång quaùt,giaû söû a ≥ b ≥ c thì 28(a + b) ≥ 28(c + a) ≥ 28(b + c) 1 1 1 vaø ≥ ≥ 24c + 16(a + b) 24 b + 16(c + a) 24 a + 16(b + c) Theo baát ñaúng thöùc chebusep thì   28(b + c) 1 1 ≥ .(54(a + b + c))  ∑  ∑ 3 cyc 24 a + 16( b + c )  cyc 24a + 16(b + c) 

1 9   ≥ .54( a + b + c).  =3 3  54( a + b + c )  ⇒ Baøi toaùn ñöôïc chöùng minh Ñeå nhìn nhaän kó hôn veà kó thuaät nhoû naøy,ta tieáp tuïc vôùi baøi toaùn sau Baøi toaùn 7: (Nguyeãn Huyønh Khoâi Nguyeân) Vôùi a,b,c laø ñoä daøi 3 caïnh cuûa 1 tam giaùc.Chöùng minh

  ∑ cyc 

k

 3  ≥ k Với k = 0,8 2 3 a + 8 bc  a

Lôøi giaûi: (Nguyeãn Ñình Thi) Theo bñt Cauchy 10 soá thì ta coù:

 a 2 + 8 bc + 1 + 1 ≥ 1010   3a 

a 2 + 8 bc 3a

   

 8 a 2 + 8 bc + 6 a ⇔ ≥ 1010   3a 

a 2 + 8 bc 3a

   

8.

  a ⇔  2  a + 8bc 

0,8

≥

3a.10 8 a 2 + 8bc + 6 a

=

8

8

15a 4 a 2 + 8bc + 3a

0,8

  a 15a ⇒ ≥  2 4 a2 + 8bc + 3a  a + 8bc  Chöùng minh töông töï thì ta coù caùc bñt sau:

     

  b 2 + 8 ca 

0 ,8

  c 2 + 8ab 

0 ,8

b c

≥ ≥

15 b 4 b + 8 ca + 3 b 2

1 5c 4 c 2 + 8 ab + 3 c

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

9

Coäng 3 bñt treân veá theo veá ta ñöôïc

∑

  

=∑

≥ 15 ≥ 15

k

  ≥ a 2 + 8 bc  15a 2 a

∑

1 5a 4 a + 8b c + 3a 2

4 a2 (a 2 + 8bc) + 3a 2

( a + b + c )2 4∑

a ( a 3 + 8 abc ) + 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ( a + b + c )2

4 ( a + b + c )( a 3 + b 3 + c 3 + 24 abc ) + 3( a 2 + b 2 + c 2 )

vaäy ta caàn chöùng minh ( a + b + c )2 15 ≥3 4 (a + b + c)(a3 + b3 + c3 + 24 abc) + 3(a 2 + b2 + c 2 ) ⇔

( a + b + c )2 4 (a + b + c)(a3 + b3 + c 3 + 24 abc) + 3(a 2 + b2 + c 2 )

≥

1 5

⇔ 2(a 2 + b2 + c 2 ) + 10(ab + bc + ca) ≥ 4 (a + b + c)(a3 + b3 + c3 + 24abc) ⇔ (a + b + c )2 + 3(ab + bc + ca) ≥ 2 (a + b + c)(a3 + b3 + c3 + 24abc)

ðặt 2x = a − b + c

2y = a + b − c 2z = b − c + a

⇒ x > 0, y > 0, z > 0 ( do a,b,c laø ñoä daøi 3 caïnh cuûa tam giaùc)à

⇒ a = x + y, b = y + z, c = z + x Ta coù caùc ñaúng thöùc phuï sau: 1) (a + b + c)2 = 4( x + y + z )2 = 4 p2 (Với p = x + y + z ) 2) ab + bc + ca = ( x + y + z )2 + ( xy + yz + zx ) = p2 + q (Vôùi q = ab + bc + ca ) 3) abc = ( x + y)( y + z )( z + x ) = ( x + y + z )( xy + yz + zx ) − xyz = pq − r ( Vôùi r = xyz )

a3 + b3 + c3 + 24abc = (a + b + c)3 − 3(a + b)(b + c)(c + a) + 24abc = 8 p 3 − 3(a + b + c )(a b + b c + ca ) + 2 7 a b c

= 8 p3 − 3.2 p( p2 + q) + 27( pq − r ) = 2 p3 + 21pq − 27r Vì theá,bñt caàn chöùng minh ñöôïc vieát laïi nhö sau: (a + b + c)2 + 3(ab + bc + ca) ≥ 2 (a + b + c)(a3 + b3 + c3 + 24 abc)

⇔ (4 p2 + 3( p 2 + q)) ≥ 2 2 p(2 p3 + 21 pq − 27r ) ⇔ (7 p2 + 3q)2 ≥ 4.2 p(2 p3 + 21 pq − 27r )

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

10

⇔ 49 p 4 + 9q 2 + 42 p2 q ≥ 16 p 4 + 168 p 2 q − 216 pr ⇔ 33 p 4 + 9q 2 + 216r ≥ 126 p2 q (1)(Caàn chöùng minh) Maët khaùc,theo bñt Schur baäc 1 thì ta coù:

x3 +y3 +z3 +3xyz ≥x2y+xy2 +y2z+yz2 +z2x+xz2 ⇒ ( x + y + z )3 + 9 xyz ≥ 4( x + y + z )( xy + yz + zx ) ⇔ p3 + 9r ≥ 4 pq ⇔ 31,5 p 4 + 283,5 pr ≥ 126 p2 q (2) Töø (1) vaø (2) ta caàn chöùng minh 1,5 p 4 + 9q 2 ≥ 67,5 pr Maët khaùc ta laïi coù 1,5 p 4 ≥ 1,5.(3q )2 = 13,5q 2 vì thế cần chứng minh 13,5q2 + 9q2 ≥ 67,5 pr (3) ⇔ q 2 ≥ 3 pr ⇔ ( xy + yz + zx )2 ≥ 3 xyz( x + y + z ) ( Luoân ñuùng theo bñt Cauchy) Coäng bñt (2) vaø (3) veá theo veá ta ñöôïc ñpcm Vaäy baøi toaùn chöùng minh xong

3.Kó thuaät Cauchy troïng soá Ñeå tieän cho vieäc chöùng minh,ta vieát bñt hon-ñe döôùi daïng khaùc laø

a m + b m + c m ≥ 3( Với ( m > 1) (!!)

a+b+c m ) 3

Baøi toaùn 1: Vôùi a,b,c>0.Chöùng minh



7( b + c )



∑  8 a + 3( b + c ) 

3 4

≥3

a ,b ,c

Lôøi giaûi: Ta coù 1 veá nhö sau (7(b + c))k (8a +3(b +c))q ≤ ? ( Vôùi k,q laø caùc soá nguyeân döông) Vieäc cuûa chuùng ta laø phaûi tìm k , q ñeå sau khi duøng bñt Cauchy cho (k + q) soá thì veá phaûi cuûa mình coù daïng [ m ( a + b + c )]k + q Vieäc tìm k,q khoâng khoù khaên gì,ta chæ vieäc ñi tìm 1 caëp nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình 7 k + 3q = 8q => 7 k = 5q ÔÛ ñaây,chuùng ta laáy tröôøng hôïp nhoû nhaát cuûa k,q: k = 5, q = 7 Vì theá ta coù 12  35( b + c) + 7 ( 8a + 3( b + c) )   56( a + b + c)  ≤  =  12 12     12

( 7(b + c) ) ( 8a + 3(b + c) ) 5

7

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

11

⇔

1

(8 a + 3( b + c ) )

≥

7

( 7( b + c ) )

5

 14( a + b + c )    3  

7

12

12

 7( b + c )   21( b + c )  ⇔  ≥   8a + 3( b + c )   14( a + b + c )  7.3

 7( b + c )  28  21( b + c )  ⇔  ≥  14( a + b + c )   8 a + 3( b + c )    3

12.3 28

9

 7( b + c )  4  21( b + c )  7 ⇔  ≥  14( a + b + c )   8 a + 3( b + c )    Chöùng minh töông töï ta coù caùc bñt : 3

9

 7( c + a )  4  21( c + a )  7  8 b + 3( c + a )  ≥  14( a + b + c )      3

9

 7( a + b )  4  21( a + b )  7  8 c + 3( a + b )  ≥  14( a + b + c )      Coäng 3 bñt treân veá theo veá ta ñöôïc: 3

9

 7( b + c )  4  21( b + c )  7 ≥ ∑  8a + 3( b + c )  ∑  14( a + b + c )  (!!!) Ta caàn chöùng minh VP(!!!) ≥ 3 Nhöng theo bñt (!!),neáu ta cho

a =

2 1( b + c ) 2 1(c + a ) &b = 14 (a + b + c) 14(a + b + c)

c =

2 1( a + b ) 9 &ø m = > 1 14(a + b + c ) 7

thì ta ñöôïc

  V P (!!!) ≥ 3 .    

9

∑

21( b + c )  7 9   42(a + b + c)  7 14 ( a + b + c )  = 3.   =3 3  42(a + b + c)    

⇒ ñpcm Vaäy baøi toaùn ñöôïc chöùng minh Vaø chaéc chaén chuùng ta seõ thaáy ñöôïc hieäu quaû cuûa kó thuaät naøy qua baøi toaùn sau Baøi toaùn 2 (Nguyeãn Huyønh Khoâi Nguyeân)

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

12

Vôùi a,b,c laø ñoä daøi 3 caïnh cuûa 1 tam giaùc. Chöùng minh a b c 3 ( )k + ( )k + ( )k ≥ k Vôùi k = 0,9 3 a2 + 8bc b2 + 8ca c2 + 8ab Ñoái vôùi baøi naøy,khi nhìn vaøo coù leõ chuùng ta seõ nhôù tôùi 1 bñt töông töï ñöôïc ñaêng treân baùo THTT ñoù laø Cho a,b,c laø ñoä daøi 3 caïnh tam cuûa 1 tam giaùc.Chöùng minh bñt a b c 3 + + ≥ (*) 2 2 2 2 a + 3 bc b + 3 ca c + 3 ab thaät thuù vò laø ta xem baøi naøy nhö 1 boå ñeà ñeå chöùng minh baøi toaùn Lôøi giaûi: Vieäc tìm k,q hoaøn toaøn töông töï nhö baøi treân Ta coù

 45a 2 + 27( a 2 + 8 bc )  (9 a ) ( a + 8 bc ) ≤   32   1 (9 a 2 )5 ⇔ ≥ 32 ( a 2 + 8 b c )27  9(a 2 + 3bc )    4   2 5

2

54

 ⇔  

  a 2 + 8bc 

 ⇔  

 60  ≥   a2 + 8bc  

3a

 ≥ 

  a 2 + 3bc  2a

54

  + 8bc 

3a a2

0 ,9

 72( a 2 + 3 bc )  =  32  

32

64

64

 60  a 2 + 3bc 

3a

 ⇔  

32

27

2a

16

 ≥  

 15  + 3bc 

2a a2

Chöùng minh töông töï thì ta coù caùc bñt sau

  

  + 8ca 

3b b

2

0 ,9

 ≥  

  + 3ca 

2b b

2

16 15

16

0 ,9

    15 3c 2c ≥     2 2  c + 8ab   c + 3ab  Coäng 3 bñt treân veá theo veá ta ñöôïc:

∑ cyc

  

 3a  a2 + 8bc 

0 ,9

≥

∑ cyc

  

16

 15 2a  a 2 + 3bc 

Tôùi ñaây ta aùp duïng baát ñaúng thöùc (!!) vaø boå ñeà (*) ta ñöôïc Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

13

∑ cyc

  

  a 2 + 3bc  2a

16 15

  ≥ 3.     

  a 2 + 3bc    3   



2a

∑ cy c



16 15 16

 2 .3  1 5 ≥ 3.    3 .2 

⇒ ñpcm Vaäy baøi toaùn ñöôïc chöùng minh

4.Kó thuaät nhaân löôïng trung gian Chuùng ta seõ baét ñaàu vôùi kó thuaät naøy qua baøi choïn ñoäi tuyeån Trung Quoác Baøi toaùn 1: Vôùi x , y, z > 0 vaø x+y+z=1. Chöùng minh

xy xy + yz

yz

+

yz + zx

+

zx zx + xy

≤

2 2

Ta coù

xy xy + yz

x2y = x+z

=

yz yz + zx

=

y+ z . 2

x+y 2x2 y . 2 ( x + z )( x + y ) 2 y2z ( y + z )( y + x )

Bieán ñoåi theá naøy vì ñeå sau khi duøng bñt Cauchy-Schwarz thì nhöõng löông Cauchyx+y y+z z+x Shwarz thì nhöõng löôïng coäng nhaäp laøi seõ trieät tieâu. , , 2 2 2 Ta coù lôøi giaûi baøi toaùn:

 xy +  xy + yz 

 +  yz + zx zx + xy  yz

2

zx

 x+y  2x2 y y+z 2 y2 z z+y 2z2 x = . + . + .    2 ( x + z )( x + y ) 2 ( y + z )( y + x ) 2 ( z + x )( z + y )  

2

 2x2 y 2 y2 z 2z2 x  x + y y + z z + x  ≤ + + + +    2 2   ( x + z )( x + y ) ( y + z )( y + x ) ( z + x )( z + y )   2 2x2 y 2 y2 z 2z2 x + + ( x + z )( x + y) ( y + z )( y + x ) ( z + x )( z + y) Ta caàn chöùng minh bñt sau:

=

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

14

2x2 y 2 y2 z 2 z2 x 1 + + ≤ ( x + z )( x + y) ( y + z )( y + x ) ( z + x )( z + y) 2 ⇔ 4(∑ x 2 y 2 + xyz( x + y + z )) ≤ ( x + y + z )(∑ x 2 y + ∑ xy 2 + 2 xyz ) cyc

cyc

cyc

⇔ ∑ x y + ∑ xy ≥ 2∑ x y (Deã daøng chöùng minh nhôø bñt Cauchy) 3

3

cyc

2

cyc

2

cyc

Vaäy baøi toaùn ñöôïc chöùng minh Vaø ta nhìn nhaän kó hôn veà kó thuaät naøy qua baøi toaùn sau Baøi toaùn 2:( Olimpic Trung Quoác) Cho a , b , c > 0 .Chöùng minh a b c 3 + ≤ (1) 2 2 2 2 2 2 2 a +b b +c c +a Lôøi giaûi: a2 b2 c2 3 + + ≤ 2 2 2 2 2 2 a +b b +c c +a 2 2 2 2 Ñaët x = a , y = b , z = c .Bñt caàn chöùng minh

(1) ⇔

⇔

y z 3 + ≤ y+z z+x 2

x + x+y

ÔÛ baøi naøy khoâng cho ñieàu kieän gì theâm ngoaøi caùc bieán ñeàu döông neân ta phaûi tìm löôïng trung gian thích hôïp 2

2

 x y z   x+z 2x( x + y + z)  . + +   =  ∑  y+z z + x   cyc 2( x + y + z) ( x + y)(x + z)   x+y 2( x + y + z )(∑ x ( y + z )) cyc ≤ 1. ( x + y)( y + z )( z + x ) Vì theá,caàn chöùng minh bñt 4( x + y + z )(2∑ xy) ≤ 9( x + y)( y + z)( z + x ) ⇔ ∑ 8 x 2 y + ∑ 8 xy 2 + 24 xyz ≤∑ 9 x 2 y + ∑ 9 xy 2 + 18 xyz cyc

cyc

cyc

cyc

⇔ ∑ x y + ∑ xy ≥ 6 xyz (Ñuùng theo bñt Cauchy 6 soá) 2

cyc

2

cyc

Vaäy baøi toaùn chöùng minh xong

Baøi toaùn 3(Mathlinks): Cho a,b,c>0.Chöùng minh

∑ cyc

a a2 + 2bc

≤

a+b+c

ab + bc + ca

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

15

Lôøi giaûi: Ta coù 2

2

      a a a.a ≤ 1.  ∑ 2 ∑  = ∑   2  cyc (a + b + c)(a2 + 2bc)   cyc (a + b + c)(a + 2 bc)   cyc a + 2 bc      Vì theá ,caàn chöùn minh bñt a+b+c a b c ≥ 2 + 2 + 2 ab + bc + ca a + 2 bc c + 2ca c + 2ab a a   ⇔  ∑ cyc − 2 ≥0 ab + bc + ca a + 2 bc  

Khoâng maát tính toång quaùt,giaû söû a ≥ b ≥ c Caàn chöùng minh a(a − b)(a − c) b(b − c)(b − a) c(c − a)(c − b) + ≥ 0 do ≥0 2 2 (ab + bc + ca)(a + 2bc) (ab + bc + ca)(b + 2ca) (ab + bc + ca)(c 2 + 2 ab)

(a − b)2 (2ca2 + 2cb2 + 3abc − 2c 2 a − 2c 2 b) ≥ 0 (Ñuùng) (a2 + 2 bc)(b2 + 2ca) Vaäy baøi toaùn ñöôïc chöùng minh ⇔

Vaø ta seõ thaáy ñöôïc hieäu quaû cuûa kó thuaät naøy qua baøi toaùn sau Baøi toaùn 4(Voõ Quoác Baù Caån) Cho a,b,c>0.Chöùng minh 1 1 1   1 ≤ 2 + + ∑  2 a+b b+c c+a cyc a + bc Lôøi giaûi:(Voõ Quoác Baù Caån) Söû duïng bñt Cauchy-Schwarz ta ñöôïc: 2

  ( a + b )( a + c )  1 ≤ ∑  .  2  a + bc ( a + b )( a + c ) a 2 + bc   cyc  ( a + b )( a + c )   1   ≤  ∑ cyc ∑   2 cyc a + bc ( a + b )( a + c )      2( a + b + c ) a( b + c ) = + 3 ∑ 2 ( a + b )( b + c )( c + a )  cyc a + bc 

 ∑  cyc

1

    

2

Vì theá caàn chöùng minh

 a( b + c )   2( a + b + c ) 1  + 3  ≤  ∑ cyc ∑ 2 ( a + b )( b + c )(c + a )  cyc a + bc a + b   

2

 a( b + c )   ∑ ( a + b )( a + c )  2( a + b + c ) ⇔ + 3  ≤   ∑ 2 ( a + b )( b + c )(c + a )  cyc a + bc   ( a + b )( b + c )(c + a )  Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

2

16

⇔

(∑ a

2

+ 3∑ ab

)

2

( a + b )( b + c )( c + a )( a + b + c )

(∑ a

−∑

2

cyc

a( b + c ) −3≥ 0 a 2 + bc

+ 3∑ ab

)

2

a( b + c )   ⇔ ∑ 1 − 2 + −6 ≥ 0 a + bc  ( a + b )( b + c )(c + a )( a + b + c ) cyc 

⇔

  ( a − b )( a − c ) ( a 2 − b 2 )( a 2 − c 2 ) +  ≥0 ∑ ∑ 2 a + bc cyc cyc  ( a + b )( b + c )( c + a )( a + b + c ) 

⇔

∑

 ( a − b )( a − c )  1 1  . 2 +  ≥ 0 2 a + bc cyc   a + bc ( b + c )( a + b + c )  

Khoâng maát tính toång quaùt,gia söû a ≥ b ≥ c a ⇒ a − c ≥ ( b − c) ≥ 0 b  (a − b)(a − c)  1 1  Ñeå chöùng minh ∑  . 2 +  ≥ 0 2 a + bc cyc   a + bc (b + c)(a + b + c)   Hay ( a − b)( b − c )  

1 1 1   1  + a 2  − b  b 2 + ca + ( c + a )( a + b + c )   ≥ 0 a bc ( b c )( a b c ) + + + +     

b

c( a − b )2 ( a + b)(b − c )(a 2 + b 2 − ab + ac + bc ) ≥ 0 (Ñuùng) b( a 2 + bc)(b 2 + ca )(a + c )(b + c)(a + b + c ) Baát ñaúng thöùc ñöôïc chöùng minh =

Baøi toaùn5(Jack Garfunkel) Cho a, b, c ≥ 0 .Chöùng minh a a+b

+

b b+c

+

c c+a

≤

5 a+b+c 4

Lôøi giaûi: Vieäc ñaàu tieàn cuûa chuùng ta laø döï ñoaùn daáu baèng ÔÛ baøi naøy,may maén laø ñaúng thöùc xaûy ra taïi a:b:c=3:1:0 Vì theá,caàn phaûi choïn löôïng trung gian thích hôïp 2

2

  a   a  ∑  =  ∑ a(ma + nb + kc). (a + b)(ma + nb + kc)   cyc a + b   cyc   a ≤ m(a2 + b 2 + c 2 ) + (n + k )(ab + bc + ca)  ∑   cyc (a + b)(ma + nb + kc)  Vaø ta phaûi tìm m,n,k thích hôïp ñeå ñaúng thöùc xaûy ra. Muïc ñích cuûa ta sau khi duøng bñt Cauchy-Schwarz thì ( m(a2 + b2 + c2 ) + (n + k)(ab + bc + ca)) trieät tieâu hay goïn laïi. ÔÛ ñaây ta trieät tieâu ko

(

)

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

17

ñöôïc neân ñöa veà daïng bình phöông 1 toång,vì theá,phöông trình ñaàu tieân cuûa m,n,k laø n + k = 2m Do ñaúng thöùc xaûy ra khi a:b:c=3:1:0 Ta muoán tìm ñaúng thöùc lieân quan tôùi m,n,k thì ta chæ vieäc thay a=3,b=1,c=0 vaøo   25 a m ( a + b + c )2  ∑  = (a + b + c)  cyc ( a + b)( ma + nb + kc)  16

(

)

1  25  3 ⇔ (3 + 1)m  + =  3m + n m + 3k  16 3 1  25  ⇔ 4m  + =  4(3m + n) m + 3k  16 3(n + k ) 4(n + k ) 25 + = 3(n + k ) + 2 n n + 7 k 16 Tôùi ñaây,keát hôïp vôùi n+k=2m,ta döï ñoaùn ñöôïc 1 boä soá m,n,k laø m=5,n=1,k=9 Vì theá,ta coù lôøi giaûi ⇔

2

  a   a  ∑  =  ∑ a(5a + b + 9c). (a + b)(5a + b + 9c)   cyc a + b   cyc a   = 5(a + b + c)2  ∑ cyc (a + b)(5a + b + 9c)   Ta caàn chöùng minh bñt sau

2

a   5 (a + b + c)  ∑ cyc ≤ (a + b)(5a + b + 9c)  16  Sau khi chuyeån veá,quy ñoàng ta ñöôïc 5 a   − ( a + b + c )  ∑ cyc 16 ( a + b )(5 a + b + 9 c )  

∑ ab(a + b)(a + 9b)(a − 3b) =

2

cyc

16(a + b)(b + c )(c + a)(5a + b + 9c )(5b + c + 9a)(5c + a + 9b ) 835∑ a3 bc 2 + 232∑ a 4 bc + 1230a2 b 2 c 2

+

cyc

cyc

16(a + b)( b + c)(c + a)(5a + b + 9c)(5b + c + 9a)(5c + a + 9b) Bñt treân luoân ñuùng Baøi toaùn ñöôïc chöùng minh

≥0

Ta seõ keát thuùc kó thuaät naøy qua baøi toaùn sau Baøi toaùn 6(Phan Thaønh Nam) 3 Cho a, b, c ≥ 0 & a + b + c = 1 .Vôùi k=1Chöùng minh 2

a + k(b − c)2 + b + k(c − a)2 + c + k(a − b)2 ≤ 3 Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

18

Lời giải:

1 Baøi naøy,ñaúng thöùc xaûy ra taïi 2 ñieåm a = b = c = ,a=1,b=c=0 vaø hoaùn vò 3 Vì theá,ta coù lôøi giaûi 2

2   a + k ( b − c )2  2  a k b c a x + ( − ) ≤ + .   ∑  ∑  a x + cyc cyc       a ( b − c )2  a + k ( b − c )2  = (1 + 3 x ) + k ≤ (a + b + c + 3x )  ∑ ∑  ∑  a+x  a+x cyc  cyc a + x  cyc 

Ñaúng thöùc xaû ra khi a=b=c thì khoâng noùi tôùi vì bñt luoân ñuùng vôùi moïi x>0 neân khoâng xaùc ñònh ñöôïc x.Ta seõ tìm x trong tröôøng hôïp a=1,b=c=0,khi ñoù  a ( b − c )2  (1 + 3 x )  ∑ + k∑ =3 cyc a + x   cyc a + x  1 2 − 3  1 1  ⇔ (1 + 3 x )  +  x + x   = 3 1+ x 2     1 (2 − 3)  ⇔ (1 + 3 x )  +  = 3 1+ x x  

(

)

⇔ (1 + 3 x ) x + (1 + x )(2 − 3) = 3x (1 + x ) ⇔ 3 x 2 (2 − 3) + x (6 − 4 3) + (2 − 3) = 0 1 ⇒x= 3 Vì vaäy,ta coù lôøi giaûi Söû duïng bñt Cauchy-Schwarz ta ñöôïc

(

 2   1 a + k ( b − c )2 2   a + k ( b − c ) = a + . ∑  ∑ 1  cyc 3  cyc  a+  3    2  2− 3 a (b − c)  = ( 3 + 1)  ∑ +   2  ∑ 1  cyc a + 1 cyc    a+   3 3   Vì vậy,ta cần chứng minh BðT sau   2     a 2− 3 (b − c) 3 +1  ∑ +  ≤ 3 (2)  ∑   cyc a + 1  2  cyc a + 1    3 3 

     

2

)

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

19

1 q2 Ñaët q=ab+bc+ca => q ≤ , r = abc =>0 ≤ r ≤ 3 3

(

)

(

)

(2) ⇔ 9 2 + 3 r − q 6 q + 3 ≤ 0 Ta coù:

(

)

(

) (

)

(

9 2 + 3 r − q 6q + 3 ≤ 9 2 + 3 q2 − q 6q + 3

)

= q(3q − 1) 3 ≤ 0 Vaäy baøi toaùn ñöôïc chöùng minh

MOÄT SOÁ VAÁN ÑEÀ NHOÛ VEÀ BAÁT ÑAÚNG THÖÙC CHEYBUSEP Bài toán 1(Old and New Inequalities) Cho x + y + z = 1 và 0 ≤ x, y, z ≤ 1 . CMR: 1 1 1 27 + + ≤ 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 10 Lời giải:Không mất tính tổng quát giả sử: x ≥ y ≥ z BDT tương ñương: 1   9  3x + 1   3x − 1  ∑  10 − 1 + x 2  ≥ 0 ⇔ ∑  1 + x 2   10  ≥ 0 Nhìn vào BDT bên trên, các bạn cũng có thể thấy ngay dạng quen thuộc của chebysev. Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện bước sắp xếp thứ tự các biến: 3x + 1 3y + 1 3z + 1 Ta có: 3x − 1 ≥ 3y − 1 ≥ 3z − 1 và: C1 = , C2 = , C3 = 2 2 1+ x 1+ y 1 + z2 Thật vậy: 2 2 3 x + 1 3y + 1 (3 x + 1)(1 + y ) − ( 3 y + 1) 1 + x − = 1 + x 2 1 + y2 1 + x 2 1 + y2

(

=

)(

)

(

)

( x − y)(3 − 3 xy − x − y) ( x − y)(2 x + 2 y + 3z − 3 xy) = 1 + x 2 1 + y2 1 + x 2 1 + y2

(

)(

)

(

)(

)

Mà x − y ≥ 0 (cách sắp thứ tự ban ñầu) và: 2 x + 2 y + 3z > x + x + y ≥ 3 3 x 2 y ≥ 3 xy (do x,y ≤ 1 )

Vậy:

3x + 1 3 y + 1 ≥ 1 + x 2 1 + y2 Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

20

Tương tự: 3x + 1 3y + 1 3z + 1 C1 = ≥ C2 = ≥ C3 = 2 2 1+ x 1+ y 1 + z2 ðến ñây thì ta có thể sử dụng BDT chebysev: 1 C1 x + C2 y + C3 z ≥ ( x + y + z )( C1 + C2 + C3 ) 3 Vậy ta có ñiều phải chứng minh. Bài toán 2:(Tatami) Cho x1 , x2 , x3 ,....., xn . là các số thực không âm, max ( xi + x j ) ≤ n-1 và

∑ x + ∑(x ) i

j

2

≤ 2 n . CMR:

1

∑ n +1− x

≤1 i

Lời giải: Phân tích bài toán về dạng chebysev:   1  1 1 ∑  n − n + 1 − x  ≥ 0 ⇔ ∑ (1 − xi )( xi + 2 )  ( x + 2 )( n + 1 − x )  ≥ 0  i i  i    Sắp thứ tự các biến: x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ ..... ≥ xn Áp dụng BDT chebysev, ta có:  2  1 VT ≥ 2n − ∑ xi − ∑ ( x j )  ∑ ≥0  ( x + 2 )( n + 1 − x )  i i   1 ≥0) (Do ñiều kiện và ∑ ( xi + 2 )( n + 1 − xi ) Ta có DPCM. Bài toán 3: (posted by manilo-mathlinks.ro)

(

)

Cho a, b, c > 0 . CMR: a 2 + 2 bc ∑ b2 + c 2 ≥ 3 Lời giải: BDT về dạng chebysev: a+b−c b+c−a c+a−b ( a + c − b )  2 2  + ( b + c − a )  2 2  + ( c + b − a )  2 2  ≥ 0  b +c   c +a   a +b  Sắp thứ tự các biến: giả sử: a ≥ b ≥ c Áp dụng BDT chebysev, có ngay ñiều phải chứng minh! Ngoài các cách phân tích và áp dụng trực tiếp BDT chebyshev như trên, lắm lúc, ta phải biến ñổi ñể các lượng C1 , C2 , C3 hoặc x,y,z phù hợp hơn. Việc ñó ñược thực hiện bằng cách nhân và chia một lượng phù hợp. Sau ñây là 1 số ví dụ Bài toán 4 (Phạm Kim Hùng):

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

21

1 1 1 3 + + ≤ 9 − ab 9 − bc 9 − ca 8 Lời giải : (Phạm Kim Hùng) 1 − ab BðT về dạng Chebyshev: ∑ ≥0 9 − ab ðặt x = bc, y = ca, z = ab

Cho a + b + c = 3 . CMR:

BðT tương ñương: ∑

(1 − x )( 6 + x ) ≥ 0 ( 6 + x )( 9 − x )

Sắp thứ tự các biến: Gỉa sử: x ≥ y ≥ z ta có:

(1 − x )( 6 + x ) ≤ (1 − y )( 6 + y ) ≤ (1 − z )( 6 + z )

và

1

1

≥

≥

1

( 9 − x )( 6 + x ) ( 9 − y )( 6 + y ) ( 9 − z )( 6 + z )

Theo BðT Chebyshev, ta có: 1   VT ≥ ( ∑ (1 − x )(6 + x ) )  ∑   (9 − x )(6 + x )  Ta cần chứng minh

∑ (1 − x )(6 + x ) ≥ 0 ⇔ 18 ≥ 5( x + y + z) + x

2

+ y2 + z2

⇔ 18 ≥ 5(ab + bc + ca) + (ab)2 + (cb)2 + (ac)2 (*) ⇔ 18 + 6 abc ≥ 5(ab + bc + ca) + (ab)2 + (cb)2 + (ac)2 Từ bất ñẳng thức (a + b − c)(a − b + c )(−a + b + c ) ≤ abc và ñiều kiện a + b + c = 3 => (3 − 2 a)(3 − 2 b)(3 − 2c) ≤ abc ⇔ 9 + 3abc ≥ 4(ab + bc + ca) ⇔ 18 + 6 abc ≥ 8(ab + bc + ca) (**) Thay vào (**) vào (*) ta cần chứng minh ab + bc + ca ≤ 3 (luôn ñúng) Bài toán 5: Cho a, b, c > 0 CMR: a 3(a + b + c) ∑ a2 + bc ≤ 2(ab + bc + ca) BDT tương ñương với

 a(ab + bc + ca)  a+b+c ⇔ ∑ − a ≤ 2 a + bc 2    a 2 ( b + c − a)  a + b + c ⇔ ∑ ≤ 2 2  a + bc  Hay  2 a2  ⇔ ∑ 2 − 1 (b + c − a) ≤ 0  a + bc 

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

22

 bc − a2  ⇔ ∑ 2 (b + c − a) ≥ 0  a + bc  Hay   bc − a 2  ∑  a2 + bc ( b + c )  [(b + c − a)(b + c)] ≥ 0   Áp dụng BDT chebyshev, ta có DPCM

(

(

)

)

Hai ví dụ trên thật ñặc sắc. Nếu biết áp dụng ñúng lúc thì kĩ thuật này sẽ hỗ trợ rất nhiều cho chúng ta. Mặc dù có trong tay các công cụ phân tích mạnh mẽ như vậy, ta vẫn dễ dàng nhận ra rằng với các bai toán hoán vị thì chỉ ñơn thuần áp dụng các dạng phân tích sẽ chẳng thể làm ñược gì. Bởi lẽ vấn ñề mấu chốt trong việc áp dụng BDT chebyshev là sắp thứ tự các ñại lượng. Nếu như sắp ñược thứ tự các ñại lượng rồi mà chúng lại ko có dạng C1 x + C2 y + C3 z thì sao? ðể khỏa lấp chỗ trống ñó, chúng ta củng thử xem một ý tưởng ñơn giản sau: I.Các tiêu chuẩn bổ sung của BDT chebysev: Ta sẽ xét tất cả các mối quan hệ của các bộ hoán vị, cùng với DK của chúng, giúp cho việc sử dụng dễ dàng hơn. Xét các bộ hoán vị sau: C1 x + C2 y + C3 z (1)

C1 x + C2 y + C3 z ( 2 ) C1 x + C2 y + C3 z ( 3)

C1 x + C2 y + C3 z ( 4 ) C1 x + C2 y + C3 z ( 5)

C1 x + C2 y + C3 z ( 6 ) ( x + y + z )(a + b + c) 3 Lẽ dĩ nhiên là ta không thể so sánh trực tiếp các bộ hoán vị ở trên với S mà phải thông qua một số ñiều kiện. Nhưng thật thú vị vì các ñiều kiện ấy không hề làm cản trở ta trong việc chứng minh, nếu có chỉ là một chút phức tạp hóa trong cách trình bày bài toán. ðể minh chứng cho ñiều ñó, tôi sẽ trình bày ngay các ñiều kiện ñó ra ñây:

Và so sánh chúng với: S =

Cho 2 dãy tăng: C1 ≥ C2 ≥ C3 và x ≥ y ≥ z , ta có ñược:

1/ C1 x + C2 y + C3 z ≥ S∀a,b,c,x,y,z

2/ C1 x + C2 y + C3 z ≥ S ⇔ [Cx 1++zC≥32≥y2 C2 Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

23

3/ C1 x + C2 y + C3 z ≥ S ⇔ [22 Cy≥2 ≥x C+1z+ C3 4/ C1 x + C2 y + C3 z ≤ S ⇔ [22 Cy≥2 ≥x C+1z+C3 5/ C1 x + C2 y + C3 z ≤ S ⇔ [C2 1y+≥Cx 3+≥z2 C2 6/ C1 x + C2 y + C3 z ≤ S∀C1 , C2 , C3 , x, y, z Nhìn qua ñiều kiện cho phép các bổ ñề 2,3,4,5hoạt ñộng, ta thấy ngay rằng chỉ cần một trong 2ñiều kiện ñúng là bài toán ñược thỏa mãn. Vậy ta ñã xử lí xong một vấn ñề khá quan trọng trong các ñiểm yếu của BDT chebyshev: Với mọi bài toán sau khi ñã phân tích và sắp thứ tự các biểu thức: C1,C2,C3 và x , y, z thì ta hoàn toàn có thể áp dụng cheby ñể xử lí (với lưu ý là có nhiều hơn một cách phân tích về dạng chuẩn tắc) Vấn ñề cuối cùng của BDT chebyshev: sắp thứ tự các biến. ðây là một vấn ñề khó và hóc búa nhất khi muốn áp dụng BDT cheby. Mình xin nêu ra một số kĩ thuật nữa, trong tầm hạn chế ñể giải quyết vấn ñề này. 1/ Kĩ thuật chia trường hợp giao miền: Ý tưởng của kĩ thuật này có thể phát biểu ñơn giản như sau: Nhiều khi ta chia bài toán thành hai hoặc nhiều trường hợp nhỏ ñể xử lí, những trường hợp ñó không nhất thiết phải nằm trên hai miền khác nhau của bài toán mà có thể trùng lên nhau, nhưng phải ñảm bảo là hội của hai trường hợp ñó bao quát hết toàn bộ bài toán. Ví dụ: Thay vì chia bài toán thành hai trường hợp là: a+c≥2bvà 2b≥a+cthì ta có thể chia thành ac ≥ b2 và 2b ≥ a +c . Cách chia như trên vẫn ñúng bởi hợp của hai trường hợp là toàn bộ tập xác ñịnh của a,b,c(tức với mọi a,b,c) nhưng nó còn cung cấp cho ta thêm dữ kiện bởi ñiều kiện ac ≥ b2 mạnh hơn ñiều kiện a + c ≥ 2b Trước khi ñến với các ví dụ của PP, ta hãy xem xét một làm mạnh của BDT chebyshev và suy ngẫm về nó nào: BDT chebyshev làm mạnh: Cho hai dãy: a+b a+b+c x+y x+y+z và x ≥ thì: 3(ax + by + cz ) ≥ (a + b + c )( x + y + z ) a≥ ≥ ≥ 2 3 2 3 Chứng minh: Tương tự BDT chebyshev cổ ñiển. (Với bài toán tổng quát ñã ñược giải quyết bằng tổng Abel,xin phép không nêu ra ở ñây) Sau ñây là các ví dụ kinh ñiển cho PP này: Bài toán 6: (Old and New Inequalities) Cho a, b, c > 0 . CMR: a c+a ∑ b ≥ ∑  c + b  Lời giải: Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

24

Phân tích về dạng chebysev: c ∑ ( a − b) c + b ≥ 0 Sắp thứ tự các biến: Xét 2TH: Th1: a > b > c . Trong trường hợp này ta xét 2 trường hợp con: 1. ac ≥ b 2 hay a+c ≥ 2b Ta có a c b x = a − b ≥ y = b − c ≥ z = c − a và C1 = ≥ C2 = ≥ C3 = a+c c+b b+a BðT có dạng: C1 x + C2 y + C3 z ≥ 0 Áp dụng tiêu chuẩn 3/ của phần một, ta có: ( x + y + z) C1 x + C2 y + C3 z ≥ ( C1 + C2 + C3 ) = 0(11 ) 3 v ới: 2 y ≥ x + z ⇔ 2 ( b − c ) ≥ c − b (ñ úng) V ậy (11 ) ñ úng. 2.a+c ≤ 2b hay ac ≤ b 2 Ta có x = b − c ≥ y = a − b ≥ z = c − a và C1 =

a b c ≥ C2 = ≥ C3 = a+c b+a c+b

BðT có dạng: C1 x + C2 y + C3 z ≥ 0 Áp dụng tiêu chuẩn 2/ở phần một, ta có: ( x + y + z) C1 x + C2 y + C3 z ≥ ( C1 + C2 + C3 ) = 0(12 ) 3 với: .( ñúng) Vậy (12 ) ñúng. Th2: . b ≥ a ≥ c Xét các trường hợp con như trên, ta cũng dễ dàng có DPCM. Bài toán 7: (Bùi Việt Anh-www.diendantoanhoc.net) Với a,b,c>0 và 2b ≥ a + c .Chứng minh  a 2 + b2 + c 2  a+b b+c c+a + + ≥ 6  c a b  ab + bc + ca  Lời giải: Bất ñẳng thức về dạng chebysev:  c(a + b) − 2 ab   a(b + c) − 2 bc   b(c + a) − 2ca  ( a − b )2  + ( b − c )2  + (c − a ) 2     ≥ 0 (1) ab bc ca       Sắp thứ tự các biến: giả sử: a ≥ b ≥ c x = ( a − c )2 , y = ( b − c )2 , z = ( a − b )2 Dễ có:

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

25

a(b + c) − 2 bc b(c + a) − 2ca c(a + b) − 2ab , C2 = , C3 = bc ca ab Vậy BðT cần chứng minh có dạng: C1 y + C2 x + C3 z ≥ 0 (2) Ta sẽ chứng minh BðT sau: C1 y + C2 x + C3 z ≥ ( x + y + z )(C1 + C2 + C3 ) (3) C1 =

Theo tiêu chuẩn 3 phần một, ta có BðT trên ñúng khi và chỉ khi: 2y ≥ x + z 2 ( b(a + c ) − 2 ac )

a(b + c) − 2 bc c(a + b) − 2ab − ≥0 ac bc ab ( 2b − a − c )( ab + bc + ca ) ≥ 0 ⇔ abc BðT trên ñúng theo ñk ñề bài. Vậy (3) ñúng. Ta tiếp tục chứng minh rằng: ( x + y + z )(C1 + C2 + C3 ) ≥ 0 Thật vậy: x + y + z ≥ 0 (do x,y,z ≥ 0 )và ⇔

−

∑ a b + ∑ ab 2

C1 + C2 + C3 =

2

− 6 abc

abc

≥ 0 (Theo BðT AM-GM)

Từ trên ta có ñpcm Sau ñây là một số bài tập ñể nhìn nhận kĩ hơn kỉ thuật này Bài tập1: (Phạm Kim Hùng) Cho a,b,c >0. CMR: a4 b4 c4 a+b+c + + ≥ 3 3 3 3 3 3 a +b b +c c +a 2 Bài tập 2: (Phạm Kim Hùng) Với a,b,c>0.chứng minh a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2a + b 2b + c 2c + a 3

Bài tập 3 (Mathlinks) Cho a,b,c>0 và abc=1. Chứng minh

9a 2 + 4 + 9b2 + 4 + 9c 2 + 4 ≤ 13 ( a + b + c ) Bài tập 4 1 1 1 1 Cho a,b,c,d>0 và a + b + c + d = + + + .Chứng minh a b c d

a2 + 3 + b2 + 3 + c 2 + 3 + d 2 + 3 ≤ 2(a + b + c + d )

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

26

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC KHOÂNG THUAÀN NHAÁT Vôùi caùc baát ñaúng thöùc khoâng thuaàn nhaát coù ñieàu kieän caùc bieán thì coù theå chuyeån veà daïng thuaàn nhaát ñeå chöùng minh.Trong baøi vieát nhoû naøy,ta chæ xeùt ôû caùc baát ñaúng thöùc khoâng thuaàn nhaát vaø cuõng khoâng coù ñieàu kieän Baøi toaùn 1 Cho a,b,c>0.chöùng minh a2 + b 2 + c 2 + 2 abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca) Lôøi giaûi: Nhaân 2 veá BÑT vôùi a+b+c ta coù BÑT  laø ∑ a3 + (a + b + c)(2abc + 1) ≥ 6abc + ∑ a2 b + ∑ ab2 cyc

cyc

cyc

Nhöng ta laïi coù BÑT Schur baäc 1 sau khi khai trieån laø ∑ a3 + 3abc ≥ ∑ a2 b + ∑ ab2 cyc

cyc

cyc

Vaø (a + b + c)(2 abc + 1) ≥ 3 3 a 2 b 2 c 2 .3 3 abc = 9abc Coäng 2 BÑT treân veá theo veá ta coù ñpcm Baøi toaùn 2(Nguyeãn Ñình Thi) Ñaây laø 1 keát quaû maïnh hôn cuûa baøi APMO 2004 Cho a,b,c>0.Chöùng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c 2 + 2) ≥ 3(a + b + c)2 + (abc − 1)2 (*) Lôøi giaûi: Sau khi khai trieån,ruùt gon ,BÑT(*)  ∑ a2 + 2∑ a2 b2 + 2abc + 7 ≥ 6(ab + bc + ca) cyc

cyc

Theo baøi toaùn 1 ta coù a2 + b 2 + c 2 + 2 abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca) Maët khaùc 2 a2 b2 + 2 + 2c 2 b2 + 2 + 2 a2 c 2 + 2 ≥ 4(ab + bc + ca) Coäng 2 BÑT treân veá theo veá ta coù ñpcm Baøi toaùn 3 Cho a,b,c>0.Chöùng minh 1 1 1 9 a) + + ≥ a b c 2 + abc 1 1 1 9 b) + + ≥ ab bc ca 1 + 2 abc Lôøi giaûi: 1 1 1 3 a) Ta coù + + ≥ 3 a b c abc 9 9 9 3 maø = ≤ 3 =3 2 + abc 1 + 1 + abc 3 abc abc  Ñpcm Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

27

b) hoaøn toaøn töông töï Baøi toaùn 4 ( Traàn Nam Duõng) Cho a, b, c ≥ 0 .Chöùng minh 2(∑ a 2 ) + abc + 8 ≥ 5(a + b + c) cyc

Lời giải: Baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ⇔ 12∑ a2 + 6 abc + 48 ≥ 30(a + b + c ) cyc

Ta coù 5.6(a + b + c) ≤ 5((a + b + c)2 + 9) Do ñoù caàn chöùng minh 12(a2 + b 2 + c 2 ) + 6 abc + 48 ≥ 5(a2 + b 2 + c 2 ) + 10(ab + bc + ca) + 45 <=> 7(a 2 + b2 + c 2 ) + 6abc + 3 ≥ 10(ab + bc + ca) Söû duïng baøi 1 cho ta 3(a2 + b 2 + c 2 ) + 6 abc + 3 ≥ 6(ab + bc + ca) Vaø 4(a 2 + b2 + c 2 ) ≥ 4(ab + bc + ca) Coäng caùc baát ñaúng thöùc treân veá theo veá ta coù ñpcm Baøi toaùn 5 (Leâ Trung Kieân). Cho a, b, c ≥ 0 .Chöùng minh a3 + b3 + c3 + 4(a + b + c) + 9abc ≥ 8(ab + bc + ca) Lôøi giaûi: Tröôùc tieân ta chöùng minh BÑt sau 4(ab + bc + ca)2 a3 + b3 + c 3 + 9abc ≥ a+b+c 4 <=> ∑ a + abc(a + b + c) + ∑ a3b + ∑ ab3 ≥ 4∑ a 2 b2 (**) cyc

cyc

cyc

cyc

Töø BÑT Schur baäc 2 ta coù: ∑ a 4 + abc(a + b + c) ≥ ∑ a3b + ∑ ab3 cyc

cyc

cyc

⇒ VT (**) ≥ ∑ a + abc(a + b + c ) + ∑ a3 b + ∑ ab3 ≥ 4∑ a2 b2 4

cyc

cyc

cyc

cyc

  ≥ 2  ∑ a 3 b + ∑ b3 a  ≥ 4 ∑ a 2 b 2 cyc cyc  cyc  Vaäy (**) ñuùng Do ñoù ù a3 + b3 + c3 + 9abc + 4(a + b + c) ≥ 4(a + b + c)

4(ab + bc + ca)2 ≥ 8(ab + bc + ca) a+b+c

Baøi toaùn 6.Cho a,b,c>0.Chöùng minh Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

28

a9 2 + ≥ ∑ a5 + 2 ∑ abc cyc cyc bc Lôøi giaûi:

 a9  + abc  ≥ 2 ∑ a 5 Ta coù ∑  cyc  bc cyc  a9 ⇒ ∑ ≥ 2∑ a5 − 3abc ≥ ∑ a5 + 3 3 a5 b5c 5 − 3abc cyc bc cyc cyc Do ñoù,ta chæ caàn chöùng minh 3 3 a 5 b 5 c 5 − 3abc +

2 ≥ 2 (1) abc

Ñaët t = 3 abc > 0 .

(t − 1)2 (3t 6 + 6t 5 + 6t 4 + 6t 3 + 6t 2 + 4t + 2) 2 ≥0 ⇒ (1) ⇔ 3t − 3t + 3 ≥ 2 ⇔ t3 t 5

3

Ñieàu naøy luoân ñuùng neân pheùp chöùng minh hoaøn taát Baøi toaùn7: (Nguyeãn Ñình Thi)Cho a,b,c>0.Chöùng minh

20∑ a 3 + 6 ∑ a 2 + 3 ≥ 9 3 9( ∑ a 2 b 2 )2 cyc

cyc

cyc

Lôøi giaûi: Ta luoân coù BÑT

20 2 1 a3 + ∑ a 2 + ≥ ∑ 27 cyc 9 cyc 9

2∑ a2 b 2 +

cyc

∑a

2 abc 9

cyc

2 ∑ a + 2 abc + 1 2

Vaø

cyc

9

≥

( a + b + c )2 9

Coäng 2 BÑT treân veá theo veá ta ñöôïc

20 2 1 a3 + ∑ a 2 + ≥ ∑ 27 cyc 9 cyc 9

2∑ a 2 b 2 cyc

∑a

( a + b + c )2 + ≥ 9

3

(∑ a

2

b2

)

2

3

cyc

Baøi toaùn 8 (Nguyeãn Ñình Thi) Cho a,b,c>0.CHöùng minh 3 (a2 +1)(b2 +1)(c2 +1) + a2b2c2 + abc + 21 ≥ 2(ab +1)(bc +1)(ca +1) 2 Vieäc chöùng minh baøi naøy khoâng quaù khoù,khai trieån hai veá vaø Söû duïngBdt phuï a2 + b 2 + c 2 + 2 abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca)

Baøi toaùn 9 (Nguyeãn Ñình Thi)Vôùi A,B,C laø 3 goùc cuûa 1 tam giaùc.Chöùng minh Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

29

A

∑ cos 2 ≥ cyc

8 27

(∑ cos2 cyc

A 2B cos ) 2 2

Lôøi giaûi: Ta coù 1 bdt phuï ñeå giaûi baøi naøy ñoù laø

∑ cos cyc

2

A 9 ≤ (*) 2 4

A = Do ∑ cos 2 cyc 2

∑ cos A + 3 ≤

cyc

2

9 maø 4

3

∑ cos A ≤ 2

neân (*) luoân ñuùng

cyc

Trôû laïi vôùi baøi toaùn,BDT<=> 2

  2 A  ∑ co s  ∑ ∑ 2  27 cyc 27  cyc cyc A cos6 1 A 1 A 4 A 3 2 = 3 cos2 A Ta coù cos + cos + cos4 ≥ 3 2 2 2 2 3 3 2 2 27 Thieát laäp caùc bdt töông töï vaø coäng caùc bdt ñoù veá theo veá ta ñöôïc A co s + 2

4

A co s ≥ 2 4

4

2

A 4 A A 4   2 A cos + cos4 ≥ ∑ 3cos2  ≥  ∑cos  ∑ ∑ 2 27 cyc 2 cyc  2  3 3  cyc 2 cyc  ñpcm (Marian Tetiva)Cho a,b,c>0.chöùng minh a2 + b 2 + c 2 + 2 abc + 3 ≥ (1 + a)(1 + b)(1 + c)

<=> a2 + b 2 + c 2 + abc + 2 ≥ a + b + c + ab + bc + ca <=> 2 a2 + b 2 + c 2 + 2 abc + 4 ≥ 2 ( a + b + c + ab + bc + ca )

(

)

Tôùi ñaây,ta söû duïng caùc bdt sau: a2 + b 2 + c 2 + 2 abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca)

a2 + 1 ≥ 2 a, b 2 + 1 ≥ 2b, c 2 + 1 ≥ 2c Coäng caùc bñt treân veá theo veá ta coù dpcm Baøi toaùn 10 Cho a,b,c>0.chöùng minh

(ab + bc + ca)(1 + Lôøi giaûi:

1 ) ≥ 12 a + b + c abc

Ta coù ab + bc + ca ≥ 3abc(a + b + c) vaø 1 +

1 ≥ abc

2 abc

nhaân 2 bdt treân veá theo veá  dpcm

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

30

Baøi toaùn 11:Cho a,b,c>0.chöùng minh 2

(

)

1 1  (a+b) +  a + b + +  ≥ 8 1 + 2 (*) a b  Lôøi giaûi: Ta coù 2

2

 1  1 1 2  (a+b) +  a + b + +  = (a + b) 1+ 1+   a b    ab    2 ab  1   = 4  2 ab + + 2 ≥ 42 + 2 = 8 1+ 2   ab ab      dpcm 2

2

(

 2 1  ≥ 4ab2+ + 2 2   ab a b 

)

Baøi toaùn 12 Nguyeãn Ñình Thi.Cho a,b,c>0.Chöùng minh 2(a4 + b4 + c4 ) ab + ac + bc + 3 3 3 ≥ 2 (*) 2 2 2 a (b + c) + b (c + a) + c (a + b) a + b + c Lôøi giaûi: Ta coù VT ≥ 2

2(a 4 + b 4 + c 4 )(ab + bc + ca) (a3 + b3 + c3 )(a 2 (b + c) + b 2 (c + a) + c 2 (a + b))

Vaäy caàn chöùng minh ⇔ 2(∑ a 4 )(∑ ab) ≥ (∑ a3 )(∑ a 2 b + ∑ a 2 c) Khai trieån vaø ruùt goïn ta ñöôïc ∑ a5b + ∑ a5c + 2abc(∑ a3 ) ≥ ∑ a 4 b2 + ∑ a4 c2 + ∑ a3b2c + ∑ a3bc (**) Vieäc chöùng minh bdt naøy khoâng khoù.ta coù a5 b + a5b + a 5b + ab5 ≥ 4a 4 b 2 ab 5 + ab5 + ab 5 + a5 b ≥ 4a 2 b 4 a 4 bc + a 4 bc + ab 4 c ≥ 3a3 b2 c ab 4 c + ab 4 c + a 4 bc ≥ 3a2 b3c Tôùi ñaây,chuùng ta thieát laäp caùc bdt töông töï va coäng veá theo veá caùc bdt ñoù thì ta coù ñöôïc ñpcm Baøi toaùn 13(Yugoslavia 1987)Cho a,b>0.Chöùng minh 1 1 2 (a + b) + (a + b) ≥ a b + b a 2 4 Lôøi giaûi: 1 1 1 VT ≥ 2ab + ( a + b ) = ab + a + ab + b ≥ a b + b a 4 4 4 Vaäy baøi toaùn ñöôïc chöùng minh Baøi toaùn 14:Cho a, b ∈ R . a ≠ −b .Chöùng minh 2

 1 + ab  a +b +  ≥2  a+b  Lôøi giaûi: 2

2

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

31

1 + ab ⇒ ab + bc + ca = −1 a+b Vaäy caàn chöùng minh a2 + b2 + c 2 ≥ 2 ⇔ a2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 0 ⇔ (a + b + c)2 ≥ 0 (ñuùng) => dpcm

Ñaët c= −

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC SCHUR VAØ DAÏNG KHAÙC Ta coù bñt schur at (a − b)(a − c) + b t (b − c)(b − a) + c t (c − a)(c − b) ≥ 0 t ∈ R Vaø bñt môû roäng cuûa noù (BÑT Vonicur-Schur) : xat (a − b)(a − c) + yb t (b − c)(b − a) + zc t (c − a)(c − b) ≥ 0 Vôùi 2 boä soá ñôn ñieäu ( x, y, z ) & (a, b, c) , t ∈ R Chuyeån BDT Schur trong ñaïi soá sang hình hoïc ta ñöôïc(BDT Schur trong tam giaùc) x(b+c-a)t (a − b)(a − c) + y(c + a − b)t (b − c)(b − a) + z(a + b − c)t (c − a)(c − b) ≥ 0 Lôøi giaûi: Do a,b,c laø 3 caïnh tam giaùc.ñaët a= m+n b = n+ p c = p+m BDT caàn chöùng minh < => xnt (m − n)(m − p) + ym t (n − m)( p − m) + zp t ( p − m )( p − n) ≥ 0 BDT naøy luoân ñuùng theo BDT Vonicur-Schur Ta xeùt theâm bdt Schur daïng khaùc: a k (a − b)(a − 2 b) + b k (b − c)(b − 2c) + c k (c − a)(c − 2 a) ≥ 0 k ∈ [ −2,2 ] k ∈ Z

Lôøi giaûi: Tröôøng hôïp k= -2 (a − b)(a − 2 b) (b − c)(b − 2c) (c − a)(c − 2 a) BDT <=> + + ≥0 a2 b2 c2  b 2 a2 c 2  b c a <=> 2  2 + 2 + 2  + 3 ≥ 3  + +  c b  a b c a b c a Ñaët x = , y = , z = => xyz = 1 a b c BDT caàn chöùng minh  <=> 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + 3 ≥ 3( x + y + z ) Ta coù Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

32

4

x 2 + x 2 + 1 ≥ 3x 3 Thieát laäp caùc bdt töông töï vaø coäng veá theo veá ta ñöôïc 4

4

4

=> 2(x 2 + y 2 + z 2 ) + 3 ≥ 3( x 3 + y 3 + z 3 ) Ta coù 4 3

4 3

4 3

1 3

1 3

1 3

3( x + y + z ) ≥ ( x + y + z)( x + y + z ) ≥ 3( x + y + z ) ( doxyz=1)  dpcm Tröôøng hôïp k= -1 ak (a − b)(a − 2b) + bk (b − c)(b − 2c) + ck (c − a)(c − 2a) ≥ 0  b2 a2 c2  <=> a + b + c + 2  + +  ≥ 3( a + b + c ) c b   a

 b2 a2 c2  <=>  + +  ≥ a + b + c ( luoân ñuùng) a c b    dpcm Tröôøng hôïp k=0 ak (a − b)(a − 2b) + bk (b − c)(b − 2c) + ck (c − a)(c − 2a) ≥ 0 <=> a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (luoân ñuùng) Tröôøng hôïp k=1 ak (a − b)(a − 2b) + bk (b − c)(b − 2c) + ck (c − a)(c − 2a) ≥ 0

<=> a3 + b3 + c3 + 2(a2b + b2c + c2a) ≥ 3(ab2 + bc2 + ca2 ) <=> (a − c)2 (4a − c) + (b − a)2 (4b − a) + (c − b)2 (4c − b) ≥ 0 Trong tröôøng hôïp naøy thì ñaây laø baøi toaùn maïnh neân vieäc chöùng minh phaûi söû duïng coâng cuï khaù cao laø SOS Ñaët S= ( a − c ) 2 (4 a − c ) + ( b − a ) 2 (4 b − a ) + ( c − b ) 2 (4 c − b ) => S a = 4 c − b , S b = 4 a − c , S c = 4 b − a Neáu a ≥ b ≥ c => S b ≥ 0, S a + S b ≥ 0, S c + S b ≥ 0

= > S ≥ 0 (dpcm)

Neáu c ≥ b ≥ a = > S a + S c + 4 S b ≥ 0 Khi | a − b |≥ | c − b |< = > b − a ≥ c − b < = > 2 b ≥ a + c = > S b + S c ≥ 0, S c + 2 S b ≥ 0 => S ≥ 0 Khi c − b |≥ | a − b |< = > c − b ≥ b − a < = > a + c ≥ 2 b = > S a + S b ≥ 0, S a + 2 S b ≥ 0 => S ≥ 0 Tröôøng hôïp k=2

ak (a − b)(a − 2b) + bk (b − c)(b − 2c) + ck (c − a)(c − 2a) ≥ 0 <=> ( a 2 + b 2 + c 2 )2 ≥ 3( a 3 b + b 3c + c 3 a) Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

33

<=>(a2 −2ab+bc−c2 +ac)2 +(b2 −2cb+ac−a2 +ab)2 +(c2 −2ac+ba−b2 +bc)2 ≥0 (luoân ñuùng) Trôû laïi vôùi tröôøng hôïp k=1. Neáu chuyeån sang daïng hình hoïc thì ta ñöôïc 3(x2y + y2z +z2x) ≥3xyz +2(xy2 + yz2 +zx2) ((**)) Ta chuyeån ñöôïc laø vì x,y,z laø 3 caïnh tam giaùc neân ta ñaët x +z − y x + y −z y+z−x ,b = ,c = x = a + b, y = b + c, z = c + a => a = 2 2 2 Thay vaøo bdt ñaàu thi ta ñöôïc ((**)) Sau ñaây laø 1 soá baøi toaùn aùp duïng Baøi toaùn 1:Cho x,y,z laø 3 caïnh tam giaùc.Chöùng minh

2(x2 y + y2z + z2 x + xy2 + yz2 + zx2 ) ≥ x3 + y3 + z3 +9xyz Lôøi giaûi: Laâu nay ta vaãn thöôøng chöùng minh baøi toaùn naøy baèng coâng cuï vecto,nhöng neáu nhìn nhaän kó hôn ta seõ thaáy ñaây laø bdt Schur trong tam giaùc (khi t=1) Töø khai trieån bdt ñuùng :

∑ [( y + z - x ) ( x - y ) ( x - z ) ] ≥

0

cyc

ta coù ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh Baøi toaùn 2 cho a,b,c laø 3 caïnh tam giaùc.chöùng minh: a b c a b c 3 + +  ≥ 2  + +  + 3 b c a c a b Lôøi giaûi: Quy ñoàng vaø ruùt goïn bdt treân ta ñöôïc bdt <=> 3 a2c + b2a + c2b ≥ 2 a2b + b2c + c2a + 3abc

(

) (

)

bdt naøy ñaõ ñöôïc chöùng minh ôû treân Baøi toaùn 3 (Nguyeãn Ñình Thi)cho a,b,c döông ,chöùng minh:

a b c 1 + + ≥ 2 2 2 2 2 2 (b + c) + 5c (a + c) + 5a (b + a) + 5b a + b + c Lôøi giaûi: Ta coù

a b c + + 2 2 2 2 (b + c) + 5c (a + c) + 5a (b + a)2 + 5b2

a2 (a + b + c)2 ≥ 2 2 6(a2b + b2c + c2a) + a2c + b2a + c2b + 6abc cyc a(b + c) + 5ac

=∑

Caàn chöùng minh (a + b + c )3 ≥ 6 (a 2 b + b 2c + c 2 a ) + a 2c + b 2 a + c 2 b + 6 a b c

(

<=> a 3 + b 3 + c 3 + 2( a 2 c + b 2 a + c 2 b ) ≥ 3 a 2 b + b 2 c + c 2 a

)

Ñaây chính laø baát ñaúng thöùc ((**)) Baøi toaùn 4 Cho a , b , c ≥ 0 .chöùng minh:

∑b cyc

2

a 4 ≥ 2 +c a+b+c Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

34

Lôøi giaûi: Ta coù

∑ cyc

a = 2 b + c2

∑ cyc

( a + b + c )2 4 ≥ 2 2 ∑ a c + ∑ ac a + b + c

a2 ≥ ab 2 +a c 2

cyc

<=> a + b + c + 6 abc ≥ 3

3

3

∑a

2

c + ∑ ac

cyc

Ta ñaõ coù a 3 + b 3 + c 3 + 3a b c ≥

∑a

cyc 2

cyc

2

c+

cyc

∑ ac

2

cyc

vaø 3abc ≥ 0 coäng 2 bdt treân veá theo veá ta coù dpcm Baøi toaùn 5(ROMANIA2005)choa,b,c döôngsao cho (a+b)(b+c)(c+a) =1. chöùng minh: a b + b c + c a ≤

3 4

lôøi giaûi: ñaët: x = a + b , y = b + c , z = c + a => xyz = 1, a =

x+z−y x+y−z y+z−x ,b = ,c = 2 2 2

Bdt caàn chöùng minh

⇔ x 2 + y2 + z2 + 3 ≥ 2( xy + yz + zx ) ⇔ x 2 + y2 + z2 + 2 xyz + 1 ≥ 2( xy + yz + zx ) (ñaõ ñöôïc chöng minh) Baøi toaùn 6(THTT)choa,b,c laø 3 caïnh tam giaùc .chöùng minh: a b c 3 + + ≥ a 2 + 3 bc b 2 + 3 ac c 2 + 3 ab 2 Lôøi giaûi: Ta coù a b c a2 + + =∑ a2 + 3bc b2 + 3ac c2 + 3ab c y c a(a 3 + 3abc) ≥

(a + b + c )2 ( a + b + c )( a 3 + b 3 + c 3 + 9 a bc )

Vaäy ta caàn chöùng minh

4 ( a + b + c ) ≥ 9(a3 + b3 + c3 + 9abc) 3

Khai trieån vaø thu gon ⇔ 12(∑ a2 b + ∑ ab2 ) ≥ 5(a3 + b3 + c3 ) + 57abc cyc

cyc

Töø bdt Schur trong tam giaùc ta coù 2( x 2 y + y 2 z + z 2 x + xy 2 + yz 2 + zx 2 ) ≥ x 3 + y 3 + z 3 +9xyz => 12( x 2 y + y2 z + z2 x + xy2 + yz 2 + zx 2 ) ≥ 6( x 3 + y3 + z3 )+54xyz Vì theá,vaän duïng bdt naøy theo a,b,c Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

35

12(a2 b + b2 c + c 2 a + ab 2 + bc2 + ca2 ) ≥ 6(a3 + b3 + c3 )+54abc Vaø bdt a3 + b3 + c 3 ≥ 3abc Coäng 2 baát ñaúng thöùc treân veá theo veá ta coù ñpcm vaän duïng bdt 2( x 2 y + y 2 z + z 2 x + xy 2 + yz 2 + zx 2 ) ≥ x 3 + y 3 + z 3 +9xyz chuùng ta coù theå giaûi quyeát baøi toaùn sau: +(Nguyeãn Ñinh Thi)cho a,b,c laø 3 caïnh tam giaùc . chöùng minh:

∑a cyc

2

a 3abc 5 + ≥ 3 + 3bc (∑ a + 9abc)(a + b + c) 2(a + b + c) cyc

Baøi toaùn 7 Cho A,B,C laø 3 goùc tam giaùc.chöng minh: 6 c o t A c o t B c o t C + ∑ (c o t 3 A ) ≥ ∑ c o t A cyc

cyc

Lôøi giaûi: Söû duïng bdt schur baäc 1 cho ta







 cyc

  cyc



∑( cot A) + 6cot Acot B cot C ≥  ∑cot A.  ∑cot Acot B  3

cyc

Vaø keát hôïp vôùi ñaúng thöùc

∑

cot A cot B = 1

cyc

Ta coù dpcm Baøi toaùn 8: (Nguyeãn Ñình Thi)Cho a,b,c laø 3 caïnh tam giaùc .Chöùng minh:

bc ca ab 3 + + ≤ ( a + b )( b + c ) ( b + c )( a + c ) ( a + c )( a + b ) 4 Lôøi giaûi: Quy ñoàng bdt treân ta ñöôïc Bdt ⇔ 3 a2 b + b2 c + c 2 a ≥ ab2 + bc2 + ca 2 + 6abc

(

)

Ta ñaõ coù bdt: 3 a2 b + b 2 c + c 2 a ≥ 2 ab 2 + bc 2 + ca 2 + 3abc

(

) (

)

Vaø : ab 2 + bc 2 + ca 2 ≥ 3abc Coäng 2 bdt treân veá theo veá ta co dpcm Baøi toaùn 9: (Nguyeãn Ñinh Thi)cho a,b,c laø caïnh tam giaùc Chöùng minh:

a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + + ≥ 3a2 + 4bc + 5c2 3b2 + 4ac + 5a2 3c2 + 4ab + 5b2 4(a + b + c) Lôøi giaûi: Ta coù

∑ cyc

a3 = 3 a 2 + 4 bc + 5 c 2

∑ cyc

(

)

2

a2 + b2 + c2 a4 ≥ 3 a 3 + 4 abc + 5 ac 2 3 ∑ a 3 + 12 abc + 5 ∑ ac 2 cyc

cyc

Vaäy caàn chöùng minh: Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

36

(a

2

)

+ b2 + c2

2

3∑ a3 +12 abc + 5∑ ac 2 cyc

≥

a2 + b2 + c2 4( a + b + c)

cyc

<=> ∑ a + 4∑ a c ≥ ∑ ac 2 + 12 abc 3

2

cyc

cyc

cyc

Ta ñaõ coù bdt:

3∑ a 2 c ≥ 2 ∑ ac 2 + 3abc cyc

cyc

Vaø: 2(∑ a c + ∑ ac 2 ) ≥ ∑ a3 + 9abc 2

cyc

cyc

cyc

2 Vaø: 2 ∑ a ≥ ∑ a c + ∑ ac 3

cyc

2

cyc

cyc

Coäng caùc bdt treân veá theo veá ta coù dpcm Söû duïng bdt schur trong tam giaùc ta coù theå giaûi quyeát baøi toaùn naøy sau khi ñaõ ñaïi soá hoùa +Chöùng minh:

r 1 1 1 1 + ( h a + h b + h c )( + + )≥5 R 2 ha hb hc

Vaø ñaây cuõng laø 1 bdt töông töï +Cho a,b,c laø 3 caïnh tam giaùc .chöùng minh: (a+ b)(b+c)(c +a) +(a+ b−c)(b+c −a)(c + a−b) ≥ 9abc Baøi toaùn10: Cho a,b,c döông sao cho abc=1 Chöùng minh: a −1 b −1 c −1 a) + + ≥0 b c a a−b b −1 c −1 b) + + ≥0 b+c c+a a+b Lôøi giaûi: a)quy ñoàng bdt ta döôïc bdt ⇔ a 2 b + cb 2 + ac 2 ≥ ab + bc + ca ta coù a 2 b + ba 2 + cb 2 ≥ 3 3 a 4 b 4 c = 3 ab thieát laäp caùc bdt töông töï coäng veá theo veá ta coù dpcm b) bdt <=> ∑ a3 + ∑ a 2 b + ∑ ab2 + 3abc ≥ ∑ a 2 + 3(ab + bc + ca) cyc

cyc

cyc

cyc

theo bdt schur baäc 1 ta coù 1 a3 + 3abc ≥ (a + b + c)(a2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca) ∑ 3 cyc

≥

∑

a

+ (ab + bc + ca )

2

cyc

vaø ∑ a 2 b + cyc

∑ cyc

b2a ≥ 2

∑ (a b )

3 2

cyc

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

37

1 2 ≥ ( ab + bc + ca ) 2 ( ab + bc + ca ) ≥ 2( ab + bc + ca ) 3

Coäng veá theo veá 2 bdt treân ta coù dpcm Baøi toaùn 11:Vôùi I ,O,H laàn löôït laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp,ngoaïi tieáp,tröïc taâm cuûa 1 tam giaùc.Chöùng minh I H

2

+ 2O I

2

Lôøi giaûi: Ta coù caùc ñaúng thöùc :

≥

2 O H 3

2

a 3 + b 3 + c 3 + abc a+b+c abc OI 2 = R 2 − a+b+c 2 2 OH = 9 R − ( a 2 + b 2 + c 2 ) IH 2 = 4 R 2 −

Theá caùc ñaúng thöùc vaøo bdt caàn chöng minh thi ta ñöôïc bdt schur trong tam giaùc baäc 1 Vaø döôùi ñaây laø 1 caùch vieát khaùc cuûa bdt schur baäc 1 a a + bc ∑ b + c ≥ ∑ (a + b)(a + c) (vôùi a,b,c döông) Baøi toaùn 12: (Nguyeãn Ñình Thi)cho a,b,c laø 3 caïnh tam giaùc vaø abc=1 Chöùng minh: (∑ a 2 )2 + ∑ a ≤ 2∑

(a2 + b2 ) c

Lôøi giaûi: Söû duïng bdt schur môû roäng trong tam giaùc ta coù: ( b + c − a )( a − b )( a − c ) ≥ 0( abc = 1) (tröôøng hôïp t=1) ∑ bc Khai trieån vaø ruùt goïn bdt naøy ta coù ñpcm

ÖÔÙC LÖÔÏNG QUA TAM THÖÙC BAÄC 2,3,4 Vôùi 1 soá baøi toaùn bdt, ta khoâng theå söû duïng cac bdt cô baûn ñeå chöùng minh maø ñoâi khi phaûi öôùc löôïng qua tam thöùc baäc 2,3,4 roài duøng ñieàu kieän ñeå xeùt tính ñuùng sai caûu bdt.Sau ñaây laø 1 soá ví duï 2 2 2 2 Baøi toaùn 1 (Ireland 2001).Cho x,y>0.x+y=2.Chöùng minh x y ( x + y ) ≤ 2 Lôøi giaûi: Ta coù

4 = ( x + y)2 = x 2 + y 2 + 2 xy ⇒

+ y

= 4 − 2 xy

x

2

⇒

x

2

⇔ ⇔

x y (4 − 2 xy) ≤ 2 (1 , 6 1 8 − x y ) (1 − x y ) ( x y + 0 , 6 1 8 ) ≥ 0 2

2

2

y (x

2

+ y

2

) ≤ 2

2

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

38

doxy ≤

( x + y )2 = 1 ⇒ dpcm 4

Baøi toaùn 2 Cho a, b ∈ R sao cho a + b = 1 .Chöùng minh a b ( a

2

+ b2) ≤

Lôøi giaûi: Ta coù 1 = ( a + b ) 2 => a 2 + b 2 = 1 − 2 ab

1 8

=> ab ( a 2 + b 2 ) = ab (1 − 2 ab )

1 1 < = > ( a b − ) 2 ≥ 0 ( ñuùng) 4 8 2 2 2 Baøi toaùn 3Cho a, b, c ∈ R .Chöùng minh a + b + c ≥ 2(ab + ac) Lôøi giaûi: B D T < = > a 2 − 2 a ( b + c ) + b 2 + c 2 ≥ 0 (*) Xem (*) laø tam thöùc baäc 2 theo a. Deã daøng ta coù ∆ ≤ 0 = > d p cm Caàn chöùng minh a b (1 − 2 a b ) ≤

Baøi toaùn 4: (Mathlink).Cho a,b>0. a9 +b9 = 2 .Chöùng minh: a3 + b3 ≥ 2ab(*) Lôøi giaûi: Ñaët a 3 + b 3 = x , ab = y

=> 2 = (a3 + b3 )3 − 3a3b3 (a3 + b3 ) = x3 − 3xy3 x3 − 2 3x BDT (*) <=> x 3 ≥ 8 y 3

=> y 3 =

 8( x 3 − 2)  <=> x 3 ≥    3x  <=> ( x − 2)2 (3 x 2 + 4 x + 4) ≥ 0

BAÁT ÑAÚNG THÖÙC VÔÙI DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI Thöôøng thì khi giaûi caùc baøi toaùn bdt coù trò tuyeät ñoái,ta thöôøng laäp thöù töï cho caùc bieán roài phaù trò tuyeät ñoái ñeå chöùng minh.Chuùng ta cuøng xeùt qua 1 soá baøi toaùn sau. Baøi toaùn 1 Cho a,b>0.Chöùng minh a+ b 1 ≤ a b + | a − b | (*) 2 2 Lôøi giaûi: Khoâng maát tính toång quaùt,giaû söû a ≥ b a + b a − b b d t(* ) ⇔ ≤ ab + 2 2 Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

39

⇔ b ≤ ab (a ≥ b )  dpcm Baøi toaùn 2 Cho a,b,c ≥ 0 .Chöùng minh

a+b+c 3 | a−b| + | b−c | + |c −a| ≤ abc + 3 3

Lôøi giaûi: Khoâng maát tính toång quaùt,giaû söû a ≥ b ≥ c

bdt ⇔ ( a + b + c ) ≤ 3 3 abc + 2( a − c ) ⇔ b + 3c ≤ a + 3 3 abc ( a ≥ b ≥ c )  dpcm vaø ñaây laø 2 baøi töông töï

1)

a+b 2 −1 a2 + b 2 (vôùi a,b>0) a−b ≤ + 2 2 2

3 −1 (| a − b | + | b − c | + | c − a |) 2 Baøi toaùn 3 Cho a,b,c>0.chöùng minh 9 | a − b || b − c || c − a | 2 ( a + b + c )3 ≥ 6 a b c + (1) 2 Lôøi giaûi: 9 | a − b || b − c || c − a | bdt (1) ⇔ (a + b + c)((a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ) ≥ (*) 2 Ta coù | a − b |≤ a + b,| b −c |≤ b + c,| c − a |≤ c + a 2) 3(a + b + c) ≤ a + b + c +

⇒| a − b | + | b −c | + | c − a |≤ 2(a + b + c) ⇒VT(*) ≥

| a − b | + | b −c | + | c − a | ((a − b)2 +(b −c)2 +(c − a)2 ) ≥ VP(1) 2

Vaø ta coù theå söû duïng keát quaû ñaõ ñöôïc chöùng minh ôû treân a3 + b3 + c3 + 2(a2 b + b2 c + c 2 a) ≥ 3(ab2 + bc 2 + ca2 ) ñeå chöùng minh baøi toaùn maïnh hôn + Vôùi a,b,c>0.chöùng minh  a3 + b3 + c3    ≥ a b c + ( a − b )( b − c )(c − a ) 3   Baøi toaùn 4 Nguyeãn Ñình Thi. Cho a,b,c laø 3 caïnh tam giaùc.Chöùng minh

{

}

min a2 b + ac2 + b2 c, ab2 + a2 c + bc2 ≥ 3abc + 2 (a − b)(b − c)(c − a) (*) Lôøi giaûi:

{

}

2 2 2 2 2 2 2 2 2 Giaû söû : min a b + ac + b c, ab + a c + bc = ab + a c + bc

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

40

=> a 2 b + a c 2 + b 2 c ≥ a b 2 + a 2 c + b c 2

⇒ (a − b )(b − c )(a − c ) ≥ 0 (*) ⇔ 3( a 2 b + ac 2 + b 2 c ) ≥ 3 abc + 2( ab 2 + a 2 c + bc 2 )

Bñt naøy ñaõ ñöôïc chöùng minh ôû baøi ((**)) ôû phaàn bñt schur daïng khaùc Baøi toaùn 5 Cho a,b,c ñoâi 1 khaùc nhau.Chöùng minh a b c + + ≥ 2 (*) b−c c−a a−b Lôøi giaûi: Ñaët

a b c = x, = y, = z b−c c−a a−b

⇒ xy + yz + zx = −1 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≥ −2( xy + yz + zx ) = 2 (*) <= > | x | + | y | + | z |≥ 2

⇔ x 2 + y2 + z2 + 2(| xy | + | yz | + | zx |) ≥ 4 2 2 2 2 2 2 Ta coù x + y + z + 2(| xy | + | yz | + | zx |) ≥ x + y + z + 2 | xy + yz + zx |≥ 4  dpcm Baøi toaùn 6 Cho a,b,c ñoâi moät khaùc nhau.Chöùng minh

a+b b+c c+a + + ≥ 2 (*) a−b b−c c−a Lôøi giaûi: a+b b+c c+a ,y = ,z = => xy+yz +zx =−1 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 Ñaët x = a−b b−c c−a Bdt ⇔| x | + | y | + | z | ≥ 2

⇔ x 2 + y2 + z2 + 2(| xy | + | yz | + | zx |) ≥ 4 Ta coù x 2 + y 2 + z 2 + 2(| xy | + | yz | + | zx |) ≥ x 2 + y 2 + z 2 + 2 | xy + yz + zx |≥ 4 = > dpcm Baøi toaùn 7:Cho a,b,c laø 3 caïnh tam giaùc.Chöùng minh a b c b c a  b + c + a  −  a + b + c  < 1 (*)     Lôøi giaûi: b c(c − b ) + a c(a − c ) + a b(b − a ) Bdt(*) < = > < 1 abc do a , b , c : ∆ =>

a−b b−c c−a < 1, < 1, <1 c a b

a − b b − c c − a < 1 c a b Ta laïi coù ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) = b c ( c − b ) + a c ( a − c ) + a b ( b − a ) =>

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

41

=> ñpcm Baøi toaùn 8 Cho a,b,c döông vaø ñoâi moät khaùc nhau.Chöùng minh

a + b b + c c + a + + > 1 (*) a − b b − c c − a Lôøi giaûi:

a + b b + c c + a ,y = ,z = a − b b − c c − a 2 2 2 => x > 1, y > 1, z > 1, xy + yz + zx = −1 Bdt(*) x + y + z > 1 Ñaët x =

Ta coù (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) > 3− 2 =1  ñpcm Baøi toaùn 9:(Mongolia 1991)Cho a, b, c ∈ R vaø a2 + b 2 + c 2 = 2 .Chöùng minh a3 + b3 + c 3 − abc ≤ 2 2 Lôøi giaûi: Ñöa bñt veà daïng ñoàng baäc ta chöùng minh

(

⇔ a3 + b3 + c3 − abc

) ≤ (a 2

2

+ b2 + c2

)

3

Khai trieån vaø ruùt goïn ta ñöôïc: ∑ a2 b2 (a − b)2 + ∑ c 4 (a + b)2 + ∑ c 4 a2 + c 4 b2 + 5a2 b2 c2 ≥ 0 (Ñuùng)

(

)

Ñaúng thöùc khi 2 bieán baèng 0vaø 1 bieán coøn laïi baèng

2

Baát ñaúng thöùc laø boâng hoa ñeïp nhaát trong vöôøn hoa toaùn hoïc

42