Aula Vetores

VETORES

Vetores são grandezas que têm:

- módulo ou intensidade; - direção; - sentido

Ex.: força, deslocamento, velocidade, aceleração, etc. Representação de um vetor: Um vetor “0A” é representado geometricamente por um segmento de reta orientado, de origem em “0” e extremidade em “A”. O seu sentido é representado pela ponta de flecha em “A”.

1

VETORES A 0A 0

Um vetor é caracterizado por: - Módulo; - Direção; - Sentido.

Módulo do vetor: é indicado pelo comprimento da flecha (usa-se uma escala apropriada para desenhar o vetor). Direção do vetor: representa o vetor.

é indicada pela própria direção da flecha que

Sentido do vetor: representa o vetor.

é indicado pelo próprio sentido da flecha que

2

VETORES Soma de vetores: Método Gráfico

a

b

a + b = s b

a s

3

VETORES Etapas para efetuar a soma de dois vetores - Método gráfico: 1) Desenhe, em escala, o primeiro vetor com direção e sentido corretos em um sistema de coordenadas adequado. 2) Desenhe o segundo vetor, na mesma escala, com sua origem na ponta do primeiro vetor (anteriormente desenhado). 3) Trace uma linha com origem no primeiro vetor até à extremidade do segundo vetor. Obtém-se assim, o vetor soma.

Observação: No caso da soma de mais de dois vetores, cada vetor é sucessivamente colocado com sua origem na ponta do vetor anterior. O vetor soma é desenhado da origem do primeiro vetor até à extremidade do último.

4

VETORES Subtração de vetores: Método Gráfico O negativo de um vetor é um outro vetor de mesmo módulo e direção, mas de sentido oposto.

a

-a

b

-b

a - b = a + ( -b ) Assim, a subtração segue a mesma regra da soma.

5

VETORES Exercícios 1) Um barco parte de um ponto “P” e executa os seguintes deslocamentos retilíneos sucessivos: 50 Km para o oeste; 30 Km para o norte e 20 Km para o leste, atingindo um ponto “Q’. Pede-se: a) Faça um desenho que mostra por meio de vetores o movimento do barco; b) A distância percorrida pelo barco. c) O deslocamento total do barco, indicando o módulo, a direção e sentido. 2) Um estudante, inicialmente em repouso, parte de um ponto “A” de uma praça, desloca-se, a partir daí, 50m a norte, em seguida, 40m a leste, e finalmente, 20m a sul, chegando a um ponto “B”. Pede-se: a) Faça um desenho que mostra por meio de vetores o movimento do estudante; b) A distância percorrida pelo estudante; c) O deslocamento total do estudante, indicando o módulo, a direção e sentido.

6

VETORES Exercícios 3) Uma criança movimenta-se a parte de um ponto “A” da seguinte forma: 60m a sul, seguido de 40m a leste, quando, por fim, se desloca de 30m a norte, chegando a um ponto “B”. Pede-se: a) Faça um desenho representando o movimento da criança, por meio de vetores, do ponto “A” até o ponto “B”; b) A distância percorrida pela criança; c) O deslocamento total da criança, indicando o módulo, a direção e sentido. 4) Um avião foi de uma cidade “A” até uma cidade “B”, efetuando um deslocamento vetorial de intensidade 400Km, direção vertical e sentido norte. Em seguida, o avião foi da cidade “B” para a cidade “C”, efetuando um deslocamento vetorial de intensidade 300Km, direção horizontal, sentido leste. Com base nesses dados, pede-se: a) A distância percorrida pelo avião; c) O deslocamento total do avião, indicando o módulo, a direção e sentido.

7

VETORES Soma de vetores: Método Analítico A soma de vetores pelo método analítico envolve a decomposição de um vetor em suas componentes com relação a um sistema de coordenadas particular.

y

ax= a.cosα ay = a.senα

ay 0

a

a = ax2 + ay2

α

ax

x

ay tg α = a x

8

VETORES Exercício 1) Um avião viaja 209Km em um curso retilíneo a 22,5o a leste do norte. Qual o deslocamento para norte e para leste do avião, em relação ao seu ponto de partida. 2) Um carro viaja para leste numa estrada plana por 32Km. Ele então vira para norte em um cruzamento e viaja 47Km antes de parar. Ache o deslocamento resultante do carro. 3) Uma motocicleta viaja para norte numa estrada retilínea por 50Km. Ela então vira para leste em um cruzamento e viaja 80Km antes de parar. Determine o deslocamento resultante da motocicleta. 4) Um helicóptero viaja 150Km em um curso retilíneo a 30o a leste do sul. Qual o deslocamento para sul e para leste do helicóptero, em relação ao seu ponto de partida.

9

VETORES EM TRÊS DIMENSÕES

z az α

ax

ax= a.senα .cos θ

a

ay= a.senα .senθ

ay

0

θ

az = a.cos α

y

x 10

VETORES OBSERVAÇÃO: Quando um vetor e decomposto em suas componentes, é conveniente utilizar vetores unitários ( i , j , k ) nos sentidos positivos dos eixos “x”, “y” e “z”, respectivamente. Deste modo, um vetor “ a “ em um sistema de coordenadas tridimensional é escrito em termos de suas componentes e dos vetores unitários.

z k

j

0

x

i

y

a = ax i + ay j + az k

11

VETORES Exemplo 1: tridimensional Considere: α = 30o; θ = 60o e intensidade do vetor a = 20m. Pedese: escreva o vetor a em termos de suas componentes e dos vetores unitários ( i , j , k ).

z az α

ax

a a = ax i + ay j + az k

ay

0

θ

y

x 12

VETORES Exemplo 2: Movimento bi-dimensional Uma partícula se move em um plano “xy” de tal forma que suas coordenadas “x” e “y” variam com o tempo de acordo com x(t) = t3 32t e y(t) = 5t2 + 12. Aqui “x” e “y” estão expressos em metros e “t” em segundos. Ache a posição, velocidade e aceleração da partícula quando t = 3s.

13

VETORES Soma de vetores: Método das Componentes Se dois vetores são iguais, eles têm de ter: - mesmo módulo; - mesma direção; - mesmo sentido. Isto somente pode ocorrer se suas componentes correspondentes são iguais.

s = a + b sx i + sy j = a i + a j + b + b j x y y xi 27

VETORES Soma de vetores: Método das Componentes

sx i + sy j = (ax + bx) i

+ (ay + by) j

Como as componentes correspondentes são iguais, tem-se:

Sx = ax + bx

e

Sy = ay + by

Módulo e direção de S: S= tgθ =

⇒

Sx2 + Sy2 Sy Sx

⇒

S= tgθ =

(ax+bx)2 + (ay+by)2

ay + by ax + bx

28

VETORES Exercícios 1) Três vetores coplanares são expressos com relação a um certo sistema de coordenadas retangular como: a = 4,3 i - 1,7 j ; b = -2,9 i + 2,2 j ; c = -3,6 j , nas quais as componentes são dadas em unidades arbitrárias. Determine o vetor “ s “ (módulo e direção) que é a soma dos três vetores. 2) Quatro vetores coplanares são expressos com relação a um certo sistema de coordenadas retangular como: a = 5,2 i + 3,4 j ; b = -3,6 i + 6,2 j ; c = -2,8 j ; d = - 3 i , nas quais as componentes são dadas em unidades arbitrárias. Determine o vetor “ s “ (módulo e direção) que é a soma dos quatro vetores.

29

VETORES Multiplicação de vetores Como os vetores têm módulo, direção e sentido, a multiplicação vetorial não segue exatamente as mesmas regras algébricas da multiplicação escalar. Tipos de operações de multiplicação de vetores que vamos estudar: 1) Multiplicação de um vetor por um escalar; 2) Multiplicação de dois vetores resultando em um escalar; 3) Multiplicação de dois vetores resultando em outro vetor.

30

VETORES Multiplicação de um vetor por um escalar

a

1,4 a

-0,5 a

Observação: A multiplicação de um vetor “ a “ por um escalar “c” resulta no vetor “c a “, cujo módulo é “c” vezes o módulo de “ a “. O vetor “c a “ tem o mesmo sentido de “ a “ se “c” é positivo e sentido oposto se “c” é negativo.

31

VETORES Multiplicação de dois vetores resultando em um escalar O produto escalar de dois vetores “ a “ e “ b “ é definido como: a

a θ

b

b = a. b cos θ ângulo entre os dois vetores a e b

Exemplos de grandezas físicas que podem ser descritas como produto escalar de dois vetores: - Trabalho mecânico; - Energia potencial; - Potência elétrica.

32

VETORES Observação: Se dois vetores são perpendiculares entre si, seu produto escalar é nulo. Resultados do produto escalar entre os vetores unitários cartesianos ( i , j , k ):

z

i.j = i.k = j.k =0

k

j

0

x

i

i.i = j.j = k.k =1

y 33

VETORES Produto escalar entre dois vetores ( a ) e ( b ) em um sistema de coordenadas tridimensional “xyz”:

z

a = ax i + ay j + az k

k

j

0

x

i

b = bx i + by j + bz k

y a . b = (ax.bx )+(ay.by)+(az.bz)

34

VETORES Multiplicação de dois vetores resultando em outro vetor O produto vetorial de dois vetores “ a “ e “ b “ é definido como: a Λ b = c (um outro vetor), cujo: Módulo de c é:

 a Λ b  = a. b senθ

Direção de c é: a perpendicular ao plano formado por a e b. Sentido de c é: Regra da mão direita (o dedo polegar indica o sentido).

c=aΛ b b θ

a

b

θ

a c=bΛ a

35

VETORES Observação: Se dois vetores são paralelos entre si, seu produto vetorial é nulo. Resultados do produto vetorial entre os vetores unitários cartesianos ( i , j , k ):

z k

j

0

x

iΛ i = jΛ j = kΛ k = 0 iΛ j =k j Λ i = -k

i

y

jΛ k =i

k Λ j = -i

kΛ i =j

i Λ k = -j

36

VETORES Produto vetorial entre dois vetores ( a ) e ( b ) em um sistema de coordenadas tridimensional “xyz”:

z k

j

0

x

a = ax i + ay j + az k

i

y

b = bx i + by j + bz k

a Λ b = (aybz - azby) i + (azbx - axbz) j + (axby - aybx) k

37

VETORES Exemplos de grandezas físicas que podem ser descritas com produto vetorial de dois vetores: - Torque; - Momento angular; - Fluxo de energia eletromagnética.

Exercícios 1) Um certo vetor “ a “ no plano “xy” está dirigido a 250o no sentido antihorário a partir do eixo “x” e tem módulo de 7,4 unidades. O vetor “ b “ tem módulo de 5 unidades e é paralelo ao eixo “z”. Pede-se: a) O produto escalar (a . b); b) O produto vetorial (a Λ b).

38