Apuntes Trigonometria

APUNTES DE TRIGONOMETRIA

Mtro. Óscar Ruiz Chávez Mtro. Mario Silvino Ávila Sandoval LEY DE COSENOS Sea el segmento H perpendicular al segmento C, donde C = C 1 + C2 C1= B cos a C2= A cos b

c y

A H

B

C2 C1

b

C

a

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

INDICE

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1. TRIGONOMETRÍA 1.1. MEDIDA DE ÁNGULOS

Un ángulo está formado por la rotación de una semirrecta, llamada rayo alrededor de su vértice. Un rayo k, llamado el lado inicial del ángulo permanece fijo; un segundo rayo l, llamado el lado Terminal del ángulo, comienza en la posición inicial y rota alrededor del punto extremo común P en el plano, hasta que alcanza su posición terminal. El punto extremo común P se llama vértice. (figura 1).

Figura 1. Podemos referirnos al ángulo de la figura 1 en cualquiera de las siguientes formas: Ángulo

,

 q,

Ángulo QPR,



QPR,

Ángulo P,



P

No existe restricción respecto a la cantidad o la dirección de la rotación sobre un determinado plano. Cuando el lado terminal se hace rotar en sentido contrario a las manecillas del reloj, el ángulo formado es positivo; cuando gira en el sentido de las manecillas del reloj, el ángulo es negativo. Un ángulo formado por una vuelta completa de un lado Terminal en dirección contraria a las manecillas del reloj tiene una medida de 360 grados, lo cual se escribe como 360º. Un ángulo

M.C. ÓSCAR RUIZ CHAVEZ

3

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de 1 º, se forma por

1 de una vuelta, en dirección contraria a 360

las manecillas del reloj.

Un ángulo de 90º se llama recto

y representa

completa, mientras que un ángulo de 180º

1 de vuelta 2

se llama ángulo

llano o colineal. Un ángulo agudo tiene una medida que va de 0º a 90º. Un ángulo obtuso ve de 90º a 180º. Dos ángulos positivos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º; son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º. ACTIVIDAD 1: Midiendo ángulos en Cabrí. Un grado se divide usando notación decimal. Por ejemplo, 36.25º, representa un ángulo que mide 36 grados mas una cuarta parte de grado. Un grado también puede dividirse en minutos y segundos (igual que una hora). Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos (expresadas en ‘) y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos (expresadas con ‘’). En consecuencia, 5º12’32’’ es una forma abreviada de escribir 5 grados, 12 minutos y 32 segundos. EJEMPLO 1: Convierta 12º6’23’’ a la forma de grados decimales. SOLUCIÓN: Puesto que 6º = 

o

 6    60 

y 23’’ =

o

 23     3600 

, entonces:

o

6 23  12º6’23’’ =  12  = 12.106º  60 3600   

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EJEMPLO 2: Convierta 35.413º a la forma grados – minutos – segundos. 35.413º = 35º (0.413•60)’ = 35º24.78’ = 35º24’(0.78•60)’’ = 35º24’47’’

MEDIDA DE ÁNGULOS EN RADIANES. De igual forma en que se definió el ángulo correspondiente a una vuelta completa del lado terminal con una medida de 360º; podemos definirla también en radianes siendo la medida equivalente de 2. Esto quiere decir que  radianes corresponde a 180º,

 radianes a 90º, etc. 2

EJEMPLO 3. Convierta 75º en radianes. SOLUCIÓN: Podemos establecer la siguiente relación: 75o Xrad  o 180  rad . 75o rad . Xrad  180o X 

5  radianes 12

Por otro lado, podemos hacer una conversión inversa:

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5

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EJEMPLO 4: Convierta

7 radianes a su equivalente en grados. 4

SOLUCIÓN: Estableciendo una relación similar: 7 rad . X 4  180o  rad . o

7 rad . 180o Xo 4  rad .





X  315o ACTIVIDAD 2. Interpretando un radian. ÁNGULOS Y ARCOS: Dado un arco RQ de un círculo con centro en P, se dice que el ángulo RPQ es el ángulo central que subtiende el arco RQ. También decimos que el ángulo RPQ subtiende el arco RQ: (Figura 2).

Figura 2. En general, para determinar la medida en grados de un ángulo q subtendido por un arco de s unidades de un círculo con una

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circunferencia

de

C

unidades,

utilizamos

la

siguiente

proporción. (Figura 3).

 s  o 360 C q en grados decimales; s y C en las mismas unidades.

Figura 3. MEDICIÓN APROXIMADA DE LA CIRCUNFERENCIA DE LA TIERRA: Los antiguos griegos conocían la proporción que relaciona los ángulos centrales y los arcos, la cual utilizó Eratóstenes (240 a.C.) para su famoso cálculo de la circunferencia de la tierra. Razonó de la siguiente forma: es bien conocido que en Siena (ahora Asuán), durante el solsticio de verano, el sol del mediodía se refleja en el agua de un pozo profundo (esto significa que sus rayos inciden verticalmente en el agua del pozo y, por lo tanto, el sol debe estar exactamente encima de él). Eratóstenes pensó

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que si los rayos del sol que entraban al pozo siguieran al interior de la tierra, pasarían por su centro. El mismo día a la misma hora, a 5000 estadios al norte (500 millas aproximadamente), en Alejandría, los rayos del sol cruzaban una pértiga vertical en un ángulo de 7.5º, como se indica en la figura 4. Puesto que los rayos del sol son casi paralelos cuando llegan a la tierra, Eratóstenes concluyo que el

ACS medía sólo 7.5º.



Figura 4 A pesar de que el razonamiento era profundo, su cálculo final de la circunferencia de la tierra requiere sólo álgebra elemental:  s  o 360 C 500mi. 7.5o  C 360o

C

360  500mi.  24000mi. 7.5

El valor calculado hoy en día es de 24,875 millas. EJEMPLO 5. ¿Cuánto mide el arco subtendido por un ángulo central de 6.23º sobre un círculo con un radio de 10 cm.? SOLUCIÓN. Puesto que:

 s  o 360 C

y C  2 r

Entonces s   2 r 360o s 6.23o  2  10cm. 360o s

2    10cm.  6.23 360

 1.09cm.

DIAMETRO DEL SOL. Si la distancia entre la tierra y el sol es de 93,000,000 millas, determine el diámetro del sol si éste subtiende un ángulo de 0º31’55’’

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Figura 5. SOLUCIÓN: Como s   2 r 360o 2 r  2    93,000,000mi .  0.532 s   864,000mi . 360o 360

ACTIVIDAD 3. Construcción de engranes. EJERCICIOS 1.- Indique los grados que mide el ángulo formado por el lado Terminal que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj del valor que se indica: a)

1 2

revolución

b)

1 revolución 4

c)

1 revolución 8

d)

2 3

revolución 2.- Clasifique los siguientes ángulos como agudos, rectos, obtusos o colineales. Si el ángulo no es ninguno de éstos, indíquelo así. a) 123 º 91 º

b) 18 º g) 270 º

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c) 180 º

d) 90 º

e) 45 º

h) 225 º

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f)

3.- Describa el significado de un ángulo de un grado. 4.- Convierta a grados decimales a) 43 º21’4’’

b) 61 º52’11’’

c) 2 º12’47’’

d)

23 º5’21’’ 5.- Convierta a grados – minutos – segundos a) 13.633º

b) 22.767º

c) 83.017º

d) 74.023º

6.- Explique el significado de un radian 7.- Convierta a radianes los siguientes ángulos dados en grados: a) 45º

b) 15 º

c) 125º

d) 270º

f) 330º

8.- Convierta a grados los siguientes ángulos dados en radianes a)

2 rad. 3

b)

3 2

rad.

c) 1.264 rad.

D)

1 rad. 9.- ¿Cuál de los siguientes ángulos es mayor 47º33’41’’ o 47.572º?. Explique la forma que obtuvo la respuesta 10.- Realice la operación

62º40’15’’ -

47º37’49’’. Exprese la

solución tanto en la forma decimal, como en la forma grados – minutos –segundos. 11. Observe la figura 3 y calcule el dato que falta usando los que se proporcionan.

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a) C = 1000 cm.,  = 36º, b) s = 12 m., C = 108m., c) r = 5,400,00 mi., d) s = 38,000 cm.,

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



s=? 

=?

= 2.6º , s = ? = 45.3º , r = ?

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1.2.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

ACTIVIDAD 4. Triángulos semejantes. TEOREMA DE EUCLIDES.

Si dos triángulos son semejantes

(figura 6) sus lados correspondientes son proporcionales.

Figura 6. Esto quiere decir que: a b c   a' b' c ' Recuerde que dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno miden lo mismo que dos ángulos del otro. EJEMPLO 6: Altura de un árbol: Un árbol proyecta una sombra de 32 pies y, al mismo tiempo, un palo que mide una yarda (3.0 pies) proyecta una sombra de 2.2 pies (Figura 7). ¿Qué altura tiene el árbol?

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Figura 7 SOLUCIÓN: Los rayos paralelos del sol forman el mismo ángulo con el árbol y con el palo. Puesto que ambos triángulos son rectángulos y tienen un ángulo agudo de la misma medida, entonces

los

triángulos

son

semejantes.

Los

lados

correspondientes son proporcionales, por ello escribimos:

x 32 pies  3.0 pies 2.2 pies

x

3.0 pies  32 pies   44 pies 2.2 pies

ACTIVIDAD 5. Altura de un cañón. y/o triángulos semejantes. EJERCICIOS 1.- Si dos triángulos tienen un par de ángulos iguales, ¿Qué puede decirse del tercer ángulo de ambos? 2.- Observe la figura 6. Use los datos otorgados y encuentre el faltante: a) a = 3, b) b = 11,

b = 7, c = 7,

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a’ = 8, b’ = ? b’ = 2,

c’ =?

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3.- En un juego de tenis, se manda un servicio desde el centro de la línea de fondo de la cancha de tenis. Si la pelota se golpea 9 pies por arriba del piso, viaja en línea recta hacia el centro de la cancha y la red está a 3 pies de altura ¿qué tan lejos de la base de la red pegará la pelota en el piso si apenas alcanza a pasar la parte superior de la red? 4.- Un trozo de espejo se encuentra en el suelo (supóngalo perfectamente horizontal) entre la base de un árbol y los pies de una persona. Al mirar ésta al espejo, observa el reflejo de la punta superior del árbol. Si la distancia entre el espejo y la base del árbol es de 8 metros y la distancia entre el espejo y los pies de la persona es 3 metros y la altura de ésta es de 1.75 metros. Determine la altura del árbol. 1.3.

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

En la figura 8, podemos ver que existen 6 posibles razones entre los lados de un triángulo rectángulo que pueden calcularse para cada ángulo



.

Figura 8 Dichas razones se conocen como razones trigonométricas, y debido a su importancia,, cada una tiene un nombre: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot). Además, cada una se escribe de manera abreviada como sigue: 14

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sen 

b c

csc 

c b

cos 

a c

sec 

c a

tan  

b a

cot  

a b

Observe que senθ y cscθ, cosθ y secθ , así como tanθ y cotθ son recíprocas, es decir: csc  

1 sen

sec 

1 cos 

cot  

1 tan 

Que debemos considerar al momento de usar la calculadora para calcular cscθ, secθ y cotθ. EJERCICIO: Use la calculadora para encontrar cos 14 º15’16’’ csc 338.38 º 0.8280

c) tan 98.12 º

d)

f) sec 23 º55’36’’

h) halle



si sec



a) sen20 º

b)

ctg 15.24 º

g) halle



si sen

e) 

=

= 2.456.

ACTIVIDAD 6: Razones trigonométricas. EJEMPLO 7: Un bote está navegando a lo largo de la costa en un curso recto. Se avizora un punto rocoso en un ángulo de 31º desde la ruta. Después de seguir 4.8 millas, se hace otra

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inspección ocular y se descubre que el punto está a 55º respecto a la ruta (véase figura 9). ¿cuál será la mas corta distancia que habrá entre el bote y el punto?

F igura 9 SOLUCIÓN. La distancia más corta a la que pasará el bote del punto rocoso es y .

Podemos establecer la siguiente relación

partiendo del triángulo más pequeño:

cot 55o 

x y

x  y cot 55o Ahora desde el triángulo grande vemos que:

cot 31o 

4.8  x y

y cot 31o  4.8  x Al sustituir la primer igualdad en la segunda tenemos

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y cot 31o  4.8  y cot 55o y cot 31o  y cot 55o  4.8 y  cot 31o  cot 55o   4.8 y

4.8  cot 31o  cot 55o

y  4.98 millas EJERCICIOS 1.- Una escalera de 8 metros está recargada en la pared formando un ángulo con respecto al suelo de 61º ¿a qué altura estará la parte superior de la escalera sobre el edificio? 2.- Para el problema anterior, ¿que tan lejos está la parte inferior de la escalera de la base de la pared? 3.- Una persona que se encuentra en lo alto de un acantilado de 70 metros de altura, tiene que bajar la vista un ángulo de 20º con respecto a la horizontal para ver directamente un barco, ¿a qué distancia se encuentra el barco de la base del acantilado? 4.- Del problema anterior, ¿Qué tan lejos se encuentra el barco de la cima del acantilado? 5.- Determine la longitud de un lado de un polígono regular de nueve lados inscrito en un círculo de radio igual a 8.32 centímetros.

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1.4.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

ACTIVIDAD 8: formación de las gráficas de las funciones trigonométricas y criterios de graficación. EJERCICIOS Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones trigonométricas 1.- f(x) = sen2x 2.- f(x) = -5cosx 3.- f(x) = -sen(x+b)  etc.

18

¨CURSO PROPEDÉUTICO PARA LA MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA 1.5.

IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Recordando, las seis razones posibles entre dos lados de un triángulo

rectángulo

constituyen

las

funciones

trigonométricas de uno de los ángulos agudos

sen 

b c

csc 

c b

cos 

a c

sec 

c a

tan  

b a

cot  

a b

c b

a

Definimos como identidad trigonómetrica a una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo, que se verifica para cualquier valor de dicho ángulo. Cofunciones: Si tomamos el ángulo α, que es complementario al ángulo θ. (α=90°-θ), tenemos que sen  

b  cos   cos(90   ) c

cos 

a  sen   sen (90   ) c

tan  

b  cot   cot(90   ) a

csc  

c  sec   sec(90   ) b

sec 

cot  

c  csc   csc(90   ) a

a  tan   tan(90   ) b

El coseno, la cotangente y la cosecante de un ángulo son respectivamente iguales al seno, tangente y secante del ángulo complementario, Recíprocas:

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1 ; csc 1 cos   ; sec 1 tan   ; cot  sen  

1 sen  1 sec  cos  1 cot   tan  csc 

Cociente: b a sen  c bc b cos  c ac a  = = =tan y  = = =cot a ac a cos  sen  b bc b c c Por el Teorema de Pitágoras sabemos que: c2=a2+b2, entonces

si

dividimos 2

la

ecuación

por

c 2:

donde

se

2

c2 a 2 b2  a  b  2  2  1        1  cos 2   sen 2 , 2 c c c  c  c

de

desprenden las identidades: sen   1  cos 2  y cos   1  sen 2 Dividiendo

por 2

a 2:

2

c2 a2 b2  c  b  2  2     1     sec 2   1  tan 2  , 2 a a a  a  a

por

lo

tanto:

sec   1  tan 2  y tan   sec 2   1 Dividiendo

por 2

b 2:

2

c 2 a 2 b2  c  a  2  2        1  csc 2   cot 2   1 , 2 b b b  b  b

por

lo

tanto:

csc   1  cot 2  y cot   csc 2   1 Identidades sen  cos(90   ) 

1 = 1-cos 2 csc 

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cos   sen(90   ) 

1 = 1-sen 2 sec

tan   cot(90   ) 

1 sen   = sec 2  1 cot  cos 

cot   tan(90   ) 

1 cos   = csc 2 -1 tan  sen 

sec  cos(90   ) 

1 = 1+tan 2 cos 

csc   sec(90   ) 

1 = 1+cot 2 sen 

EJERCICIOS 1. Si sen a = .25, calcular las demás funciones del mismo ángulo. 2. Comprobar las siguientes identidades: a. cos 2   sen 2  2cos 2   1  1  2 sen 2 b.

 sec    csc    sec   csc  2

2

2

2

tan 2   sen 2 c.  tan 6  2 2 cot   cos 

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FÓRMULAS DE SUMAS Y DIFERENCIAS Seno y coseno de la suma de dos ángulos: Tenemos B

el

triángulo

rectángulo BOD

con uno de

sus ángulos agudos igual a la

a

suma de α y β, tal que: sen(   ) 

A

E

BD y OD cos(   )  OB OB

A su vez, tambien tenemos O

D

C

dos

triángulos

AOC

y

AOB

rectángulos con

ángulos

internos agudos α y β respectivamente y un triángulo ABE semejante a AOC. Las funciones seno y coseno para α y β quedan de la siguiente manera: sen 

AC AE  OA AB

cos  

OC BE  OA AB

sen 

AB OB

cos  

OA OB

En la figura podemos ver que BD = BE + AC y en las ecuaciones anteriores que BE = AB cos α , AC = OA sen α , AB = OB sen β y OA = OB cos β. Por lo tanto, BD BE  AC AB cos   OAsen OBsen cos   OB cos  sen    OB OB OB OB OB ( sen cos   sen cos  )   sen cos   sen cos  OB sen(   ) 

para el coseno de α mas β, vemos que cos(   ) 

OD , OD = OC – DC OB

donde DC y AE tienen la misma longitud por lo tanto OD = OC – AE. OC = OAcos α , AE = ABsen α, OA = OBcos β y AB = OBsen β. Por lo tanto,

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OD OC  AE OA cos   ABsen OB cos  cos   OBsen sen    OB OB OB OB OB (cos  cos   sen sen )   cos  cos   sen sen OB

cos(   ) 

Tenemos entonces que sen(   )  sen cos   sen cos 

y

cos(   )  cos  cos   sen sen

Seno y coseno de la diferencia de dos ángulos: Recordemos que sen(-A) = -sen(A) y que cos(-A) = cos(A), entonces la diferencia de los ángulos α y β la podemos tratar como una suma: α- β α+(-β). De aquí que sen(      )  sen cos      sen cos     sen(   )  sen cos   sen cos  cos(      )  cos  cos      sen sen    

y

sen(   )  cos  cos   sen sen

Tangente y cotangente de la suma o la diferencia de dos ángulos: Como ya sabemos, tan(   )  Entonces, tan(   ) 

sen      cos     

sen      sen cos   sen cos   , dividiendo cos      cos  cos   sen sen

numerador y denominador por cosα cosβ tenemos sen cos  sen cos  sen sen   tan   tan  cos  cos  cos  cos  cos  cos  tan(   )    cos  cos  sen sen sen sen 1  tan  tan   1 cos  cos  cos  cos  cos  cos 

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analogamente tenemos para la diferencia de ángulos que :

sen cos  sen cos   tan   tan  cos  cos  cos  cos  tan(   )   cos  cos  sen sen 1  tan  tan   cos  cos  cos  cos  Para la cotangente usamos la identidad cot(   )  De manera que cot(   ) 

cos      sen     

cos      cos  cos   sen sen  sen      sen cos   sen cos 

,

si dividimos por senα senβ obtenemos: cos  cos  sen sen cos  cos   1 cot  cot   1 sen sen sen sen sen sen cot(   )    sen cos  sen cos  cos  cos  cot   cot    sen sen sen sen sen sen para cot(α-β) sustituimos cot(-β) por –cot β: cot(   ) 

 cot  cot   1  cot   cot 

multiplicando numerador y denominador por (-1 ) se obtiene cot(   ) 

cot  cot   1 cot   cot 

Fórmulas de suma o diferencia de dos ángulos sen(   )  sen cos   sen cos  cos(   )  cos  cos  msen sen

tan(   ) 

tan   tan  1 mtan  tan 

cot(   ) 

cot  cot  m1 cot   cot 

FÓRMULAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES Funciones de ángulo doble ( 2α ): Si tomamos el ángulo doble 2α como la suma α + α, tendremos que: 24

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sen  2   sen(   )  sen cos   sen cos   2 sen cos  cos  2   cos(   )  cos  cos   sen sen  cos 2   sen 2

tan  2   tan(   ) 

tan   tan  2 tan   1  tan  tan  1  tan 2 

cot  cot   1 cot 2   1 cot  2   cot(   )   cot   cot  2cot  de la segunda identidad: cos 2  cos 2   sen 2 , si sustituimos 2 2 2 sen 2  1  cos 2  tendremos cos 2  cos   (1  cos  )  2cos   1 ,

despejando cos α: cos 2  

1  cos 2 1 1   cos 2 2 2 2

ó

cos  

1  cos 2  2

1 1  cos 2 2 2

tambien, sustituyendo cos2α por 1 – sen2α, obtenemos la ecuación cos 2  (1  sen 2 )  cos 2   1  2sen 2 , y despejando sen α: sen 2 

1  cos 2 1 1   cos 2 2 2 2

tan  

y

ó

 : 2

Si tenemos un ángulo A = cos A 

1 1  cos 2 2 2

1  cos 2 1  cos 2 2  1  cos 2 1  cos 2 2

sen   cos

Funciones del ángulo

1  cos 2  2

sen  

 ó 2A = α, tal que 2

1  cos 2 A 1  cos 2 A 1  cos 2 A , sen A  y tan A  , 2 2 1  cos 2 A

sustituyendo A y 2A por sus equivalentes de α.

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cos

 1  cos   2 2

sen

 1  cos   2 2

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y

tan

 1  cos   2 1  cos 

Funciones del ángulo α si conocemos las funciones de Considerando el ángulo A =

 ó 2A = α, tenemos: 2

  cos 2 2

sen  2 A  2 senA cos A

ó

sen  2 sen

cos  2 A   cos 2 A  sen 2 A

ó

cos   cos 2

ó

 2 tan   2 1  tan 2

tan  2 A  

 : 2

   sen 2 2 2

2 tan

2 tan A 1  tan 2 A

OTRAS IDENTIDADES Hemos visto que sen(   )  sen cos   sen cos  sen(   )  sen cos   sen cos  sumando y restando término a termino ambas igualdades tenemos sen(   )  sen(   )  2 sen cos  sen(   )  sen(   )  2 sen cos  si hacemos que A=α+β y B=α-β tal que A+B=2α y A-B=2β, de donde



A B AB y  2 2

sustituyendo en las

ecuaciones anteriores  A B   A B  cos    2   2 

sen A  sen B  2 sen 

 A B   A B  cos    2   2 

sen A  sen B  2 sen 

haciendo el mismo tratamiento con la función coseno cos(   )  cos  cos   sen sen 26

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cos(   )  cos  cos   sen sen sumando y restando término a termino ambas igualdades tenemos cos(   )  cos(   )  2cos  cos  cos(   )  cos(   )  2 sen sen sustituyendo para A y B en las ecuaciones anteriores  A B   A B  cos    2   2 

cos A  cos B  2cos 

 A B   A B  sen    2   2 

cos A  cos B  2 sen 

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Ejemplos: 1. Comprobar

que

sen20  sen 40  tan 30 cos 20  cos 40

y

que

sen 20  sen 40  cot10 cos 20  cos 40

 20  40   20  40  cos    sen30 cos(10) sen20  sen40 2 2        tan 30 cos 20  cos 40 cos30 cos(10)  20  40   20  40  2cos  cos   2 2     2sen 

 20  40   20  40  cos    sen 20  sen 40 2 2      sen30 cos( 10)   cos 20  cos 40  sen30sen(10)  20  40   20  40  2 sen  sen   2 2      cot( 10)  cot10 2 sen 

2. comprobar que

sen 9a  sen 7 a  2cos 4a sen 5a  sen 3a

 9a  7 a   9a  7 a  cos    sen 8a cos a sen 9a  sen 7a 2 2        sen 5a  sen 3a sen4a cos a  5a  3a   5a  3a  2sen  cos   2 2     sen 8a 2 sen 4a cos 4a   2cos 4a sen 4a sen 4a 2sen 

3.

comprobar que

1  sen   cos    tan 1  sen   cos  2

2 1  cos   2 sen  2   2 sabemos que  1  cos   2cos 2      sen   2 sen 2 cos 2 



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   2sen cos  2sen 2 1  sen   cos  sen   1  cos  2 2 2       1  sen   cos  sen   1  cos  2sen cos  2cos 2 2 2 2    2sen  cos  sen   2 2 2  tan    2 2cos  sen  cos  2 2 2

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ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Una ecuación trigonométrica es una igualdad algebraica entre razones trigonométricas de un mismo ángulo, que se satisface para determinado valor o valores del ángulo. Por ejemplo, para encontrar los valores positivos menores de 360° ó 2π rad para la ecuación 3cos 2 x  sen 2 x  0 Resolvemos para x ( o para una función de x) 3cos 2 x  sen 2 x 3

sen 2 x  tan 2 x  3  tan x   3 2 cos x

sabemos que el período de la función tangente es π radianes, entonces para tan x   3

x  n 

 . 3

Para ángulos positivos

menores de 2π radianes las soluciones son: x 

 2 4 5 , , , 3 3 3 3

radianes. Resolver la ecuación 4 sen2x + 8 cos x = 7 Usamos la identidad sen 2 x  1  cos 2 x 4  1  cos 2 x   8cos x  7  0  4  4cos 2 x  8cos x  7  0  4 cos 2 x  8cos x  3  0  4 cos 2 x  8cos x  3  0 Resolvemos para cos x: 4 cos2x -8 cos x + 3 = 0 4cos 2 x  8cos x  3  0  4cos 2 x  6cos x  2cos x  3  0  2 cos x  2cos x  3   2cos x  3  0   2 cos x  3  2cos x  1  0 

3  cos x  2 las soluciones para cos x serían:   cos x  1  2

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la primera solución no es posible para ningún valor de x mientras que cos x = 0.5 en valores de x hasta 2π radianes es para x  

 radianes. 3

EJERCICIOS Comprobar las siguientes identidades: 1. tan   cot   sec  csc 

 A B   senA  senB  2   2. senA  senB  A B  tan    2  tan 

3. sen 4  2 sen 2  cos 4   1  0 4. cot   tan   2cot 2  5.

sen  x  y  z   sen x cos y cos z  cos x sen y cos z  cos x cos y sen z - sen x sen y sen z

Resuelva las ecuaciones para ángulos positivos menores de 2π radianes. 1. 2 sen x = sen 2x 2. tan x + tan 2x = tan 3x 3. 3 sen x – cos 2x = 1 4. 3 sen x + 4 cos x = 5 2 5. 5cos a  3 2sen a 

11 0 2  tan  A  B   3 

6. resuelva el siguiente sistema: 

 tan  A  B   

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APÉNDICE A – LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS LEY DE SENOS Sea el segmento H perpendicular al segmento C, entonces: H=B sen a H=A sen b

como tambien por lo tanto

B sen a = A sen b

c

ó

A H

B

sen a / A = sen b / B

b C a

LEY DE COSENOS Sea el segmento H perpendicular al segmento C, donde C = C 1 + C2 C1= B cos a C2= A cos b

c y

A H

B

C2 C1

b

C

a

2 2 2 2 2 2 Por el teorema de Pitágoras tenemos que B  H  C1 y A  H  C2 depejando H2 e igualando: B 2  C12  A2  C2 2  C12  C2 2  B 2  A2   C1  C2   C1  C2   B 2  A2

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¨CURSO PROPEDÉUTICO PARA LA MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA como C1  C2  C entonces : C  C1  C2   B 2  A2  C1  C2 

B 2  A2 C

resolviendo el siguiente sistema para C1 y C2  B 2  A2 C  A2  B 2  C 2 C1  C2  C C     1 2 C 2 2C ¨ B 2  A2 , Sumando y restando:  2 2 2 2 2 C1  C2   C  C  B  A  A  B C C  2 2C 2C 2 2 2  A  B  C  B cos a  2C sustituyendo C1 = B cos a y C2 = A cos b  de donde 2 2 2  A cos b  A  B  C  2C 2 2 2 2 2 2 2 BC cos a   A  B  C  A  B  C  2 BC cos a 2 AC cos b  A2  B 2  C 2  B 2  A2  C 2  2 AC cos b de forma análoga tendremos: C 2  A2  B 2  2 AB cos c

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