Bai Tap Logic Toan

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

c¬ së l«gic cña m«n to¸n tiÓu häc MÖnh ®Ò liªn hîp vµ c¸c ®Þnh lý to¸n häc Bµi1. ThiÕt lËp c¸c mÖnh ®Ò liªn hîp a. - ThuËn: NÕu a  6 th× a  2 vµ a  3

(®)

- §¶o: NÕu a  2 vµ a  3 th× a  6

(®)

- Ph¶n: NÕu a kh«ng chia hÕt 6 th× a kh«ng chia hÕt cho 2 vµ 3 (®) - Ph¶n §¶o: NÕu a kh«ng chia hÕt cho 2 vµ 3th× a kh«ng chia hÕt cho 6

(®)

b. - NÕu a cã tËn cïng b»ng 0 ho®c 5 th× a  5

(®)

- NÕu a  5 th× a cã tËn cïng b»ng 0 ho®c 5

(®)

- NÕu a kh«ng cã tËn cïng b»ng 0 ho®c 5 th× a kh«ng chia hÕt cho 5

(®)

- NÕu a kh«ng chia hÕt cho 5 th× a kh«ng cã tËn cïng lµ 0 ho®c 5

(®)

c. - NÕu a cã tËn cïng b»ng 2 th× a  2

(®)

- NÕu a  2 th× a cã tËn cïng lµ 2

(s)

- NÕu a kh«ng chia hÕt cho 2 th× a kh«ng cã tËn cïng lµ 2 (®) - NÕu a kh«ng cã tËn cïng b»ng 2 th× a kh«ng chia hÕt cho 2 (s) 1 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Bµi 2. H·y x©y dùng 1 vÝ dô vÒ mÖnh ®Ò kÐo theo a. Trong sË häc: - NÕu a  6 th× a  3

(®)

- NÕu a  3 th× a  6

(s)

- NÕu a kh«ng chia hÕt cho 6 th× a kh«ng chia hÕt cho 3 (s) - NÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a kh«ng chia hÕt cho 6 (®) b. Trong h×nh häc: - NÕu tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt th× AC = BD (®) - NÕu tø gi¸c ABCD cã AC= BD th× nã lµ h×nh ch÷ nhËt (®) - NÕu tø gi¸c ABCD kh«ng lµ h×nh ch÷ nhËt th× AC

≠ BD

(®) - NÕu tø gi¸c ABCD cã AC ≠ BD th× ABCD kh«ng lµ h×nh ch÷ nhËt

(®)

c. Trong to¸n cao cÊp - NÕu (X, *) lµ vÞ nhãm th× (X, *) lµ nöa nhãm (®) - NÕu (X, *) lµ nöa nhãm th× (X, *) lµ vÞ nhãm (s) - NÕu (X, *) kh«ng lµ vÞ nhãm th× (X, *) kh«ng lµ nöa nhãm (s) - NÕu (X, *) kh«ng lµ nöa nhãm th× (X, *) kh«ng lµ vÞ nhãm (®) 2 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc e. Trong ®êi thêng - NÕu häc viªn cao häc líp K16-GDTH nµo nghØ qu¸ 2 buæi m«n nµy th× sÏ ph¶i häc l¹i (®) - NÕu ai ph¶i häc l¹i m«n nµy th× hä lµ ngêi nghØ qu¸ 2 buæi häc m«n nµy (s) - NÕu kh«ng ai trong líp cao häc K16-GDTH nghØ qu¸ 2 buæi häc m«n nµy th× sÏ kh«ng ai ph¶i häc l¹i (s) - NÕu kh«ng ai trong líp cao häc K16-GDTH ph¶i häc l¹i m«n nµy th× sÏ kh«ng ai trong líp nghØ qu¸ 2 buæi (®) §ÞNH Lý TO¸N HäC Bµi 1. X©y dùng 2 vÝ dô vÒ ®Þnh lý cã ®Þnh lý ®¶o cho mçi trêng hîp. Sau ®ã ph¸t biÓu díi d¹ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ a. Trong sè häc - NÕu a cã tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, 8 th× a  2

(®)

- NÕu a  2 th× a cã tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, 8

(®)

* Ph¸t biÓu: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó a  2 lµ a cã tËn cïng b»ng 0, 2, 4, 6, 8. - NÕu a cã tæng c¸c ch÷ sË  3 th× nã  3 - NÕu a  3 th× a cã tæng c¸c ch÷ sË  3

(®)

* Ph¸t biÓu: §Ó a  3, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ a cã tæng c¸c ch÷ sË  3 3 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b. Trong h×nh häc - NÕu ∆ABC lµ ∆ ®Òu th× nã cã 3 c¹nh b»ng nhau

(®)

- NÕu ∆ABC cã 3 c¹nh b»ng nhau th× nã lµ ∆ ®Òu

(®)

* Ph¸t biÓu: ∆ABC lµ ∆ ®Òu ⇔ nã cã 3 c¹nh b»ng nhau. - NÕu h×nh ch÷ nhËt ABCD cã hai c¹nh liªn tiÕp b»ng nhau th× nã lµ h×nh vu«ng(®) - NÕu ABCD lµ h×nh vu«ng th× nã lµ h×nh ch÷ nhËt cã 2 c¹nh liªn tiÕp b»ng nhau(®) * Ph¸t biÓu: H×nh ch÷ nhËt ABCD cã 2 c¹nh liªn tiÕp b»ng nhau ⇔ nã lµ h×nh vu«ng

c. Trong ®¹i sè - NÕu PT: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× nã cã

∆ > 0 (®)

- NÕu PT: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã ph©n biÖt

∆ > 0 th× nã cã 2 nghiÖm

(®)

* Ph¸t biÓu: PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ⇔ nã cã

∆ > 0.

 ax + by + c = 0 - NÕu hÖ PT:   a ' x + b' y + c ' = 0 (®)  ax + by + c = 0  - NÕu hÖ PT:  a ' x + b' y + c' = 0 nghiÖm

cã nghiÖm th× D = ab’ Ð a’b ≠ 0

cã D = ab’ Ð a’b ≠ 0 th× nã cã

(®)

* Ph¸t biÓu:

4 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

 ax + by + c = 0 §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ PT:   a ' x + b' y + c' = 0 ab’ Ð a’b ≠ 0

cã nghiÖm lµ D =

d. Trong to¸n cao cÊp - NÕu (A, *) lµ vÞ nhãm th× (A, *) lµ nöa nhãm vµ nã cã phÇn tö trung lËp

(®)

- NÕu (A, *) lµ nöa nhãm vµ nã cã phÇn tö trung lËp th× nã lµ vÞ nhãm

(®)

* Ph¸t biÓu: (A, *) lµ vÞ nhãm, ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ (A, *) lµ nöa nhãm vµ cã phÇn tö trung lËp. - NÕu (A, *) lµ nhãm th× (A, *) lµ vÞ nhãm vµ nã cã phÇn tö ®Ëi xøng (®) - NÕu (A, *) lµ vÞ nhãm vµ cã phÇn tö ®Ëi xøng th× nã lµ mét nhãm

(®)

* Ph¸t biÓu: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó (A, *) lµ nhãm lµ (A, *) lµ vÞ nhãm vµ cã phÇn tö ®Ëi xøng. Bµi 2. X©y dùng hai ®Þnh lý kh«ng cã ®Þnh lý ®¶o; lÊy ph¶n vÝ dô minh ho¹ a.Trong sè häc - NÕu a  9 th× a  3

(®)

- NÕu a  3 th× a  9(s) * Ph¶n vÝ dô: a = 6 ⇒ a  3 mµ a  9 - NÕu a cã ch÷ sË tËn cïng lµ 5 th× a  5

(®)

- NÕu a  5 th× a cã ch÷ sË tËn cïng lµ 5

(s)

5 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc * Ph¶n vÝ dô: a = 20 (kh«ng cã ch÷ sË tËn cïng lµ 5) nhng a = 20  5.

b.Trong h×nh häc - NÕu tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng th× hai ®êng chÐo AC = BD (®) - NÕu tø gi¸c ABCD cã 2 ®êng chÐo AC = BD th× nã lµ h×nh vu«ng

(s)

* Ph¶n vÝ dô: tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt th× nã vÉn cã AC = BD - NÕu ∆ ABC lµ

∆ ®Òu th× nã cã 1 gãc = 60

0

(®) - NÕu ∆ ABC cã 1 gãc = 600 th× nã lµ ∆ ®Òu (s) * Ph¶n vÝ dô: Ta hoµn toµn cã thÓ dùng ®îc ∆ sau: ¢ = 600 ; B = 300 ; C = 900 c. Trong ®¹i sè: - NÕu hµm sË g(x) cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0 th× hµm sË nµy liªn tôc t¹i x0(®) - NÕu hµm sË g(x) liªn tôc t¹i ®iÓm x0 th× nã cã ®¹o hµm t¹i x0 (s) * Ph¶n vÝ dô: Hµm sË g(x) =

2x

. Ta dÔ dµng thæy g(x) liªn tôc t¹i

x = 0 nhng t¹i x=0 hµm sË kh«ng cã ®¹o hµm - NÕu a ∈ R th× a ∈Z

(®)

- NÕu a ∈Z th× a ∈R (s) 6 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc * Ph¶n vÝ dô: a = 19,8 : Ta thæy a

∈

R nhng a

∉

Z

d. Trong to¸n häc cao cÊp: - NÕu (X, *) lµ nhãm th× (X, *) lµ nöa nhãm (®) - NÕu (X, *) lµ nöa nhãm th× (X, *) lµ nhãm (s) * Ph¶n vÝ dô: TËp sË tù nhiªn N cïng víi phÐp to¸n céng (N, +) lµ mét nöa nhãm nhng (N, +) kh«ng ph¶i lµ nhãm v× nã kh«ng cã phÇn tö nghÞch ®¶o. - NÕu (X, *) lµ vÞ nhãm th× (X, *) lµ nöa nhãm (®) - NÕu (X, *) lµ nöa nhãm th× (X, *) lµ vÞ nhãm (s) * Ph¶n vÝ dô: XÐt tËp hîp N* cïng víi phÐp to¸n + (N*, +) lµ nöa nhãm. Nhng (N*, +) kh«ng lµ vÞ nhãm v× nã kh«ng cã phÇn tö ®¬n vÞ.

Chøng minh 29 Quy T¾c Suy LuËn vµ cho vÝ dô minh ho¹ 1. Quy t¾c kÕt luËn: Modus ponens :

p → q, p q

a. Ta lËp b¶ng ch©n lý sau:

7 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

p

q

p→q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Theo b¶ng ch©n lý trªn ta thæy víi tæt c¶ nh÷ng hÖ gi¸ trÞ ch©n lý lµm cho

p → q vµ p ®óng th× còng lµm cho q ®óng

(dßng gi¸ trÞ ch©n lý ®Çu tiªn). Do ®ã, ta cã quy t¾c suy luËn

p → q, p q b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p→q p q

NÕu a chia hÕt cho 6 th× a chia hÕt cho 3 a chia hÕt cho 6 a chia hÕt cho 3

® ® ®

b.2. Trong h×nh häc

p→q

NÕu tam gi¸c ABC ®Òu th× nã cã 3 c¹nh b»ng

®

p

nhau Tam gi¸c ABC ®Òu

®

q

Tam gi¸c ABC cã 3 c¹nh b»ng nhau

®

8 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b.3. Trong ®¹i sè

p→q

2 NÕu ph¬ng tr×nh bËc 2: ax + bx +c=0(a kh¸c 0) ®

cã ∆ ≥ 0 th× nã cã nghiÖm 2 ph¬ng tr×nh bËc 2: ax + bx +c=0(a kh¸c 0) cã

p

®

∆≥0

q

®

2

Ph¬ng tr×nh bËc 2: ax + bx +c=0(a kh¸c 0) cã nghiÖm

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p→q

NÕu phÐp to¸n * trong tËp X cã tÝnh chæt kÕt hîp

®

th× (X,*) lµ nöa nhãm p

PhÐp to¸n * trong tËp hîp X cã tÝnh chæt kÕt hîp

®

q

(X,*) lµ nöa nhãm

®

Tõ nh÷ng c«ng thøc sau, thay v× viÖc kÕt luËn nh trªn, ta t« sÉm mµu ®Ó lµm râ dßng gi¸ trÞ ch©n lý cÇn quan t©m.

2. Quy t¾c kÕt luËn Modó tolleas :

p → q, q p

p

q

p

q

p→q

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

9 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p→q q p

NÕu a cã tËn cïng lµ 0 ho®c 5 th× a chia hÐt cho

®

5 a kh«ng chia hÕt cho 5

®

a kh«ng cã tËn cïng b»ng 0 ho®c 5

®

b.2. Trong h×nh häc

p→q q p

NÕu ABCD lµ h×nh thoi th× nã cã 4 c¹nh b»ng

®

nhau Tø gi¸c ABCD cã 4 c¹nh b»ng nhau

®

Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi

®

b.3. Trong ®¹i sè

p→q q p

NÕu hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhæt hai Èn cã nghiÖm

®

th× D = ab’- ba’ kh¸c 0 HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhæt cã D = ab’-ba’=0

®

HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhæt ®ã v« nghiÖm

®

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p→q

NÕu phÐp to¸n * trªn tËp X cã tÝnh chæt kÕt hîp

®

q p

th× (X,* ) lµ nöa nhãm (X,*)kh«ng lµ nöa nhãm phÐp to¸n * trªn t©pj X kh«ng cã tÝnh chæt kÕt

® ®

10 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc hîp

p ⇔ q, p q 3. a. p

q

p⇔q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p⇔q

a chia hÕt cho 5 khi vµ chØ khi a cã tËn cïng lµ 0

®

ho®c 5

p

a chia hÕt cho 5

®

q

a cã tËn cïng b»ng 0 ho®c 5

®

b.2. Trong h×nh häc

p⇔q

tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu khi vµ chØ khi nã

®

cã 3 c¹nh b»ng nhau

p

Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu

®

q

Tam gi¸c ABC cã 3 c¹nh b»ng nhau

®

b.3. Trong ®¹i sè 11 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

p⇔q p

®

2 Ph¬ng tr×nh bËc 2 ax + bx +c=0(a kh¸c 0) cã

nghiÖm khi vµ chØ khi Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 2 ® Ph¬ng tr×nh bËc hai ax + bx +c=0(a kh¸c 0) cã nghiÖm 2 Ph¬ng tr×nh bËc hai ax + bx +c=0(a kh¸c 0) cã

q

®

Delta lín h¬n ho®c b»ng 0

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p⇔q

(X,*) lµ vÞ nhãm khi vµ chØ khi (X,*) lµ nöa nhãm

®

vµ cã phÈn tö ®¬n vÞ

p

(X,*) lµ vÞ nhãm

®

q

(X,*) lµ nöa nhãm vµ cã phÇn tö ®¬n vÞ

®

4. C¸c quy t¾c suy luËn b¾c cÇu

p → q, q → r p→ r

p

q

r

p→q

q→r

p→r

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

12 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 0

0

0

1

1

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p→q

NÕu a cã tËn cïng b»ng 0 th× chia hÕt cho 10

®

q→r

NÕu a chia hÕt cho 10 th× a chia hÕt cho 2

®

p→r

NÕu a cã tËn cïng b»ng 0 th× a chia hÕt cho 2

®

b.2. Trong h×nh häc

p→q q→r

p→r

NÕu h×nh ch÷ nhËt ABCD cã hai c¹nh liªn tiÕp

®

b»ng nhau th× nã lµ h×nh vu«ng NÕu ABCD lµ h×nh vu«ng th× 2 ®êng chÐo cña

®

nã vu«ng gãc víi nhau NÕu h×nh ch÷ nhËt ABCD cã hai c¹nh liªn tiÕp

®

b»ng nhau th× 2 ®êng chÐo cña nã vu«ng gãc víi nhau

b.3. Trong ®¹i sË

p→q

NÕu a thuéc N th× a thuéc Q

®

q→r

NÕu a thuéc Q th× a thuéc R

®

p→r

NÕu a thuéc N th× a thuéc R

®

b.4. Trong to¸n cao cæp 13 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

p→q

NÕu (X,*) lµ mét nhãm th× (X,*) lµ vÞ nhãm

®

q→r p→r

NÕu (X,*) lµ vÞ nhãm th× (X,*) lµ nöa nhãm

®

NÕu (X,*) lµ mét nhãm th× (X,*) lµ nöa nhãm

®

q ⇔ q, q ⇔ r p⇔r

5.a.

p

q

r

p⇔ q

q⇔ r

p⇔ r

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc p⇔ q q⇔ r p⇔ r

a chia hÕt cho 2 khi vµ chØ khi a lµ sË ch½n

®

a lµ sË ch½n khi vµ chØ khi a cã tËn cïng b»ng

®

0,2,4,6,8 a chia hÕt cho 2 khi vµ chØ khi a cã tËn cïng b»ng ® 0,2,4,6,8 14 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

b.2. Trong h×nh häc p⇔ q q⇔ r p⇔ r

Tam gi¸c ABC cã 3 gãc b»ng nhau khi vµ chØ khi

®

nã lµ tam gi¸c ®Òu Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu khi vµ chØ khi nã

®

cã 3 c¹nh b»ng nhau Tam gi¸c ABC cã 3 gãc b»ng nhau khi vµ chØ khi

®

nã cã 3 c¹nh b»ng nhau

b.3. Trong ®¹i sè 2

§êng th¼ng y=ax+b (1) c¾t parabol y= x (2) khi p ⇔ q

q ⇔ r p ⇔ r

®

2 vµ chØ khi ph¬ng tr×nh x + ax + b = 0 cã

nghiÖm 2 ph¬ng tr×nh x + ax + b = 0 (*) cã nghiÖm khi

®

vµ chØ khi Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 §êng th¼ng (1) c¾t parabol (2) khi vµ chØ khi ph- ® ¬ng tr×nh (*) cã Delta lín h¬n ho®c b»ng 0

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p ⇔ q q⇔ r p⇔ r

(X,*) lµ mét nhãm khi vµ chØ khi (X,*) lµ vÞ nhãm

®

vµ nã cã phÇn tö ®Ëi xøng (X,*) lµ vÞ nhãm khi vµ chØ khi (X,*)lµ nöa nhãm

®

vµ cã phÇn tö ®¬n vÞ (X,*) lµ mét nhãm khi vµ chØ khi (X,*) lµ nöa

®

nhãm vµ cã phÇn tö ®¬n vÞ

5.b. p, p ⇔ q, q ⇔ r 15 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc r

p

q

r

p → q, q → p p⇔q 6. p

q

p→q

q→ p

p⇔q

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc NÕu a chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c ch÷ sË cña a

p→q

q→ p

chia hÕt cho 3 NÕu a cã tæng c¸c ch÷ sË chia hÕt cho 3 th× a

® ®

16 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

p⇔q

chia hÕt cho 3 a chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi tæng c¸c ch÷ sË

®

cña a chia hÕt cho 3

b.2. Trong h×nh häc

p→q

q→ p p⇔q

NÕu tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt th× nã cã 4

®

gãc vu«ng NÕu tø gi¸c ABCD cã 4 gãc vu«ng th× nã lµ h×nh ® ch÷ nhËt tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt khi vµ chØ khi nã

®

cã 4 gãc vu«ng

b.3. Trong ®¹i sè

p→q

q→ p p⇔q

2 NÕu ph¬ng tr×nh bËc 2: ax + bx +c=0(a kh¸c 0)

®

cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× nã cã ∆ >0 2 NÕu ph¬ng tr×nh bËc 2: ax + bx +c=0(a kh¸c 0)

®

th× nã cã ∆ >0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 2 ph¬ng tr×nh bËc 2: ax + bx +c=0(a kh¸c 0) cã 2

®

nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi nã cã ∆ >0

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p→q

q→ p p⇔q

NÕu (X,*) lµ nöa nhãm th× phÐp to¸n * trong tËp

®

hîp X cã tÝnh chæt kÕt hîp NÕu phÐp to¸n * trong tËp hîp X cã tÝnh chæt kÕt

®

hîp th× (X,*) lµ nöa nhãm (X,*) lµ nöa nhãm khi vµ chØ khi phÐp to¸n *

®

17 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc trong tËp hîp X cã tÝnh chæt kÕt hîp

p ∨ q, p q 7. p

q

p

p∨q

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p∨q

a chia hÕt cho 2

®

p

a kh«ng chia hÕt cho 2

®

a chia hÕt cho 3

®

q

b.2. Trong h×nh häc

p∨q

Tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt

®

p

Tø gi¸c ABCD kh«ng lµ h×nh ch÷ nhËt

®

Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi

®

q

b.3. Trong ®¹i sè

p∨q

2 Ph¬ng tr×nh bËc 2: ax + bx +c=0(a kh¸c 0) cã 2

®

18 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc nghiÖm ph©n biÖt ho®c cã nghiÖm kÐp

p q

2 ph¬ng tr×nh bËc 2: ax + bx +c=0(a kh¸c 0)

®

kh«ng cã nghiÖm kÐp 2 ph¬ng tr×nh bËc 2: ax + bx +c=0(a kh¸c 0) cã 2

®

nghiÖm ph©n biÖt

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p∨q

(X,*) lµ vÞ nhãm giao ho¸n ho® nöa nhãm

®

p

(X,*) kh«ng lµ vÞ nhãm giao ho¸n

®

(X,*) lµ nöa nhãm

®

q

8.

p → r, q → r p∨q → r p

q

r

p→r

q→r

p∨q

p∨q→r

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

b. VÝ dô minh ho¹ 19 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

b.1. Trong sè häc

p→r q→r p∨q→r

NÕu a chia hÕt cho 9 th× a chia hÕt cho 3

®

NÕu a chia hÕt cho 6 th× a chia hÕt cho 3 NÕu a chia hÕt cho 9 ho®c a chia hÕt cho 6 th×

® ®

a chia hÕt cho 3

b.2. Trong h×nh häc

p→r q→r p∨q→r

NÕu tam gi¸c ABC cã 3 c¹nh b»ng nhau th× tam

®

gi¸c ®ã ®Òu NÕu tam gi¸c ABC cã 3 gãc b»ng nhau th× tam

®

gi¸c ®ã ®Òu NÕu tam gi¸c ABC cã 3 c¹nh ho®c 3 gãc b»ng

®

nhau th× tam gi¸c ®ã ®Òu

b.3. Trong ®¹i sË

p→r q→r

NÕu §êng th¼ng y=ax+b (1) c¾t parabol y= x

2

®

2

(2) th× ph¬ng tr×nh x + ax + b = 0 cã nghiÖm 2 NÕu ph¬ng tr×nh x + ax + b = 0 cã nghiÖm

®

th× Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 2 NÕu §êng th¼ng y=ax+b (1) c¾t parabol y= x

®

p ∨ q → r ho®c NÕu ph¬ng tr×nh

x 2 + ax + b = 0 cã

nghiÖm th× Delta lín h¬n ho®c b»ng 0

20 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b.4. Trong to¸n cao cæp NÕu */X cã tÝnh chæt kÕt hîp, cã phÇn tö ®¬n

p→r

®

vÞ, cã phÇn tö ®Ëi xøng th× nã lµ mét nhãm NÕu (X,*) lµ nöa nhãm vµ cã phÇn tö ®¬n vÞ th× ®

q→r

nã lµ mét nhãm NÕu */X cã tÝnh chæt kÕt hîp, cã phÇn tö ®¬n

®

p ∨ q → r vÞ, cã phÇn tö ®Ëi xøng ho®c NÕu (X,*) lµ nöa nhãm vµ cã phÇn tö ®¬n vÞ th× nã lµ mét nhãm

p → q, q → r p → q∧r 9. p

q

r

p→q

q→r

q∧r

p →q∧r

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p→q

NÕu a chia hÕt cho 6 th× a chia hÕt cho 3

®

21 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

q→r p →q∧r

NÕu a chia hÕt cho 6 th× a chia hÕt cho 2

®

NÕu a chia hÕt cho 6 th× a chia hÕt cho 2 vµ 3 ®

b.2. Trong h×nh häc

p→q

q→r

p →q∧r

NÕu tø gi¸c ABCD cã 4 gãc vu«ng th× nã lµ ® h×nh vu«ng NÕu tø gi¸c ABCD cã 4 c¹nh b»ng nhau th× nã ® lµ h×nh vu«ng NÕu tø gi¸c ABCD cã 4 gãc vu«ng th× nã cã 4 ® c¹nh b»ng nhau vµ 4 gãc b»ng nhau

b.3. Trong ®¹i sè

p→q

q→r

p →q∧r

NÕu ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c 0)

®

cã nghiÖm th× Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 NÕu §êng th¼ng y=ax+b (1) c¾t parabol y=a

®

2

x 2 (2) th× ph¬ng tr×nh a x 2 + ax + b = 0 cã

nghiÖm 2 NÕu ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 cã nghiÖm ® th× Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 vµ §êng th¼ng 2

y=ax+b (1) c¾t parabol y=a x (2) b.4. Trong to¸n cao cÊp

p→q

q→r p →q∧r

NÕu (X,*) lµ nhãm th× nã lµ mét vÞ nhãm

®

NÕu (X,*) lµ nhãm th× nã lµ mét nöa nhãm

®

NÕu (X,*) lµ nhãm th× nã lµ mét vÞ nhãm vµ

®

22 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc nã lµ mét nöa nhãm

10.

p ⇔ q, r ⇔ s p∧r ⇔q∧s p∧r

q∧s

p∧r ⇔ q∧s

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

p⇔q r ⇔ s

p

q

r

s

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

23 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p⇔q

a chia hÕt cho 2 khi vµ chØ khi a lµ sË ch½n

®

r⇔s

a chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi tæng c¸c ch÷

®

sË cña a chia hÕt cho 3 a chia hÕt cho 2 vµ 3 khi vµ chØ khi a lµ sË

®

p∧r ⇔ q∧s

ch½n vµ cã tæng c¸c ch÷ sË chia hÕt cho 3

b.2. Trong h×nh häc

p⇔q

r⇔s

Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng khi vµ chØ

®

khi nã cã mét gãc vu«ng Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c c©n khi vµ chØ khi

®

nã cã 2 c¹nh b»ng nhau Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n khi vµ

®

p ∧ r ⇔ q ∧ s chØ khi nã cã mét gãc vu«ng vµ cã 2 c¹nh b»ng nhau b.3. Trong ®¹i sè

p⇔q

r⇔s p∧r ⇔ q∧s

ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c 0) cã

®

nghiÖm kÐp khi vµ chØ khi Delta b»ng 0 2 ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c 0) cã

®

2

2 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi Delta lín h¬n 0 2 ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c 0) cã

®

nghiÖm khi vµ chØ khi Delta lín h¬n ho®c 24 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b»ng 0

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p⇔q

r⇔s

(X,*) lµ nöa nhãm khi vµ chØ khi phÐp to¸n

®

*/X cã tÝnh chæt kÕt hîp (X,*) lµ vÞ nhãm khi vµ chØ khi */X cã tÝnh

®

chæt kÕt hîp vµ phÇn tö ®¬n vÞ (X,*) lµ nöa nhãm vµ vÞ nhãm khi vµ chØ khi

®

p ∧ r ⇔ q ∧ s phÐp to¸n */X cã tÝnh chæt kÕt hîp vµ phÇn tö ®¬n vÞ 11.

p ⇔ q, r ⇔ s p∨r ⇔ q∨s

p∨r

q∨s

p∨r ⇔ q∨s

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

p⇔q r ⇔ s

p

q

r

s

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

25 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc ®

p⇔q

a chia hÕt cho 2 khi vµ chØ khi a lµ sË ch½n

r⇔s

a chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi a cã tæng c¸c

®

ch÷ sË chia hÕt cho 3 a chia hÕt cho 2 ho®c 3 khi vµ chØ khi a lµ sË

®

p∨r ⇔ q∨s

ch½n ho®c cã tæng c¸c ch÷ sË chia hÕt cho 3

b.2. Trong h×nh häc

p⇔q

Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng khi vµ chØ khi ®

r⇔s

®

nã cã mét gãc vu«ng Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c c©n khi vµ chØ khi

nã cã 2 c¹nh b»ng nhau Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng ho®c c©n khi ®

p ∨ r ⇔ q ∨ s vµ chØ khi nã cã mét gãc vu«ng ho®c cã 2 c¹nh b»ng nhau 26 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b.3. Trong ®¹i sè ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c 0) cã

®

nghiÖm kÐp khi vµ chØ khi Delta b»ng 0 2 ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c 0) cã 2

®

2

p⇔q

r⇔s

nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi Delta lín h¬n 0 2 ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c 0) cã

®

p ∨ r ⇔ q ∨ s nghiÖm kÐp ho®c cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi vµ chØ khi Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 b.4. Trong to¸n cao cÊp

p⇔q

r⇔s

¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh nÕu vµ chØ nÕu ∀

®

x1, x2 ∈ X ta cã x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) ¸nh x¹ f:X → Y lµ toµn ¸nh nÕu vµ chØ nÕu

®

f(X)=Y ¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh ho®c lµ toµn ¸nh

®

p ∨ r ⇔ q ∨ s nÕu vµ chØ nÕu

∀ x1, x2 ∈ X ta cã x1 ≠ x2 →

f(x1) ≠ f(x2) ho®c f(X)=Y

p → q, r → s p∧r→q∧s

12.

p→q r → s

p∧r

q∧s

p∧r →q∧s

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

p

q

r

s

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

27 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p→q

NÕu a chia hÕt cho 2 th× a lµ sË ch½n

®

r→s

NÕu a chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c ch÷ sË

®

cña a chia hÕt cho 3 NÕu a chia hÕt cho 2 vµ 3 th× a lµ sË ch½n

®

p∧r →q∧s

vµ cã tæng c¸c ch÷ sË chia hÕt cho 3

b.2. Trong h×nh häc

p→q

NÕu Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng th× nã

®

28 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

r→s

cã mét gãc vu«ng NÕu Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c c©n th× nã cã ® 2 c¹nh b»ng nhau NÕu Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n

p ∧ r → q ∧ s th× nã cã mét gãc vu«ng vµ cã 2 c¹nh b»ng

®

nhau b.3. Trong ®¹i sè

p→q

r→s

NÕu ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c

®

0) cã nghiÖm kÐp th× Delta b»ng 0 2 NÕu ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c

®

2

0) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× Delta lín h¬n 0 2 NÕu ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c

®

p ∧ r → q ∧ s 0) cã nghiÖm kÐp ho®c cã 2 nghiÖm ph©n biÖt th× Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 b.4. Trong to¸n cao cÊp

p→q

r→s p∧r →q∧s

nÕu ∀ x1, x2 ∈ X ta cã x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)

®

th× ¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh nÕu f(X)=Yth× ¸nh x¹ f:X → Y lµ toµn ¸nh ® nÕu ∀ x1, x2 ∈ X ta cã x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2) vµ ® f(X)=Y th× ¸nh x¹ f:X → Y lµ song ¸nh

29 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

13.

p → q, r → s p∨r →q∨s

p→q r → s

p∨r

q∨s

p∨r →q∨s

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

p

q

r

s

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc 30 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

p→q

NÕu a lµ sË ch½n th× a chia hÕt cho 2

®

r→s

NÕu a cã tæng c¸c ch÷ sË chia hÕt cho 3 th×

®

a chia hÕt cho 3 NÕu a lµ sË ch½n ho®c cã tæng c¸c ch÷ sË

®

p∨r →q∨s

chia hÕt cho 3 th× a chia hÕt cho 2 ho®c 3

b.2. Trong h×nh häc

p→q

NÕu tø gi¸c ABCD cã 2 c®p c¹nh ®Ëi song

r→s

vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng

song th× nã lµ h×nh b×nh hµnh NÕu tø gi¸c ABCD cã 2 ®êng chÐo b»ng nhau ® th× nã lµ h×nh ch÷ nhËt NÕu tø gi¸c ABCD cã 2 c®p c¹nh ®Ëi song

p∨r →q∨s

®

®

song ho®c cã 2 ®êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng th× nã lµ h×nh b×nh hµnh ho®c h×nh ch÷ nhËt

b.3. Trong ®¹i sè

p→q

r→s

NÕu ph¬ng tr×nh a x + bx + c = 0 (a kh¸c

®

0) cã Delta b»ng 0 th× nã cã nghiÖm kÐp 2 NÕu ph¬ng tr×nh a x + bx + c = 0 (a kh¸c

®

2

0) cã Delta lín h¬n 0 th× nã cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 2 NÕu ph¬ng tr×nh a x + bx + c = 0 (a kh¸c

®

p ∨ r → q ∨ s 0) cã Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 th× nã cã nghiÖm kÐp ho®c cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 31

Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b.4. Trong to¸n cao cÊp

p→q

r→s

nÕu ∀ x1, x2 ∈ X ta cã x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)

®

th× ¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh nÕu f(X)=Yth× ¸nh x¹ f:X → Y lµ toµn ¸nh nÕu ∀ x1, x2 ∈ X ta cã x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)

® ®

p ∨ r → q ∨ s ho®c f(X)=Y th× ¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh ho®c toµn ¸nh

14.

p, q p∧q p

q

p∧q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc p q

p∧q

a chia hÕt cho 4 a chia hÕt cho 5 a chia hÕt cho 4 vµ 5

® ® ®

b.2. Trong h×nh häc p q

p∧q

Tam gi¸c ABC c©n t¹i A Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Tam gi¸c ABC vu«ng, c©n t¹i A

® ® ®

32 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

b.3. Trong ®¹i sè ® ® ®

2

p q

HS: f(x)= a x + bx + c cã a>0 2 HS: f(x)= a x + bx + c cã Delta <0 2 HS: f(x)= a x + bx + c <0

p∧q

b.4. Trong to¸n cao cÊp p ¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh q ¸nh x¹ f:X → Y lµ toµn ¸nh ¸nh x¹ f:X → Y lµ song ¸nh p∧q

15.

® ® ®

p ∧q p p

q

p∧q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p∧q p

a chia hÕt cho 7 vµ 9

®

a chia hÕt cho 7

® 33 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b.2. Trong h×nh häc

p∧q p

§êng th¼ng x ∈ mf(P) vµ x ∈ (Q)

®

§êng th¼ng x ∈ mf(P)

®

b.3. Trong ®¹i sè

p∧q p

§êng th¼ng y=ax+b ®i qua gËc to¹ ®é vµ t¹o víi

®

trôc hoµnh mét gãc 45 ®é §êng th¼ng y=ax+b ®i qua gËc to¹ ®é

®

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p∧q p

16.

®

¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh vµ toµn ¸nh ¸nh x¹ f:X → Y lµ toµn ¸nh

®

p p∨q

p

q

p∨q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc p

a lµ sË cã 4 ch÷ sË

® 34 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

p∨q

a lµ sË cã 4 ch÷ sË ho®c lµ béi cña 12

®

b.2. Trong h×nh häc p

Tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh Tø gi¸c ABCd lµ h×nh b×nh hµnh ho®c h×nh

p∨q

® ®

thang

b.3. Trong ®¹i sè p

®êng th¼ng y=ax+b c¾t trôc hoµnh ®êng th¼ng y=ax+b c¾t trôc hoµnh ho®c song

p∨q

® ®

song víi trôc hoµnh

b.4. Trong to¸n cao cÊp ¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh ¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh ho®c toµn ¸nh

p

p∨q

® ®

p 17. p

p

p

p

1

0

1

0

1

0

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc 35 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc p

a chia hÕt cho 2 Kh«ng ph¶i a kh«ng chia hÕt cho 2

p

® ®

b.2. Trong h×nh häc p

Tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng Tø gi¸c ABCD kh«ng ph¶i kh«ng lµ h×nh vu«ng

p

b.3. Trong ®¹i sè 2 p Ph¬ng tr×nh a x + bx + c=0 (a ≠ 0) cã nghiÖm 2 Ph¬ng tr×nh a x + bx + c=0 (a ≠ 0) kh«ng v«

p

® ®

® ®

nghiÖm

b.4. Trong to¸n cao cÊp p

(X,*) lµ mét nhãm Aben (X,*) kh«ng ph¶i kh«ng lµ mét nho¸m Aben

p

® ®

p→q 18. q → p

p

q

p

q

p→q

q→p

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

1

36 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p→q q→p

NÕu a chia hÕt cho 4 th× 2 ch÷ sË tËn cïng cña a

®

chia hÕt cho 4 NÕu a kh«ng chia hÕt cho 4 th× 2 ch÷ sË tËn

®

cïng cña a kh«ng chia hÕt cho 4

b.2. Trong h×nh häc

p→q q→p

NÕu tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng th× nã cã 4 gãc ® vu«ng NÕu tø gi¸c ABCD kh«ng lµ h×nh vu«ng th× nã

®

kh«ng cã 4 gãc vu«ng

b.3. Trong ®¹i sè

p→q q→p

NÕu ®êng th¼ng y=ax+b c¾t trôc hoµnh th×

®

ph¬ng tr×nh ax+b=0 cã nghiÖm NÕu ®êng th¼ng y=ax+b kh«ng c¾t trôc hoµnh

®

th× ph¬ng tr×nh ax+b=0 v« nghiÖm

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p→q q→p

NÕu ¸nh x¹ f:X → Y lµ song ¸nh th× nã lµ ®¬n

®

¸nh vµ toµn ¸nh NÕu ¸nh x¹ f:X → Y lµ kh«ng song ¸nh th× nã

®

kh«ng lµ ®¬n ¸nh vµ toµn ¸nh

p⇔q 19. q → p 37 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

p

q

p⇔q

p→q

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p⇔q

p→q

a chia hÕt cho 8 khi vµ chØ khi a cã 3 ch÷ sË tËn

®

cïng chia hÕt cho 8 NÕu a chia hÕt cho 8 th× a cã 3 ch÷ sË tËn cïng

®

chia hÕt cho 8

b.2. Trong h×nh häc

p⇔q

p→q

Tam gi¸c ABC ®Òu khi vµ chØ khi nã cã 3 c¹nh

®

b»ng nhau NÕu tam gi¸c ABC ®Òu th× nã cã 3 c¹nh b»ng

®

nhau

b.3. Trong ®¹i sè 2

p⇔q

p→q

ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c 0) cã

®

nghiÖm khi vµ chØ khi Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 2 NÕu ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c 0) cã ® nghiÖm th× Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 38 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

b.4. Trong to¸n cao cÊp (X,*) lµ vÞ nhãm nÕu vµ chØ nÕu phÐp to¸n */X

p⇔q

®

cã tÝnh chæt kÕt hîp, giao ho¸n vµ cã phÇn tö

p→q

®¬n vÞ NÕu (X,*) lµ vÞ nhãm th× phÐp to¸n */X cã tÝnh

®

chæt kÕt hîp, giao ho¸n vµ cã phÇn tö ®¬n vÞ

p∧q 20. p → q

p

q

p∧q

p→q

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p∧q

p→q

a chia hÕt cho 10 vµ chia hÕt cho 2

®

NÕu a chia hÕt cho 10 th× a chia hÕt cho 2

®

b.2. Trong h×nh häc

p∧q

Tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng vµ h×nh thoi

®

p→q

NÕu tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng th× nã lµ h×nh

®

thoi 39 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

b.3. Trong ®¹i sè

p∧q

p→q

x ∈ N vµ x ∈ R

®

NÕu x ∈ th× x ∈ R

®

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p∧q

p→q

(X,*) lµ nhãm vµ lµ nöa nhãm

®

NÕu (X,*) lµ nhãm th× lµ nöa nhãm

®

p∧q→r 21. p → ( q → r )

p

q

r

p∧q

q→r

p∧q →r

p → ( q → r)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

b. VÝ dô minh ho¹ 40 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b.1. Trong sè häc

p∧q →r

NÕu a chia hÕt cho 3 vµ chia hÕt cho 2 th× a

®

p → (q → r)

chia hÕt cho 6 NÕu a chia hÕt cho 3 suy ra nÕu a chia hÕt cho

®

2 th× a chia hÕt cho 6 b.2. Trong h×nh häc

p∧q →r

NÕu h×nh b×nh hµnh ABCD cã mét gãc vu«ng

®

vµ 2 c¹nh liªn tiÕp b»ng nhau th× nã lµ h×nh

p → (q → r)

vu«ng NÕu h×nh b×nh hµnh ABCD cã mét gãc vu«ng

®

suy ra nÕu nã cã 2 c¹nh liªn tiÕp b»ng nhau th× nã lµ h×nh vu«ng b.3. Trong ®¹i sè p ∧ q → r NÕu tËp hîp A ⊂ B vµ B ⊂ C th× A ⊂ C p → ( q → r ) NÕu tËp hîp A ⊂ B suy ra nÕu B ⊂ C th× A ⊂ C

® ®

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p∧q →r

NÕu ¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh vµ toµn ¸nh

p → ( q → r)

th× nã lµ song ¸nh NÕu ¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh suy ra nÕu nã lµ ®

®

toµn ¸nh th× nã lµ song ¸nh

p∨q →r p→r 22.

p

q

r

p∨q

p∨q→r

p→r

41 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p ∨ q → r NÕu a cã tËn cïng b»ng 0 ho®c 5 th× a chia hÕt

p→r

cho 5 NÕu a cã tËn cïng b»ng 0 th× a chia hÕt cho 5

® ®

b.2. Trong h×nh häc

p ∨ q → r NÕu h×nh b×nh hµnh ABCD cã 2 c¹nh liªn tiÕp

®

b»ng nhau ho®c cã 2 ®êng chÐo vu«ng gãc víi

p→r

nhau th× nã lµ h×nh thoi NÕu h×nh b×nh hµnh ABCD cã 2 c¹nh liªn tiÕp

®

b»ng nhau th× nã lµ h×nh thoi b.3. Trong ®¹i sè

p ∨ q → r NÕu ph¬ng tr×nh a x 2 + ax + b = 0 (a kh¸c 0) cã ® 42 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Delta lín h¬n ho®c b»ng 0 th× ph¬ng tr×nh ®ã cã nghiÖm 2 NÕu ph¬ng tr×nh a x + ax + b = 0 (a kh¸c 0) cã ®

p→r

Delta lín h¬n 0 th× ph¬ng tr×nh ®ã cã nghiÖm b.4. Trong to¸n cao cÊp

p ∨ q → r NÕu A lµ vµnh con cña X ho®c

®

∀x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, - x ∈ A th× φ ≠ A ⊂ X - Vµnh

p→r

NÕu A lµ vµnh con cña vµnh X th× A lµ tËp con

®

cña tËp X

p → (q → r) 23. q → ( p → r )

q → r p → (q → r) q → ( p → r)

p

q

r

p→r

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

b. VÝ dô minh ho¹ 43 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b.1. Trong sè häc

p → ( q → r ) NÕu a chia hÕt cho 3 suy ra nÕu a chia hÕt

®

q → ( p → r)

®

cho 2 th× a chia hÕt cho 6 NÕu a chia hÕt cho 2 suy ra nÕu a chia hÕt cho 3 th× a chia hÕt cho 6

b.2. Trong h×nh häc p → q → r NÕu h×nh b×nh hµnh ABCD cã mét gãc vu«ng

(

)

q → ( p → r)

®

suy ra nÕu nã cã 2 c¹nh liªn tiÕp b»ng nhau th× nã lµ h×nh vu«ng NÕu h×nh b×nh hµnh ABCD cã 2 c¹nh liªn tiÕp ® b»ng nhau suy ra nÕu nã cã mét gãc vu«ng th× nã lµ h×nh vu«ng

b.3. Trong ®¹i sè

p → ( q → r ) NÕu A ⊂ B suy ra nÕu B ⊂ C th× A ⊂ C q → ( p → r ) NÕu B ⊂ C suy ra nÕu A ⊂ B th× A ⊂ C

® ®

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p → ( q → r ) NÕu ¸nh x¹ f: X → Y lµ ®¬n ¸nh suy ra nÕu f lµ ®

q → ( p → r)

toµn ¸nh th× nã lµ song ¸nh NÕu ¸nh x¹ f:X → Y lµ toµn ¸nh suy ra nÕu f lµ

®

®¬n ¸nh th× f lµ song ¸nh

44 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 24.

p → q, p → q p p

q

p

q

p→q

p→q

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p→q

p→q

p

NÕu a ∉ N th× a ∈ Z

®

NÕu a ∉ N th× a ∉ Z

®

a∈ N

®

b.2. Trong h×nh häc

p→q

p→q p

NÕu tø gi¸c ABCD kh«ng ph¶i lµ h×nh ch÷ nhËt

®

th× nã lµ h×nh b×nh hµnh NÕu tø gi¸c ABCD kh«ng ph¶i lµ h×nh ch÷ nhËt

®

th× nã kh«ng lµ h×nh b×nh hµnh Tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt

®

b.3. Trong ®¹i sè

p→q

NÕu HS f(x) kh«ng cã ®¹o hµm t¹i x=0 th× nã

®

45 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

p→q p

liªn tôc t¹i x=0 NÕu HS f(x) kh«ng cã ®¹o hµm t¹i x=0 th× nã

®

còng kh«ng liªn tôc t¹i x=0 HS f(x) cã ®¹o hµm t¹i x=0

®

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p→q

p→q p

NÕu (X,+) kh«ng lµ mét nhãm th× nã lµ mét nöa

®

nhãm NÕu (X,+) kh«ng lµ mét nhãm th× nã kh«ng lµ

®

mét nöa nhãm (X,+) lµ mét nhãm

®

p→q∧q p 25.

p

q

p

q

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

q

∧

q

p →q∧q

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

p →q∧q p

NÕu a kh«ng chia hÕt cho 2 th× a chia hÕt cho 6

®

vµ a còng kh«ng chia hÕt cho 6 a chia hÕt cho 2

®

46 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

b.2. Trong h×nh häc NÕu tø gi¸c ABCD kh«ng lµ h×nh vu«ng th× nã

®

p → q ∧ q lµ h×nh ch÷ nhËt vµ còng kh«ng lµ h×nh ch÷ nhËt Tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng

p

®

b.3. Trong ®¹i sè 2

NÕu ph¬ng tr×nh a x + bx + c = 0 (a kh¸c 0) v«

p →q∧q

nghiÖm th× ®êng th¼ng y1=bx+c tiÕp víi ®êng 2

cong y2= a x (a kh¸c 0) vµ y1 còng kh«ng tiÕp xóc víi y2 2 ph¬ng tr×nh a x + bx + c = 0 (a kh¸c 0) cã

p

®

®

nghiÖm

b.4. Trong to¸n cao cÊp

p →q∧q p

NÕu (X,.) kh«ng lµ mét nhãm th× nã lµ nöa nhãm ® vµ nã còng kh«ng lµ nöa nhãm (X,.) lµ mét nhãm

®

p → q, q p 26.

p

q

p

q

p→q

47 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc

q p→q

a kh«ng lµ sË lÎ

®

NÕu a kh«ng lµ sË ch½n th× a lµ sË lÎ

®

p

a lµ sË ch½n

®

b.2. Trong h×nh häc

q p→q p

Trong mf(P), 2 ®êng th¼ng a vµ b kh«ng cã ®iÓm ® chung nµo Trong mf(P), nÕu 2 ®êng th¼ng a vµ b kh«ng

®

song song th× chóng cã Ýt nhæt 1 ®iÓm ®iÓm chung 2 ®êng th¼ng a vµ b song song víi nhau

®

b.3. Trong ®¹i sè

q p→q p

§êng th¼ng (y1) kh«ng ph¶i lµ tiÖm cËn cña ®-

®

êng cong y2 NÕu ®êng th¼ng y1 kh«ng c¾t ®êng cong y2

®

th× nã lµ tiÖm cËn cña ®êng cong y2 §êng th¼ng y1 c¾t ®êng cong y2

®

48 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

b.4. Trong to¸n cao cÊp

q

¸nh x¹ f:X → Y kh«ng lµ toµn ¸nh

p→q

NÕu ¸nh x¹ f:X → Y lµ kh«ng lµ ®¬n ¸nh th× nã lµ ®

®

toµn ¸nh ¸nh x¹ f:X → Y lµ ®¬n ¸nh

p

®

p→ p p 27.

p

p

p→ p

1

0

1

0

1

0

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc p

p→ p

a lµ sË lÎ NÕu a kh«ng lµ sË ch½n th× a lµ sË lÎ

® ®

b.2. Trong h×nh häc p

p→ p

Hai ®êng th¼ng a vµ b song song víi nhau Trong cïng mét m®t ph¼ng nÕu hai ®êng th¼ng

® ®

a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung th× chóng song

song víi nhau b.3. Trong ®¹i sË 49 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc p

§êng th¼ng d song song víi ®êng th¼ng d’ NÕu ®êng th¼ng (d) y=ax+b kh«ng c¾t ®êng

p→ p

® ®

th¼ng (d’) y=a’x+b’ th× chóng song song víi nhau

b.4. Trong to¸n cao cÊp

∈

p

®

x B Hai tËp hîp A vµ B lµ hai tËp hîp t¸ch rêi vµ x ∈ A ∪

p→ p

®

B. NÕu x ∉ A th× x ∈ B

p∧q →r∧r p→q 28.

p

q

r

p

q

r

p∧q

r∧r

p∧q →r∧r

p→q

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0 0 0 1 1 b. VÝ dô minh ho¹

1

0

0

1

1

b.1. Trong sè häc 50 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc NÕu a chia hÕt cho 2 vµ a kh«ng chia hÕt cho

®

p ∧ q → r ∧ r 6 th× a chia hÕt cho 3 vµ kh«ng chia hÕt cho

p→q

3 NÕu a chia hÕt cho 2 th× a chia hÕt cho 6

®

b.2. Trong h×nh häc NÕu tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt vµ kh«ng

p∧q →r∧r

p→q

®

lµ h×nh vu«ng th× tø gi¸c ABCD cã 2 ®êng chÐo b»ng nhau vµ còng cã hai ®êng chÐo kh«ng b»ng nhau NÕu tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt th× nã lµ

®

h×nh vu«ng

q→p 29. p → q

p

q

p

q

q→p

p→q

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

b. VÝ dô minh ho¹ b.1. Trong sè häc 51 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

q→p

p→q

NÕu a kh«ng chia hÕt cho 2 th× a kh«ng chia

®

hÕt cho 6 NÕu a chia hÕt cho 6 th× a chia hÕt cho 2

®

b.2. Trong h×nh häc

q→p

p→q

NÕu tam gi¸c ABC kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c c©n

®

th× nã kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c ®Òu NÕu tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu th× nã lµ

®

tam gi¸c c©n

b.3. Trong ®¹i sè

q→p

p→q

NÕu hµm sË f(x) kh«ng liªn tôc t¹i x0 th× nã còng ® kh«ng cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm ®ã NÕu hµm sË f(x) cã ®¹o hµm t¹i x0 th× nã còng

®

liªn tôc t¹i x0

b.4. Trong to¸n cao cÊp

q→p

p→q

NÕu ¸nh x¹ f:X → Y lµ kh«ng lµ toµn ¸nh th× nã lµ ® kh«ng lµ song ¸nh NÕu ¸nh x¹ f:X → Y lµ song ¸nh th× nã lµ toµn

®

¸nh

52 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc C¸c phÐp to¸n trªn hµm mÖnh ®Ò Bµi 1: X©y dùng 2 VDMH vÒ thiÕt lËp HM§ phñ ®Þnh cña M§ cho tríc 1.1. Trong sè häc VD1

VD2

F(x)

x lµ sË nguyªn tË

F ( x)

x kh«ng lµ sË nguyªn tË

F(x)

x lµ sË lÎ

F ( x)

x kh«ng lµ sË lÎ

1.1. Trong h×nh häc VD1

VD2

F(x)

x lµ ®êng th¼ng thuéc m®t ph¼ng (P)

F ( x)

x lµ ®êng th¼ng kh«ng thuéc m®t ph¼ng (P)

F(x)

Tam gi¸c ABC ®ång d¹ng víi tam gi¸c MNP

F ( x ) Tam gi¸c ABC kh«ng ®ång d¹ng víi tam gi¸c MNP

1.1. Trong ®¹i sè VD1

VD2

F(x)

x2 − x − 6 ≤ 0

F ( x)

x 2 − x − 6 >0

F(x)

3x 3 − x − 6 ≠ 0

F ( x)

3 x 3 − x − 6 =0

1.1. Trong to¸n cao cÊp 53 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

VD1

VD2

F(x)

f: X → Y lµ song ¸nh

F ( x)

f: X → Y kh«ng lµ song ¸nh

F(x)

T lµ mét quan hÖ hai ng«i trong tËp hîp X

F ( x)

T lµ mét quan hÖ hai ng«i trong tËp hîp X

Bµi 2: Ph¸t biÓu ®Þnh nghÜa vµ nªu vÝ dô minh ho¹ ®èi víi c¸c phÐp to¸n cßn l¹i trªn mÖnh ®Ò 1. PhÐp héi Héi cña hai hµm mÖnh ®Ò P(x), Q(x); kÝ hiÖu lµ P(x)

∧

Q(x), lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn X sao cho nã nhËn gi¸ trÞ 1 trªn tËp c¸c phÇn tö a

∈ X mµ P(a)=1 vµ Q(a) = 1 vµ nhËn

gi¸ trÞ 0 trong c¸c trêng hîp cßn l¹i. NghÜa lµ:

VD

EP(x)

∧ Q(x) =

EP(x) ∩ EQ(x)

P(x)

x2 − x − 6 ≤ 0

Q( x )

x 2 + 3x − 4 ≤ 0

P(x) ∧ Q(x)

EP(x) = { x ∈ R − 2 ≤ x ≤ 3 } EQ(x) = { x ∈ R − 4 ≤ x ≤ 1 } EP(x) ∧ Q(x) = { x ∈ R − 2 ≤ x ≤ 1 }

 x 2 − x − 6 ≤ 0  2  x + 3x − 4 ≤ 0

2. PhÐp tuyÓn TuyÓn cña hai hµm mÖnh ®Ò P(x), Q(x); kÝ hiÖu lµ P(x)

∨

Q(x), lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn X sao cho nã nhËn gi¸ 54 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc trÞ 0 trªn tËp c¸c phÇn tö a

∈ X mµ P(a)=0 vµ Q(a) = 0 vµ nhËn

gi¸ trÞ 1 trong c¸c trêng hîp cßn l¹i. NghÜa lµ:

VD

EP(x) ∨ Q(x) = EP(x) ∪ EQ(x)

P(x)

4x − 2 = 0

1  EP(x) =  x = 2 }

Q( x )

x+5 = 0

EQ(x) = { x = −5 }

P(x) ∧ Q(x)

 x 2 − x − 6 ≤ 0  2  x + 3x − 4 ≤ 0

1  x = ∧  EP(x) Q(x) =  2 ,−5

}

3. PhÐp kÐo theo: KÐo theo cña hai hµm mÖnh ®Ò P(x), Q(x); kÝ hiÖu lµ P(x) → Q(x), lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn X sao cho nã nhËn gi¸ trÞ 0 trªn tËp c¸c phÇn tö a

∈ X mµ P(a)=1 vµ Q(a) = 0 vµ nhËn

gi¸ trÞ 1 trong c¸c trêng hîp cßn l¹i.

( )

NghÜa lµ: EP(x) → Q(x) = C X E P(x) VÝ du: Trªn tËp hîp sË tù nhiªn N ta cã

VD

P(x)

x lµ sË nguyªn tË

Q( x )

x lµ sË lÎ

P(x) → Q(x) NÕu x lµ sË nguyªn tË th× x lµ sË lÎ 4. PhÐp t¬ng ®¬ng: 55

∪ EQ(x)

EP(x) = { x = 2,3,5,....11,13..... } EQ(x) = { x = 1,3,5,7...... } EP(x) → Q(x) = N − {2 }

Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc T¬ng ®¬ng cña hai hµm mÖnh ®Ò P(x), Q(x); kÝ hiÖu lµ P(x) ↔ Q(x), lµ mét hµm mÖnh ®Ò x¸c ®Þnh trªn X sao cho nã nhËn gi¸ trÞ 1 trªn tËp c¸c phÇn tö a

∈ X mµ P(a)= Q(a) vµ nhËn

gi¸ trÞ 0 trong c¸c trêng hîp cßn l¹i. NghÜa lµ:

EP(x) ↔ Q(x) = (X - (EP(x) ∪ EQ(x))) ∪ EP(x) ∩

EQ(x) VÝ du: Trªn tËp hîp sË tù nhiªn N ta cã P(x)

x chia hÕt cho 5

Q( x )

x cã ch÷ sË tËn cïng b»ng 0 ho®c 5

VD

P(x) ↔ Q(x) x chia hÕt cho 5 khi vµ chØ khi x cã tËn cïng b»ng 0 ho®c 5

EP(x) = { x = 0,5,10,15.......... } EQ(x) = { x = 0,5,10,15...... } EP(x) ↔ Q(x) { x = 0,5,10,15.......... }

=

MÖnh ®Ò tæng qu¸t vµ tån t¹i Bµi 1: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ mÖnh ®Ò tæng qu¸t trong 5 trêng hîp a. Trong sè häc VÝ dô 1: Mäi n thuéc N, n lµ sË nguyªn tË VÝ dô 2: Mäi a chia hÕt cho 9, a chia hÕt cho 3 b. Trong ®¹i sè

56 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

 x 2 − x − 6 ≤ 0 VÝ dô 1: Mäi x thuéc R,  2  x + 3x − 4 ≤ 0 VÝ dô 2: Mäi x thuéc R,

x2 − x − 6 ≤ 0

c. Trong h×nh häc VÝ dô 1: Mäi h×nh ch÷ nhËt ®Òu lµ h×nh b×nh hµnh VÝ dô 2: Mäi ®êng th¼ng qua ®iÓm A vµ c¾t ®êng th¼ng (d) ®Òu thuéc m®t ph¼ng (A,d). d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: Mäi ¸nh x¹ f: X → Y ®Òu lµ song ¸nh VÝ dô 2: Mäi nöa nhãm (X,*) ®Òu lµ nhãm aben e. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: Tæt c¶ sinh viªn trêng §¹i häc S ph¹m Hµ Néi ®Òu häc giái. VÝ dô 2: Mäi häc viªn cao häc líp K16 GDTH trêng §HSP Hµ Néi ®Òu cã b»ng tËt nghiÖp ®¹i häc.

Bµi 2: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ mÖnh ®Ò tån t¹i trong 5 trêng hîp a. Trong sè häc VÝ dô 1: Tån t¹i x thuéc R sao cho x chia hÕt cho 7. VÝ dô 2: Tån t¹i x thuéc N sao cho x lµ sË ch½n. b. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: Tån t¹i x thuéc R :

x2 − x − 6 ≤ 0 57 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

 x 2 − x − 6 ≤ 0 VÝ dô 2: Tån t¹i x thuéc R:  2  x + 3x − 4 ≤ 0 c. Trong h×nh häc VÝ dô 1: Tån t¹i mét h×nh b×nh hµnh lµ h×nh thoi VÝ dô 2: Tån t¹i mét tam gi¸c ®ång d¹ng víi tam gi¸c vu«ng ABC d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: Tån t¹i mét nöa nhãm (X*) lµ vÞ nhãm giao ho¸n. VÝ dô 2: Tån t¹i mét vµnh (T,+, .) lµ mét trêng. e. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: Tån t¹i x thuéc R sao cho x chia hÕt cho 7. VÝ dô 2: Tån t¹i x thuéc N sao cho x lµ sË ch½n Bµi 3: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ phñ ®Þnh mÖnh ®Ò tæng qu¸t vµ mÖnh ®Ò tån t¹i trong 5 trêng hîp a. Trong sè häc VD1

VD2

F(x)

Mäi sË nguyªn tË x ®Ò lµ sË lÎ

F ( x)

Tån t¹i mét sË nguyªn tË x kh«ng lµ sË lÎ

F(x)

Tån t¹i x thuéc N sao cho x chia hÕt cho 3

F ( x)

Mäi x thuéc N, x kh«ng chia hÕt cho 3

b. Trong h×nh häc VD1

F(x)

Mäi h×nh vu«ng ®Òu lµ h×nh ch÷ nhËt

F ( x)

Tån t¹i mét h×nh vu«ng kh«ng lµ h×nh ch÷ nhËt

58 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc F(x) VD2

Tån t¹i mét tam gi¸c c©n lµ tam gi¸c ®Òu

F ( x ) Mäi tam gi¸c c©n kh«ng lµ tam gi¸c ®Òu

c. Trong ®¹i sè F(x) VD1

x2 − x − 6 ≤ 0

F ( x ) Tån t¹i x thuéc R sao cho x 2 − x − 6 >0 F(x)

VD2

Mäi x thuéc R,

Tån t¹i x thuéc R sao cho

3x 3 − x − 6 ≠ 0

F ( x ) Mäi x thuéc R, 3 x 3 − x − 6 =0

d. Trong to¸n cao cÊp VD1

VD2

F(x)

Tån t¹i mét ®¬n ¸nh f: X → Y lµ song ¸nh

F ( x)

Mäi ®¬n ¸nh f: X → Y kh«ng lµ song ¸nh

F(x)

Mäi quan hÖ hai ng«i S ®Òu lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng

F ( x)

Tån t¹i mét quan hÖ hai ng«i S kh«ng lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng

e. Trong ®êi thêng

VD1

VD2

F(x)

Mäi häc viªn cao häc líp K16- GDTH ®Òu häc giái to¸n

F ( x)

Tån t¹i mét häc viªn cao häc líp K16-GDTH kh«ng häc gái to¸n

F(x)

Tæt c¶ gi¶ng viªn trêng §HSP Hµ Néi ®Òu lµ gi¸o s

F ( x)

Tån t¹i mét gi¶ng viªn trêng §HSP Hµ Néi kh«ng lµ gi¸o s 59 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

PhÇn II: C¬ së cña l«gic Kh¸i niÖm Bµi 1: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ kh¸i niÖm x¸c ®Þnh bëi mét hµm mÖnh ®Ò trong c¸c lÜnh vùc a. Trong sè häc VÝ dô 1: Kh¸i niÖm sË h÷u tØ F(x): x lµ sË h÷u tØ.

M§F =

a  b ∈ Z *, a ∈ Z   b 

VÝ dô 2: Kh¸i niÖm sË lÎ F(x): x lµ sË lÎ.

M§ F

=

{ n = 2a + 1

a ∈ N}

b. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: Kh¸i niÖm tam thøc bËc 2 F(f): f(x) lµ tam thøc bËc 2

M§ F =

{ax

2

+ bx + c a ∈ R*, b, c ∈ R

}

VÝ dô 2: Kh¸i niÖm Ph¬ng tr×nh bËc nhæt mét Èn F(*): (*) lµ ph¬ng tr×nh bËc nhæt mét Èn

M§ F =

{ax + b

a ∈ R*, b ∈ R}

c. Trong h×nh häc VÝ dô 1: Kh¸i niÖm h×nh ch÷ nhËt 60 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc F(T): T lµ h×nh ch÷ nhËt.

M§

F=

{

Tø gi¸c ABCD sao cho Aˆ = Bˆ = Cˆ = Dˆ = 90 0

}

VÝ dô 2: Kh¸i niÖm h×nh b×nh hµnh F(T): T lµ h×nh b×nh hµnh.

M§F = { Tø gi¸c ABCD sao cho AB // & = CD

}

d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: Kh¸i niÖm ¸nh x¹. F(f): f lµ mét ¸nh x¹.

M§F = { f:X → Y;biÕn x → y sao cho X, Y lµ c¸c tËp hîp; x ∈ X,

y ∈ Yvµ

y=f(x) }

VÝ dô 2: Kh¸i niÖm quan hÖ t¬ng ®¬ng F(s): S lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng trong tËp hîp X.

M§F = { S sao cho X, Y x,y,z ∈ X th× xSx; xSy; vµ xSy, ySz →

xSz } e. Trong ®êi th¬ng

VÝ dô 1: Kh¸i niÖm ®µn «ng F(a): a lµ ®µn «ng. M§F = { Tæt c¶ ®µn «ng trªn thÕ giíi } VÝ dô 2: Kh¸i niÖm m«i trêng tù nhiªn F(B): B lµ m«i trêng tù nhiªn. M§F =

{ Tæt c¶ c¸c d¹ng vËt chæt bao quanh con ngêi } Quan hÖ gi÷a c¸c Kh¸i niÖm 61 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Bµi 1: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ kh¸i niÖm ®ång nhÊt trong c¸c lÜnh vùc a. Trong sè häc VÝ dô 1: A(n): n lµ sË tù nhiªn ch½n. B(n): n lµ sË tù nhiªn chia hÕt cho 2. Ta thæy: M§A = M§B = { 0,2,4,6…….. } VÝ dô 2: A(n): n lµ ph©n sË. B(n): n lµ sË h÷u tØ.

a  Ta thæy: M§A = M§B =  b ∈ Z *, a ∈ Z  b  b. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: A(c): C lµ ®å thÞ cña hµm sË bËc 2. B(c): C lµ parabol Ta thæy: M§A = M§B = { TËp hîp c¸c ®å thÞ cña hµm sË y= ax2 + bx + c sao cho a ∈ R*; b,c ∈ R } VÝ dô 2: A(t): (t) lµ ph¬ng tr×nh bËc 2 mét Èn B(t): (t) lµ tam thøc bËc hai.

{ax Ta thæy: M§A = M§B =

2

}

+ bx + c = 0 a ∈ R*, b, c ∈ R 62

Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc c. Trong h×nh häc VÝ dô 1: A(c): C lµ h×nh ch÷ nhËt cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc. B(c): C lµ h×nh thoi cã m«t gãc vu«ng. Ta thæy: M§A = M§B = { TËp hîp c¸c h×nh vu«ng } VÝ dô 2: A(t): T lµ tø gi¸c cã 4 gãc vu«ng. B(t): T lµ h×nh b×nh hµnh cã 1 gãc vu«ng. Ta thæy: M§A = M§B = { TËp hîp c¸c h×nh ch÷ nhËt } d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: A(t): (T,+, .) lµ mét vµnh vµ (T- { 0 } , .) lµ mét nhãm aben. B(t): (T, +, .) lµ mét trêng. Ta thæy: M§A = M§B = { TËp c¸c trêng (T,+, .) } VÝ dô 2: A(x): (X*) lµ nöa nhãm cã tÝnh chæt giao ho¸n. B(x): (X*) lµ nöa nhãm a ben. Ta thæy: M§A = M§B = { TËp hîp c¸c nöa nhãm aben (X,*) } e. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: A(c): Ngêi C lµ NguyÔn Du 63 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc B(c): Ngêi C lµ t¸c gi¶ “TruyÖn KiÒuÓ Ta thæy: M§A = M§B = { NguyÔn Du } VÝ dô 2: A(x): X lµ thñ ®« cña níc ViÖt Nam. B(x): X lµ thµnh phË Hµ Néi Ta thæy: M§A = M§B = { Hµ Néi } Bµi 2: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ kh¸i niÖm chñng vµ lo¹i trong c¸c lÜnh vùc a. Trong sè häc VÝ dô 1: A(n): n lµ sË tù nhiªn. B(n): n lµ sË lÎ. Ta thæy: M§A

⊂ ≠

M§B

VÝ dô 2: A(n): n lµ sË chia hÕt cho 3 B(n): n lµ sË chia hÕt cho 6. Ta thæy: M§A

⊂ ≠

M§B

A(n) lµ chñng so víi B(n); B(n) lµ lo¹i so víi A(n) Trong ®¹i sè VÝ dô 1: A(c): c lµ ph¬ng tr×nh 1 Èn 64 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc B(c): c lµ ph¬ng tr×nh bËc nhæt 1 Èn Ta thæy: M§B = { ax + b = 0 sao cho a kh¸c 0; a, b thuéc R } M§A= { ax + b = 0 , ax2 +bx + c =0, …….. } DÔ thæy: M§A ⊂ M§B ≠ VÝ dô 2: A(t): t lµ hÖ ph¬ng tr×nh. B(t): t lµ hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhæt hai Èn. Ta thæy: M§A

⊂ ≠

M§B

b. Trong h×nh häc VÝ dô 1: A(c): C lµ h×nh ch÷ nhËt. B(c): C lµ h×nh vu«ng. Ta thæy: M§A

⊂ ≠

M§B

VÝ dô 2: A(t): T lµ h×nh hép ch÷ nhËt. B(t): T lµ h×nh lËp ph¬ng Ta thæy: M§A

⊂ ≠

M§B

c. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: A(f): ¸nh x¹ f:X → Y

lµ mét song ¸nh 65 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc x → y = f(x) B(f): ¸nh x¹ f:X → Y x → y = f(x) Ta thæy: M§A

lµ mét ®¬n ¸nh

⊂ ≠

M§B Nªn kh¸i niÖm A(f) lµ chñng so víi

kh¸i niÖm B(f), kh¸i niÖm B(f) lµ lo¹i so víi kh¸i niÖm A(f). VÝ dô 2: A(x): (X,*) lµ nhãm giao ho¸n. B(x): (X,*) lµ nöa nhãm a ben. Ta thæy: M§A

⊂ ≠

M§B Nªn kh¸i niÖm A(x) lµ réng h¬n kh¸i

niÖm B(x). d. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: A(c): Ngêi C lµ ngêi ViÖt Nam. B(c): Ngêi C Ngêi Th¸i Nguyªn Ta thæy: M§A

⊂ ≠

M§B Nªn kh¸i niÖm A(c) lµ réng h¬n kh¸i

niÖm B(c). VÝ dô 2: A(x): X lµ ngêi B(x): X lµ ngêi da tr¾ng. Ta thæy: M§A

⊂ ≠

M§B Nªn kh¸i niÖm A(x) lµ chñng so víi

kh¸i niÖm B(x) vµ ngîc l¹i. Bµi 3: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ kh¸i niÖm chÌo nhau trong c¸c lÜnh vùc a. Trong sè häc VÝ dô 1: A(n): n lµ sË lÎ. 66 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc B(n): n lµ sË nguyªn tË Ta thæy: M§A = { 1,3,5,7 …….. } M§B = { 2,3,5,7,11…….. } M§A ⊄ M§B; M§B ⊄ M§A vµ

M§A ∩ M§B = { 3,5,7,11,…….. }

Kh¸i niÖm “SË lÎÓ vµ kh¸i niÖm “SË nguyªn tËÓ lµ hai kh¸i niÖm chío nhau. VÝ dô 2: A(n): n lµ sË chia hÕt cho 2 B(n): n lµ sË chia hÕt cho 5 Ta thæy: M§A = { 0, 2, 4, 6 …….. } M§B = { 0, 5,10,15…….. } M§A ⊄ M§B; M§B ⊄ M§A vµ

M§A ∩ M§B = { 0,10,15…….. }

Kh¸i niÖm “SË chia hÕt cho 2Ó vµ kh¸i niÖm “SË chia hÕt cho 5Ó lµ hai kh¸i niÖm chío nhau. b. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: A(c): c lµ hµm sË ®ång biÕn. B(c): c lµ hµm sË mò DÔ thæy: vµ

M§A ⊄ M§B; M§B ⊄ M§A

M§A ∩ M§B ≠ θ

Kh¸i niÖm “Hµm sË ®ång biÕnÓ vµ kh¸i niÖm “Hµm sË mòÓ lµ hai kh¸i niÖm chío nhau. VÝ dô 2: A(t): t lµ d·y sË t¨ng B(t): t lµ d·y sË c¸ch ®Òu 67 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc DÔ thæy: M§A ⊄ M§B; M§B ⊄ M§A M§A ∩ M§B ≠ θ

vµ

Kh¸i niÖm “D·y sË t¨ngÓ vµ kh¸i niÖm “D·y sË c¸ch ®ÒuÓ lµ hai kh¸i niÖm chío nhau. c. Trong h×nh häc VÝ dô 1: A(c): C lµ h×nh ch÷ nhËt. B(c): C lµ h×nh thoi. DÔ thæy: M§A ⊄ M§B; M§B ⊄ M§A vµ

M§A ∩ M§B = { C¸c h×nh vu«ng }

Kh¸i niÖm “H×nh ch÷ nhËtÓ vµ kh¸i niÖm “H×nh thoiÓ lµ hai kh¸i niÖm chío nhau. VÝ dô 2: A(t): T lµ tam gi¸c vu«ng B(t): T lµ tam gi¸c c©n Ta thæy: M§A = { TËp c¸c tam gi¸c vu«ng } M§B = { TËp c¸c tam gi¸c c©n } M§A ⊄ M§B; M§B ⊄ M§A vµ

M§A ∩ M§B = { TËp c¸c tam gi¸c vu«ng c©n }

Kh¸i niÖm “Tam gi¸c vu«ngÓ vµ kh¸i niÖm “Tam gi¸c c©nÓ lµ hai kh¸i niÖm chío nhau. d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: A(f): ¸nh x¹ f:X → Y x → y = f(x) B(f): ¸nh x¹ f:X → Y x → y = f(x)

lµ mét toµn ¸nh lµ mét ®¬n ¸nh

68 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Ta thæy: M§A = { TËp c¸c toµn ¸nh f } M§B = { TËp c¸c ®¬n ¸nh } M§A ⊄ M§B; M§B ⊄ M§A vµ

M§A ∩ M§B = { TËp c¸c song ¸nh f }

Kh¸i niÖm “Toµn ¸nhÓ vµ kh¸i niÖm “§¬n ¸nhÓ lµ hai kh¸i niÖm chío nhau. VÝ dô 2: A(s): S lµ mét quan hÖ t¬ng ®¬ng trªn tËp X B(s): S lµ mét quan hÖ thø tù trªn tËp X Ta thæy: M§A = { C¸c quan hÖ t¬ng ®¬ng S tªn X } M§B = { C¸c quan hÖ thø tù S tªn X } M§A ⊄ M§B; M§B ⊄ M§A vµ

M§A ∩ M§B = { C¸c quan hÖ S võa lµ quan hÖ t¬ng ®-

¬ng võa lµ quan hÖ thø tù trªn X } Kh¸i niÖm “Quan hÖ t¬ng ®¬ngÓ vµ kh¸i niÖm “Quan hÖ thø tùÓ lµ hai kh¸i niÖm chío nhau. e. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: A(c): Ngêi C lµ gi¸o viªn. B(c): Ngêi C phô n÷ Ta thæy: M§A = { Tæt c¶ c¸c ngêi d¹y häc } M§B = { Tæt c¶ phô n÷ } M§A ⊄ M§B; M§B ⊄ M§A vµ

M§A ∩ M§B = { Tæt c¶ phô n÷ lµm nghÒ d¹y häc } 69 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Kh¸i niÖm “Gi¸o viªnÓ vµ kh¸i niÖm “Phô n÷Ó lµ hai kh¸i niÖm chío nhau. VÝ dô 2: A(x): X lµ sinh viªn B(x): X lµ nam giíi Ta thæy: M§A = { Tæt c¶ nh÷ng ngêi häc ë bËc ®¹i häc, cao ®¼ng

} M§B = { Tæt c¶ nh÷ng ngêi nam giíi } M§A ⊄ M§B; M§B ⊄ M§A vµ

M§A ∩ M§B = { Tæt c¶ nh÷ng nam giíi häc ë bËc ®¹i häc,

cao ®¼ng } Kh¸i niÖm “Sinh viªnÓ vµ kh¸i niÖm “Nam giíiÓ lµ hai kh¸i niÖm chío nhau. Bµi 4: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ kh¸i niÖm t¸ch rêi trong c¸c lÜnh vùc a. Trong sè häc VÝ dô 1: A(n): n lµ sË lÎ. B(n): n lµ sË chia hÕt cho 8. Ta thæy: M§A = { 1,3,5,7 …….. } M§B = { 0, 8,16…….. } Suy ra:

M§A ∩ M§B =

θ

Kh¸i niÖm “SË lÎÓ vµ kh¸i niÖm “SË nguyªn tËÓ lµ hai kh¸i niÖm t¸ch rêi. VÝ dô 2: 70 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc A(n): n lµ sË lÎ. B(n): n lµ béi cña 12 Ta thæy: M§A = { 1,3,5,7 …….. } M§B = { 0,12,24…….. } Suy ra:

M§A ∩ M§B =

θ

Kh¸i niÖm “SË lÎÓ vµ kh¸i niÖm “Béi sË cña 12Ó lµ hai kh¸i niÖm t¸ch rêi. b. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: A(c): c lµ ph¬ng tr×nh bËc nhæt. B(c): c lµ ph¬ng tr×nh bËc hai. Ta thæy: M§A = { ax + b = 0 sao cho a kh¸c 0, a, b thuéc R } M§B = { ax2 + bx + c = 0 sao cho a kh¸c 0; a,b,c thuéc R } Suy ra:

M§A ∩ M§B =

θ

Kh¸i niÖm “Ph¬ng tr×nh bËc nhætÓ vµ kh¸i niÖm “Ph¬ng tr×nh bËc haiÓ lµ hai kh¸i niÖm t¸ch rêi. VÝ dô 2: A(t): t lµ d·y sË t¨ng B(t): t lµ d·y sË tuÇn hoµn. Ta thæy: M§A = { TËp c¸c d·y sË t¨ng } M§B = { TËp c¸c d·y sË c¸ch ®Òu } Suy ra:

M§A ∩ M§B =

θ

Kh¸i niÖm “D·y sË t¨ng Ó vµ kh¸i niÖm “D·y sË c¸ch ®Òu Ó lµ hai kh¸i niÖm t¸ch rêi. 71 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc c. Trong h×nh häc VÝ dô 1: A(c): C lµ h×nh ch÷ nhËt. B(c): C lµ Lôc gi¸c. Ta thæy: M§A = { TËp c¸c h×nh ch÷ nhËt } M§B = { TËp c¸c h×nh lôc gi¸c } Suy ra:

M§A ∩ M§B =

θ

Kh¸i niÖm “H×nh ch÷ nhËtÓ vµ kh¸i niÖm “H×nh lôc gi¸cÓ lµ hai kh¸i niÖm t¸ch rêi. VÝ dô 2: A(t): T lµ h×nh vu«ng B(t): T lµ tam gi¸c . Ta thæy: M§A = { TËp c¸c h×nh vu«ng } M§B = { TËp c¸c h×nh tam gi¸c } Suy ra:

M§A ∩ M§B =

θ

Kh¸i niÖm “H×nh vu«ngÓ vµ kh¸i niÖm “Tam gi¸cÓ lµ hai kh¸i niÖm t¸ch rêi. d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: A(a): a lµ phÇn tö lín nhæt cña tËp s¾p thø tù h÷u h¹n Z B(b): b lµ phÇn tö nhá nhæt cña tËp s¾p thø tù h÷u h¹n Z . Ta thæy: M§A = { a, sao cho a ∈ Z, mäi x ∈ Z th× x ≤ a } M§B = { b, sao cho b ∈ Z, mäi x ∈ Z th× b ≤ x } Suy ra:

M§A ∩ M§B =

θ 72 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Kh¸i niÖm “PhÇn tö lín nhætÓ vµ kh¸i niÖm “PhÇn tö nhá nhætÓ lµ hai kh¸i niÖm t¸ch rêi. VÝ dô 2: A(a): a lµ phÇn tö ®¬n vÞ trong phÐp céng th«ng thêng B(b): b lµ phÇn tö ®¬n vÞ trong phÐp nh©n th«ng thêng Ta thæy: M§A = { 0 } M§B = { 1 } Suy ra:

M§A ∩ M§B =

θ

Kh¸i niÖm “PhÇn tö ®¬n vÞ trong phÐp céng th«ng thêngÓ vµ kh¸i niÖm “PhÇn tö ®¬n vÞ trong phÐp nh©n th«ng thêngÓ lµ hai kh¸i niÖm t¸ch rêi. e. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: A(c): C lµ thñ ®« B(c): C lµ n«ng th«n Ta thæy: M§A = { Tæt c¶ c¸c thñ ®« trªn thÕ gi¬i } M§B = { Tæt c¶ c¸c vïng n«ng th«n trªn thÕ giíi } Suy ra:

M§A ∩ M§B =

θ

Kh¸i niÖm “Thñ ®«Ó vµ kh¸i niÖm “N«ng th«nÓ lµ hai kh¸i niÖm t¸ch rêi. VÝ dô 2: A(x): X lµ ®êng biÓn . B(x): X lµ ®êng s¾t Ta thæy: M§A = { Tæt c¶ ®êng biÓn trªn thÕ giíi } M§B = { Tæt c¶ c¸c ®êng s¾t trªn thÕ giíi } 73 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Suy ra:

M§A ∩ M§B =

θ

Kh¸i niÖm “§êng biÓnÓ vµ kh¸i niÖm “§êng s¾tÓ lµ hai kh¸i niÖm t¸ch rêi. Bµi 5: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ kh¸i niÖm m©u thuÉn trong c¸c lÜnh vùc a. Trong sè häc VÝ dô 1: A(n): n lµ sË v« tØ B(n): n lµ sË h÷u tØ Ta thæy: M§A = { TËp c¸c sË thËp ph©n v« ho¹n kh«ng tuÇn hoµn

} a   b ∈ Z *, a ∈ Z   M§B =  b M§A ∪ M§B = N Kh¸i niÖm “SË v« tØÓ vµ kh¸i niÖm “SË h÷u tØÓ lµ hai kh¸i niÖm m©u thuÉn. VÝ dô 2: A(n): n lµ sË lÎ. B(n): n lµ sË ch½n Ta thæy: M§A = { 1,3,5,7 …….. } M§B = { 0,2,4,6……….. } Suy ra:

M§A ∪ M§B = N

Kh¸i niÖm “SË lÎÓ vµ kh¸i niÖm “SË ch½nÓ lµ hai kh¸i niÖm m©u thuÉn. b. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: 74 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc A(c): c lµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng B(c): c lµ ph¬ng tr×nh ®êng cong Ta thæy: M§A = { ax + b = 0 sao cho a kh¸c 0, a, b thuéc R } M§B = { ax2 + bx + c = 0, mx3 + nx2 +px +t =0....... } Suy ra:

M§A ∪ M§B = { TËp tæt c¶ c¸c ph¬ng tr×nh }

Kh¸i niÖm “Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng Ó vµ kh¸i niÖm “Ph¬ng tr×nh ®êng congÓ lµ hai kh¸i niÖm m©u thuÉn. c. Trong h×nh häc VÝ dô 1: A(a,b): a, b lµ hai ®êng th¼ng song song B(a,b): a, b lµ hai ®êng th¼ng c¾t nhau. Ta thæy: M§A = { TËp tæt c¶ c¸c c®p hai ®êng th¼ng song song } M§B = { TËp tæt c¶ c¸c c®p hai ®êng th¼ng c¾t nhau } Suy ra:

M§A ∪ M§B = { TËp tæt c¶ c¸c c®p hai ®êng th¼ng }

Kh¸i niÖm “hai ®êng th¼ng song songÓ vµ kh¸i niÖm “Hai ®êng th¼ng c¾t nhauÓ lµ hai kh¸i niÖm m©u thuÉn. VÝ dô 2: A(t): T lµ tam gi¸c vu«ng B(t): T lµ tam gi¸c thêng ( tam gi¸c kh«ng vu«ng). Ta thæy: M§A = { TËp c¸c tam gi¸c vu«ng } M§B = { TËp c¸c tam gi¸c thêng } Suy ra:

M§A ∪ M§B = { TËp tæt c¶ c¸c tam gi¸c }

Kh¸i niÖm “Tam gi¸c vu«ngÓ vµ kh¸i niÖm “Tam gi¸c thêngÓ lµ hai kh¸i niÖm m©u thuÉn. d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: 75 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc A(t): T lµ tËp hîp kh¸c tËp rçng B(t): T lµ tËp rçng Ta thæy: M§A = { TËp tæt c¶ c¸c tËp kh¸c tËp rçng } M§B = θ Suy ra:

M§A ∪ M§B = { TËp tæt c¶ c¸c tËp hîp }

Kh¸i niÖm “TËp hîp kh¸c tËp rçngÓ vµ kh¸i niÖm “TËp rçngÓ lµ hai kh¸i niÖm m©u thuÉn. e. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: A(c): C lµ ®µn «ng B(c): C lµ ®µn bµ Ta thæy: M§A = { Tæt c¶ ®µn «ng trªn thÕ giíi } M§B = { Tæt c¶ ®µn bµ trªn thÕ giíi } Suy ra:

M§A ∪ M§B = { Con ngêi }

Kh¸i niÖm “§µn «ngÓ vµ kh¸i niÖm “§µn bµÓ lµ hai kh¸i niÖm m©u thuÉn. VÝ dô 2: A(x): X lµ thµnh thÞ. B(x): X lµ n«ng th«n. Ta thæy: M§A = { Tæt c¶ c¸c thµnh thÞ trªn thÕ giíi } M§B = { Tæt c¶ c¸c vïng n«ng th«n trªn thÕ giíi } Suy ra:

M§A ∪ M§B = { Tæt c¶ c¸c vïng ®îc con ngêi sinh sËng

} Kh¸i niÖm “Thµnh thÞÓ vµ kh¸i niÖm “N«ng th«nÓ lµ hai kh¸i niÖm m©u thuÉn. 76 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc ®Þnh nghÜa Bµi 1: X©y dùng 2 ®Þnh nghÜa cho mçi trêng hîp. Mçi ®Þnh nghÜ ®ã h·y diÔn ®¹t theo 4 c¸ch. a. Trong sè häc VÝ dô 1: §Þnh nghÜa sË chia hÕt cho 6: - C¸ch 1: SË chia hÕt cho 6 lµ sË chia hÕt cho 2 vµ 3. - C¸ch 2: Mét sË chia hÕt cho 6 khi vµ chØ khi nã chia hÕt cho 2 vµ 3. - C¸ch 3: SË chia hÕt cho 6

dn

nã lµ sË chia hÕt cho 2 vµ 3.

- C¸ch 4: SË chia hÕt cho 2 vµ 3 chÝnh lµ sË chia hÕt cho 6. VÝ dô 2: §Þnh nghÜa béi cña mét sË - C¸ch 1: Cho a, b thuéc Z, a kh¸c 0 - Ta cã b lµ béi cña a nÕu tån t¹i q thuéc Z sao cho b = q.a - C¸ch 2: b ®îc gäi lµ béi cña a khi vµ chØ khi tån t¹i q thuéc Z sao cho b = q.a. - C¸ch 3: NÕu tån t¹i q thuéc Z sao cho b = q.a th× sË nguyªn b ®îc gäi lµ béi cña a. - C¸ch 4: b lµ béi cña a

dn

nÕu tån t¹i q thuéc Z sao cho b =

q.a b. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: §Þnh nghÜa ph©n thøc ®¹i sË

A - C¸ch 1: Mét ph©n thøc ®¹i sË lµ mét ph©n thøc cã d¹ng B , trong ®ã A, B lµ ®a thøc vµ B kh¸c 0

77 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc - C¸ch 2: Mét ph©n thøc lµ ph©n thøc ®¹i sË khi vµ chØ khi

A nã lµ mét biÓu thøc cã d¹ng B , trong ®ã A, B lµ c¸c ®a thøc vµ B kh¸c 0. - C¸ch 3: Ph©n thøc ®¹i sË

dn

A biÓu thøc cã d¹ng B , trong

®ã A, B lµ c¸c ®a thøc, B kh¸c 0.

A - C¸ch 4: NÕu mét biÓu thøc cã d¹ng B , trong ®ã A, B lµ c¸c ®a thøc, B kh¸c 0 th× nã ®îc gäi lµ mét ph©n thøc ®¹i sË. VÝ dô 2: §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh tÝch - C¸ch 1: Ph¬ng tr×nh tÝch lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng A(x). B(x) = 0. Trong ®ã, A(x), B(x) lµ c¸c ®a thøc cña biÕn x. - C¸ch 2: Mét ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh tÝch khi vµ chØ khi nã cã d¹ng A(x). B(x) = 0. Trong ®ã, A(x), B(x) lµ c¸c ®a thøc cña biÕn x. - C¸ch 3: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng A(x). B(x) = 0. Trong ®ã, A(x), B(x) lµ c¸c ®a thøc cña biÕn x th× nã ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh tÝch. - C¸ch 4: Ph¬ng tr×nh tÝch

dn

ph¬ng tr×nh cã d¹ng A(x).

B(x) = 0. Trong ®ã, A(x), B(x) lµ c¸c ®a thøc cña biÕn x. c. Trong h×nh häc VÝ dô 1: §Þnh nghÜa h×nh thoi - C¸ch 1: H×nh thoi lµ h×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh liªn tiÕp b»ng nhau.

78 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc - C¸ch 2: H×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh liªn tiÕp b»ng nhau ®îc gäi lµ h×nh thoi. - C¸ch 3: Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi khi vµ chØ khi nã lµ h×nh b×nh hµnh cã hai c¹nh liªn tiÕp b»ng nhau. - C¸ch 4: H×nh thoi ABCD

dn

nã lµ h×nh b×nh hµnh cã hai

c¹nh liªn tiÕp b»ng nhau. VÝ dô 2: Hai m®t ph¼ng song song - C¸ch 1: Hai m®t ph¼ng song song lµ hai m®t ph¼ng kh«ng cã ®iÓm chung. - C¸ch 2: Hai m®t ph¼ng kh«ng cã ®iÓm chung ®îc gäi lµ hai m®t ph¼ng song song. - C¸ch 3: Hai m®t ph¼ng (P) vµ (Q) gäi lµ song song khi vµ chØ khi chóng kh«ng cã ®iÓm chung. - C¸ch 4: Hai m®t ph¼ng (P), (Q) song song

dn

chóng lµ hai

m®t ph¼ng kh«ng cã ®iÓm chung. d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: §Þnh nghÜa tËp hîp con - C¸ch 1: TËp A ®îc gäi lµ tËp hîp con cña tËp hîp B, ký hiÖu A

⊂B

nÕu mäi phÇn tö thuéc A ®Òu thuéc B

- C¸ch 2: TËp A ®îc gäi lµ tËp hîp con cña tËp hîp B khi vµ chØ khi mäi phÇn tö thuéc A ®Òu thuéc B - C¸ch 3: TËp A ®îc gäi lµ tËp hîp con cña tËp hîp B, ký hiÖu A

⊂B

nÕu mäi phÇn tö thuéc A ®Òu thuéc B

- C¸ch 4: TËp A ®îc gäi lµ tËp hîp con cña tËp hîp B

dn

lµ tËp

A sao cho mäi phÇn tö thuéc A ®Òu thuéc B 79 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Bµi 2: X©y dùng 2 vÝ dô cho 3 kiÓu ®Þnh nghÜa trong 5 lÜnh vùc 1. KiÓu ®Þnh nghÜa 1: kh¸i niÖm ®îc ®Þnh nghÜa hÑp

dn

∧

h¬n kh¸i niÖm ®Ó ®Þnh nghÜa :A(x) B(x) C(x) a. Trong sè häc VÝ dô 1: SË chia hÕt cho 6 lµ sË chia hÕt cho c¶ 2 vµ 3 VÝ dô 2: SË chia hÕt cho 10 lµ sË chia hÕt cho 2 vµ 5 b. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: Ph¬ng tr×nh bËc nhæt mét Èn lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: ax + b = 0 ( víi a, b lµ hai sË tuú ý, a kh¸c 0) VÝ dô 2: Ph¬ng tr×nh tÝch lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng: A(x).B(x) = 0. Trong ®ã A(x), B(x) lµ c¸c ®a thøc cña biÕn x. c. Trong h×nh häc VÝ dô 1: H×nh ch÷ nhËt lµ h×nh tø gi¸c cã 4 gãc vu«ng. VÝ dô 2: H×nh thang lµ h×nh tø gi¸c cã 1 c®p c¹nh ®Ëi song song d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: §Þnh nghÜa líp t¬ng ®¬ng Cho quan hÖ t¬ng ®¬ng TËp hîp

≈

trªn tËp hîp X vµ phÇn tö a thuéc X.

{ x ∈ X x ≈ a} ®îc gäi lµ líp t¬ng ®¬ng cña phÇn tö

a. VÝ dô 2: §Þnh nghÜa tËp s¾p thø tù tËt Ta gäi (X, ≤ ) lµ mét tËp s¾p thø tù tËt nÕu vµ chØ nÕu mäi bé phËn kh¸c tËp rçng cña X ®Òu cã phÇn tö nhá nhæt. e. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: Ngêi trëng thµnh lµ ngêi cã ®é tuæi tö 18 trë lªn. 80 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc VÝ dô 2: Ngêi cã phÈm chæt ®¹o ®øc tËt lµ nh÷ng ngêi trung thùc, cÇn kiÖm, liªm chÝnh, trÝ c«ng, v« t. 2. KiÓu ®Þnh nghÜa 2: kh¸i niÖm ®îc ®Þnh nghÜa réng

dn

∨

h¬n kh¸i niÖm ®Ó ®Þnh nghÜa : A(x) B(x) C(x) a. Trong sè häc VÝ dô 1: a lµ sË chia hÕt cho 5 nÕu a cã tËn cïng lµ 0 ho®c 5. VÝ dô 2: a lµ sË lÎ nÕu a cã tËn cïng lµ 1,3,5,7,9. b. Trong h×nh häc VÝ dô 1: Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu nÕu c¸c c¹nh ho®c c¸c gãc cña nã b»ng nhau. VÝ dô 2: §êng th¼ng a lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB nÕu mäi ®iÓm trªn ®êng th¼ng a c¸ch ®Òu 2 ®iÓm A vµ B, ho®c AB ®i qua trung diÓm vµ vu«ng gãc víi AB. c. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: D·y sË (Un) ®îc gäi lµ ®¬n ®iÖu nÕu d·y sË ®ã t¨ng ho®c gi¶m. VÝ dô 2: Hµm sË y = f(x)/D lµ ®¬n ®iÖu nÕu f(x) ®ång biÕn ho®c nghÞch biÕn trªn D. d. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: Sinh viªn lµ nh÷ng ngêi häc ë bËc ®¹i häc ho®c cao ®¼ng. VÝ dô 2: C¸c m«n häc tù chän ë trêng phæ th«ng lµ tin häc ho®c kü thuËt may. 3. KiÓu ®Þnh nghÜa 3: kh¸i niÖm ®îc ®Þnh nghÜa t¬ng ®¬ng kh¸i niÖm ®Ó ®Þnh nghÜa : A(x) B(x) a. Trong sè häc VÝ dô 1: SË trßn chôc lµ sË cã tËn cïng b»ng 0.

≡

81 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc VÝ dô 2: SË chÝnh ph¬ng lµ sË b»ng b×nh ph¬ng cña 1 sË tù nhiªn. b. Trong h×nh häc VÝ dô 1: §êng th¼ng a lµ ph©n gi¸c cña gãc B khi vµ chØ khi a chia gãc B thµnh 2 phÇn b»ng nhau. VÝ dô 2: §iÓm M lµ trung ®iÓm cña BC khi vµ chØ khi M n»m chÝnh gi÷a A vµ B. c. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: Hµm sË f(x) liªn tôc trªn kho¶ng (a,b) khi vµ chØ khi f(x) liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc kho¶ng ®ã. VÝ dô 2: §¹o hµm cæp hai cña hµm sË biÓu thÞ chuyÓn ®éng lµ gia tËc tøc thêi cña chuyÓn ®éng ®ã. d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: Ta gäi R- m«dun M lµ m« ®un tù do nÕu nã cã 1 c¬ së. VÝ dô 2: S gäi lµ mét phÐp to¸n ®¹i sË hai ng«i khi x¸c ®Þnh mét ¸nh x¹: f: XxX → Y (x,y) → f(x,y) e. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: VÞnh H¹ Long lµ mét di s¶n v¨n ho¸ thÕ gíi. VÝ dô 2: Häc sinh lµ ngêi ®i häc. Bµi 3: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ ®Þnh nghÜa vi ph¹m 3 quy t¾c cña ®Þnh nghÜa. 1. Vi ph¹m quy t¾c 1: 1. Trong sè häc VÝ dô 1: SË lÎ lµ sË kh«ng chia hÕt cho 2. VÝ dô 2: SË chia hÕt cho 3 lµ sË chia hÕt cho 9. 2. Trong h×nh häc 82 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc VÝ dô 1: Hai ®êng th¼ng song song lµ hai ®êng th¼ng kh«ng c¾t nhau vµ kh«ng trïng nhau. VÝ dô 2: Tam gi¸c nhän lµ tam gi¸c kh«ng vu«ng, kh«ng tï. 3. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: SË chÝnh ph¬ng lµ sË khai c¨n bËc hai ®îc mét sË tù nhiªn. VÝ dô 2: Gi¸ trÞ cña biÕn nghiÖm ®óng ph¬ng tr×nh ®· cho gäi lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®ã. 4. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: TËp hîp A gäi lµ tËp con cña tËp hîp B khi vµ chØ khi tËp hîp B lµ tËp mÑ cña tËp hîp A. VÝ dô 2: Vµnh ®a thøc A lµ vµnh con cña vµnh ®a thøc B khi vµ chØ khi vµnh ®a thøc B lµ vµnh mÑ cña vµnh ®a thøc A. 5. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: §µn «ng lµ nh÷ng ngêi kh«ng ph¶i lµ ®µn bµ. VÝ dô 2: Ngêi th«ng minh lµ nh÷ng ngêi kh«ng ngu dËt. 2. Vi ph¹m quy t¾c 2: e. Trong sè häc VÝ dô 1: SË chia hÕt cho 10 lµ sË chßn trôc vµ cã tËn cïng b»ng 0. VÝ dô 2: SË chia hÕt cho 3 lµ béi sË cña 3vµ cã tæng c¸c ch÷ sË chia hÕt cho 3 . f. Trong h×nh häc VÝ dô 1: H×nh ch÷ nhËt lµ h×nh cã 2 gãc vu«ng. VÝ dô 2: H×nh b×nh hµnh lµ h×nh cã hai c®p c¹nh ®Ëi song song vµ b»ng nhau. g. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: Nh÷ng tam thøc bËc hai cã ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 gäi lµ nh÷ng ph¬ng tr×nh bËc hai. h. Trong to¸n cao cÊp 83 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc VÝ dô 1: (X,*) lµ mét nhãm khi vµ chØ khi nã lµ nöa nhãm vµ cã c¸c tÝnh chæt sau: phÐp to¸n (*) trong X cã tÝnh chæt kÕt hîp, cã phÇn tö trung lËp e, mäi phÇn tö thuéc x ®Òu cã phÇn tö nghÞch ®¶o. 3. Vi ph¹m quy t¾c 3: a. Trong sè häc VÝ dô 1: SË ch½n lµ sË chia hÕt cho 2 vµ cã tËn cïng b»ng 0, 2, 4,6,8. VÝ dô 2: SË trßn chôc lµ sË cã ch÷ sË tËn cïng b»ng 0 vµ chia hÕt cho 10. b. Trong h×nh häc VÝ dô 1: H×nh thoi lµ h×nh tø gi¸c cã 4 c¹nh b»ng nhau vµ hai ®êng chÐo vu«ng gãc. VÝ dô 2: H×nh ch÷ nhËt lµ h×nh tø gi¸c cã 4 gãc vu«ng vµ hai ®êng chÐo b»ng nhau. c. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: Ph¬ng tr×nh 5x2 -2x +3 =0 cã nghiÖm khi vµ chØ khi nã cã biÖt thøc ®enta lín h¬n ho®c b»ng kh«ng vµ ®êng th¼ng (d) y= 2x+3 c¾t parabol (c) y = 5x2 . d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: (X,*) lµ mét vÞ nhãm khi vµ chØ khi nã lµ nöa nhãm vµ cã c¸c tÝnh chæt sau: phÐp to¸n (*) trong X cã tÝnh chæt kÕt hîp, cã phÇn tö trung lËp e. Bµi 4: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ ®Þnh nghÜa ®Æt tªn cho c¸c lÜnh vùc a ®Õn e. a. Trong sè häc VÝ dô 1: Gäi S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + …….. + (n-1).n 84 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc VÝ dô 2: A lµ sË chia hÕt cho 5. b. Trong h×nh häc

ˆ VÝ dô 1: Gäi tia 0x lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB VÝ dô 2: (d) lµ ®êng th¼ng thuéc m®t ph¼ng (P) c. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: Cho ph¬ng tr×nh f(x) = cos x + sinx +3x VÝ dô 2: Gäi d lµ c«ng sai cña cæp sË céng : d =

U n +1 − U n

d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: Gäi f lµ ¸nh x¹ ®i tõ X ®Õn Y: f : X → Y VÝ dô 2: Gäi A lµ tËp hîp chøa c¸c phÇn tö chia hÕt cho 3 vµ nhá h¬n 100. e. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: Khu c«ng nghiÖp lµ n¬i quy ho¹ch nhiÒu nhµ m¸y, c«ng ty. VÝ dô 2: H¶i Phßng lµ thµnh phË Hoa phîng ®á. Bµi 4: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ ®Þnh nghÜa kiÕn thiÕt cho c¸c lÜnh vùc a ®Õn e. a. Trong sè häc VÝ dô 1: Cho a, b thuéc N, a kh¸c 0 Ta nãi a chia hÕt cho b nÕu tån t¹i q thuéc N* sao cho a = b.q Khi ®ã ta nãi: a lµ béi cña b b lµ íc cña a VÝ dô 2: Béi sË chung nhá nhæt cña hai hay nhiÒu sË lµ sË nhá nhæt kh¸c 0 trong tËp hîp c¸c béi sË cña c¸c sË ®ã. BCNN cña a, b, c ®îc ký hiÖu lµ BCNN(a, b, c) Ta nãi:L BCNN(a, b, c) = m khi vµ chØ khi tån t¹i x, y thuéc N sao cho m=ax; m=by; (x,y) = 1

a, b lµ 2 sË tù nhiªn 85 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Vµ

m lµ BCNN cña a, b

b. Trong h×nh häc

x2 y2 VÝ dô 1: Cho Elip cã ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c: + 2 =1 2 a b

(a > b > 0) khi ®ã hai ®êng th¼ng d1, d2 cã ph¬ng tr×nh

x=

−a a &x= e e ®îc gäi lµ c¸c ®êng chuÈn cña elip. d 1 lµ ®êng chuÈn t¬ng øng víi tiªu ®iÓm F1 d2 lµ ®êng chuÈn t¬ng øng víi tiªu ®iÓm F2

VÝ dô 2: Trªn m®t ph¼ng cho 2 ®iÓm cË ®Þnh F1 vµ F2, Víi F1.F2 = 2c >0 TËp hîp c¸c ®iÓm M cña m®t ph¼ng sao cho: / MF1 Ð MF2 / = 2ª ( trong ®ã a lµ mét sË d¬ng kh«ng ®æi, nhá h¬n c) gäi lµ mét hypebol. F1, F2 lµ c¸c tiªu ®iÓm cña Hypebol F1.F2 = 2c gäi lµ tiªu cù cña hypebol NÕu M thuéc hypebol th× MF1, MF2 gäi lµ c¸c b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm cña ®iÓm M. c. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: Mét ph©n thøc ®¹i sË lµ mét ph©n thøc cã d¹ng: A/B, trong ®ã A, B lµ nh÷ng ®a thøc, B kh¸c 0. A lµ tö thøc B lµ mÉu thøc. VÝ dô 2: Cho a thuéc R vµ lµ sË v« tØ. XÐt d·y sË bæt kú nh÷ng sË h÷u tØ r1, r2, …….. rn, …….sao cho Limrn = α 86 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc XÐt d·y sË luü thõa cña a t¬ng øng :

a r1 , a r2 , a r3 ,....a rn ,...... Ngêi ta chøng minh r»ng tæt c¶ c¸c d·y sË ( cïng mét giíi h¹n khi n dÇn ®Õn v« cïng. Giíi h¹n ®ã ®îc gäi lµ luü thõa víi sË mò v« tØ ký hiÖu lµ a

a rn ) ®Òu cã

α cña sË d¬ng a,

α

Bµi tËp vÒ suy luËn diÔn dÞch Bµi1: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ vËn dông suy luËn diÔn dÞch trong c¸c lÜnh vùc 1. VËn dông quy t¾c:

∀x ∈ X , P( x), a ∈ X P(a)

a, Sè häc: VÝ dô 1:

T§1

Mäi a thuéc N*, a chia hÕt cho 3 vµ 2 th× a chia hÕt cho 6

T§2

96 thuéc N*, 96 chia hÕt cho 3 vµ 2

KL

96 chia hÕt cho 6

VÝ dô 2: T§1

∀ a thuéc N*, a chia hÕt cho 4 vµ 6 th× a chia hÕt cho

12 T§2

24 thuéc N*, 24 chia hÕt cho 4 vµ 6 87 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc KL

24 chia hÕt cho 12

b. H×nh häc: VÝ dô 1:

T§1

DiÖn tÝch tam gi¸c ABC cã ®¸y BC = a, ®êng cao h¹ tõ AH lµ h.

SABC = 1/2a.h T§2

Tam gi¸c ABC cã c¹nh ®¸y BC = 7 cm, ®êng cao t¬ng øng AH =4 cm.

KL

SABC = 1/2 x 4 x 7 = 14 (cm2)

VÝ dô 2: T§1

H×nh thang ABCD cã ®é dµi 2 ®¸y lµ a vµ b, chiÒu cao lµ h suy ra

T§2 KL

SABCD =

( a + b) × h 2

H×nh thang ABCD cã hai ®¸y lµ: AB = 4cm, CD = 9cm, ®êng cao AH=6cm

SABCD =

(4 + 9) × 6 = 39(cm2) 2

c. §¹i sè: VÝ dô 1:

T§1

Mäi a, b thuéc R: cosa. cosb = 88 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

1 [ cos(a − b) + cos(a + b)] 2 T§2 KL

∏ ∏ & ∈R 6 3

Cos

∏ ∏ 1 ∏ ∏ ∏ ∏  .Cos = cos( − ) + cos( + cos ) 6 3 2 6 3 6 3 

VÝ dô 2: T§1

T§2

KL

∀x ∈ R /

∏ +k∏ 2

ta cã

1 + tg 2 x =

1 cos 2 x

∏ ∏ ∈R/ +k∏ 2 2

1 + tg 2

∏ 1 = 2 cos 2 ∏ 2

e. §êi thêng: VÝ dô 1:

T§1

Tæt c¶ nh÷ng ngêi giµu cã ®Òu tiÕt kiÖm

T§2

A lµ ngêi giµu cã

KL

A lµ ngêi tiÕt kiÖm

VÝ dô 2:

89 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc T§1

Tæt c¶ c¸c níc trong khËi APEC ®Òu cã biÓn

T§2

ViÖt Nam lµ thµnh viªn cña khËi APEC

KL

ViÖt nam lµ níc cã biÓn

2. VËn dông quy t¾c 2:

∀x ∈ X , a ∈ X , P( x) → Q( x), P(a) Q(a)

a, Sè häc: VÝ dô 1:

T§1

Mäi x thuéc N, tæng c¸c ch÷ sË cña x chia hÕt cho 3 th× x chia hÕt cho 3

T§2

x = 123 thuéc N, 1 +2 + 3 = 6- chia hÕt cho 3

KL

123 chia hÕt cho 3

VÝ dô 2: T§1

∀ x thuéc N, nÕu x cã tËn cïng b»ng 0 ho®c 5 th× x

chia hÕt cho 5 T§2

x = 45 Ð thuéc N, x cã tËn cïng b»ng 5

KL

x = 45 Ð chia hÕt cho 5

b. H×nh häc: VÝ dô 1:

T§1

§êng ph©n gi¸c cña mét gãc chia gãc ®ã thµnh 2 phÇn b»ng nhau

T§2

OC lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc AOB

KL

Gãc AOC = COG 90 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc VÝ dô 2: T§1

Hai ®êng chÐo cña h×nh thoi vu«ng gãc víi nhau

T§2

Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thoi

KL

Hai ®êng chÐo cña h×nh thoi ABCD lµ AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau.

c. §¹i sè: VÝ dô 1:

∆ > 0 th× cã hai

T§1

Mäi ph¬ng tr×nh bËc 2 cã biÖt thøc nghiÖm ph©n biÖt.

T§2

Ph¬ng tr×nh: 5x2 + 7x Ð 3 = 0 cã

KL

Ph¬ng tr×nh 5x2 + 7x Ð 3 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

∆ = 64

VÝ dô 2: T§1

NÕu a > 0 th×

T§2

a=4>0

KL

∃2 4 = 2

∃n a

(n ch½n)

e. §êi thêng: VÝ dô 1:

T§1

Tæt c¶ sinh viªn cã hé khÈu ë Hµ Néi cña trêng §¹i häc FPT ®Òu lµ con nhµ kh¸ gi¶

T§2

B cã hé khÈu ë Hµ néi, lµ sinh viªn trêng §H FPT 91 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc KL

B lµ con nhµ kh¸ gi¶.

VÝ dô 2: T§1

Tæt c¶ c¸c loµi thùc vËt trªn tr¸i ®æt ®Òu, nÕu l¸ cña chóng cã mµu xanh th× ®Òu x¶y ra qu¸ tr×nh quang hîp khi h« hæp

T§2

C©y l¸ ngãn lµ 1 loµi thùc vËt, l¸ cña chóng cã mµu xanh

KL

Khi c©y l¸ ngãn h« hæp x¶y ra qu¸ tr×nh quang hîp

Bµi 2: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ suy luËn nghe cã lý trong 2 trêng hîp 1. X©y dùng 2 vÝ dô vÒ suy luËn nghe cã lý trong trêng hîp xuÊt ph¸t tõ tiÒn ®Ò ®óng vµ kÕt luËn ®óng: a, Sè häc: VÝ dô 1:

T§1

§o¹n th¼ng AB dµi 6 cm, ®o¹n th¼ng CD dµi 2 cm. Hái ®o¹n th¼ng AB dµi gæp mæy lÇn ®o¹n th¼ng CD Bµi gi¶i: §é dµi ®o¹n th¼ng AB gæp ®é dµi ®o¹n th¼ng CD mét sË lÇn lµ: 6 : 2 = 3 (lÇn) ®¸p sË : 3 lÇn

KL

MuËn t×m sË lín gæp mæy lÇn sË bÐ, ta læy sË lín chia sË bÐ

VÝ dô 2: T§1

a. TÝnh vµ so s¸nh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc: 92 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc (9x15):3; 9x(15:3); (9:3)x15 Ta cã: (9x15):3=135:3=45 9x(15:3)=9x5=45 (9:3)x15=3x15=45 VËy: (9x15):3= 9x(15:3)= (9:3)x15 b. TÝnh vµ so s¸nh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc: (7x15):3; 7x(15:3); Ta cã: (7x15):3=105:3=35 7x(15:3)=7x5=35 KL

(7x15):3= 7x(15:3) Khi chia mét tÝch hai thõa sË cho mét sË ta cã thÓ læy mét thõa sË chia cho sË ®ã(nÕu chia hÕt) råi nh©n kÕt qu¶ ®ã víi thõa sË kia.

b. H×nh häc: VÝ dô 1:

T§1

H×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng 4 cm, chiÒu réng b»ng 3 cm th× chu vi cña h×nh ch÷ nhËt lµ: 4+3+4+3= 14(cm) = (4+3)x2=14(cm)

KL

MuËn tÝnh chu vi h×nh ch÷ nhËt ta læy chiÒu dµi céng chiÒu réng råi nh©n víi 2 93 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc VÝ dô 2: T§1

Cho hai h×nh tam gi¸c b»ng nhau (h×nh vÏ) - læy 1 h×nh tam gi¸c ®ã c¾t theo ®êng cao ®Ó t¹o thµnh 2 m¶nh tam gi¸c 1 vµ 2. - GhÐp 2 m¶nh 1 vµ 2 vµo h×nh tam gi¸c cßn l¹i ®Ó ®îc h×nh ch÷ nhËt ABCD (xem h×nh vÏ) 1 1

2

1

2

2

Dùa vµo h×nh vÏ ta cã: H×nh ch÷ nhËt ABCD víi chiÒu dµi bµng ®¸y cña tam gi¸c vµ b»ng a, chiÒu réng b»ng chiÒu cao cña tam gi¸c vµ b»ng h. Suy ra diÖn tÝch cña h×nh tam gi¸c trªn b»ng mét nöa diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt trªn. Stamgiac = 1/2Shcn = 1/2 a.h KL

MuËn tÝnh diÖn tÝch h×nh tam gi¸c ta læy ®é dµi ®¸y nh©n víi chiÒu cao t¬ng øng (cïng ®¬n vÞ ®o)råi chia cho 2 DiÖn tÝch h×nh tam gi¸c cã ®¸y lµ a, chiÒu cao lµ h:

S=

a×h 2

c. §¹i sè: VÝ dô 1:

T§1

NhËn xÐt: 32 = 9. (32 ) = 9 Ta nãi 3 vµ -3 lµ c¸c c¨n bËc hai cña 9 94 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc KL

C¨n bËc hai cña mét sË q kh«ng ©m lµ lµ mét sË x sao cho: x2 = a

VÝ dô 2: T§1

XÐt bµi to¸n: Cho h×nh vÏ: H×nh vu«ng AEBF cã c¹nh b»ng 1m, H×nh vu«ng ABCD cã c¹nh AB l mét ®êng chÐo cña h×nh vu«ng AEBF. a, TÝnh diÖn tÝch h×nh vu«ng ABCD b, TÝnh ®é dµi ®êng chÐo AB E

B

1 m

F

C

A

D Gi¶i: NÕu gäi x(m) (x > 0 ) lµ ®é dµi c¹nh AB cña h×nh vu«ng ABCD th× : x2 =2. Ngêi ta chøng minh r»ng kh«ng cã sË h÷u tØ nµo mµ b×nh ph¬ng b»ng 2 vµ ®· tÝnh ®îc: x = 1,4142135623………. SË nµy lµ mét sË thËp ph©n v« h¹n mµ ë phÇn thËp ph©n cña nã kh«ng cã mét chu kú nµo c¶. §ã lµ mét sË 95 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc thËp ph©n v« h¹n kh«ng tuÇn hoµn. T§2

SË v« tØ lµ sË viÕt díi d¹ng sË thËp ph©n v« h¹n kh«ng tuÇn hoµn

d. To¸n cao cÊp VÝ dô 1: T§1

(X, +) lµ mét nhãm giao ho¸n cã phÇn tö trung hoµ lµ 0

T§2

(T,+) lµ mét nhãm giao ho¸n

KL

(T,+) cã phÇn tö trung hoµ lµ 1

VÝ dô 2 T§1

A, B lµ c¸c tËp hîp. Ta cã tÝnh chæt giao ho¸n cña phÐp giao hai tËp hîp:

A∩ B = B∩ A KL

Ta còng cã tÝnh chæt giao ho¸n cña phÐp hîp hai tËp hîp:

A∪ B = B∪ A e. §êi thêng: VÝ dô 1:

T§1

L¸ cña c©y lóa cã mµu xanh, khi h« hæp x¶y ra qu¸ tr×nh quang hîp

KL

Nh÷ng c©y cã l¸ mµu xanh, khi h« hæp x¶y ra qu¸ tr×nh quang hîp

VÝ dô 2: 96 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

T§1

¤ng NguyÔn Huy Lîi cã khu«n m®t vu«ng, tai trßn cã vµnh râ rµng vµ ræt thµnh ®¹t

KL

Tæt c¶ nh÷ng ngêi cã khu«n m®t vu«ng, tai trßn cã vµnh râ rµng ®Òu thµnh ®¹t

2. X©y dùng 2 vÝ dô vÒ suy luËn nghe cã lý trong trêng hîp xuÊt ph¸t tõ tiÒn ®Ò ®óng vµ kÕt luËn sai: a. Trong sè häc VÝ dô 1: T§1

63 chia hÕt cho 9

T§2

963 chia hÕt cho 9

T§3

1863 chia hÕt cho 9

KL

Nh÷ng sË cã tËn cïng b»ng 3 th× chia hÕt cho 9

VÝ dô 2 T§1

12 chia hÕt cho 6

T§2

312 chia hÕt cho 6

T§3

9612 chia hÕt cho 6

KL

Nh÷ng sË cã tËn cïng b»ng 2 th× chia hÕt cho 6

b. Trong h×nh häc VÝ dô 1: T§1

Trong m®t ph¼ng (P). Hai ®êng th¼ng (d1), (d2) kh«ng cã ®iÓm chung nµo nªn chóng lµ hai ®êng th¼ng song song. 97 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc KL

Gi÷a hai ®êng th¼ng bæt kú mµ kh«ng cã ®iÓm chung nµo th× chóng song song víi nhau.

VÝ dô 2: T§1

Cho h×nh vÏ: A

E

B 2cm D

4cm

C

EB = BC; DC = AB

SABCD = AB x DC = 4 x 2 = 8 (cm ) 2

SBCDE = (BC + DC) x BC : 2 = (4 + 2) x 2 : 2 = 6(cm2)

8: 6 = 4 : 3 KL

NÕu mét h×nh thang cã ®¸y nhá b»ng chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt vµ ®¸y lín b»ng chiÒu dµi cña h×nh ch÷ nhËt th× tØ sË diÖn tÝch cña h×nh ch÷ nhËt vµ h×nh thang lµ 4:3

c. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: T§1

Ph¬ng tr×nh: -5 x2 + 3x + 2 = 0 cã hÖ sË gãc a = -5 <0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x = 1 vµ x = 2/5

KL

Nh÷ng ph¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sË gãc a lµ sË 98 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc ©m th× lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt VÝ dô 2: T§1

Cho biÓu thc: A = 1x2 + 6x + 15 Ta cã: A = (x2 +2.3.x + 9) + 6 = (x + 3)2 +6 >= 6 ( v× (x+3)2 >=0 Suy ra A cã gi¸ trÞ nhá nhæt lµ b»ng 6

KL

Víi mäi biÓu thøc cã d¹ng B = ax2 + bx + c ta lu«n t×m ®îc gi¸ trÞ nhá nhæt cña chóng

d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: T§1

Cho tËp sË thùc R vµ phÐp to¸n nh©n (ký hiÖu .). Ta dÔ dµng chøng minh ®îc R cïng víi phÐp to¸n nh©n lµ mét nhãm giao ho¸n. Hay: (R, .) lµ mét nhãm giao ho¸n

KL

N lµ tËp sË tù nhiªn. phÐp . lµ phÐp nh©n th«ng thêng trong tËp N. VËy: (N, .) còng lµ mét nhãm giao ho¸n

VÝ dô 2 T§1

Cho ¸nh x¹: f : N → N f biÕn mçi phÇn tö cña N thµnh chÝnh nã lµ x x mét song ¸nh

KL

¸nh x¹: g: N nhiªn thµnh

x

→ R g biÕn mçi phÇn tö trong tËp sË tù

x 99 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc chÝnh nã trong tËp sË thùc còng lµ mét song ¸nh e. Trong ®êi thêng VÝ dô 1: T§1

C©y xoµi cã qu¶ dïng ®Ó ¨n

T§2

C©y na cã qu¶ dïng ®Ó ¨n

KL

Tæt c¶ nh÷ng c©y ra qu¶ ®Òu dïng ®Ó ¨n

VÝ dô 2: T§1

Trêi cã c¬n ma híng t©y th× ma d©y, b·o giËt

KL

H«m nay trêi cã c¬n ®»ng t©y nªn ma d©y b·o giËt.

Bµi tËp vÒ suy luËn t¬ng tù Bµi 1: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ phÐp suy luËn t¬ng tù trong c¸c lÜnh vùc a, Sè häc: VÝ dô 1: “TÝnh chæt giao ho¸n trong phÐp céng ph©n sËÓ

T§1

TÝnh chæt giao ho¸n trong phÐp céng sË tù nhiªn a, b thuéc N th× a + b = b + a

T§2

KL

c a ; lµ c¸c ph©n sË b d TÝnh chæt giao ho¸n trong phÐp céng ph©n sË:

100 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

a b

+

c d

=

a c + d b

VÝ dô 2: “Quy t¾c chia mét tæng víi mét sËÓ T§1

Quy t¾c nh©n mét nh©n mét tæng víi mét sË

∀ a, b, c ta cã: (a + b)c = a.c + b.c T§2

∀ a, b, c ta cã: (a + b) : c = a : c + b : c

KL

Quy t¾c chia mét tæng cho mét sË

b. H×nh häc: VÝ dô 1: “Quy t¾c tÝnh thÓ tÝch h×nh hép ch÷ nhËtÓ

T§1

Ph¬ng ph¸p t×nh diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng a, chiÒu réng b»ng b

T§2

Cho c¸c sË ®o cña khËi lËp ph¬ng, biÓu tîng vÒ thÓ tÝch cña mét h×nh.

KL

C¸ch tÝnh thÓ tÝch cña h×nh hép ch÷ nhËt

VÝ dô 2: “Ph¬ng ph¸p tÝnh diÖn tÝch h×nh tam gi¸cÓ T§1

Ph¬ng ph¸p tÝnh diÖn tÝch ch÷ nhËt cã kÝch thíc lµ a vµ b.

T§2

Cho c¸c sË ®o cña mét h×nh tam gi¸c

T§3

Kü n¨ng c¾t, ghÐp tõ mét h×nh tam gi¸c thµnh mét h×nh ch÷ nhËt. 101 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc KL

C¸ch tÝnh diÖn tÝch h×nh tam gi¸c

c. §¹i sè: VÝ dô 1: “C¸ch t×m gi¸ trÞ nhá nhæt cña biÓu thøc cã d¹ng B= ax2 + bx + c (víi a > 0)Ó

T§1

PP tÝnh gi¸ trÞ lín nhæt cña biÓu thøc cã d¹ng : A= - ax2 + bx + c (víi a > 0)

T§2

Yªu cÇu bµi tËp: T×m gi¸ trÞ nhá nhæt cña biÓu thøc: B= ax2 + bx + c (víi a > 0

KL

C¸ch t×m gi¸ trÞ nhá nhæt cña biÓu thøc cã d¹ng : B= ax2 + bx + c (víi a > 0

VÝ dô 2: “C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh lîng gi¸c d¹ng: msin2 x + nsinx + t = 0 (víi m kh¸c 0) Ó T§1

Ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (víi a kh¸c 0)

T§2

Yªu cÇu gi¶i ph¬ng tr×nh d¹ng: msin2 x + nsinx + t = 0 (víi m kh¸c 0)

KL

C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh lîng gi¸c d¹ng: msin2 x + nsinx + t = 0 (víi m kh¸c 0)

d. TCC VÝ dô 1:

102 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc T§1

(X, *) lµ mét nöa nhãm aben cã phÇn tö ®¬n vÞ lµ e

T§2

(T, . ) lµ mét vµnh giao ho¸n

KL

(T, . ) cã phÇn tö ®¬n vÞ lµ e

VÝ dô 2: T§1 T§2 KL

¸nh x¹ f:N → 2N lµ mét song ¸nh x → 2x = f(x) (f biÕn x thu«c N thµnh 2x thuéc N) ¸nh x¹ g:N → R (g biÕn x thu«c N thµnh 2x thuéc R) x → 2x = f(x) ¸nh x¹ g: N → R lµ mét song ¸nh x → 2x = g(x)

e. §êi thêng: VÝ dô 1:

T§1

TØnh S¬n La lµ mét tØnh miÒn nói ®êng x¸ ®i l¹i ræt khã kh¨n

T§2

Lµo Cai lµ mét tØnh miÒn nói

KL

TØnh miÒn nói Lµo Cai cã ®êng x¸ ®i l¹i ræt khã kh¨n

VÝ dô 2: “Quy t¾c chia mét tæng víi mét sËÓ T§1

Th¸i B×nh lµ Vïng chiªm tròng trång nhiÒu lóa

T§2

Nam ®Þnh lµ mét tØnh thuéc vïng chiªm tròng.

KL

Nam §Þnh còng trång nhiÒu lóa Bµi TËp VÒ chøng minh 103 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Bµi 1: X©y dùng 2 phÐp chøng minh trùc tiÕp trong 4 trêng hîp. Sau ®ã chØ ra luËn ®Ò, luËn cø, luËn chøng. a. Trong h×nh häc VÝ dô 1: 1. §Ò bµi: Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900 . KÎ AH vu«ng gãc víi BC ( ®iÓm H thuéc BC). C¸c tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BAH va C c¾t nhau ë K. Chøng minh r»ng : AK vu«ng gãc v¬i CK. A 12 K C

3

1 2

H

B

Bµi gi¶i:

Tam gi¸c AHC cã gãc H = 900 . Suy ra ACˆ H + Aˆ 3 = 90 0 (Tæng 3 gãc trong 1 tam gi¸c) (1)

BAˆ H + Aˆ 3 = BAˆ H = 90 0 ( theo gi¶ thiÕt) Tõ (1 ) va (2) suy ra: ACˆ H = BAˆ H 1 Ta cã: Cˆ 1 = ACˆ H 2 1 Aˆ1 = BAˆ H 2

Suy ra Suy ra:

(2)

( theo tÝnh chæt c¸c ®êng ph©n gi¸c)

Cˆ1 = Aˆ1

Aˆ 2 + Aˆ 3 + Cˆ1 = Aˆ 3 + Aˆ 2 + Aˆ1 = 90 0 104 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

ˆ + Cˆ = 90 0 ⇒ AKˆ C = 90 0 ( tæng 3 gãc Tam gi¸c ABC cã: Aˆ 2 + A 3 1 trong 1 tam gi¸c) suy ra: AK vu«ng gãc víi CK * CÊu tróc cña chøng minh: LuËn ®Ò

§Ò bµi to¸n ( gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn cña bµi to¸n)

LuËn cø:

- TÝnh chæt "tæng ba gãc trong mét tam gi¸c" - TÝnh chæt "§êng ph©n gi¸c"

LuËn chøng

Quy t¾c suy luËn b¾c cÇu

VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: ®êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm cña mét c¹nh cña mét tam gi¸c song song víi c¹nh thø hai th× ®i qua trung ®iÓm cña c¹nh thø ba. Gi¶ thiÕt

Tam gi¸c ABC, D lµ trung ®iÓm cña AB E thuéc AC. DE song song víi BC

KÕt luËn

E lµ trung ®iÓm cña AC (AE = EC) A E

D 1

B

1 1 E

C

Chøng minh: KÎ EF song song víi AB, F thuéc BC 105 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Ta cã: DE song song víi BC suy ra DE song song víi BF (F thuéc BC) DB song song víi EF ( theo c¸ch dùng) Suy ra EF = DB ( do DEBF lµ h×nh b×nh hµnh ) Suy ra EF = AD.

(1)

XÐt tam gi¸c ADE vµ tam gi¸c EFC cã: Gãc A b»ng gãc E1 ( ®ång vÞ, AB song song víi EF)(2) Gãc D1 b»ng gãc F1 (cïng b»ng gãc B1)

(3)

Tõ (1), (2), (3) Suy ra:Tam gi¸c ADE = EFC ( gãc - c¹nh - gãc) Suy ra: AE = EC ( TÝnh chæt cña hai tam gi¸c b»ng nhau) Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. * Cæu tróc cña phÐp chøng minh: LuËn ®Ò

Gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn cña bµi to¸n

LuËn cø

- TÝnh chæt cña h×nh b×nh hµnh - Gãc ®ång vÞ cña 2 ®êng th¼ng song song - Trêng hîp b»ng nhau cña 2 tam gi¸c - TÝnh chæt cña 2 tam gi¸c b»ng nhau.

LuËn chøng:

Quy t¾c suy luËn b¾c cÇu

b, Trong sè häc VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: hai sË tù nhiªn liªn tiÕp kh¸c 0 lµ hai sË nguyªn tË cïng nhau. Chøng minh: Gäi hai sË tù nhiªn liªn tiÕp lµ n vµ n+1. Gäi d lµ íc sË chung cña n vµ n+1. Suy ra: ( (n+1) - n ) chia hÕt cho d 106 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc T¬ng ®¬ng víi 1 chia hÕt cho d Suy ra d = 1.( TÝnh chæt cña phÐp chia hÕt) Suy ra n vµ n+1 lµ hai sË nguyªn tË cïng nhau. LuËn ®Ò

§Ò bµi cña bµi to¸n

LuËn cø

- TÝnh chæt cña íc chung - TÝnh chæt cña phÐp chia hÕt

LuËn chøng

Quy t¾c suy luËn b¾c cÇu

VÝ dô 2: Cho :

1 1 1 1 a + + + ........... + = 50 51 52 99 b

CMR: a chia hÕt cho 149

Chøng minh: Ta cã:

a  1 1  1 1  1   1 =  +  +  +  + .......... +  +  b  50 99   51 48   74 75 

(TÝnh chæt giao ho¸n cña phÐp céng)

a 149 149 149 = + + ............. b 50.99 51.98 74.75 (Quy t¾c quy ®ång mÉu sË c¸c ph©n sË) Chän mÉu sË chung lµ 50.51. ........... 98.99. Gäi c¸c thõa sË phô lµ k1 , k2 ,.......... , k25 ta cã:

a 149.(k1 + k 2 + ............ + k 25 ) = b 50.51...............98.99

NhËn xÐt: Tö chia hÕt cho 149 ( lµ sË nguyªn tË) cßn mÉu sË kh«ng chøa thõa sË nguyªn tË 149 nªn khi rót gän ph©n sË ®Õn tËi gi¶n th× a vÉn chia hÕt cho 149. Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. 107 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc LuËn ®Ò

§Ò bµi to¸n

LuËn cø

- TÝnh chæt giao ho¸n cña phÐp céng ph©n sË - Quy t¾c quy ®ång mÉu sË c¸c ph©n sË - Quy t¾c rót gän ph©n sË

LuËn chøng

Quy t¾c suy luËn b¾c cÇu

c, Trong ®¹i sè VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: nÕu

Th×

1 1 1 1 + + = x y z x+ y+z

1 x 2003

+

1 y 2003

+

1 z 2003

=

1 x 2003 + y 2003 + z 2003

Chøng minh: V× :

1 1 1 1 + + = x y z x+ y+z

suy ra:

yz + xz + xy 1 = xyz x+ y+z

(Quy t¾c quy ®ång mÉu sË c¸c

ph©n sË) suy ra: (xy + zx + xy) (x + y + z ) = xyz ( TÝnh chæt 2 ph©n sË b»ng nhau) Suy ra: xyz + x2 z + x2 y + y2 z + xyz +xyz +xy2 +yz2 +xz2 + xyz = xyz (TÝnh chæt ph©n phËi cña phÐp nh©n ®Ëi víi phÐp céng) (Nh©n ®a thøc víi ®a thøc) Suy ra: z(x +Y)2 xy(x +Y) + z2 (x + Y) = 0 108 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Suy ra: (x + y) (xz + yz + xy + z2) = 0 (x + y) (x(y +z) + z(y + z) ) = 0 (x + y) (x + z) (y + z) = 0 Suy ra: x + y = 0

(1)

x+z=0

(2)

y+z=0

(3)

(1). NÕu x + y = 0 suy ra x = -y suy ra x2003 = -y2003 (Luü thõa víi sË mò kh«ng ©m) Ta cã:

1 x 2003

+

1 y 2003

+

1 z 2003

=

1 x 2003 + y 2003 + z 2003 Suy ra:

1 x 2003

+

1 y 2003

+

1 1 1 1 + + = − y 2003 y 2003 z 2003 z 2003

=

1 z 2003

− y 2003 =

1 1 = + y 2003 + z 2003 z 2003 1

x 2003 + y 2003 + z 2003

* CÊu tróc cña phÐp chøng minh: LuËn ®Ò

§Ò bµi to¸n

LuËn cø

- Quy t¾c quy ®ång mÉu sË c¸c ph©n sË - TÝnh chæt hai ph©n sË b»ng nhau - Quy t¾c nh©n ®a thøc víi ®a thøc - N©ng lªn luü thõa víi sË mò kh«ng ©m 109 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc LuËn chøng

Quy t¾c suy luËn b¾c cÇu

VÝ dô 2: Cho a < b vµ c < d CMR: a + c < b + d Chøng minh Tõ a < b , céng thªm c vµo hai vÕ cña bæt ®¼ng thøc nµy ta ®îc: a +c < b + c ( T/c cña bæt ®¼ng thøc )

(1)

Tõ c < d, céng b vµo hai vÕ cña bæt ®¼ng thøc ta cã: b + c < b + d ( tÝnh chæt cña bæt ®¼ng thøc)

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: a + c < b + d (§pcm) * CÊu tróc cña phÐp chøng minh: LuËn ®Ò

§Ò bµi to¸n

LuËn cø

TÝnh chæt cña bæt ®¼ng thøc

LuËn chøng

Quy t¾c suy luËn b¾c cÇu

d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: Cho S lµ quan hÖ t¬ng ®¬ng trong tËp X. Víi hai phÇn tö bæt kú a vµ b chøng minh r»ng líp t¬ng ®¬ng C(a) ∩ C(b) = θ ho®c C(a) = C(b) Chøng minh Gi¶ sö C(a) ∩ C(b) kh¸c tËp rçng. Ta sÏ chøng minh C(a) = C(b0. Gäi c lµ mét ®iÓm thuéc C(a) ∩ C(b). Ta cã cSa vµ cSb , vµ do tÝnh chæt ®Ëi xøng vµ b¾c cÇu, nªn a thuéc C(b). Do ®ã, víi 110 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc mäi x thuéc C(a), tøc lµ víi mäi x t¬ng ®¬ng víi a, ta ®Òu cã x thuéc C(b), Tøc lµ C(a) ⊂ C(b). T¬ng tù ta chøng minh C(b) ⊂ C(a). VËy , ta cã C(a) = C(b) * CÊu tróc cña phÐp chøng minh: LuËn ®Ò

§Ò bµi to¸n

LuËn cø

- §Þnh nghÜa líp t¬ng ®¬ng - TÝnh chæt ®Ëi xøng trong quan hÖ hai ng«i - TÝnh chæt b¾c cÇu trong quang hÖ hai ng«i - TÝnh chæt trong quan hÖ bao hµm

LuËn chøng

Quy t¾c suy luËn b¾c cÇu

VÝ dô 2: Trong mét nhãm, cã ®¼ng thøc xy = xz ( hay yx = zx) CMR: y = z (Tøc lµ chøng minh luËt gi¶n íc trong mét nhãm) Chøng minh Nh©n c¶ hai vÕ cña ®¼ng thøc xy = xz víi x-1 x-1 (xy) = x-1 (xz) (x-1 x)y = x-1 x)z ey = ez Tøc lµ:

y=z

* CÊu tróc cña phÐp chøng minh: LuËn ®Ò

§Ò bµi to¸n

LuËn cø

- §Þnh nghÜa nhãm 111 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc - TÝnh chæt cña ®¼ng thøc: "nh©n c¶ hai vÕ cña mét ®¼ng thøc víi mét sË kh¸c 0" - TÝnh chæt cña phÇn tö nghÞch ®¶o trong mét nhãm - TÝnh chæt cña phÇn tö trung hoµ e trong mét nhãm LuËn chøng

Quy t¾c suy luËn b¾c cÇu

Bµi 2: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ chøng minh ph¶n chøng trong c¸c trêng hîp: a. Trong h×nh häc VÝ dô 1: Cho tam gi¸c ®Òu ABC, ®êng cao AH. Trªn tia HC læy ®iÓm D sao cho HD = HA. Trªn nöa m®t ph¼ng bê DB kh«ng chøa A, vÏ tia Dx sao cho gãc BDx = 150 . Dx c¾t tia AB t¹i E. CMR HD = HE. Tãm t¾t: Gi¶ thiÕt

ABC ®Òu, ®êng cao AH D thuéc HC, HD = HA Dx kh«ng thuéc mp (DBA), gãc BDx = 150 Dx c¾t AB = E

KÕt luËn

HD = HE

112 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc A

E

B 1

H

C

2

D

Chøng minh: Gi¶ sö: HD > HE suy ra Eˆ 2 > 15 0 M®t kh¸c, HD > HE nªn HA > HE suy ra

(1)

Eˆ 1 > 30 0

(2)

Suy ra: BEˆ D > 45 0 Do ®ã ABˆ D > 60 0 (Tr¸i víi gi¶ thiÕt) Gi¶ sö: HD< HE th× Eˆ 2 < 15 0

(3)

M®t kh¸c: HD < HE suy ra HA < HE suy ra Eˆ 2 < 30 0

(4)

Suy ra BEˆ D < 45 0 Do ®ã A ABˆ D < 60 0 (Tr¸i víi gi¶ thiÕt) VËy HD = HE (®pcm) * CÊu tróc cña phÐp chøng minh LuËn ®Ò

Gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn

LuËn cø

- TÝnh chæt gãc vµ c¹nh ®Ëi diÖn trong tam gi¸c - TÝnh chæt ®êng cao cña tam gi¸c ®Òu

LuËn chøng

Quy t¾c suy luËn:

q → p, p q

VÝ dô 2: Tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän, c¸c ®êng ph©n gi¸c AD, trung tuyÕn BM vµ ®êng cao CH ®ång quy . CMR gãc A lín h¬n 450 113 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

Gi¶ thiÕt

ABC lµ tam gi¸c nhän AD lµ ®êng ph©n gi¸c gãc A BM lµ ®êng trung tuyÕn c¹nh AC CH: lµ ®êng cao h¹ tõ C AD, BM, CH c¾t nhau t¹i O CMR gãc A lín h¬n 450

KÕt luËn

B E D

H A

M

C

F

Chøng minh Gi¶ sö gãc A b»ng 450 Gäi Hx lµ tia ®Ëi cña tia HA. Trªn Hx læy HE = HA. Suy ra

CEˆ A = CAˆ E ≤ 45 0 ⇒ ACˆ E ≥ 90 0. Ta sÏ chøng minh khi ®ã ACˆ B > ACˆ E vµ ®ã lµ ®iÒu v« lý (tr¸i víi gi¶ thiÕt) ThËt vËy, gäi O lµ giao ®iÓm cña AD, BM vµ CH. Gäi F lµ giao ®iÓm cña EO vµ AC. 114 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Tam gi¸c EAC coa EA > EC (V× EA ®Ëi diÖn gãc lín h¬n) Mµ EF lµ ph©n gi¸c gãc AEC suy ra AF > FC suy ra AF > AC/2 M lµ trung ®iÓm cña AC suy ra M n»m gi÷a A vµ F. Suy ra tia B 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ thuéc tia Ex ⇒ ACB > ACE mµ ACE ≥ 90 ⇒ ACB > 90 (tr¸i víi

gi¶ thiÕt)

ˆ Suy ra A > 45

0

* CÊu tróc cña phÐp chøng minh: LuËn ®Ò

Gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn

LuËn cø

TÝnh chæt gãc vµ c¹nh ®Ëi diÖn trong tam gi¸c TÝnh chæt ®êng cao, cña ®êng ph©n gi¸c, ®êng trung tuyÕn

LuËn chøng

PhÐp suy luËn:

q → p, p q

b. Trong sè häc VÝ dô 1: Chøng minh r»ng kh«ng thÓ cã h÷u h¹n sË nguyªn tË Chøng minh Gi¶ sö chØ cã h÷u h¹n sË nguyªn tË lµ P1, P2, P3………. Pn trong ®ã Pn lµ sË lín nhæt trong c¸c sË nguyªn tË. XÐt sË A = P1.P2……..Pn + 1 115 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Ta cã: A chia cho mçi sË nguyªn tË Pi (i ch¹y tõ 1 ®Õn n) ®Òu d 1 (1) M®t kh¸c, A lµ hîp sË ( v× nã lín h¬n sË nguyªn tË lín nhæt lµ Pn). Do ®ã A ph¶i chia hÕt cho mét sË nguyªn tË nµo ®ã, tøc lµ A chia hÕt cho mét trong c¸c sË nguyªn tË Pi. §iÒu nµy m©u thuÉn víi (1). Suy ra kh«ng thÓ cã h÷u h¹n c¸c sË nguyªn tË. * Cæu tróc cña phÐp chøng minh LuËn ®Ò

§Ò bµi to¸n

LuËn cø

- TÝnh chæt cña sË nguyªn tË - TÝnh chæt cña hîp sË

LuËn chøng QTSL

q → p, p q

VÝ dô 2: Cho a, b lµ 2 sË nguyªn tË cïng nhau. CMR a2 vµ a + b còng lµ 2 sË nguyªn tË cïng nhau. Chøng minh Gi¶ sö a2 vµ a+b cïng chia hÕt cho sË nguyªn tË d th× a chia hÕt cho d; do ®ã b còng chia hÕt cho d suy ra a, b cïng chia hÕt cho sË nguyªn tË d tr¸i víi gi¶ thiÕt (a,b)=1 VËy a2 vµ a+b lµ hai sË nguyªn tË cïng nhau. * CÊu tróc cña phÐp chøng minh

116 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc LuËn ®Ò

§Ò bµi to¸n

LuËn cø

TÝnh chæt cña 2 sË nguyªn tË cïng nhau

LuËn chøng QTSL

q → p, p (*) q

b. Trong ®¹i sè VÝ dô 1: CMR kh«ng cã 3 sË nguyªn nµo tho¶ m·n c¶ ba biÓu thøc : a + 1/b < 2; b + 1/c < 2, c + 1/a < 2

(1)

Chøng minh Gi¶ sö tån t¹i a, b, c > 0 th¶o m·n (1) Céng vÕ víi vÕ ta ®îc: a+ 1/b + b + 1/c + c + 1/a <6

(2)

(a + 1/a) + (b + 1/b) + (c + 1/c) <6 V× a>0; b>0; c>0 nªn theo bæt ®¼ng thøc c«si ta cã:

a+

1 1 ≥ 2 a. = 2 a a

b+

1 1 ≥ 2 b. = 2 b b

c+

1 1 ≥ 2 c. = 2 c c 117 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

1 1 1 (a + ) + (b + ) + (c + ) ≥ 6 a b c Suy ra:

M©u thuÉn víi (2)

Suy ra kh«ng tån t¹i a>0, b>0, c>0 tho¶ m·n ®ång thêi 3 bæt ®¼ng thøc ®· cho * CÊu tróc cña phÐp chøng minh: LuËn ®Ò

§Ò bµi to¸n

LuËn cø

- TÝnh chæt cña bæt ®¼ng thøc - TÝnh chæt giao ho¸n cña phÐp céng - Bæt ®¼ng thøc c«si

LuËn chøng

QTSL (*)

d. Trong to¸n cao cÊp VÝ dô 1: Mçi phÇn tö cña 1 nhãm chØ cã mét phÇn tö ®Ëi xøng. Chøng minh Gi¶ sö x', x'' lµ 2 phµn tö ®Ëi xøng cña x. Ta cã: e = x.x'' (TÝnh chæt cña nhãm) Nh©n hai vÕ bªn tr¸i vµ ph¶i víi x, ta ®îc: x'.e = x'.(x.x'') (TÝnh chæt cña phÐp to¸n) Hay x' = x'.e = x'. (x.x'') = (x'.x).x'' = e.x'' = x'' (TÝnh chæt)

118 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc M©u thuÉn víi gi¶ sö. VËy mçi phÇn tö cña mét nhãm chØ cã mét phÈn tö ®Ëi xøng. * CÊu tróc cña phÐp suy luËn LuËn ®Ò

§Ò bµi

LuËn cø

- TÝnh chæt cña nhãm - TÝnh chæt cña phÐp to¸n hai ng«i

LuËn chøng

QTSL (*)

2. NÕu tËp E lµ tËp con cña tËp N vµ: i, 0 thuéc E ii, n thuéc E suy ra n+1 thuéc E Th× E = N Chøng minh Gi¶ sö cã E tho¶ m·n (i) vµ (ii) vµ E ≠ N V×

E ≠ N → N − E ≠ φ ⇒ N − E cã phÇn tö bÐ nhæt a

V× 0 ∈ E → a ≠ 0 V× a lµ phÇn tö bÐ nhæt cña N- E suy ra a - 1 thuéc E (phÇn tö liÒn tríc a-1 cña a tån t¹i v× a kh¸c 0) V× a-1 thuéc E nªn sË liÒn sau cña a-1 lµ a thuéc E suy ra m©u thuÉn nªn E = N * Cæu tróc cña phÐp suy luËn

119 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc LuËn ®Ò

§Ò bµi

LuËn cø

C¸c tÝnh chæt cña tËp hîp vµ phÇn tö cña tËp hîp

LuËn chøng

QTSL (*)

Bµi 3: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ chøng minh quy n¹p trong to¸n häc cho 2 trêng hîp: a, Trong sè häc VÝ dô 1: CMR: 1.2 + 2.3 + 3.4 + ……….. + n(n + 1) =

n(n + 1)n + 2) (n 3

thuéc N*) - Víi n = 1 ta cã VT = 1(1 + 1):3 = 2 - Gi¶ sö ®¼ng thøc ®óng víi n = k Tøc lµ 1.2 + 2.3 + 3.4 + ….. k.(k + 1) =

k (k + 1)(k + 2) 3

XÐt : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ……………+ k.(k+ 1)(k + 2)

120 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

k (k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) 3 k (k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) = 3 (k + 1)(k + 2)(k + 3) = 3 (k + 1)[ (k + 1) + 1] + [ (k + 1) + 2] = 3 =

VËy ®¼ng thøc ®óng víi n = k + 1 . Suy ra ®pcm VÝ dô 2: CMR:

1 1 1 1 n + + + .......... + + ( Víi mäi n 1.5 5.9 9.13 (4n − 3).(4n + 1) 4n + 1

thuéc N*) - Víi n = 1:

1 1 = ( 4.1 − 3)(4.1 + 1) 5 1 1 VP = = 4 .1 + 1 5 ⇒ VT = VP VT =

Suy ra ®¼ng thøc ®óng - Gi¶ sö ®¼ng thøc ®óng víi n = k

121 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

1 1 1 1 k + + + ....... + = 1.5 5.9 9.13 (4k − 3)(4k + 1) 4k + 1 1 1 1 1 1 Xet : + + + ....... + + 1.5 5.9 9.13 ( 4k − 3)(4k + 1) [ ( 4(k + 1) − 3)(4( k + 1) + 1)] k 1 = + 4k + 1 (4k + 4 − 3)(4k + 4 + 1) k ( 4k + 5) + 1 = ( 4k + 1)(4k + 5) = = = = =

4k 2 + 5k + 1 ( 4k + 1)(4k + 5) 4k ( k + 1) + (k + 1) ( 4k + 1)(4k + 5) (4k + 1)(k + 1) ( 4k + 1)(4k + 5) k +1 4k + 5 k +1 4(k + 1) + 1

VËy ®¼ng thøc ®óng víi n= k+1. Suy ra ®pcm b, Trong ®¹i sè VÝ dô1: CMR: (2n+2 .3n +5n - 4) chia hÕt cho 25 ( n thuéc N*) - Víi n = 1: 21+2 .31 +5.1 - 4 = 25 - chia hÕt cho 25 - Gi¶ sö ®¼ng thøc ®óng víi n = k 2k+2 .3k +5.k - 4

- chia hÕt cho 25 122 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc XÐt 2k+2+1 .3k+1 +5(k+1) - 4 =

2k+2+1 .3k+1 +5k + 5 - 4

=

6. 2k+2 .3k+1 +5k + 1

=

6.2k+2 .3k + 6.5k - 6.4 +25 - 25k

=

6(2k+2 .3k +5k - 4) + 25 (1 - k)

Ta thæy : 6(2k+2 .3k +5k - 4) chia hÕt cho 25 25(1-k) - chia hÕt cho 25 VËy ®¼ng thøc ®· cho ®óng víi n = k + 1 Suy ra ®¼ng thøc ®· cho chia hÕt cho 25(®pcm) VÝ dô 2: CMR: 1.1! + 2.2! + 3.3! + ……….. + n.n! = (n+1)! - 1 (Víi mäi n thuéc N*) Gi¶i: - Víi n = 1 ta cã: VT= 1.1! = 1 VP = (1+1)! - 1 = 2.1 - 1 = 1 Suy ra VT = VP = 1. VËy ®¼ng thøc trªn ®óng víi n = 1 - Gi¶ sö ®¼ng thøc trªn ®óng víi n = k 1.1! + 2.2! +3.3! + ……+ k.k! = (k + 1)! - 1 XÐt: 1.1! + 2.2! + 3.3! + ……+ k.k! + (k+1)(k+1)! = (k+1)!- 1+ (k+1)(k+1)! = (k+1)!(k+2) - 1 = (k+2)!-1 = ( (k+1)+1)! - 1 123 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc VËy ®¼ng thøc ®óng víi n = k +1 Suy ra ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh. bµi tËp vÒ d·y sË viÕt theo quy luËt Bµi 1. ThiÕt kÕ 5 ®Ò to¸n vÒ viÕt thªm mét sè sè h¹ng vµo sau 1 d·y sè 1. Quy luËt 1 - Bíc 1: chän quy luËt: Un= n(n+1) - Bíc 2: chän sË h¹ng tù do: 2 - Bíc 3: T×m 2 sË h¹ng theo quy luËt ®· chän 6, 12, 20 - Bíc 4: §®t thµnh ®Ò to¸n ViÕt tiÕp 3 sË h¹ng cña d·y sau: 2, 6, 12, 20, …. 2. Quy luËt 2 - Bíc 1: chän quy luËt: un+2=un x un+1 - Bíc 2: chän sË h¹ng tù do: 5, 7 - Bíc 3: T×m 3 sË h¹ng theo quy luËt: 35, 245, 8575 - Bíc 4: ®®t thµnh ®Ò to¸n ViÕt tiÕp 2 sË h¹ng cña d·y: 5, 7, 35, 245, 8575, …., …. 3. Quy luËt 3: - Bíc 1: Chän quy luËt : Un = a + nxn - Bíc 2: Chän sË h¹n tù do: 2 - Bíc 3: T×m 3 sË h¹ng theo quy luËt: 5, 10, 17. - Bíc 4: §®t thµnh ®Ò to¸n: 124 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc ViÕt tiÕp 6 sË h¹ng cña d·y sË vµ t×m sË h¹n thø 100 cña d·y 2, 5, 10, 17 …………….. 4. Quy luËt 4: - Bíc 1: Chän quy luËt: Un+3 = Un + Un+1 + Un+2 - Bíc 2: Chän sË h¹ng tù do: 4, 6, 7 - Bíc 3: T×m sË h¹ng theo quy luËt: 17, 30, 54 - Bíc 4: §®t thµnh ®Ò to¸n T×m sË h¹ng thø 200 cña d·y sË: 4,6,7,17,30,54,…………… 5. Quy luËt 5: - Bíc 1: Chän quy luËt: Un+1 =Un + a + (n+1) - Bíc 2: Chän sË h¹ng tù do:1 - Bíc 3: T×m 3 sË h¹ng theo quy luËt: 6,12,19 - Bíc4: §®t thµnh ®Ò to¸n: H·y viÕt c¸c sË h¹ng th 12, 120, 1200 cña d·y sË sau: 1,6,12,19, ……………. Bµi 2: Ra ®Ò to¸n t×m mét sË sË h¹ng ®Çu, gi÷a cña d·y: - Bíc 1: X¸c ®Þnh quy luËt: Un = nxa+b U17 = 17x4+6 - Bíc 2: SË c¸c sË h¹ng cña d·y: 17 - Bíc 3: 3 sË h¹ng cuËi viÕt theo quy luËt U17 = 17 x 4 + 6 = 74 U16 = 16 x 4 + 6 = 70 125 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc U15 = 15 x 4 + 6 = 66 Bíc 4: §®t thµnh ®Ò to¸n: Cho d·y sË: ….., ……, 66, 70, 74 1. T×m sË h¹ng ®Çu cña d·y 2. T×m sË h¹ng thø 9 cña d·y TiÒn chøng minh Bµi 1: X©y dùng 2 vÝ dô vÒ suy luËn quy n¹p vµ tiÒn chøng minh cho mçi trêng hîp a. Trong sè häc VÝ dô 1: D¹y häc tÝnh chæt c¬ b¶n cña ph©n sË Cã hai b¨ng giæy b»ng nhau. Chia b¨ng giæy thø nhæt thµnh 4 phÇn b»ng nhau, vµ t« mµu 3 phÇn, tøc lµ t« mÇu

3 4

b¨ng giæy. Chia b¨ng giæy thø 2 thµnh 8 phÇn b»ng nhau vµ t« mµu 6 phÇn, tøc lµ t« mµu

6 b¨mg giæy. 8

3 b¨ng giæy b»ng 4 3 3× 2 6 = vµ NhËn xÐt. = 4× 2 8 4

3 6 6 b¨ng giæy. Nh vËy = 8 8 4 6 6:2 3 = = 8 8:2 4

Ta thæy:

• Suy luËn quy n¹p

T§ KL

Toµn bé vÝ dô nªu trªn TÝnh chæt c¬ b¶n cña ph©n sË: Khi nh©n ho®c chia c¶ 126 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc tö sË vµ mÉu sË víi mét sË tù nhiªn kh¸c 0, ta ®îc mét

a a×c a a:d = & = b b × c b b:d ph©n sË míi b»ng ph©n sË ®· cho: • TiÒn chøng minh LuËn ®Ò

TÝnh chæt c¬ b¶n cña ph©n sË: Khi nh©n ho®c chia c¶ tö sË vµ mÉu sË víi mét sË tù nhiªn kh¸c 0, ta ®îc mét ph©n sË míi b»ng ph©n sË ®· cho:

LuËn cø

a a×c a a:d = & = b b×c b b : d

VÝ dô minh ho¹

VÝ dô 2: Dæu hiÖu chia hÕt cho 3 • Suy luËn quy n¹p T§1

72: 9 = 8

Ta cã: 7 +2 = 9 9: 9 = 1

T§2

657 : 9 = 73

Ta cã: 6+5+7 = 18 18 : 9 = 2

T§3

182: 9 = 20 ( d 2)

Ta cã 1+8+2 = 11 11 : 9 = 1 (d 2)

T§4

451: 9 = 50 (d 1)

Ta cã: 4+5+1 = 10 10 : 9 = 1 (d 1)

KL

Dæu hiÖu chia hÕt cho 9: “ C¸c sË cã tæng c¸c ch÷ sË chia hÕt cho 9 th× chia hÕt cho 9Ó

• TiÒn chøng minh: 127 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc LuËn ®Ò LuËn cø

Dæu hiÖu chia hÕt cho 9: “ C¸c sË cã tæng c¸c ch÷ sË chia hÕt cho 9 th× chia hÕt cho 9Ó C¸c vÝ dô minh ho¹

b. Trong h×nh häc VÝ dô 1: DiÖn tÝch h×nh tam gi¸c Tam gi¸c ABC cã c¹nh ®¸y BC = a; ®êng cao h¹ tõ ®Ønh A lµ h. DiÖn tÝch h×nh tam gi¸c ABC lµ:

S ∆ = S hcn = a ×

h a×h = 2 2

A

1

B’ 1

2 C’

2 C

B • Suy luËn quy n¹p T§

H×nh tam gi¸c ABC cã ®¸y lµ a vµ ®êng cao t¬ng øng lµ h th×:

S ∆ = S hcn = a × KL

h a×h = 2 2

Quy t¾c tÝnh diÖn tÝch h×nh tam gi¸c “MuËn tÝnh diÖn tÝch h×nh tam gi¸c ta læy ®¸y nh©n víi chiÒu cao t¬ng øng råi chia cho 2“

• TiÒn chøng minh

128 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc LuËn ®Ò

NÕu tam gi¸c cã ®¸y lµ a vµ chiÒu cao t¬ng øng lµ h th×

S∆ = LuËn cø

a×h 2

C¸c bíc t×m S tam gi¸c trong vÝ dô

VÝ dô 2: ThÓ tÝch cña h×nh hép ch÷ nhËt: Bµi to¸n: TÝnh thÓ tÝch h×nh hép ch÷ nhËt cã chiÒu dµi lµ a cm, chiÒu réng lµ b cm, chiÒu cao lµ c cm. §Ó tÝnh thÓ tÝch h×nh hép ch÷ nhËt trªn ®©y b»ng cm3 ta cÇn t×m sË h×nh lËp ph¬ng 1 cm3 xÕp vµo ®Çy hép ( xem c¸c h×nh vÏ díi ®©y) Sau khi c líp h×nh lËp ph¬ng 1cm3 th× võa ®Çy hép. Mçi líp cã: a x b (h×nh lËp ph¬ng 1cm3 ) c líp cã: a x b x c (h×nh lËp ph¬ng 1cm3 ) VËy thÓ tÝch cña h×nh hép ch÷ nhËt lµ: : a x b x c (1cm3 )

c cm

a cm

b cm

• Suy luËn quy n¹p T§

H×nh hép ch÷ nhËt ABCD cã chiÒu dµi lµ a chiÒu réng lµ b vµ ®êng cao c th×: 129 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

Vhhcn = a × b × c KL

Quy t¾c thÓ tÝch h×nh hép ch÷ nhËt “MuËn tÝnh thÓ tÝch h×nh hép ch÷ nhËt ta læy chiÒu dµi nh©n víi chiÒu r«ng råi nh©n víi chiÒu cao (cïng mét ®¬n vÞ ®o)“

• TiÒn chøng minh LuËn ®Ò

NÕu h×nh hép ch÷ nhËt cã chiÒu dµi lµ a, chiÒu réng lµ b vµ cã chiÒu cao lµ c th×

Vhhcn = a × b × c LuËn cø

C¸c bíc t×m thÓ tÝhc h×nh hép ch÷ nhËt trong vÝ dô

c. Gi¶i to¸n cã lêi v¨n ë tiÓu häc VÝ dô 1: D¹y bµi t×m hai sË khi biÕt tæng vµ tØ sË cña hai sË ®ã Bµi to¸n: Tæng cña hai sË lµ 96. TØ sË cña hai sË ®ã lµ

3 . 5

T×m hai sË ®ã. Ta cã s¬ ®å: SË bÐ

96

SË lín Theo s¬ ®å, tæng sË phÇn b»ng nhau lµ: 3 +5 = 8 (phÇn) SË bÐ lµ: 96 : 8 x 3 = 36 SË lín lµ: 96 : 8 x 5 = 60 §s/

sË bÐ: 36 130 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc sË lín: 60 T§

NÕu tæng cña hai sË lµ 96, tØ sË cña hai sË lµ

3 th× 5

SË bÐ lµ: 96 : 8 x 3 = 36 SË lín lµ: 96 : 8 x 5 = 60 MuËn t×m hai sË khi biÕt tæng vµ tØ sË cña hai sË ®ã

KL

th× mçi sË b»ng tæng chia cho tæng sË phÇn ®Ó t×m gi¸ trÞ 1 phÇn råi læy gi¸ trÞ 1 phÇn võa t×m ®îc nh©n víi mçi phÇn cña mçi sË

• TiÒn chøng minh LuËn ®Ò

Khi biÕt tæng vµ tØ sË cña hai sË th× SË bÐ = (Tæng) : (tæng sË phÇn) x (sË phÇn cña sË bÐ) SË lín = (Tæng) : (tæng sË phÇn) x (sË phÇn cña sË lín)

LuËn cø

Bµi tËp vµ lêi gi¶i bµi tËp vÝ dô minh ho¹ ë trªn

VÝ dô 2: D¹y bµi t×m hai sË khi biÕt tæng vµ hiÖu cña hai sË ®ã Bµi to¸n: Tæng cña hai sË lµ 70. HiÖu cña hai sË ®ã lµ 10 . T×m hai sË ®ã. Ta cã s¬ ®å: SË bÐ 10

SË lín Theo s¬ ®å, hai lÇn sË bÐ lµ 70 Ð 10 = 60 SË bÐ lµ: 131

Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 60 : 2 = 30 SË lín lµ: 30 + 10 = 40 (Ho®c cã thÓ gi¶i nh sau: Hai lÇn sË lín lµ 70 + 10 = 80 sË lín lµ 80 : 2 = 40 ) §s/

sË bÐ: 30 sË lín: 40

T§

NÕu tæng cña hai sË lµ 70, hiÖu cña hai sË lµ 10 th× SË bÐ lµ: (70 Ð 10) : 2 = 30 SË lín lµ: (70 + 10) : 2 = 40

KL

MuËn t×m hai sË khi biÕt tæng vµ hiÖucña hai sË ®ã th× : SË bÐ = (Tæng Ð HiÖu) : 2 SË lín = (Tæng + HiÖu) : 2

• TiÒn chøng minh LuËn ®Ò

Khi biÕt tæng vµ hiÖu cña hai sË th× SË bÐ = (Tæng Ð HiÖu) : 2 SË lín = (Tæng + HiÖu) : 2

LuËn cø

Bµi tËp vµ lêi gi¶i bµi tËp vÝ dô minh ho¹ ë trªn

Bµi tËp ngôy biÖn - b¸c bá Bµi 1: ThiÕt lËp 1 FBN, b¸c bá b»ng QTBBL§. Cho 5 trêng hîp: 132 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc a, Sè häc: L§: “ ∀ sË  cho 2 ®Òu  6 Ó BB: “ ∃ a ∈ N: a  2 Λ a  6 Ó a = 4; a  2 Λ a  6 Ó b. H×nh häc: ∆A′B′C ′ th× ∆ABC = ∆A′B ′C ′

s

∆ABC

s

NÕu

∆A′B′C ′ Λ ∆ABC ≠ ∆A′B ′C ′

L§:

BB:

∃ ∆ABC

A B’

C’ C

B

c. §¹i sè: L§: Ph¬ng Tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) lu«n cã nghiÖmÓ BB: ∃ ∆ = b2 Ð 4ac < 0 Λ ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) v« nghiÖm d. TCC L§: “ ∃ f(x) liªn tôc th× kh¶ viÓ BB: “ ∃ y = x Λ y = f(x) liªn tôc t¹i x0 = 0 vµ kh«ng kh¶ vi t¹i x0 = 0 133 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc e. §êi thêng: L§: “ Mäi gia ®×nh ®Òu cã ba thÕ hÖ cïng chung sËng díi mét m¸i nhµ Ó BB: “ ∃ gia ®×nh kh«ng cã ba thÕ hÖ cïng chung sËng díi mét m¸i nhµ Ó Bµi 2: H·y XD c¸c phÐp ngôy biÖn sau, sau ®ã b¸c bá chóng b»ng quy t¾c b¸c bá luËn cø a. Mäi sè thùc ®Òu b»ng nhau • X©y dùng phÐp nguþ biÖn trªn ∀ a, b thuéc R, ta lu«n chän ®îc 2 c®p sË thùc (m,n,p….) vµ (x,y,z……) sao cho tæng c¸c sË h¹ng cña mçi c®p sË ®ã ®Òu b»ng 0 vµ mçi sË h¹ng trong c®p thø nhæt ®Òu chia hÕt cho a; mçi sË h¹ng trong c®p thø 2 ®Òu chia hÕt cho b. NghÜa lµ: ( m+n+p+….) = (x+y+z+…..) Vµ m=a x m’; n=a x n’; p=a x p’ x= b x m’; y= b x n’; z = b x p’ ThÕ th×: m + n + p + ….. = x + y + z + …..

⇔

a(m’ + n’ + p’ + …..) = b(m’ + n’ +p’ + …..)

⇔

a = b ( chia c¶ hai vÕ cho (m’ + n’ + p’ + …..)

VËy víi mäi sË thùc a, b ta ®Òu cã a = b VÝ dô: Ta chøng minh 7 = 8 Chän hai c®p sË t¬ng øng lµ: (84, 35, -119) vµ (96, 40, -136) Ta cã: 84 + 35 - 119 = 96 + 40 Ð 136 = 0

⇔ 7 x 12 + 5 x 7 Ð 17 x 7 = 8 x 12 + 5 x 8 Ð 8 x 17 134 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

⇔ 7 ( 12 + 5 Ð 17)

= 8 ( 12 + 5 Ð 17)

⇔7

= 8

VËy ta ®· chøng minh ®îc 7 = 8 • B¸c bá phÐp nguþ biÖn trªn: Trong phÐp nguþ biÖn trªn ®· ¸p dông sai luËt gi¶n íc. “Khi chia c¶ hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh ®i cïng mét sË th× sË ®ã ph¶i kh¸c 0Ó. ë c¸c phÐp nguþ biÖn trªn ®Òu gi¶n íc ®i mét sË cã gi¸ trÞ b»ng 0: (m’ + n’ + p’ + …..) vµ ( 12 + 5 Ð 17) b. Mäi a, b > 0: a + b = 0. • X©y dùng phÐp nguþ biÖn trªn

∀ a, b >0 ta cã:

a+b=c Nh©n c¶ hai vÕ cña biÓu thøc víi (a + b) ta ®îc: (a + b)(a + b) = c (a + b) (a + b)2 = c (a +b) a2 + 2ab + b2 = ac + bc ( a2 + ab - ac) + (b2 + ab - bc) = 0 a (a + b - c) + b (a + b - c) = 0 (a + b) = 0 ( chia c¶ hai vÕ cña cho (a + b - c) ) •

B¸c bá phÐp nguþ biÖn trªn Trong phÐp nguþ biÖn trªn ®· ¸p dông sai luËt gi¶n íc cña

phÐp nh©n. V×: a + b = c suy ra a + b - c = 0. c. Mäi a ∈ R: a = 0 135 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc • X©y dùng phÐp nguþ biÖn trªn Læy mét sË thùc a tuú ý vµ sË thùc x = a: 2 hay a = 2x (1) Nh©n c¶ hai vÕ cña (1) víi a ta ®îc:L a2 = 2ax hay a2 - 2ax = 0 Thªm x2 vµo c¶ hai vÕ ta ®îc: a2 - 2· + x2 = x2 Hay: (x - a)2 = x2 Do ®ã: x - a = x . VËy a = 0 • B¸c bá phÐp nguþ biÖn trªn B×nh ph¬ng cña hai sË ®Ëi nhau cã gi¸ trÞ b»ng nhau. Do dã, (x - a)2 = x2 Suy ra (x - a) = /x/ . §©y chÝnh lµ chç sai trong qu¸ tr×nh biÕn ®æi cña phÐp nguþ biÖn trªn.

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ - nhän; B - vu«ng ; s® A = B d. A • X©y dùng phÐp nguþ biÖn trªn T¹i c¸c ®iÓm A vµ B ta dùng hai gãc nhän vu«ng

ABˆ y

BAˆ x vµ gãc

. Trªn tia Ax læy ®iÓm D, trªn tia By læy ®iÓm C sao

cho AD = BC. NËi DC, læy M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cua AB vµ CD. Tõ M vµ N dùng c¸c ®êng trung trùc cña c¸c c¹nh AB vµ CD, chóng kÐo dµi c¾t nhau t¹i I. NËi I víi A, B, C, D. Ta cã h×nh vÏ nh sau:

136 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc M

A

N

D

B

C

x y

I Ta dÔ thæy c¸c tam gi¸c AIB vµ CID lµ nh÷ng tam gi¸c c©n ( V× MI vµ NI lµ c¸c ®êng trung trùc cña c¸c c¹nh AB vµ CD. Suy ra

IAˆ B = IBˆ A

(1)

Vµ : AI = BI CI = DI M®t kh¸c, theo c¸ch dùng ta cã AD = BC. Tõ ®©y suy ra hai tam gi¸c AID vµ BIC b»ng nhau theo trêng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh. Suy ra

IAˆ D = IBˆ C

Tõ (1) vµ ( 2) suy ra :

(2)

IAˆ D + IAˆ B = IBˆ C + IBˆ A ⇒ DAˆ B = CBˆ A 137 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc VËy gãc vu«ng

Aˆ b»ng gãc nhän Bˆ

• B¸c bá phÐp nguþ biÖn trªn Trong phÐp nguþ biÖn trªn ®· tiÕn hµnh sai viÖc vÏ h×nh. Gãc nhän A ®îc vÏ trong h×nh häc ph¼ng ë h×nh vÏ trªn kh«ng ph¶i lµ mét gãc nhän. e. Mäi tam g¸c ®Òu lµ tam gi¸c ®Òu • X©y dùng phÐp nguþ biÖn trªn A

I

C

O

K

B

H

Cho tam gi¸c bæt kú ABC. H lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC, dùng ®êng trung trùc cña BC qua H c¾t ®êng ph©n gi¸c cña gãc A t¹i ®iÓm O. Tõ O h¹ c¸c ®êng cao xuËng c¹nh AC, AB vµ c¾t hai c¹nh nµy lÇn lît t¹i I vµ K. NËi OB, OC. XÐt hai tam gi¸c vu«ng AOI vµ AOK cã AO lµ ®êng ph©n

ˆ ˆ gi¸c suy ra AI = AK. IAO = KAO . V©y hai tam gi¸c AOI vµ AOK b»ng nhau theo trêng hîp c¹nh - gãc - c¹nh. ( Ho®c hai tam gi¸c vu«ng cã hai c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau) Suy ra OI = OK. XÐt hai tam gi¸c CIO vµ BKO cã: OI = OK (theo chøng minh trªn) 138 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc OC = OB ( v× OH lµ ®êng trung trùc cña c¹nh BC)

IOˆ C = KOˆ B

( Hai gãc ®Ëi ®Ønh)

Suy ra hai tam gi¸c CIO vµ BKO b»ng nhau theo trêng hîp G_C_G. Suy ra CI = BK Suy ra: CI + IA = BK + KA Hay:

AC = AB.

Chøng minh t¬ng tù ta ®îc : AB = BC VËy víi mäi tam gi¸c ta lu«n chøng minh ®îc AB = AC = BC Hay nãi c¸ch kh¸c mäi tam gi¸c ®Òu lµ tam gi¸c ®Òu. • B¸c bá phÐp nguþ biÖn trªn Trong phÐp nguþ biÖn trªn ®· tiÕn hµnh sai bíc vÏ h×nh vµ ®· dæn ®Õn kÕt luËn nh ®· nªu trªn. Sai cô thÓ nh sau: mäi tam gi¸c, nÕu kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c ®Ò th× ®êng trung trùc cña c¹nh BC lu«n lu«n c¾t ®êng ph©n gi¸c cña gãc ®Ëi diÖn A ë miÒn ngoµi cña h×nh tam gi¸c.

B

O

C

A

f. Mäi d©y cung cña mét ®êng trßn ®Òu b»ng nhau • X©y dùng phÐp nguþ biÖn trªn 139 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Dùng ®êng trßn t©m O, ®êng kÝnh AB. Qua ®iÓm B kÎ d©y cung BC, Qua trung ®iÓm P cña BC kÎ d©y cung AD. NËi CD B D

O

P

C A XÐt hai tam gi¸c APB vµ DPC. Theo c¸ch dùng BP = PC, do ®ã AP = PD.

ˆ ˆ L¹i cã APP = CPD (V× chóng lµ hai gãc ®Ëi ®Ønh). Tøc lµ ta cã: Tam gi¸c APB = DPC ( theo trêng hîp c¹nh - gãc c¹nh) Suy ra ®êng kÝnh AB b»ng d©y cung DC. Hay nãi kh¸c ®i trong mét ®êng trßn mäi d©y cung ®Òu b»ng nhau. • B¸c bá phÐp nguþ biÖn trªn Trong phÐp nguþ biÖn trªn còng ®· lîi dông sai ë kh©u vÏ h×nh. ë h×nh vÏ trªn, khi P lµ trung ®iÓm cña d©y cung BC, vÏ d©y cung tõ A qua P c¾t dêng trßn t¹i D th× P kh«ng lµ trung ®iÓm cña AD. g. Tæng hai c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn 140 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc • X©y dùng phÐp nguþ biÖn trªn Cho tam gi¸c vu«ng ABC nh h×nh vÏ: A A3 A2

C3

C 2

A1

C

C1

B1

B

Ta dùng c¸c ®êng trung b×nh song song víi c¸c c¹nh gãc vu«ng nh h×nh vÏ.. Ta thu ®îc ®êng gæp khóc thø nhæt AA1C1B1B mµ ®é dµi ®êng gæp khóc nµy b»ng tæng hai c¹nh gãc vu«ng. Ta tiÕp tôc kÎ c¸c ®êng trung b×nh cña c¸c tam gi¸c AA1C1 ; C1B1B ; AA2C2 .............. , cø nh thÕ ta thu ®îc ®êng gæp khóc thø 2, thø 3, ......, thø n cã tæng ®é dµi b»ng tæng hai c¹nh gãc vu«ng mµ ®êng gæp khóc nµy ngµy cµng s¸t víi c¹nh huyÒn. cø nh vËy ta sÏ thu ®îc nh÷ng ®êng gæp khóc mµ ®é sai kh¸c cña nã víi c¹nh huyÒn ngµy cµng Ýt vµ khi n tiÕn tíi v« cïng th× ®êng gæp khóc ®ã trïng khÝt víi c¹nh huyÒn. Nh vËy ta ®· chøng minh ®îc tæng ®é dµi hai c¹nh gãc vu«ng b»ng ®é dµi c¹nh huyÒn. • X©y dùng phÐp nguþ biÖn trªn Trong phÐp nguþ biÖn trªn ®· vËn dông phÐp suy luËn sai ®ã lµ : "®é dµi ®êng gæp khóc b»ng ®é dµi c¹nh huyÒn". h. 2 ®t bÊt kú ®Òu song song 141 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Cho hai ®êng th¼ng bæt kú a, b trªn cïng mét m®t ph¼ng. Trªn ®êng th¼ng a læy ®iÓm A, trªn ®t b læy ®iÓm B. NËi AB. Ta tiÕp tôc læy trªn a, b c¸c ®iÓm A1 , B1 sao cho AA1 = BB1 = 1/2 AB. A1 A2 = B1 B2 = 1/2 A1B1

………………… A2

B2

A1

B1

A

B

Ta sÏ chøng minh c¸c c®p ®o¹n th¼ng (AA1 , BB1); (A1 A2 , B1 B2 ); …….. kh«ng c¾t nhau tõng ®«i mét. Gi¶ sö AA1 vµ BB1 c¾t nhau t¹i C Khi ®ã:

AC + BC ≤ AA1 + BB1 = AB - §iÒu nµy v« lÝ v× tæn hai

gãc trong mét tam gi¸c bao giê còng lín h¬n c¹nh cßn l¹i. Suy ra AA1 vµ BB1 kh«ng c¾t nhau . Ta chøng minh t¬ng tù víi c¸c c®p c¹nh kh¸c: (A1 A2 , B1 B2 ); …… Nh vËy mäi c®p ®o¹n th¼ng t¬ng øng trªn hai ®êng th¼ng a, b bæt kú ®Òu kh«ng c¾t nhau. Tõ ®iÒu nµy suy ra hai ®êng th¼ng bæt kú a vµ b ®Òu song song. • B¸c bá phÐp nguþ biÖn trªn 142 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Chóng ta ®· chøng minh c¸c c®p ®o¹n th¼ng (An An+1, Bn Bn+1) víi c¸c chØ sË nh nhau kh«ng c¾t nhau nhng tõ ®ã kh«ng thÓ suy ra mäi c®p ®o¹n th¼ng víi c¸c chØ sË bæt kú ®Òu kh«ng c¾t nhau. Tøc lµ tõ ®ã kh«ng suy ra ®îc hai ®êng th¼ng a vµ b lµ song song víi nhau. Bµi 3 H·y XD 2 phÐp nguþ biÖn t¬ng øng víi mçi QTSL kh«ng hîp LG trªn cho c¸c trêng hîp a → e a. Sè häc: - Quy t¾c:

p→q q→p

• VD1: p → q: NÕu a 6 th× a q → p: NÕu a 2 th× • VD2: p → q: NÕu a 24 th× q → p: NÕu a 4 th× - Quy t¾c:

p →q p →q

 2 (®) a 6 (s) a 4 (®) a 24 (s)

*VD1: p → q: “ a  6 th× a  2 Ó (®) p → q : “ a  6 th× a  2 Ó (s) *VD2: p → q: “ a 24 th× a  4 Ó (®) p → q : “ a  24 th× a  4 Ó (s) - Quy t¾c:

∃ a ∈ X : P(a) ∀ x ∈ X : P ( x)

* VD1: P(a): “ 24 3 ; 114 3 Ó (®) P(x): “ Mäi sË cã tËn cïng b»ng 4 th× 3 Ó (s) * VD2: P(a): “ 175 5 Ó (®) P(x): “ Nh÷ng sË cã tæng c¸c ch÷ sË lµ 13 NT th× 5 Ó (s) b. H×nh häc:

143 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc - Quy t¾c:

p→ q q→ p

s

∆ABC

∆ABC

s

*VD1: p → q : ∆ABC = ∆A′B ′C ′ th×

∆A′B′C ′ (®)

q → p:

∆A′B′C ′ th× ∆ABC = ∆A′B ′C ′

(s) *VD2: p → q : ABC cã ¢ = 900 ; th× ∆ ABC néi tiÕp ®êng trßn (®) 0 q → p : ∆ ABC néi tiÕp th× ∆ ABC cã ¢ = 90 (s) - Quy t¾c:

p→ q q→ p

:

∆ABC ≠ ∆A' B ' C ' th×

∆A′B′C ′ (®)

∆ABC

s

p →q

∆ABC

s

*VD1: p → q: ∆ABC = ∆A′B ′C ′ th×

∆

∆A′B′C ′ (s)

*VD2: p → q: ∆ABC cã ¢ = 900 th× ∆ABC lµ ∆ néi tiÕp ®êng trßn (®) p → q : ∆ABC cã ¢ ≠ 900 th× ∆ABC kh«ng lµ ∆ néi tiÕp (s) - Quy t¾c:

∀a ∈ X : P( a ) ∀x ∈ X : P ( x )

A

*VD1: P(a): ∆ABC nh h×nh vÏ; ∆ABH = ∆ACH (®) P(x): ∀H ∈ BC; ∆ABC : ∆ABH = ACH (s) *VD2: P(a): ∀ HCN ABCD cã AC= BD (®) P(x): ∀ Tø gi¸c ABCD cã AC = BD (s) B

H

C

144 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Suy luËn ngîc vµ trß ch¬i to¸n häc Bµi tËp 1: Trªn bµn cã 100 que diªm, 2 ngêi ch¬i lÇn lît lÊy kh«ng qu¸ k que, ai lÊy ®îc que cuèi cïng lµ th¾ng cuéc. Hái k ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ò ngêi a. §i tríc th¾ng cuéc b. §i sau th¾ng cuéc Gi¶i a. Ngêi ®i tríc ch¾c ch¾n th¾ng cuéc: Gi¶ sö hai ngêi ch¬i lÇn lît læy kh«ng qu¸ k que diªm mçi lÇn vµ ngêi ®i tríc®· chän ®îc chiÕn thuËt ®Ò m×nh ch¾c ch¾n th¾ng cuéc. Tøc lµ ngêi ®i tríc læy ®îc que diªm thø 100. §Ó læy ®îc que diªm thø 100 th× lÇn tríc ®ã ngêi æy ph¶i læy ®îc que diªm thø 100 Ð (k +1) T¬ng tù, ®Ó ®¶m b¶o th¾ng cuéc ngêi ®ã ph¶i læy ®îc c¸c que diªm sau:

100-2x(k+1), 100-3x(k+1), 100-4x(k+1), …

…… 100-t(k+1), ( t la sË nguyªn d¬ng). Que diªm thø 100-t(k+1) ph¶i lµ que diªm ®îc ngêi thø nhæt læy lÇn ®Çu tiªn. Tøc lµ: 0 < 100- t(k+1) ≤ k suy ra: t(k+1) < 100 vµ 100- t(k+1) ≤ k Suy ra: k +1 ≤ Hay:

100 100 + 1 ≤ k +1 vµ t t +1

100 + 1 t +1

≤ k +1 ≤

100 t

(*)

VËy k ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) ®Ó ngêi ®i tríc ch¾c ch¾n th¾ng cuéc ( nÕu biÕt c¸ch ®i) 145 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc b. Ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc: Ta lËp luËn t¬ng tù nh trªn, ®Ó ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc th× ngêi ®ã ph¶i læy ®îc c¸c que diªm thø : 100, 100-(k+1), 100-2x(k+1), 100-3x(k+1), 100-4x(k+1), ……… 100t(k+1), ( t la sË nguyªn d¬ng). Que diªm thø 100-t(k+1) ph¶i lµ que diªm ®îc ngêi thø hai læy lÇn ®Çu tiªn. Tøc lµ: k < 100- t(k+1) ≤ 2k suy ra: k(t+1) < 100 Ðt vµ 100- t(k+1) ≤ 2k Suy ra: k +1 ≤

100 + 1 100 + 2 ≤ k +1 vµ t+2 t +1

100 + 2 t+2

Hay:

≤ k +1 ≤

100 + 1 t +1

(**)

VËy k ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (**) ®Ó ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc ( nÕu biÕt c¸ch ®i)

Bµi tËp 2: Trªn bµn cã n que diªm, 2 ngêi ch¬i lÇn lît lÊy kh«ng qu¸ k que, ai lÊy ®îc que cuèi cïng lµ th¾ng cuéc. Hái k vµ n ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g× ®Ò ngêi c. §i tríc th¾ng cuéc d. §i sau th¾ng cuéc Gi¶i a. Ngêi ®i tríc ch¾c ch¾n th¾ng cuéc: 146 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Gi¶ sö hai ngêi ch¬i lÇn lît læy kh«ng qu¸ k que diªm mçi lÇn vµ ngêi ®i tríc®· chän ®îc chiÕn thuËt ®Ò m×nh ch¾c ch¾n th¾ng cuéc. Tøc lµ ngêi ®i tríc læy ®îc que diªm thø n. §Ó læy ®îc que diªm thø n th× lÇn tríc ®ã ngêi æy ph¶i læy ®îc que diªm thø n Ð (k +1) T¬ng tù, ®Ó ®¶m b¶o th¾ng cuéc ngêi ®ã ph¶i læy ®îc c¸c que diªm sau:

n-2x(k+1), n-3x(k+1), n-4x(k+1), ……… n-

t(k+1), ( t la sË nguyªn d¬ng). Que diªm thø n-t(k+1) ph¶i lµ que diªm ®îc ngêi thø nhæt læy lÇn ®Çu tiªn. Tøc lµ: 0 < n- t(k+1) ≤ k suy ra: t(k+1) < n vµ n- t(k+1) ≤ k Suy ra: k +1 ≤

n n +1 ≤ k +1 vµ t +1 t

n +1 ≤ k +1 t +1

Hay:

≤

n t

(*’)

VËy k vµ m ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*’) ®Ó ngêi ®i tríc ch¾c ch¾n th¾ng cuéc (nÕu biÕt c¸ch ®i) b. Ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc: Ta lËp luËn t¬ng tù nh trªn, ®Ó ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc th× ngêi ®ã ph¶i læy ®îc c¸c que diªm thø : n, n(k+1), n-2x(k+1), n-3x(k+1), n-4x(k+1), ……… n-t(k+1), ( t la sË nguyªn d¬ng).

147 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Que diªm thø n-t(k+1) ph¶i lµ que diªm ®îc ngêi thø hai læy lÇn ®Çu tiªn. Tøc lµ: k < n- t(k+1) ≤ 2k suy ra: k(t+1) < n Ðt vµ n- t(k+1) ≤ 2k Suy ra: k +1 ≤

n +1 n+2 ≤ k +1 vµ t+2 t +1

n+2 t+2

Hay:

≤ k +1 ≤

n +1 t +1

(**’)

VËy k vµ n ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (**’) ®Ó ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc ( nÕu biÕt c¸ch ®i)

Bµi tËp 3: Hái t¬ng tù nh bµi tËp 1 víi luËt ch¬i sau: Ai lÊy ®îc que diªm cuèi cïng th× lµ ngêi thua cuéc. a. Ngêi ®i tríc ch¾c ch¾n th¾ng cuéc: Gi¶ sö hai ngêi ch¬i lÇn lît læy kh«ng qu¸ k que diªm mçi lÇn vµ ngêi ®i tríc®· chän ®îc chiÕn thuËt ®Ò m×nh ch¾c ch¾n th¾ng cuéc. Tøc lµ ngêi ®i tríc læy ®îc que diªm thø 99. §Ó læy ®îc que diªm thø 99 th× lÇn tríc ®ã ngêi æy ph¶i læy ®îc que diªm thø 99 Ð (k +1) T¬ng tù, ®Ó ®¶m b¶o th¾ng cuéc ngêi ®ã ph¶i læy ®îc c¸c que diªm sau:

99-2x(k+1), 99-3x(k+1), 99-4x(k+1), ………

99-t(k+1), ( t la sË nguyªn d¬ng). Que diªm thø 99-t(k+1) ph¶i lµ que diªm ®îc ngêi thø nhæt læy lÇn ®Çu tiªn. Tøc lµ: 148 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 0 < 99- t(k+1) ≤ k Suy ra: t(k+1) < 99 vµ 99- t(k+1) ≤ k Suy ra: k +1 ≤

99 99 + 1 ≤ k +1 vµ t t +1

99 + 1 ≤ k +1 t +1

Hay:

≤

99 t

(1)

VËy k ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1) ®Ó ngêi ®i tríc ch¾c ch¾n th¾ng cuéc ( nÕu biÕt c¸ch ®i) b. Ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc: Ta lËp luËn t¬ng tù nh trªn, ®Ó ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc th× ngêi ®ã ph¶i læy ®îc c¸c que diªm thø : 99, 99(k+1), 99-2x(k+1), 99-3x(k+1), 99-4x(k+1), ……… 99-t(k+1), ( t la sË nguyªn d¬ng). Que diªm thø 99-t(k+1) ph¶i lµ que diªm ®îc ngêi thø hai læy lÇn ®Çu tiªn. Tøc lµ: k < 99- t(k+1) ≤ 2k suy ra: k(t+1) < 99 Ðt vµ 99- t(k+1) ≤ 2k Suy ra: k +1 ≤ Hay:

99 + 1 99 + 2 ≤ k +1 vµ t+2 t +1

99 + 2 t+2

≤ k +1 ≤

99 + 1 t +1

(1’)

VËy k ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1’) ®Ó ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc ( nÕu biÕt c¸ch ®i)

149 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Bµi tËp 3: Hái t¬ng tù nh bµi tËp 2 víi luËt ch¬i sau: Ai lÊy ®îc que diªm cuèi cïng th× lµ ngêi thua cuéc. a. Ngêi ®i tríc ch¾c ch¾n th¾ng cuéc: Gi¶ sö hai ngêi ch¬i lÇn lît læy kh«ng qu¸ k que diªm mçi lÇn vµ ngêi ®i tríc®· chän ®îc chiÕn thuËt ®Ò m×nh ch¾c ch¾n th¾ng cuéc. Tøc lµ ngêi ®i tríc læy ®îc que diªm thø n-1. §Ó læy ®îc que diªm thø n-1 th× lÇn tríc ®ã ngêi æy ph¶i læy ®îc que diªm thø (n-1) Ð (k +1) T¬ng tù, ®Ó ®¶m b¶o th¾ng cuéc ngêi ®ã ph¶i læy ®îc c¸c que diªm sau:

(n-1)-2x(k+1), (n-1)-3x(k+1), (n-1)-4x(k+1),

……… (n-1)-t(k+1), ( t lµ sË nguyªn d¬ng). Que diªm thø (n-1)-t(k+1) ph¶i lµ que diªm ®îc ngêi thø nhæt læy lÇn ®Çu tiªn. Tøc lµ: 0 < (n-1)- t(k+1) ≤ k suy ra: t(k+1) < (n-1)vµ (n-1)- t(k+1) ≤ k Suy ra: k +1 ≤ Hay:

(n - 1) (n - 1) + 1 ≤ k +1 vµ t +1 t

(n - 1) + 1 ≤ k +1 t +1

≤

(n - 1) t

(2)

VËy k ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2) ®Ó ngêi ®i tríc ch¾c ch¾n th¾ng cuéc ( nÕu biÕt c¸ch ®i) b. Ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc: Ta lËp luËn t¬ng tù nh trªn, ®Ó ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc th× ngêi ®ã ph¶i læy ®îc c¸c que diªm thø : (n-1), (n150 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 1)-(k+1), (n-1)-2x(k+1), (n-1)-3x(k+1), (n-1)-4x(k+1), ……… (n-1)t(k+1), ( t la sË nguyªn d¬ng). Que diªm thø (n-1)-t(k+1) ph¶i lµ que diªm ®îc ngêi thø hai læy lÇn ®Çu tiªn. Tøc lµ: k < (n-1)- t(k+1) ≤ 2k Suy ra: k(t+1) < (n-1)Ðt vµ (n-1)- t(k+1) ≤ 2k

(n - 1) + 1 (n - 1) + 2 ≤ k +1 vµ t+2 t +1

Suy ra: k +1 ≤

(n - 1) + 2 t+2

Hay:

≤ k +1 ≤

(n - 1) + 1 t +1

(2’)

VËy k ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2’) ®Ó ngêi ®i sau ch¾c ch¾n th¾ng cuéc ( nÕu biÕt c¸ch ®i) C¸c bµi to¸n vÒ suy luËn ®¬n gi¶n Bµi 1: ThiÕt kÕ 2 ®Ò to¸n gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p lËp b¶ng cho mçi trêng hîp: A, B¶ng 4 x 4 VÝ dô 1: - B1: X¸c ®Þnh hai nhãm ®Ëi tîng: Tªn: H¬ng, Giang, NhËt Hä : NguyÔn, Ph¹m, TrÇn - B2: LËp b¶ng theo 2 nhãm ®Ëi tîng: T ªn

H¬ng

Giang

NhËt

Hä 151 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc NguyÔn

0

Ph¹m

0

0

TrÇn

0

- B3: X¸c ®Þnh nh÷ng « sË 0 trong b¶ng - B4: §®t thµnh ®Ò to¸n: “ Ba b¹n H¬ng, Giang, NhËt mang 3 hä kh¸c nhau: NguyÔn, Ph¹m, TrÇn. B¹n h·y x¸c ®Þnh tªn hä tªn cña mçi ngêi? BiÕt r»ng: H¬ng kh«ng mang hä trÇn; Giang kh«ng mang hä Ph¹m; NhËt kh«ng mang hä NguyÔn còng kh«ng mang hä TrÇnÓ VÝ dô 2: - B1:

Hµ T©y, Qu¶ng Ninh, Th¸i B×nh Chïa H¬ng, Chïa Keo, Yªn Tö

- B2: T ªn

Qu¶ng Ninh

Hµ T©y

Th¸i B×nh

§D Chïa H¬ng

0

Chïa Keo

0

Yªn Tö

0

0

- B3: X¸c ®Þnh nh÷ng « sË 0 trong b¶ng - B4: §®t ®Ò to¸n: “ Mét ngêi kh¸ch l¹ ®Õn ViÖt Nam du lÞch, «ng muËn ®i th¨m ba ng«i chïa ë ba tØnh ®ã lµ: Chïa H¬ng, Chïa Keo, Yªn Tö. ¤ng biÕt tªn ba tØnh ®ã lµ : Qu¶ng Ninh, Hµ T©y, Th¸i B×nh 152 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc song kh«ng biÕt ng«i chïa nµo ë tØnh nµo. ¤ng hái 3 ngêi d©n, ngêi thõ nhæt nãi: Qu¶ng Ninh kh«ng cã Chïa H¬ng; ngêi thø hai nãi: Chïa Keo kh«ng ë Hµ T©y; ngêi thø ba nãi: Yªn Tö kh«ng ë Hµ T©y vµ Th¸i B×nh. B¹n h·y gióp ngêi kh¸ch ®ã xem ng«i chïa nµo ë tØnh nµoÓ. B, B¶ng 5 x4 VÝ dô 1: - B1: X¸c ®Þnh hai nhãm ®Ëi tîng: + Anh, B×nh, Chung, D¬ng + TiÕng ViÖt, TiÕng Nga, TiÕng Anh - B2: LËp b¶ng theo 2 nhãm ®Ëi tîng: Chung

Anh

B×nh

ViÖt

1

0

0

Nga

0 1

1

Tªn NN

Anh

D¬ng

- B3: X¸c ®Þnh nh÷ng « sË 0 trong b¶ng - B4: §®t ®Ò to¸n: “ Anh, B×nh, Chung, D¬ng lµ bËn b¹n sinh viªn trêng §HNN Hµ Néi. Trong 4 b¹n chØ cã Anh lµ ngêi chØ nãi ®îc tiÕng ViÖt Nam vµ Anh kh«ng nãi ®îc tiÕng Nga. B×nh nãi ®îc tiÕng Anh kh«ng nãi ®îc tiÕng ViÖt nhng phiªn dÞch ®îc cho Anh vµ Chung. D¬ng kh«ng nãi ®îc tiÕng viÖt nhng nãi chuyÖn trùc tiÕp ®îc víi Anh. Trong bËn b¹n, cã hai b¹n nãi ®îc 2 thø tiÕng vµ hai b¹n chØ 153 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc nãi ®îc 1 thø tiÕng. B¹n h·y t×m xem b¹n ®ã lµ ai vµ hä nãi ®îc tiÕng nµo? VÝ dô 2: - B1: X¸c ®Þnh hai nhãm ®Ëi tîng: + Nam, Anh, §øc, Minh + TiÒn vÖ, hËu vÖ, thñ m«n - B2: LËp b¶ng theo 2 nhãm ®Ëi tîng: Anh

TiÖp

TiÒn ®¹o

1

0

0

TiÒn vÖ

0 1

1

Tªn VÞ trÝ

HËu vÖ

§øc

Minh

- B3: X¸c ®Þnh nh÷ng « sË 0 trong b¶ng - B4: §®t ®Ò to¸n: “ Anh, TiÖp, §øc, Minh lµ 4 cÇu thñ cña ®éi tuyÓn CA Hµ Néi. Kh¶ n¨ng ch¬i bãng cña c¸c cÇu thñ ë c¸c vÞ trÝ lµ kh¸c nhau. Anh ch¬i tËt ë vÞ trÝ tiÒn ®¹o nhng kh«ng ch¬i tËt ë vÞ trÝ tiÒn vÖ. TiÖp ch¬i tËt ë vÞ trÝ hËu vÖ, ch¬i kh«ng tËt ë vÞ trÝ tiÒn ®¹o nhng cã thÓ thay thÕ ®îc cho Anh vµ §øc. Minh kh«ng ch¬i tËt ë vÞ trÝ tiÒn ®¹o nhng còng thay thÕ ®îc cho Anh. §øc kh«ng thay thÕ ®îc cho Anh. B¹n h·y t×m xem mçi cÇu thñ ®ã cã thÓ ch¬i tËt ë nh÷ng vÞ trÝ nµo. BiÕt r»ng, trong 4 cÇu thñ, cã 2 cÇu thñ ch¬i tËt ë c¶ 2 vÞ trÝ vµ hai cÇu thñ chØ ch¬i tËt ë mét vÞ trÝÓ. 154 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc C, B¶ng 5 x5 VÝ dô 1: - B1: X¸c ®Þnh hai nhãm ®Ëi tîng: + Anna, Maic¬n, John, Peter + ViÖt, Nga, Anh, Ph¸p - B2: LËp b¶ng theo 2 nhãm ®Ëi tîng: Tªn NN

Anna

ViÖt

Maic¬n

John

Peter

1

0

Nga

0

Anh

1

Ph¸p

0

0

- B3: X¸c ®Þnh nh÷ng « sË 0 trong b¶ng - B4: §®t ®Ò to¸n: “ BËn nhµ chÝnh trÞ gia cïng tham dù mét héi nghÞ. BiÕt r»ng mçi ngêi chØ nãi ®îc hai trong 4 thø tiÕng ViÖt, Nga, Anh, Ph¸p. Anna biÕt tiÕng ViÖt kh«ng biÕt tiÕng Ph¸p. Maic¬n biÕt tiÕng Anh kh«ng biÕt tiÕng Ph¸p nhng phiªn dÞch ®îc cho Anna vµ John. Peter kh«ng biÕt tiÕng ViÖt, tiÕng Nga nhng nãi chuyÖn trùc tiÕp ®îc víi Anna. Hái mçi ngêi biÕt c¸c thø tiÕng nµo? Bµi 2: ThiÕt kÕ 3 ®Ò to¸n gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p biÓu ®å ven øng víi ba tæ hîp ®iÒu kiÖn kh¸c nhau. • C¸ch ra ®Ò: A, B, A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A Ð Cho 3 ®Ëi tîng, t×m 3 ®Ëi tîng cßn l¹i 155 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc Bµi to¸n 1: Ngêi ta ®iÒu tra trong l líp häc cã 40 häc sinh th× thæy: cã 30 häc sinh thÝch to¸n, 25 häc sinh thÝch v¨n, 2 häc sinh kh«ng thÝch c¶ to¸n vµ v¨n. Hái cã bao nhiªu häc sinh thÝch c¶ to¸n vµ v¨n?

Tãm t¾t:

V¨n (25)

To¸n (30)

?

NÕu ta gäi:

A lµ tËp hîp nh÷ng häc sinh thÝch to¸n

B lµ tËp hîp nh÷ng häc sinh thÝch v¨n - C¸c yÕu tË ®· cho trong ®Ò to¸n: / A/ = 30 /B/ = 25 / A ∪ B/ = 40-2 - Yªu cÇu cña bµi to¸n: / A ∩ B/ = ? Gi¶i: SË häc sinh chØ thÝch to¸n lµ : (40 - 2) - 25 = 13 (Häc sinh) SË häc sinh thÝch c¶ to¸n vµ v¨n lµ: 156 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 30 -13 = 17 (Häc sinh) §/s: 17 häc sinh Bµi to¸n 2: Ngêi ta ®iÒu tra trong l líp häc cã th× thæy: cã 30 häc sinh thÝch to¸n, 25 häc sinh thÝch v¨n, 17 häc sinh thich c¶ 2 m«n vµ 2 häc sinh kh«ng thÝch c¶ to¸n vµ v¨n. Hái cã bao nhiªu häc sinh? - C¸c yÕu tË ®· cho trong ®Ò to¸n: /A/ = 30 /B/ = 25 / A ∩ B/ = 17 - Yªu cÇu bµi to¸n: / A ∪ B/ = ? Gi¶i: SË häc sinh chØ thÝch to¸n lµ: 30 -17 = 13 (häc sinh) SË häc sinh cña líp ®ã lµ: 25 + 13 + 2 = 40 (Häc sinh) §/s: 40 häc sinh Bµi to¸n 3: Ngêi ta ®iÒu tra trong l líp häc cã 40 häc sinh th× thæy: cã 30 häc sinh thÝch to¸n, 17 häc sinh thÝch c¶ to¸n vµ v¨n, 2 häc sinh kh«ng thÝch c¶ to¸n vµ v¨n. Hái cã bao nhiªu häc sinh thÝch v¨n? - C¸c yÕu tË ®· cho trong ®Ò to¸n: /A/ = 30 157 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc / A ∪ B/ = 40-2 / A ∩ B/ = 17 - Yªu cÇu bµi to¸n: /B/ = ? Gi¶i: SË häc sinh chØ thÝch v¨n lµ: (40 -2) -30 = 8 (häc sinh) SË häc sinh thÝch v¨n lµ: 17 + 8 = 25 (Häc sinh) §/s: 25 häc sinh Bµi tËp 2: Gi¶ bµi to¸n: “Trong mét héi nghÞ cã 525 ®¹i biÓu tham dù. Mçi ®¹i biÓu cã thÓ sö dông mét trong ba thø tiÕng Nga, Anh, Ph¸p. Theo thèng kª cña ban tæ chøc, cã 60 ®¹i biÓu chØ nãi ®îc mét trong ba thø tiÕng. 180 ®¹i biÓu chØ nãi ®îc Anh vµ Ph¸p. 150 ®¹i biÓu nãi ®îc Anh vµ Nga. 170 ®¹i biÓu nãi ®îc Nga vµ Ph¸p. Hái cã bao nhiªu ngêi nãi ®îc c¶ ba thø tiÕng Nga, Anh, Ph¸p?” Tãm t¾t:

158 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc 150 ®¹i biÓu

Anh

Nga

? 170 ®¹i biÓu

180 ®¹i biÓu Tæng sË ®¹i biÓu: 525

Ph¸p

SË ®¹i biÓu nãi ®îc tiÕng Anh lµ: 525 Ð 170 = 355 (§¹i biÓu) SË ®¹i biÓu nãi ®îc tiÕng Nga lµ: 525 Ð 180 = 345 (§¹i biÓu) SË ®¹i biÓu nãi ®îc tiÕng Nga lµ: 525 Ð 150 = 375 (§¹i biÓu) SË ®¹i biÓu nãi ®îc c¶ ba thø tiÕng lµ: (355 + 345 + 375) Ð 525 x 2 = 85 (§¹i biÓu) §/s: 85 ®¹i biÓu

159 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16

C¬ së l«gic cña m«n to¸n TiÓu häc

160 Ph¹m Quang TiÖp- CHTHK16