Bang Tich Phan Co Ban

Table of Integrals 1 n +1 x n +1

1)

Úx

2)

Ú x dx = ln x

3)

Ú udv = uv - Ú vdu

n

dx =

1

4)

Ú u( x )v¢( x )dx = u( x )v( x ) - Ú v( x )u¢( x )dx

5)

Ú ax + b dx = a ln(ax + b)

6)

Ú ( x + a)2 dx = x + a

7)

Ú ( x + a)

8)

n Ú x( x + a) dx =

9)

Ú 1 + x 2 = tan

10)

Ú a2 + x 2 = a tan

11)

Ú a2 + x 2 = 2 ln(a

12)

x 2 dx -1 Ú a2 + x 2 = x - a tan ( x / a)

13)

x 3dx 1 2 1 2 2 2 Ú a2 + x 2 = 2 x - 2 a ln(a + x )

1

1

-1

1

n

a x ˆ dx = ( x + a)n Ê + , n π -1 Ë 1 + n 1 + n¯

dx

-1

( x + a)1+ n (nx + x - a) (n + 2)(n + 1) x

dx

1

-1

xdx

1

2

( x / a) + x2 )

ÏÔ 2 ax + b ¸Ô tan -1 Ì ý ÔÓ 4 ac - b 2 Ôþ 4 ac - b 2 2

14) Ú ( ax 2 + bx + c)-1 dx = 1

1

x

1

15)

Ú ( x + a)( x + b) dx = b - a [ln(a + x ) - ln(b + x )] ,

16)

Ú ( x + a)( x + b) dx = a - b [a ln(a + x ) - b ln(b + x )] ,

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aπb

aπb

” 2008 Ph. D. Dong 1

17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)

x

a

Ú ( x + a)2 dx = a + x + ln(a + x ) ,

aπb

x ln( ax 2 + bx + c) b Ô 2 ax + b ¸Ô -1 Ï = tan dx ý Ì Ú ax 2 + bx + c 2a ÔÓ 4 ac - b 2 Ôþ a 4 ac - b 2 2 3/ 2 Ú x - adx = 3 ( x - a) 1 Ú x ± a dx = 2 x ± a 1 Ú a - x dx = 2 a - x 2 3/ 2 2 5/ 2 Ú x x - adx = 3 a( x - a) + 5 ( x - a) Ê 2b 2 x ˆ Ú ax + bdx = Ë 3a + 3 ¯ b + ax

Ê 2b 2 4bx 2 ax 2 ˆ 24) Ú ( ax + b)3 / 2 dx = b + ax Á + + 5 5 ˜¯ Ë 5a 25)

Ú

x 2 dx = ( x ± 2 a) x ± a x±a 3

26)

Ú

È x a-xù x dx = - x a - x - a tan -1 Í ú a-x Î x-a û

27)

Ú

x dx = x x + a - a ln x+a

[

x + x+a

]

Ê 4b 2 2bx 2 x 2 ˆ 28) Ú x ax + bdx = Á 2 + 15a + 5 ˜ b + ax Ë 15a ¯ 29)

30)

Ú

(

b 2 ln 2 a x + 2 b + ax Ê b x x 3/ 2 ˆ x ax + bdx = Á b + ax + 2 ˜¯ 4 a3 / 2 Ë 4a

)

Ê b 2 x bx 3 / 2 x 5 / 2 ˆ 3/ 2 x ax + bdx = Ú Á2 + 12 a + 3 ˜ b + ax Ë 8a ¯ -

31)

Ú

32)

Ú

(

b3 ln 2 a x + 2 b + ax 5/ 2

)

8a 1 1 x 2 ± a 2 dx = x x 2 ± a 2 ± a 2 lnÊË x + x 2 ± a 2 ˆ¯ 2 2 a 2 - x 2 dx =

È x a2 - x 2 ù 1 1 ú x a 2 - x 2 - a 2 tan -1 Í 2 2 2 2 ÍÎ x - a úû

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1 33) Ú x x 2 ± a 2 = ( x 2 ± a 2 )3 / 2 3 1 dx = ln È x + x 2 ± a 2 ù 34) Ú úû ÍÎ 2 2 x ±a 35)

Ú

36)

Ú

37)

Ú

38)

39)

40)

Ú

È x a2 - x 2 ù ú dx = - tan -1 Í 2 2 ÍÎ x - a úû a2 - x 2 x dx = x 2 - a 2 x 2 ± a2 x dx = - a 2 - x 2 2 2 a -x 1

x2 x 2 ± a2

dx =

1 1 x x 2 ± a 2 m ln È x + x 2 ± a 2 ù ûú 2 2 ÎÍ

Ú

È x a2 - x 2 ù 1 1 ú dx = - x a - x 2 - a 2 tan -1 Í 2 2 2 2 2 2 x a úû Í a -x Î

Ú

b xˆ ax 2 + bx + c = Ê ax 2 + bx + c + Ë 4a 2 ¯

x2

+

41)

4 ac - b 2 Ê 2 ax + b ˆ + 2 ax 2 + bc + c ˜ 3 / 2 ln ÁË ¯ a 8a

Ê x 3 bx 8ac - 3b 2 ˆ 2 2 x ax bx c + + = Á 3 + 12 a + Ú 2 ˜ ax + bx + c 24 a Ë ¯ -

42)

Ú

43)

Ú

1 2

ax + bx + c x ax 2 + bx + c

b( 4 ac - b 2 ) Ê 2 ax + b ˆ + 2 ax 2 + bc + c ˜ lnÁ 5/ 2 Ë ¯ a 16 a

dx = dx =

1 È 2 ax + b ù ln Í + 2 ax 2 + bx + c ú a Î a û 1 b È 2 ax + b ù + 2 ax 2 + bx + c ú ax 2 + bx + c - 3 / 2 ln Í a a Î 2a û

44) Ú ln xdx = x ln x - x 45) Ú ln( ax + b)dx =

ax + b ln( ax + b) - x a

46) Ú ln( a 2 x 2 ± b 2 )dx = x ln( a 2 x 2 ± b 2 ) +

2b -1 Ê ax ˆ tan - 2x Ë b¯ a

47) Ú ln( a 2 - b 2 x 2 )dx = x ln( a 2 - b 2 x 2 ) +

2 a -1 Ê bx ˆ tan - 2x Ë a¯ b

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48) Ú ln( ax 2 + bx + c)dx = 49) Ú x ln( ax + b)dx =

È 2 ax + b ù b 1 - 2x + Ê + xˆ ln ax 2 + bx + c 4 ac - b 2 tan -1 Í ú Ë 2a ¯ a ÍÎ 4 ac - b 2 úû

(

b b2 ˆ 1 1Ê x - x 2 + Á x 2 - 2 ˜ ln( ax + b) 2a 4 2Ë a ¯

1 1Ê a2 ˆ 50) Ú x ln( a 2 - b 2 x 2 )dx = - x 2 + Á x 2 - 2 ˜ ln( a 2 - bx 2 ) 2 2Ë b ¯ 51) Ú e ax dx = 52)

Ú

1 ax e a

xe ax dx =

1 2 x -t 2 i p xe ax + 3 / 2 erf i ax where erf ( x ) = e dt a p Ú0 2a

(

)

53) Ú xe x dx = ( x - 1)e x Êx 1 ˆ 54) Ú xe ax dx = Á - 2 ˜ e ax Ëa a ¯ 55) Ú x 2e x dx = e x ( x 2 - 2 x + 2) Ê x2 2x 2 ˆ 56) Ú x 2e ax dx = e x Á - 2 + 3˜ a ¯ Ë a a 57) Ú x 3e x dx = e x ( x 3 - 3 x 2 + 6 x - 6)

• 1 58) Ú x ne ax dx = ( -1)n G[1 + n, - ax ] where G( a, x ) = Ú t a -1e - t dt x a 2

59) Ú e ax dx = -i

p erf ix a 2 a

(

)

60) Ú sin xdx = - cos x x 1 - sin 2 x 2 4 3 1 62) Ú sin 3 xdx = - cos x + cos 3 x 4 12

61) Ú sin 2 xdx =

63) Ú cos xdx = sin x x 1 + sin 2 x 2 4 3 1 65) Ú cos3 xdx = sin x + sin 3 x 4 12 1 66) Ú sin x cos xdx = - cos2 x 2 64) Ú cos2 xdx =

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)

1 1 sin x - sin 3 x 4 12 1 1 68) Ú sin x cos2 xdx = - cos x - cos 3 x 4 12 x 1 69) Ú sin 2 x cos2 xdx = - sin 4 x 8 32

67) Ú sin 2 x cos xdx =

70) Ú tan xdx = - ln cos x

71) Ú tan 2 xdx = - x + tan x 1 72) Ú tan 3 xdx = ln[cos x ] + sec2 x 2 cos( x / 2) + sin( x / 2) 73) Ú sec xdx = ln cos( x / 2) - sin( x / 2) 74) Ú sec2 xdx = tan x 75) Ú sec3 xdx =

1 cos( x / 2) + sin( x / 2) sec x tan x + ln 2 cos( x / 2) - sin( x / 2)

76) Ú sec x tan xdx = sec x 1 2 sec x 2 1 78) Ú sec n x tan xdx = secn x , n

77) Ú sec2 x tan xdx =

nπ0

79) Ú csc xdx = ln tan( x / 2)

80) Ú csc2 xdx = - cot x

1 1 81) Ú csc3 xdx = - cot x csc x - ln(cos( x / 2)sin( x / 2)) 2 2 1 82) Ú csc n x cot xdx = - cscn x , n π 0 n 83) Ú sec x csc xdx = ln tan x

84) Ú x cos xdx = cos x + x sin x

85) Ú x 2 cos xdx = 2 x cos x + (2 - x 2 )sin x

{

} }

1 86) Ú x n cos xdx = - (i )1+ n G (1 + n, -ix ) + ( -1)n G (1 + n, ix ) 2 1 87) Ú x n sin xdx = - (i )n G (n + 1, -ix ) - ( -1)n G (n + 1, -ix ) 2

{

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1 x e [sin x - cos x ] 2 1 bx bx Ú e sin(ax )dx = b2 + a2 e [b sin ax - a cos ax ] 1 x x Ú xe sin xdx = 2 e [cos x - x cos x + x sin x ] 1 x x Ú e cos xdx = 2 e [sin x + cos x ] 1 bx bx Ú e cos(ax )dx = b2 + a2 e [a sin ax + b cos ax ] 1 x x Ú xe cos xdx = 2 e [ x cos x - sin x + x sin x ]

88) Ú e x sin xdx = 89) 90) 91) 92) 93)

94) Ú cosh xdx = sinh x e ax 95) Ú e ax cosh bxdx = 2 [a cosh bx - b sinh bx ] a - b2 96) Ú sinh xdx = cosh x e ax 97) Ú e ax sinh bxdx = 2 [- b cosh bx + a sinh bx ] a - b2 98) Ú e x tanh xdx = e x - 2 tan -1(e x ) 99) Ú tanh axdx =

1 ln cosh ax a 1

100)

Ú cos ax cosh bxdx = a2 + b2 [a sin ax cosh bx + b cos ax sinh bx ]

101)

Ú cos ax sinh bxdx = a2 + b2 [b cos ax cosh bx + a sin ax sinh bx ]

102)

Ú sin ax cosh bxdx = a2 + b2 [- a cos ax cosh bx + b sin ax sinh bx ]

103)

Ú sin ax sinh bxdx = a2 + b2 [b cosh bx sin ax - a cos ax sinh bx ]

104)

Ú sinh ax cosh axdx = 4a [-2ax + sinh(2ax )]

105)

Ú sinh ax cosh bxdx = b2 - a2 [b cosh bx sinh ax - a cosh ax sinh bx ]

1

1

1

1

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