Aula 4 -m..

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central •Dados apresentados em tabelas ou gráficos fornecem informação sobre assunto em estudo; •Pode ser necessário que informação seja apresentada de maneira mais condensada; •Aluno fez 5 avaliações: 7,0; 3,0; 5,5; 6,5; 8,0. Ele foi ou não aprovado? •Para este tipo de situação, é possível responder à questão apresentando a média do aluno, e não mostrando todas as notas; •Em suma, o conjunto de dados pode ser resumido em um único valor, a média. • Quando se busca apresentar um resumo das informações disponíveis, elas podem ser sumarizadas a partir de um ponto central em torno do qual os dados se distribuem; •Tais valores consistem nas medidas de tendência central;

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Média Aritmética •Medida de tendência central mais conhecida e utilizada; •Obtenção se dá pela simples somatória de valores de todos os dados e divisão do total pelo número deles. •No caso do aluno: 7,0 + 3,0 + 5,5 + 6,5 + 8,0 =

6,0

5 •É possível calcular a média dos dados da população ou de uma amostra. •A média aritmética da população é representada por μ (mi). O tamanho da população é indicado por N, de modo que: μ=∑x N

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Média Aritmética •

A média aritmética de uma amostra é representada por x (x-barra). O tamanho da amostra é indicado por n, de modo que:

•

A letra sigma indica que todos os valores observados de x devem ser somados. Esta letra é lida como somatório. Desta forma, ∑ x significa “somatório de x”;

•

Somatório de x índice i, com i variando de 1 a n.

Exercícios 8.

São dadas as idades das pessoas que se apresentaram como voluntárias para estudo do efeito da ingestão de bebida alcoólica sobre a habilidade de dirigir veículos: 20, 25, 18, 32, 21, 27, 19, 18, 23, 21. Calcule a média aritmética da idade dos voluntários;

9.

Calcule a média aritmética da idade das pessoas de seu grupo de trabalho e das pessoas que foram entrevistadas pelo grupo;

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Média Aritmética de Dados em Tabelas de Distribuição de Freqüências

•

Número de advertências/suspensões escolares (xi)

Número de alunos (fi)

0

211

1

40

2

30

3

12

4

4

5

2

6

1

TOTAL

300

Se se pretendesse utilizar o que se viu até aqui para calcular a média, seria necessário somar o número zero 211 vezes, o número um quarenta vezes, etc... Somar tudo e dividir por 300.

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Média Aritmética de Dados em Tabelas de Distribuição de Freqüências •

Para tais casos, há uma forma mais prática de cálculo da média. Para tanto, siga os seguintes passos:

•

Some as freqüências, isto é, calcule ∑ fi. A soma das freqüências é o número de alunos do curso.

•

Multiplique cada valor observado pela respectiva freqüência, ou seja, calcule xi X fi;

•

Some os produtos, de modo a obter ∑ xi fi;

•

Aplique a seguinte fórmula: x = ∑xifi ∑fi

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central No exemplo dado: xi

fi

xifi

0

211

0

1

40

40

2

30

60

3

12

36

4

4

16

5

2

10

6

1

6

TOTAL

∑fi = 300

∑xifi = 168

x = ∑xifi

x = 168

∑fi

300

x = 0,56

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Exercícios: Número de Atendimentos

2.

0

Freqüênci a 2

1

3

2

3

3

5

4

10

5

6

6

1

Em seu grupo de trabalho, selecione amostra de 10 componentes e pergunte a todos: “qual foi a freqüência que você..... Nos últimos 12 meses? Faça uma tabela de freqüência e obtenha a

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Média Aritmética de Dados em classes em Tabelas de Distribuição de Freqüências •

A média de dados agrupados em classes é feito de maneira análoga. A diferença é que os valores xi são substituídos pelos valores centrais de classe, representados por x* Classe

Valor central (x*)

Freqüência

135

145

140

15

145

155

150

150

155

165

160

250

165

175

170

70

175

185

180

10

185

195

190

5

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Classe

Valor central (x*)

135

145

140

Freqüência (fi) 15

145

155

150

150

22500

155

165

160

250

40000

165

175

170

70

11900

175

185

180

10

1800

185

195

190

5

950

500

79250

TOTAL

•

(x*ifi) 2100

Some as freqüências, isto é, calcule ∑ fi. A soma das freqüências é o número de alunos do curso.

•

Multiplique cada valor observado pela respectiva freqüência, ou seja, calcule xi* X fi;

•

Some os produtos, de modo a obter ∑ xi* fi;

•

Aplique a seguinte fórmula: x = ∑xi*fi ∑fi

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Exercícios: Classe 0

2

Freqüência (fi) 100

2

6

50

10

30

6

Valor central (x*)

10

15

20

15

20

5

20

30

5

30

40

1

40

60

1

(x*ifi)

Em seu grupo de trabalho, selecione amostra de 10 componentes, diferente da anterior e pergunte a todos: “qual foi a freqüência que você..... Nos últimos 12 meses? Faça uma tabela de freqüência por classes e obtenha a média aritmética.

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Média Ponderada •

Utilizada quando há maior peso (maior importância) a determinadas atividades, em detrimento a outras (vestibular, concurso público, etc.)

Ex:3 avaliações. A primeira compreende a matéria dada até o momento, a segunda vai do início do curso até a matéria dada até o momento, e a terceira inclui a matéria de todo o curso; •

A primeira prova é a mais fácil de todas, seguida pela segunda e terceira. Assim, professor atribuiu pesos distintos a elas: 1, 2 e 3, respectivamente.

•

Aluno obteve médias 4, 7 e 6.

•

Como saber se ele foi aprovado ou não?

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Média Ponderada •

Para tais casos, há uma forma mais prática de cálculo da média. Para tanto, siga os seguintes passos:

•

Some os pesos, isto é, calcule ∑ pi.

•

Multiplique cada nota pelo respectivo peso, isto é, calcula xi pi;

•

Some os produtos, de modo a obter ∑ xi pi

•

Aplique a seguinte fórmula: x = ∑xipi ∑pi

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Média Ponderada Nota (xi)

Peso (pi)

Produto (xi pi)

4

1

4

7

2

14

6

3

18

TOTAL

∑ pi = 6

Média Ponderada A média ponderada do aluno é: x = 36/6 = 6,0

∑ xi pi = 36

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Exercícios 1. São dadas as notas de cinco alunos, em três provas que tinham pesos 2, 3 e 5. Calcule as médias ponderadas Aluno

1ª Prova

2ª Prova

3ª Prova

Ana

7

6

5

Cláudia

1

2

9

Marcos

5

5

5

Pedro

10

10

0

Sérgio

5

7

3

2. Em seu grupo de trabalho, selecione amostra de 10 componentes, diferente da anterior. Elabore 3 questões cuja resposta seja quantitativa e atribua pesos distintos para cada uma delas. A partir disso, elabore uma tabela de média ponderada.

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Mediana •Valor que ocupa a posição central dentro de um conjunto de dados ordenados; • para determinar a mediana, é preciso, em primeiro lugar, ordenar os dados. •Se o número de dados é ímpar, a mediana é o valor que ocupa a posição central dos dados ordenados; Aluno

Nota

Ana

5,0

Cláudia

5,5

Marcos

8,5

Pedro

7,0

Sérgio

8,0

•Para encontrar a mediana, é preciso apresentar estas informações em ordem crescente 5,0 ; 5,5 ; 7,0; 8,0; 8,5. •Mediana, representada por Md, é o valor que está no centro dos dados ordenados. Neste caso, é 7,0;

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Mediana •Caso o número de dados seja par, a mediana é a média aritmética dos dois valores que ocupam a posição central dos dados ordenados. Aluno

Nota

André

5,0

Carla

5,5

Liana

8,5

Júlio

7,0

Pedro

8,0

Ricardo

10,0

•Para encontrar a mediana, é preciso apresentar estas informações em ordem crescente 5,0 ; 5,5 ; 7,0; 8,0; 8,5; 10,0. •Como o número de dados é seis, a mediana é a média aritmética dos valores que estão nas posições 3 e 4. No caso, acima, a média aritmética entre 7,0 e 8,0 (7,5);

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Exercício 1. Na tabela abaixo estão os escores de um teste de QI aplicado a 24 participantes de uma pesquisa. Calcule a média e a mediana;

•

• •

95

116

124

109

101

112

114

99

112

114

120

110

122

109

111

100

84

101

102

117

104

108

120

99

A mediana é uma separatriz porque separa o conjunto de dados em dois: antecedendo a mediana (dados iguais ou menores) e sucedendo a mediana (dados iguais ou maiores) Se conjunto de dados tem n números e n é ímpar, mediana é valor que ocupa a posição de ordem: (n+1)/2; Ex: n = 5, Md = 3; Se conjunto de dados tem n números e n é par, mediana é média aritmética dos elementos de ordem n/2 e (n+2)/2. Ex: n = 6, Md = média aritmética dos elementos de ordem 3 e 4;

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Mediana de dados apresentados em tabelas de distribuição de freqüências; Classe 0

Freqüência Acumulada

4

4

10

20

109

113

20

30

216

329

30

40

209

538

40

50

135

673

50

60

80

753

60

70

32

785

70

80

15

800

80

90

12

812

100

5

817

90

•

10

Freqüência

A tabela mostra um conjunto de notas variando de 0 a 100, composto por 817 notas. O número é ímpar, de modo que sabemos que o valor da mediana é= (817 + 1)/2= 409;

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Mediana •Para determinar em que classe está a mediana, é preciso observar as freqüências acumuladas; •Neste caso, a mediana está na quarta classe (entre 20 e 30), posto que contém as notas com números de ordem 330 até 537. •O valor da mediana é obtido com a fórmula abaixo: Md = Lh + a Em que:

fh

(n – F h-1 ) 2

Lh  limite inferior da classe que contém a mediana; a

amplitude do intervalo de classe

fh  freqüência da classe que contém a mediana n  número de dados F h-1  frequencia acumulada até a classe anterior à classe que contém a mediana

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central No exemplo: Lh  30 a

10

fh  209 n  817 F h-1  329

Md = Lh + a fh

(n – F h-1 )  2

Md = 30 + 10 209

(817 – 329 )  Md = 33,8 2

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Exercícios 1. Na tabela abaixo calcule a média e a mediana Classe 0

10

Freqüência 29

10

20

65

20

30

98

30

40

121

40

50

267

50

60

94

60

70

246

70

80

87

80

90

48

100

56

90

Estatística Aula 4 – Medidas de Tendência Central Exercícios 1. A partir do quadro abaixo determine o número de classes , a amplitude da amostra e amplitude de classes. Feito isto, construa a tabela de distribuição de freqüências absoluta, relativa, acumulada, relativa acumulada e calcule média e mediana. 35

42

28

65

94

98

37

77

44

35

100

71

86

92

63

40

32

68

78

64

36

96

58

29

67

84

79

48

57

68

98

85

28

29

34

68

51

97

56

67

48

57

43

58

68

97

82

61

31

68

74

73

61

85

94

36

56

87

69

42

39

86

54

51

86

65

38

29

54

63

89

78

85

97

30

80

68

97

60

95