Funciones Vectoriales

FUNCIONES VECTORIALES v

ϖ0 -

v e lo c i d a d

v

in ic ia l

v0

a a

θ a

altura inicial y0

v

1 1

y

P

r(t)

Vector velocidad ∆r

r(t)

Q r(t+∆ t)

x

Mtro. Óscar Ruiz Chávez

Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

1

INDICE FUNCIONES VECTORIALES___________________3 FUNCIÓN VECTORIAL....................................................................................................... ..4 Dominio de una función vectorial...........................................................................................................5 Operaciones con funciones vectoriales...................................................................................................6 Límites y Continuidad.............................................................................................................................6 Derivación de funciones vectoriales.......................................................................................................7 Integración de funciones vectoriales.......................................................................................................9

DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN............................................ .....10 Definición de velocidad, aceleración y rapidez....................................................................................11 Movimiento de proyectiles – Tiro parabólico.......................................................................................13 Vectores tangentes y vectores normales................................................................................................17 Vector aceleración – componentes tangencial y normal.......................................................................23

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA............................................................................ .27 Longitud de arco...................................................................................................................................27 Curvatura...............................................................................................................................................29

2

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

FUNCIONES VECTORIALES En el capítulo anterior, cuando describimos la recta en el espacio, utilizamos un parámetro en las ecuaciones para encontrar las coordenadas de los puntos que conforman esa recta. ecuaciones  x  x1  at  paramétricas   y  y1  bt  z  z  ct de la recta 1 

cada coordenada depende de el valor que le demos al parámetro t, en otras palabras, cada una está en función de t. x  f (t ), y  g (t ), z  h(t ) ¿Qué pasa si a cada punto de la recta le asignamos un vector de posición r r r  xiˆ  yjˆ  zkˆ  Tendríamos un vector para cada valor de t, o sea que r es, a su vez, una función de t. r r r  xiˆ  yjˆ  zkˆ  r (t )  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  h(t )kˆ r r (t )  ( x  at )iˆ  ( y  bt ) ˆj  ( z  ct )kˆ 0

0

0

 x  1  2t  Por ejemplo, para la recta con ecuaciones paramétricas  y  3  t , la posición de  z  2  3t 

r cada uno de sus puntos esta dada por r (t )  (1  2t )iˆ  (3  t ) ˆj  (2  3t )kˆ , si tabulamos dádole valores a t para encontrar algunos vectores tenemos r r (t )

t

punto A  3,5, 4 

3iˆ  5 ˆj  4kˆ iˆ  4 ˆj  kˆ

-2 -1 1

iˆ  3 ˆj  2kˆ 3iˆ  2 ˆj  5kˆ

2

5iˆ  ˆj  8kˆ

0

B  1, 4, 1

C  1,3, 2  D  3, 2,5 

E  5,1,8 

z Recta E

D

-3 C 1

5

y

B

A 5 x

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

3

r la recta dada por r (t )  (1  2t )iˆ  (3  t ) ˆj  (2  3t )kˆ

FUNCIÓN VECTORIAL

r Cualquier función de la forma r (t )  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  h(t )kˆ  f (t ), g (t ), h(t ) se conoce como función vectorial, con f, g y h como funciones reales del r parámetro t. ( se conocen como las funciones componentes de r (t ) ) r En el plano, la función vectorial es r (t )  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  f (t ), g (t ) . En el ejemplo anterior, tanto f como g y h son funciones lineales de t por ésto la r grafica de r (t ) es una recta. Podemos usar una función vectorial para trazar una curva y además describir su trayectoria (cómo se dibuja cuando t crece). En otro ejemplo. r Sea la función vectorial r (t )  tiˆ  t 2 ˆj . Si x  f (t ), y  g (t ) entonces x  t , y  t 2 y por lo tanto y  x 2 . Que es la ecuación de una parábola el plano xy.

y

en r(-2)

Algunos de los vectores: r r r r r (2)  2iˆ  4 ˆj , r (1)  iˆ  ˆj , r (0)  0 , r r r (1)  iˆ  ˆj , r (2)  2iˆ  4 ˆj .

r(2)

1 x

1

r

La curva representada por r (t )  tiˆ  t 2 ˆj :

r ¿Cómo sería la curva r (t )  tiˆ  t 2 ˆj ? Encontremos algunos vectores: r r r r r r (2)  2iˆ  4 ˆj , r (1)  iˆ  ˆj , r (0)  0 , r (1)  iˆ  ˆj , r r (2)  2iˆ  4 ˆj . Pasa por los mismos puntos que la curva de la función anterior ¿Qué cambió? Cambia el sentido del trazo, ahora es de derecha a izquierda conforme t crece.

y

r(-2)

r(2)

1

r r (t )  tiˆ  t 2 ˆj

1

x

r Para la curva definida por la función r (t )  cos t ,sen t con 0  t  2 donde x(t )  cos t . y (t )  sen t . Sumemos los cuadrados de cada función componente de r r (t ) : cos 2 t  sen 2t  1  x 2  y 2  1 . La gráfica es y

1

de un círculo de radio 1 centrado en el origen.

r 4 r6

r5

r7

-1

r 8 círculo unitario r(t)=

4

r3 r2 r1

r0

1

x

r r r0  r  0   cos 0,sen 0  1, 0 , r r   r2  r     4

2 2 , 2 2

,

r r   r1  r     6

1 3 r r   r3  r    , 2 2  3

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

,

3 1 , 2 2

r r   r4  r    0,1  2

1 3 r r  2  r5  r    , 2 2  3 

,

2 2 r r  3  r6  r  ,   2 2  4 

....

r r (t )  cos 2t ,3sen 2t , t es la función de una curva en el espacio. Calculemos 

algunos de sus puntos para 0  t  2 . ( en incrementos de 12 rad) zt t x  cos 2t y  3sen 2t 0 0.262 0.524 0.785 1.047 1.309 1.571 1.833 2.094 2.356 2.618 2.880 3.142

1.00 0.87 0.50 0.00 -0.50 -0.87 -1.00 -0.87 -0.50 0.00 0.50 0.87 1.00

0.00 1.50 2.60 3.00 2.60 1.50 0.00 -1.50 -2.60 -3.00 -2.60 -1.50 0.00

0.00 0.26 0.52 0.79 1.05 1.31 1.57 1.83 2.09 2.36 2.62 2.88 3.14

Cuando t crece de 0 a 2 , la curva describe una hélice haciendo dos espirales alrededor de un cilindro elíptico, la ecuación del cilindro la podemos obtener r tomando las primeras dos funciones componentes de r : x  cos 2t e y  3 sen 2t , x2 y 2 x2 y 2 de donde   cos 2 2t  sen 2 2t  1 ó 1  9  1 1 9

Dominio de una función vectorial El dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de sus 1 ˆ r i  4  t 2 ˆj son los funciones componentes. Por ejemplo, el dominio de r (t )  t 1 valores reales que se encuentran en el intervalo  2, 2 , excepto cuando t  1 . t 1 ˆ r j  4t  1kˆ es la intersección de los El domino de la función r (t )  ln(t  1)iˆ  2 t 4 t 1 dominios de f (t )  ln(t  1) , g (t )  2 y D t 4 r

D

Df

g D

0 -2

-1

1/4

2

h

t

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

5

h(t )  4t  1 donde D f  (1, ) , Drr   1/ 4, 2    2,   .

Dg  ¡   2, 2

y Dh   1/ 4,   , o sea que

Operaciones con funciones vectoriales

r r Sean r1 (t )  f1 (t )iˆ  g1 (t ) ˆj  h1 (t )kˆ y r2 (t )  f 2 (t )iˆ  g 2 (t ) ˆj  h2 (t )kˆ funciones vectoriales y un escalar: r r r1 (t )  r2 (t )   f1 (t )  f 2 (t )  iˆ   g1 (t )  g 2 (t )  ˆj   h1 (t )  h2 (t )  kˆ Suma: r r Diferencia: r1 (t )  r2 (t )   f1 (t )  f 2 (t )  iˆ   g1 (t )  g 2 (t )  ˆj   h1 (t )  h2 (t )  kˆ r   r1 (t )     f1 (t )  iˆ    g1 (t ) ˆj    h1 (t )  kˆ Múltiplo escalar: r r Producto escalar: r1 (t ) r2 (t )  f1 (t ) f 2 (t )  g1 (t ) g 2 (t )  h1 (t )h2 (t ) r r r1 (t )  r2 (t )   g1 (t )h2 (t )  g 2 (t ) h1 (t ) iˆ   f1 (t )h2 (t )  f 2 (t )h1 (t )  ˆj r Producto vectorial:   f1 (t ) g 2 (t )  f 2 (t ) g1 (t )  k

Límites y Continuidad

r El límite de una función vectorial r (t )  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  h(t )kˆ cuando t  a existe solo sí existen los limites en f, g y h cuando t  a . r lim  r (t )   lim  f (t )  iˆ  lim  g (t ) ˆj  lim  h(t )  kˆ ta

t a

t a

t a

r Una función vectorial r (t ) es continua en el punto donde t  a siempre y cuando r r r el lim  r (t ) exista. r (t ) es continua en el intervalo I si r (t ) es continua en cada ta

uno de los puntos del intervalo. Ejemplo: Determinar el intervalo ( o intervalos) en que la funciön vectorial t 1 ˆ r r (t )  ln(t  1)iˆ  2 j  4t  1kˆ es continua. t 4 Solución: El dominio de es Drr   1/ 4, 2    2,   , es decir que t puede tomar valores mayores o iguales a ¼ excepto el 2. Probemos los límites con t= ¼ , t= 2 y t=3: 20 ˆ r  t 1  ˆ  5 lim  r (t )   lim  ln(t  1)  iˆ  lim  2 j  lim  4t  1  kˆ  ln  iˆ  j  0kˆ t 1/4 t 1/4 t 1/4 t  4  t 1/4 63    4  0.223iˆ  0.317 ˆj si existe el límite 3 r  t 1  ˆ lim  r (t )   lim  ln(t  1)  iˆ  lim  2 j  lim  4t  1  kˆ  ln  3 iˆ  ˆj  7 kˆ  t 2 t 2 t 2 t  4 t 2 0   no existe el límite Z

6

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

4 r  t 1  ˆ lim  r (t )   lim  ln(t  1)  iˆ  lim  2 j  lim  4t  1  kˆ  ln  4  iˆ  ˆj  11kˆ t 3 t 3 t 3 t  4  t 3 5    1.386iˆ  0.8 ˆj  3.317kˆ si existe el límite r La función es continua en todo el dominio de r , o sea que es continua en el intervalo 1/ 4  t  2 y en el intervalo t  2.

Derivación de funciones vectoriales Para derivar una función vectorial basta con derivar cada una de sus funciones componentes. r Definición: la derivada de una función vectorial r se difine como r r r (t  t )  r (t ) r r ´(t )  lim , siempre que el límite exista. t t 0 r Para r (t )  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  h(t )kˆ con f,g y h funciones derivables de t, entonces



r r  f (t  t )iˆ  g (t  t ) ˆj  h(t  t )kˆ  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  h(t )kˆ r r (t  t )  r (t ) r ´(t )  lim  lim   t t t 0 t 0   f (t  t )  f (t )  ˆ  g (t  t )  g (t )  ˆ  h(t  t )  h(t )  ˆ    lim i   lim j   lim   k t t t  t  0   t  0   t  0  ˆ  f ´(t )iˆ  g´(t ) ˆj  h´(t )k

   

r d r dr r r r Otras formas de notación para la derivada: r ´(t )  Dt r  D  r (t )   r (t )  dt dt Ejemplo: r sean las funciones r (t )  3t 2iˆ  2t  1 ˆj y s (t )  2 cos(at )iˆ  2 sen(at ) ˆj  e 2t kˆ , hallar sus derivadas. Solución: derivamos cada funcion componente 1 r ˆj y s´(t )  2a sen(at )iˆ  2a cos(at ) ˆj  2e 2t kˆ r ´(t )  6tiˆ  2t  1 Propiedades de la derivada de funciones vectoriales r r Sean r y s funciones vectoriales de t, f una función derivable de t y escalar. r r 1. Dt   r (t )    r ´(t ) derivada de un múltiplo escalar r r r r 2. Dt  r (t )  s (t )  r ´(t )  s´(t ) derivada de una suma/resta r r r 3. Dt  f (t )r (t )   f (t )r ´(t )  f ´(t )r (t ) derivada de un producto r r r r r r 4. Dt  r (t ) s (t )   r (t ) s´(t )  r ´(t ) s (t ) derivada del producto escalar M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

un

7

r r r r r r 5. Dt  r (t )  s (t )   r (t )  s´(t )  r ´(t )  s (t ) derivada del producto vectorial r r 6. Dt  r ( f (t ))  r ´( f (t )) f ´(t ) regla de la cadena r r 2 2 2 7. si r (t )  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  h(t )kˆ entonces r ´(t )   f ´(t )   g´(t )   h´(t ) r r r (t ) r ´(t ) r r r 8. Dt r (t )  derivada de la norma de r r (t ) r r r r 9. Si r (t ) r (t )  constante entonces r (t ) r ´(t )  0 . Ejemplos: 3 r r 2 Sean las funciones vectoriales r (t )  t 2iˆ  t ˆj  5tkˆ y s (t )  2tiˆ  t ˆj  kˆ , hallar: t r a. r ´(t ) r b. s´(t ) r r c. Dt  2r (t )  s (t ) r 2 d. Dt  (t  3)r (t )  r r e. Dt  r (t ) s (t )  r r f. Dt  r (t )  s (t )  r g. r ´(t ) Solución: 1 ˆ r j  5kˆ a. r ´(t )  2tiˆ  2 t 3 r b. s´(t )  2iˆ  2tjˆ  2 kˆ t 1 3 r r r r     2t  ˆj   10  2 kˆ c. Dt  2r (t )  s (t )  2r ´(t )  s´(t )   4t  2  iˆ    t  t    r r r 2 2 d. Dt  (t  3)r (t )   (t  3)r ´(t )  2t  r (t ) 



 

1 ˆ 5t 2  3 ˆ  (t 2  3)(2tiˆ  j  5kˆ )  2t t 2iˆ  t ˆj  5tkˆ  4t 3  6t iˆ  j  15 t 2  1 kˆ 2 t 2 t







e.





r r 3  Dt  r (t ) s (t )   t 2iˆ  t ˆj  5tkˆ  2iˆ  2tjˆ  2 t 

1 ˆ 3      kˆ   2tiˆ  j  5kˆ  2tiˆ  t 2 ˆj  kˆ  t  2 t    

15   t 2 15  5 t3    2t 2  2t t    4t 2     6t 2  t   2 2 t t   iˆ

f.

8

ˆj

r r r r r r Dt  r (t )  s (t )  r (t )  s´(t )  r ´(t )  s (t )  t 2

 t

2

2t

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

kˆ

iˆ

5t  2t 3  2 2t t

ˆj 1  2 t t 2

kˆ 5 3 t

    3  ˆ    10t 2  i   10t  3 ˆj  2 t  2t 3 kˆ       t3       3  ˆ 3   15t 2  i   20t  3 ˆj  3 t  4t kˆ 3 2 t  

g.











2  5t 



3  ˆ i   10t  6  ˆj  3 2 t 



 t  2t 3 kˆ   



1 ˆ 1 16t 3  100t  1 r r ´(t )  2tiˆ  j  5kˆ  4t 2   25  4t 4t 2 t

Integración de funciones vectoriales Al igual que en el caso de la derivación, para integrar una función vectorial solo es necesario integrar cada una de sus funciones componentes. r Definición: sea r (t )  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  h(t )kˆ una funcion vectorial con r continuas en el intervalo cerrado [a,b], la integral indefinida de r (t ) es r

 r (t )dt    f (t )dt 

iˆ  

 g (t )dt  

ˆj  

kˆ

 h(t )dt  

f ,g y h

r mientras que la integral definida en el intervalo cerrado [a,b] de r (t ) es  r  r (t )dt   b

b

 

a

a





f (t )dt  iˆ    



b



a g (t )dt  ˆj  

b

 ˆ k

 h(t )dt  a

r Cuando integramos r (t ) en una integral indefinida obtenemos una constante de r integración C , que es un vector constante y nos sirve para diferenciar una r r r familia de funciones vectoriales R (t )  C ( las primitivas de r (t ) ) tal que r r r r r R´(t )  r (t ) ó  r (t )dt  R (t )  C . r  r (t )dt    f (t )dt  iˆ    g (t )dt  ˆj    h(t )dt  kˆ   F (t )  C1  iˆ   G (t )  C2  ˆj   H (t )  C3  kˆ r r   F (t )  iˆ   G (t )  ˆj   H (t )  kˆ  C iˆ  C ˆj  C kˆ  R(t )  C 1

2

3

1 ˆ r j  5kˆ Ejemplo: integrar la función vectorial r (t )  2tiˆ  2 t 1   1    r Solución:  r (t )dt    (2t )dt  iˆ      t 2 dt  ˆj    5dt  kˆ   2   r  12  r 2 ˆ 2 ˆ ˆ   r ( t ) dt  t  C i   t  C2  ˆj   5t  C3  k  t iˆ  t ˆj  5tk  C 1     r Ejemplo: integrar la función vectorial r (t )  3t 2iˆ  4tjˆ  3 tkˆ para 1  t  2      r 2 Solución:  r (t )dt   3  t dt  iˆ   4  tdt  ˆj   1  1   1   2

2

2

2

t

1

1 3

 dt  kˆ 

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

9

2

r 3  r (t )dt   t 

1

2

iˆ   2t  1 2

2 1

ˆj  3  4

3

2

t  4



1

kˆ  9iˆ  6 ˆj 



 kˆ

3 2 3 2 1 4

r Si conocemos la condición inicial de la función vectorial r (t ) podemos aislar una de las primitivas de la familia de funciones que constituyen la integral definida de r r r r R (t )  r ´(t ) tal que r (t )   R (t )dt r 2 ˆ i  6t 2  1 ˆj  3kˆ sabiendo que R (t )  rr´(t ) Ejemplo: hallar la primitiva de R (t )  t r ˆ y que r (0)  5iˆ  3 ˆj  k 1 r r 4 t3 ˆ r Solución: r (t )   R (t )dt  2  t 2 dt   6t 2  1 dt  3 dt  i  2t 3  t ˆj  3tkˆ  C 3 r r r ˆ ˆ ˆ Si cuando t  0 , r (0)  0i  0 j  0k  C  5i  3 j  k entonces C  5iˆ  3 ˆj  kˆ , por lo













 r  4 t3 4 t3 ˆ r i  2t 3  t ˆj  3tkˆ  C    5 iˆ  2t 3  t  3 ˆj   3t  1 kˆ es la tanto r (t )   3  3   r r ( t ) primitiva de que cumple con la condición inicial.









DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN r Consideremos que la función vectorial r (t ) indica la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una curva en el plano o el espacio en un tiempo t. Esta posición la relacionamos con un punto  x, y  en el plano ó  x, y, z  en el espacio donde las coordenadas x, y, z dependen, a su vez, del tiempo t, tal que x  x(t ) , y  y (t ) y z  z (t ) de manera que la posición del cuerpo esta dada por la función r en el plano r (t )  x(t )iˆ  y (t ) ˆj r r (t )  x(t )iˆ  y (t ) ˆj  z (t )kˆ en el espacio Como sabemos, la velocidad promedio es la razón de cambio de posición del r cuerpo en un intervalo de tiempo. Sea r el cambio de posición y t el intervalo r r r de manera que r  r  t  t   r (t ) r r r (t  t )  r (t ) r Velocidad promedio vm  y t P Vector r(t) velocidad Conforme hacemos que el intervalo de t sea más corto  t  0  , la velocidad ∆r r(t) Q promedio se irá acercando al valor que tiene la velocidad en el instante t r(t+∆ t) (velocidad instantanea). x

10

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

r r r (t  t )  r (t ) r Vector velocidad: v (t )  lim , si existe el límite. t  0 t r r r (t  t )  r (t ) r r De la sección anterior vimos que la derivada de r (t ) es r ´(t )  lim , t t 0 por lo tanto la velocidad es igual a la derivada de la función posición r r en el plano v (t )  r ´(t )  x´(t )iˆ  y´(t ) ˆj r r v (t )  r ´(t )  x´(t )iˆ  y´(t ) ˆj  z´(t )kˆ en el espacio r En la figura podemos notar que el vector velocidad es tangente a la curva r (t ) en r el punto P. La magnitud de v representa la rapidez con la que se mueve el objeto en el tiempo en el que está en la posición P. La velocidad es un vector mientras que la rapidez es un escalar. De manera análoga que como lo hicimos con la velocidad, la aceleración es la razón de cambio de las velocidades con respecto del tiempo transcurrido. Sea r r r r v el cambio de velocidad en el intervalo t tal que v  v  t  t   v (t ) , la r r v (t  t )  v (t ) r r  v´(t ) . aceleración en el punto P está dada por a (t )  lim t 0 t

Definición de velocidad, aceleración y rapidez

r Sean x, y y z funciónes derivables de t y r (t )  x(t )iˆ  y (t ) ˆj la función posición en r el plano ó r (t )  x(t )iˆ  y (t ) ˆj  z (t )kˆ en el espacio, definimos las funciones velocidad aceleración

rapidez

r r  v (t )  r ´(t )  x´(t )iˆ  y´(t ) ˆj (plano)  r r  v (t )  r ´(t )  x´(t )iˆ  y´(t ) ˆj  z´(t ) kˆ (espacio) r r r  a (t )  v´(t )  r ´´(t )  x´´(t )iˆ  y´´(t ) ˆj (plano)  r r r  a (t )  v´(t )  r ´´(t )  x´´(t )iˆ  y´´(t ) ˆj  z´´(t )kˆ (espacio)  vr (t )  rr´(t )  x (t ) 2  y (t ) 2 (plano)       r  v (t )  rr´(t )  

“puerco”

 x(t )   y(t ) +  z (t ) 2

2

2

caída libre de un

(espacio)

Ejemplo: Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria marcada por la  t3  r  2t  1 ˆj  5t 2 kˆ . función r (t )   2  3t  iˆ    3  Hallar velocidad, aceleración y rapidez para t  1, 0,1,3 . 20

10

0

5

Solución: Velocidad:

0 -5

Aceleración:

-10 -5

r r v (t )  r ´(t )  3iˆ  t 2  2 ˆj  10tkˆ r r r a (t )  v´(t )  r ´´(t )  2tjˆ  10kˆ





0 5

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

11

r v (t ) 

Rapidez:

0 1 3

2

  t 2  2    10t   t 4  104t 2  13 2

2

r v (t )

r a (t )

3iˆ  3 ˆj  10kˆ 3iˆ  2 ˆj

2 ˆj  10kˆ

118  10.86

10kˆ

13  3.6

3iˆ  3 ˆj  10kˆ 3iˆ  11 ˆj  30kˆ

2 ˆj  10kˆ

118  10.86

6 ˆj  10kˆ

1030  32.09

t -1

 3 

r v (t )

Ejemplo: Una partícula se mueve siguiendo una trayectoria marcada por la r función r (t )   3cos 2t  iˆ   3sen 2t  ˆj para 0  t   . Hallar velocidad, aceleración     3 . t  0, , , , , ,  6 4 3 2 4

3

2

y

rapidez

para

1

-3

-2

-1

1

2

-1

3

Solución: Velocidad: Aceleración:

-2

r v (t ) 

Rapidez:

-3

r r v (t )  r ´(t )   6sen 2t  iˆ   6 cos 2t  ˆj r r a (t )  v´(t )   12 cos 2t  iˆ   12sen 2t  ˆj

 6

2

 sen 2t  cos 2t   6 2

2

Trayectoria

t 0  /6  /4  /3  /2

3 / 4



r v (t )

r a (t )

r v (t )

6 ˆj 3 3 iˆ  3 ˆj 6iˆ 3 3 iˆ  3 ˆj

12iˆ

6

6 iˆ  6 3 ˆj

6

12 ˆj

6

6 iˆ  6 3 ˆj

6

12iˆ

6

12 ˆj 12iˆ

6

6 ˆj 6iˆ 6 ˆj

v(π/6) v(0) v(π/4) r(π/4) r(π/3) v(π/3)

r(π/2)

1

r(π/6) 1

r(0) r(π)

r(3π/2) v(π/2) v(3π/2)

6 Vectores posición y velocidad

.

Ejemplo: Dibuje la trayectoria de una partícula se mueve a lo largo de una curva r 2 plana con función r (t )   2t  3 iˆ  3  4t  t ˆj y trace los vectores velocidad y aceleración para para t  1, 0.5, 2, 3 y 4 . Solución: derivamos para obtener las funciones velocidad y aceleración r r r r r v (t )  r ´(t )  2iˆ   4  2t  ˆj y a (t )  v´(t )  r ´´(t )  2 ˆj , evaluamos:



12



M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

y 8 v(2)

v(0.5) a

5 r(0.5)

r r (t )

t

r v (t )

a

v(-1)

r a (t )

a

v(3)

4 r(2)

r(3) r(4) v(4)

a

1

5iˆ  2 ˆj

-1

2iˆ  6 ˆj

2 ˆj

0.5

2iˆ  4.75 ˆj

2iˆ  3 ˆj

2 ˆj

2

iˆ  7 ˆj

2iˆ

2 ˆj

3

3iˆ  6 ˆj

2iˆ  2 ˆj

2 ˆj

4

5iˆ  3 ˆj

2iˆ  4 ˆj

2 ˆj

-5

1 1

-2 r(-1)

x 3

5

-1 Trayectoria r(t)

a(-1)

-4

Vectores posición , velocidad y acleración

Notese que la aceleración es constante y hacia abajo, de manera que, conforme la partícula se mueve hacia el vértice de la parábola, la velocidad va decreciendo en magnitud y crece de nuevo conforme se aleja del vértice.

En el ejemplo anterior, podemos deducir la fórmula de la parábola que describe el movimiento usando las ecuaciones paramétricas x(t )  2t  3, y (t )  3  4t  t 2 despejando t de la primera y sustituyendo en la segunda: 2 x3  x3  x3 t ecuación: 4 y   x  2 x  27 y  3  4     2  2   2  2

Movimiento de proyectiles – Tiro parabólico Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme. También es posible demostrar que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos, un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical. Supongamos ahora que se lanza un proyectil desde una posición  x0 , y0  en un ángulo de elevación  y con una velocidad inicial con magnitud v0 . Consideremos la trayectoria del proyectil en un plano vertical xy donde el suelo está a la altura del eje x. Despreciando fricción, velocidad del viento, etc. Consideremos la acción de la gravedad como la única fuerza, despues del impulso inicial, que actúa sobre el proyectil. v

ϖ 0

v e lo c i d a d

v

in ic ia l

v0

a

a

θ

altura inicial y0

a

v

1

1

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

13

r La fuerza de la gravedad sobre el proyectil es F  mg ˆj que, de acuerdo a la 2ª. r r Ley de Newton que estipula que F  ma , tenemos entonces que la aceleración r del proyectil es igual a a   g ˆj ( g = 32.2 pie/s2 = 9.81 m/s2). r Sea a (t )   g ˆj la función vectorial de la aceleración del proyectil , la función que describe su velocidad la encontramos integrando r r r v (t )   a (t )dt   g  dt ˆj   gt ˆj  C1 r donde C1 es un vector que representa una velocidad constante. De las r condiciones iniciales tenemos que v0 es la velocidad cuando t  0 , o sea que r r r r v0  v (0)   g (0) ˆj  C1  C1 , r r La velocidad del proyectil es v (t )   gt ˆj  v0 . r Siendo  y v0 la dirección y magnitud de v0 , podemos describirla por sus r componentes v0  v0 cos  iˆ  v0sen  ˆj e incluirla en la función de la velocidad r v (t )  v0 cos  iˆ   v0 sen   gt  ˆj

Note que la componente horizontal v0 cos  es constante ( no depende de t) mientras que la componente vertical es lineal y decreciente con respecto a t ( va desacelerando ).

Para describir la trayectoria del proyectil necesitamos conocer su posición r r (t ) la cual obtenemos integrando la función velocidad r r r (t )   v (t )dt    v0 cos   dt iˆ    v0sen   gt  dt ˆj

r con C2 r proyectil es r0

r 1    v0t cos  iˆ   v0t sen   gt 2  ˆj  C2 2   como un vector de posición constante. Si la posición inicial del  x0iˆ  y0 ˆj , cuando t  0 entonces

r r 1 r r   r0  r (0)  v0 (0) cos  iˆ   v0 (0) sen   g (0) 2  ˆj  C2  C2 2   La función posición del proyectil en cualquier tiempo t es r 1   r (t )   x0  v0t cos   iˆ   y0  v0t sen   gt 2  ˆj 2  

La componente horizontal es lineal en t mientras que la componente vertical es cuadrática, lo cual explica la trayectoria parabólica.

14

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

Ejemplo: Un atleta lanza una jabalina que inicia su recorrido desde una altura de 6 pies, con una velocidad inicial de 80 pies/s en un ángulo de 40 . ¿Qué altura alcanzará la jabalina?. Si la marca mínima para calificar a la siguiente ronda es de 200 pies. ¿Alcanzara el atleta la marca con este lanzamiento? 6´

Solución: Tomamos la punta de la jabalina como la partícula r que viaja siguiendo la trayectoria r (t ) que describe la parábola. La velocidad con la que viaja tiene dos componentes, una horizontal vx (t )  v0 cos  , constante y otra vertical v y (t )  v0sen  gt que nos indica que la rapidez con la que sube va disminuyendo hasta llegar a cero (cuando alcanza la máxima altura). Podemos calcular el instante en que llega a su punto máximo resolviendo la ecuación v y (t )  v0sen  gt  0 para t. v sen   80 pies/s  sen40 t 0   1.607 seg. g 32 pies/s 2 1 2 Sustituyendo en la componente vertical de la trayectoria: ry (t )  y0  v0t sen   gt 2 obtenemos la altura en ese instante: 40o

Altura máxima: 1 2 32 pie/s 2   1.607 s   47.317 pies  2 Situando el origen en el suelo justo debajo de la punta de la jabalina al instante en el que inicia el recorrido. Para saber su posición con respecto al origen al momento en que alcanza la altura máxima, sustituimos t  1.607 seg. en 1 r   r (t )   x0  v0t cos   iˆ   y0  v0t sen   gt 2  ˆj , donde x0  0 y y0  6 2   ry (1.607)  6 pies   80 pie/s  (1.607 s) sen 40 

r 32 2   r (1.607)   0  80  1.607  cos 40  iˆ   6  80  1.607  sen 40   1.607   ˆj  98.5iˆ  47.317 ˆj 2  

Cuando alcanza su máxima altura la jabalina ha recorrido horizontalmente 98.5 pies. Alcance máximo Para calcular el punto en el que la punta de la jabalina toca el suelo usamos la componente vertical de la trayectoria. Igualándola a cero y resolviendo para t: 1 y0  v0t sen   gt 2  0 - La altura en ese tiempo es cero 2 6   80 sen   t  16t 2  0 - resolvemos y tomamos el valor positivo de t t  1.607 s El alcance máximo es rx  x0  v0t cos   0  80  1.607  cos 40  203.87 pies . M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

15

Por lo tanto el lanzamiento supera la marca requerida. 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

Grafica de la trayectoria de la jabalina en Excel (Categoría varonil - Record mundial 98.48 m (323.3 ft), Record Olímpico 90.17 m (296 ft)).

Ejemplo: Un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 150 m/s y lo dirige a un blanco situado sobre una loma de 30 m de alto y a 450 m de distancia horizontal (como se muestra en la figura). Calcule el ángulo de disparo para que el proyectil impacte en el blanco. 30 m

θ

Solución: Si queremos dar en el blanco, el proyectil r ˆ ˆ deberá estar en la posición r (t )  450i  30 j en un cierto instante, o sea que 450 m

r 1   r (t )   x0  v0t cos   iˆ   y0  v0t sen   gt 2  ˆj  450iˆ  30 ˆj 2   1 2 gt  30 , despejamos 2 ecuación 1, la sustituimos en la ecuación 2 y resolvemos para : 1

x0  v0t cos   450

de 1:

0  150t cos   450

2

y0  v0t sen  

t 

t

en

la

450 3  150cos  cos  2



3  1  3   sen    9.8     30 2  cos    cos  

en 2 : 0  150 

 450 tan   44.1sec 2   30

Utilizamos la identidad trigonométrica sec 2   tan 2   1 para obtener la ecuación 2 2 de segundo grado: 450 tan   44.1 tan   1  30  44.1tan   450 tan   74.1  0





 0.1674  1  9.5 existen 2 ángulos que resuelven el problema.  10.036   2  84.3

De donde tan   

16

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

El tiempo que tarda el proyectil para 1  9.5 es t 

3  3.04175 s cos 9.5

 ˆj  450iˆ  30 ˆj



r 2 r (3.04175)   150  3.04175 cos9.5  iˆ  150  3.04175 sen 9.5  4.9  3.04175 angulo = 9.5 40

angulo = 84.3

1200

30

1100

20 1000

10

900

0

800

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

700

El tiempo que tarda el proyectil para  2  84.3 3 t  30.259 s cos84.3

es

600

500

400

300

200

100

r r (30.259)   150  30.259  cos84.3  iˆ



 150  30.259  sen 84.3  4.9  30.259 

0 0

2

100

200

300

400

500

 ˆj  450iˆ  30 ˆj

Vectores tangentes y vectores normales r Cuando r (t ) representa un movimiento de una partícula en el tiempo, el r vector velocidad v (t ) apunta en la dirección del movimiento y es tangente a la trayectoria, como ya lo vimos e la sección anterior. r Esta característica la podemos trasladar a cualquier curva suave r (t ) r donde no necesariamente t represente el tiempo. La derivada r ´(t ) es el vector tangente a la curva. Ejemplo: Determine la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva C r 2 representada por la función vectorial r (t )   2t  1 iˆ  t  1 ˆj en el punto que corresponde a t  2 .





r Solución: La curva dada por r (t ) es una parábola, que pasa por P (3,5) cuando r r r t  2 . La derivada de r (t ) es r ´(t )  2iˆ  2tjˆ , entonces r ´(2)  2iˆ  2  2  ˆj  2iˆ  4 ˆj es un vector tangente a la curva C en el punto P. La recta tangente a C en P es paralela al r vector r ´(2)  2iˆ  4 ˆj o sea que

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

17

x  3  2s   y  5  2  x  3  2 x  y  1  0 y  5  4s  la ecuación de la recta tangente es 2 x  y  1  0 . ( la pendiente es mT  2 ) Para la recta normal, la pendiente es mN   y 5  

1 1   , la ecuación entonces es mT 2

1  x  3  2  y  5  1 x  3  x  2 y  13  0 . 2

Vector tangente unitario. r Definición: Sea C una curva suave representada por la función vectorial r (t ) en r un intervalo abierto I. El vector tangente unitario T (t ) en t, se define como r r´(t ) T (t )  , r´(t )  0 r´(t ) Ejemplo: Hallar el vector tangente unitario a la curva C dada por  t2 1  ˆ r r (t )   2t  1 iˆ  t 2 ˆj   k en el punto que corresponde a t  1 .  2  Solución:

r r La derivada de r (t ) es r ´(t )  2iˆ  2tjˆ  tkˆ r 2 r ´(t )  22   2t   t 2  4  5t 2

r r´(t ) 1  2iˆ  2tjˆ  tkˆ el vector tangente unitario es T (t )  2 r´(t ) 4  5t



para t  1 El vector tangente unitario es r r´(1) 1 T (1)   2iˆ  2  1 ˆj   1 kˆ 2 r´(1) 4  5  1





2 2 1  iˆ  ˆj  kˆ 3 3 3 El punto de la curva cuando t  1 es P (1,1,1)

18

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III



Ejemplo: Hallar los vectores unitarios tangentes a la curva dada por la función r r (t )  cos t iˆ  sen t ˆj  t kˆ en los puntos correspondientes a t  0,  / 2 y  rad. Encuentre tambien un conjunto de ecuaciones paramétricas para cada recta tangente a la curva en esos puntos. Solución:

r r La derivada de r (t ) es r ´(t )  sen tiˆ  cos tjˆ  kˆ r r ´(t ) 

 sen t 

2

  cos t   1  sen 2t  cos 2 t  1  2 2

r r´(t ) 1  sen tiˆ  cos tjˆ  kˆ el vector tangente unitario es T (t )  r´(t ) 2





vector tangente unitario en t  0 r r´(0) 1 T (0)   r´(0) 2

  sen 0  iˆ   cos 0  ˆj  kˆ  

2 2

  0  iˆ   1 ˆj  kˆ  

2 ˆ 2 ˆ j k 2 2

en t   / 2 r   r´( / 2) 1 T   r´( / 2) 2  2

   sen( / 2)  iˆ   cos( / 2)  ˆj  kˆ  





2 ˆ 2ˆ 2 ˆ i  0 ˆj  kˆ   i k 2 2 2

en t   r r´( ) 1 T     r´( ) 2

  sen( )  iˆ   cos( )  ˆj  kˆ  





2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 0i   1 ˆj  kˆ   j k 2 2 2

Rectas tangentes en t  0 P(cos 0,sen 0,0)  P(1, 0,0)

en t   / 2

r r 2 2 r T (0)  0, , , u  2T  0, 2, 2 2 2

r 2 2 r r T ( / 2)   ,0, , u  2T   2,0, 2 2 2

ecuaciones paramétricas:

ecuaciones paramétricas

x  1, y  2t , z  2t

x   2t , y  1, z   / 2  2t

P(cos   / 2  ,sen   / 2  ,  / 2)  P(0,1,  / 2)

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

19

en t   P(cos  ,sen  ,  )  P(1,0,  ) r 2 2 r r T ( )  0,  , , u  2T  0,  2, 2 2 2 ecuaciones paramétricas: x  1, y   2t , z    2t

Rectas tangentes a la hélice

Vector normal principal unitario. En el plano, hay dos vectores ortogonales al r vector tangente T (t ) , uno que apunta hacia adentro de la curva y otro hacia afuera.

2 vectores ortogonales a T en el plano

T(t)

En el espacio, existen infinidad de vectores r ortogonales a T (t ) , uno de ellos es el vector normal principal que se obtiene r r r mediante la derivada del vector T (ya sabemos que si r (t ) r (t )  constante entonces r r r r r r r r r (t ) r ´(t )  0 y como T (t ) T (t )  1 entonces T (t ) T ´(t )  0 T (t ) y T ´(t ) son ortogonales. ) r r Si normalizamos a T ´(t ) obtendremos el vector normal principal unitario N (t ) r Definición: Sea C una curva suave representada por la función vectorial r (t ) en r r un intervalo abierto I con T (t ) como vector tangente unitario. Si T ´(t )  0 , el vector normal principal unitario en t se define como r T ´(t ) N (t )  , si T ´(t )  0 . T ´(t ) Ejemplo: Hallar el vector tangente unitario y el vector normal principal a la curva r 2 C dada por r (t )  2tiˆ  t  1 ˆj en el punto que corresponde a t  1 .



Solución:



r r La derivada de r (t ) es r ´(t )  2iˆ  2tjˆ r 2 r ´(t )  22   2t   4  4t 2  2 1  t 2

20

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

r r´(t ) 1 iˆ  tjˆ  2iˆ  2tjˆ  el vector tangente unitario es T (t )  r´(t ) 2 1  t 2 1 t2





r iˆ   1 ˆj r´(1) 2ˆ 2 ˆ T (1)    i j para t  1 el vector tangente unitario es 2 r´(1) 2 2 1   1 r La derivada de T (t ) es Tr´(t ) 

 

1  t 2 ˆj 

 iˆ  tjˆ   2t 

1 t 2

r T ´(t ) 

1

 1 t 

2 3

2 1 t2

 1  t  ˆj   tiˆ  t ˆj   tiˆ  ˆj 1 t   1 t  2



2

2

 t 

2

  1  2

3

2

1 1 t 2

el vector normal principal es r r T ´(t ) 1 t2 tiˆ  ˆj N (t )  r  tiˆ  ˆj  3 T ´(t ) 1 t2 1 t2







3



3

C

1

para t  1 el vector normal principal es -2

r r T ´(1) (1)iˆ  ˆj 2ˆ 2 ˆ N (1)  r   i j 2 2 2 T ´(1) 1   1

N(t) 1

0

T(t)

2

-1

Ejemplo: Hallar los vectores tangente unitario y normal principal a la curva C     r dada por r (t )  2 cos tiˆ  2sen tjˆ en los puntos donde t  0, , , , ,  . 6 4 3 2 Solución:

r r ´(t )  2sen tiˆ  2 cos tjˆ

r r ´(t )  22 sen 2 t  cos 2 t  2





r r´(t ) 1 T  2sen tiˆ  2 cos tjˆ  sen tiˆ  cos tjˆ el vector tangente unitario es (t )  r´(t ) 2



r T ´(t )   cos tiˆ  sen tjˆ

r T ´(t ) 

  cos t 

2



  sen t   1 2

r r T ´(t )  cos tiˆ  sen tjˆ N ( t )     cos tiˆ  sen tjˆ r el vector normal principal es 1 T ´(t )

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

21

t

r r (t ) 2 cos tiˆ  2sen tjˆ

r T (t ) sen tiˆ  cos tjˆ

0

2iˆ

 ˆj

r N (t )  cos tiˆ  sen tjˆ

y

1

iˆ





3 / 2 ˆj

2 iˆ  2 ˆj

( 2 / 2)iˆ 

 /3

iˆ  3 ˆj

( 3 / 2)iˆ   1 / 2  ˆj

 /2

2 ˆj

iˆ

ˆj



2iˆ

ˆj

iˆ



N(t)

1

( 3 / 2)iˆ   1 / 2  ˆj

3 iˆ  ˆj

 /4

-1



2 / 2 ˆj

( 2 / 2)iˆ 

(1 / 2)iˆ 





T(t)



t=π/4

2 / 2 ˆj

t=π/3 t=π/2



3 / 2 ˆj todos los vectores normales apuntan hacia el centro del círculo

r 1 T ´(t )   cos tiˆ  sen tjˆ 2



r r´(t ) 1 1 T (t )   2sen tiˆ  2 cos tjˆ  2kˆ  sen tiˆ  cos tjˆ  kˆ r´(t ) 2 2 2



r r (t )  2 cos tiˆ  2sen tjˆ  2tkˆ

0

2iˆ

22

  cos t 





2



1 2  2 2

  sen t   2



1 r  cos tiˆ  sen tjˆ r T ´(t ) 2 N (t )  r    cos tiˆ  sen tjˆ 1 T ´(t ) 2

t

 2 iˆ  2 ˆj  kˆ 2



r 1 T ´(t )  2



vector normal principal:

 /4

r r ´(t )  22  sen 2t  cos2 t  1  2 2

r r ´(t )  2sen tiˆ  2 cos tjˆ  2kˆ

vector tangente unitario:

x

t=π/6

-1

Ejemplo: Hallar los vectores tangente unitario y normal principal a la curva C   r dada por r (t )  2 cos tiˆ  2sen tjˆ  2tkˆ en los puntos donde t  0, , ,  . 4 2 Solución:

r(t) t=0

(1 / 2)iˆ 

 /6

t=π

r 2 T (t )  sen tiˆ  cos tjˆ  kˆ 2







r N (t )   cos tiˆ  sen tjˆ

2 ˆ 2 ˆ j k 2 2

1 1 2 ˆ  iˆ  ˆj  k 2 2 2

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

iˆ 

2ˆ 2 ˆ i j 2 2

 /2





2 ˆj   kˆ

2ˆ 2 ˆ i k 2 2

 ˆj

2 ˆ 2 ˆ j k 2 2

2iˆ  2 kˆ

iˆ

τ=π

2π

r(t)

z

T(t)

Los vectores normales principales de la helice apuntan al eje z

N(t)

π

τ=π/2

t=π/4

2

y

t=0

2

x

Vector aceleración – componentes tangencial y normal Como hemos observado en algunos de los ejemplos anteriores, el vector velocidad y el vector aceleración no siempre son ortogonales. En el caso del r movimiento circular dado por r (t )  2 cos tiˆ  2sen tjˆ , velocidad y la aceleración r

son ortogonales y la rapidez es constante v (t )  22  sen 2t  cos 2 t   2 , esto se da debido a que la, el vector aceleración no contribuye en nada en la dirección de la r r r r velocidad. Recordemos que si v (t ) v (t )  constante entonces v (t ) v´(t )  0 . r 2 En el problema del movimiento parabólico r (t )   2t  3 iˆ  3  4t  t ˆj





r vemos que la aceleración siempre es vertical ( y constante ) a (t )  2 ˆj , mientras

que la velocidad va variando su dirección el ángulo entre ambas va cambiando. r

La rapidez del movimiento es variable v´(t )  22   2t   4  4t 2  2 1  t 2 2

el

vector aceleración actúa en dirección del movimiento ( positivamente, aumentando la velocidad o en forma negativa disminuyéndola). y 8 v(2)

v(0.5)

y

a

5 r(0.5)

1

t=π

a

v(3)

4

a

v(-1)

r(2)

r(3) r(4)

-1

1

N(t)

a

r(t)

1

x

t=0

-5 t=π/6

-1

1 1

-2

T(t)

r(-1)

5

-1 Trayectoria r(t)

t=π/4 t=π/3

v(4) x

3

a(-1)

-4

t=π/2

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

23

r r (t )   2t  3 iˆ   3  4t  t 2  ˆj

r r (t )  2 cos tiˆ  2sen tjˆ

Si velocidad y aceleración no son perpendiculares entonces podemos expresar al vector aceleración como la suma de 2 vectores componentes ortogonales, uno en dirección del movimiento, paralelo a la velocidad, y por lo r tanto al vector tangente unitario T (t ) . La otra componente sería paralela al r vector normal principal N (t ) . r Teorema: Si r (t ) es el vector posición de una curva suave C y existe el r r r vector N (t ) , entonces el vector aceleración a (t )  r "(t ) se encuentra en el plano r r determinado por T (t ) y N (t ) . a T

Las proyecciones de

r a (t ) sobre

los

a(t)

r r vectores T (t ) y N (t ) son las componentes

T(t)

tangencial y normal de la eceleración.

r r ProyTr a  aT T

N(t) T(t)

N(t)

r r Proy Nr a  aT N

y

r(t)

aN

a(t)

Componentes tangencial y normal de la aceleración r Las proyecciones de la aceleración en dirección de los vectores T (t ) y

r N (t ) son los vectores componentes de la aceleración: r r r r r ProyTr a  a T T  aT T





r r r r r y Proy Nr a  a N N  aN N .





r r rr´ v r r r T   r r , de donde v  v T , la aceleración El vector tangente unitario r´ v

es la derivada de la velocidad, o sea: r r r r r r r r a  v´ Dt v T   Dt v  T  v T ´ r r r r r T´ r r r r r   Dt v  T  v T ´ r   Dt v  T  v T ´ N T´ r r r a  aT T  aN N







r   r T´  N r   T´   

r r r r a v r componente tangencial: aT  a T  r  Dt v v r r av r r r r componente normal: aN  a N  v T ´  r  v

24

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

r2 a  aT 2

Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la r función vectorial r (t )  tiˆ  (t 3  t ) ˆj . Calcule su posición, velocidad, rapidez, r r aceleración, T (t ) , N (t ) , aT y aN al instante t  1 . r 3 Posición: r (1)   1 iˆ  (1  1) ˆj  iˆ

Solución:

r r r Velocidad: v (t )  r ´(t )  iˆ  (3t 2  1) ˆj ; v (1)  iˆ  (3  1) ˆj  iˆ  2 ˆj r Rapidez: v (t )  1  (3t 2  1) 2  9t 4  6t 2  2 ;

r v (1)  1  (2) 2  5

r r r v (t ) iˆ  (3t 2  1) ˆj 1 ˆ 5 ˆ T ( t )   T (1)  i  2 ˆj  i  2 ˆj r Vector tangente unitario: ; 4 2 v (t ) 5 9t  6t  2 5



Vector normal

r 2 ˆ ˆ r T ´(t ) * (3t  1)i  j N ( t )   m r principal: 4 T ´(t ) 9t  6t 2  2

r

; N (1)  











1 5 2iˆ  ˆj  2iˆ  ˆj 5 5





* según el signo de t: - sí t es positivo y + si t es negativo

r r Aceleración: a (t )  v´(t )  6tjˆ ;

r a (1)  6 ˆj

aN a(t)

Componente tangencial:

    

aT

 

2 ˆ ˆ r r 6tj  i  3t  1 j aT  a T   2 2 3t  1  1





6t 3t 2  1

 3t

2



y

2

1 1

v(t)

Componente normal: T(t)

N(t) 1

-1

     



2 ˆ ˆ r r m 6tj  3t  1 i  j aN  a N   2 2 3t  1  1

x

6t

 3t

2



2

1 1

Aceleracion:  

6t  3t  1

    2  iˆ  (3t  1) ˆj      2 2  3t 2  1  1    3t 2  1  1   6t  3t 2  1

r r r a (t )  aT T (t )  a N N (t )   

2



 3t

2

 1  1 2

 iˆ  (3t 2  1) ˆj    

 3t

6t

2

 1  1 2

   2  (3t  1)iˆ  ˆj    2 2  3t 2  1  1    3t 2  1  1  6t

 (3t 2  1)iˆ  ˆj   

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

25

r r 5 ˆ ˆ 12 5 en t  1  aT  a T  ; 6 j   i  2 j    5 5 r r 5 ˆ 6 5 aN  a N  6 j  2iˆ  j  5 5

 



r r r  12   iˆ  2 ˆj   6   2iˆ  ˆj   12  ˆ ˆ  6  2iˆ  ˆj a (1)  aT T (1)  a N N (1)        i 2j     5 5   5  5     5   5 









Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de la trayectoria determinada por la r función vectorial r (t )  cos t iˆ  sen t ˆj  t kˆ . Calcule su posición, velocidad,  rapidez, aceleración, aT y aN al instante t  . 2 Solución: r         Posición: r    cos   iˆ  sen   ˆj  kˆ  ˆj  kˆ 2 2  2  2  2 r   r r Velocidad: v (t )  r ´(t )  sen tiˆ  cos tjˆ  kˆ ; v    iˆ  kˆ  2

r Rapidez: v (t )  sen 2t  cos2 t  1  2

( la rapidez es constante )

r r Aceleración: a (t )  r "(t )   cos t iˆ  sen t ˆj ;

r     ˆ a     cos iˆ  sen j   ˆj 2 2 2  

Componentes de la aceleración:







r r  cos t iˆ  sen t ˆj  sen tiˆ  cos tjˆ  kˆ a v cos t sen t  sen t cos t aT  r   0 v 2 2 r

r r r y a (t ) son ortogonales, v a  0 , la aceleración no contribuye en nada con el incremento/decremento de la velocidad, aT  0 ) ( cuando la rapidez es constante los vectores v (t )

r r a v aN  r  v 

26

  cos t iˆ  sen t ˆj    sen tiˆ  cos tjˆ  kˆ 

sen 2t  cos2 t  1  2

2 2 1 2

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III



sen tiˆ  cos tjˆ  kˆ 2

LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA r Supongamos que la función r (t )  x(t )iˆ  y  t  ˆj  z  t  kˆ representa la trayectoria que sigue un cuerpo en el espacio. En un instante determinado t=a sabremos la r r posición del móvil mediante el vector r (a ) ó en t=b su nueva posición r (b) . ¿Qué pasa si lo que deseamos conocer es la distancia que recorrió desde el r r r r ( a ) r ( b ) r ( t ) punto hasta siguiendo la trayectoria ? D r´(a) z

r(a)

Si el recorrido se efectuara en línea recta no habría mucho problema, solo tenemos que calcular la distancia entre los

r(t) r(b)

dos puntos: D   x  b   x  a     y  b   y  a     z  b   z  a   2

2

2

y

Pero sobre una trayectoria curva no r(t) esx así de directo, más, si no sabemos que tantos recovecos tuvo que realizar el cuerpo para llegar de un r(b) punto a otro.

r(a) r´(a) z

y x

Podemos aproximar la curva mendiante pequeños segmentos de recta

r(t) r(a) r´(a) z

r(b)

Si partimos la curva en varios y segmentos y calculamos la lonx gitud de cada uno como si fueran rectos, tendríamos una aproximación a la longitud de la curva - entre más segmentos mejor la aproximación.

Longitud de arco r Tenemos la curva con función r (t )  x(t )iˆ  y  t  ˆj  z  t  kˆ , y queremos saber la longitud de arco de la curva desde el punto correspondiente a t=a hasta el punto donde t=b. s r Tomemos un pedacito de la curva desde r (t ) a r´(t) r r (t  t ) cuya longitud llamaremos s . Si t es r(t) muy pequeño entonces asumiremos que s se comportará más como un segmento de recta. z

En una recta, la distancia recorrida es igual a la rapidez multiplicada por el intervalo de tiempo. r s  r ´(t ) t 

 x´(t ) 

2

r(t+ Dt)

  y´(t )    z´(t )  t 2

2

Si sumamos todos estos pequeños intervalos tendremos una aproximación a la longitud de la curva:

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

y

P cu pe re

x

27

S   s  

 x´(t ) 

2

  y´(t )    z´(t )  t 2

2

incrementando el número de intervalos infinitamente hace que t  0 , tomamos el límite para obtener la fórmula de longitud de arco de la curva. S 

b

a

 x´(t ) 

2

b r b r 2 2   y´(t )    z´(t )  dt   r ´(t ) dt   v (t ) dt a

a

Ejemplo: Calcule la longitud de arco de la curva representada por la función r r (t )  2 cos t , 2sen t desde t  0 hasta t   . y

arco

Solución: r r v (t )  r ´(t )  2sen t , 2 cos t ,

1

t= π

t=0 1

-1

-1

r v (t ) 

 2sen t 

2





  2 cos t   4 sen 2t  cos 2 t  2 2

b r   longitud de arco S   v (t ) dt   2dt  2t 0  2 a

0

Ejemplo 2: Calcule la longitud de arco de la curva r 2 representada por la función r (t )  tiˆ  2t  1 ˆj desde t  1 hasta t  2 .





Solución: r r v (t )  r ´(t )  i  4tjˆ , r 2 v (t )  1   4t   1  16t 2 longitud de arco

28

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

x r (t)

S

b

a





2 r  1 v (t ) dt   1  16t 2 dt   4t 1  16t 2  ln 1 8 

1 65  ln 8

 



17 1   65  8     ln 2 8  











1  16t  4t   2

2

1

 17  4    10.7327 



Ejemplo 3: Calcule la longitud de arco de la curva representada por la función r r (t )  cos t ,sen t , t desde t  0 hasta t  4 . Solución: r r v (t )  r ´(t )  sen t , cos t ,1 , r v (t ) 

 sen t 

2

  cos t   12  1  1  2 2

longitud de arco 4 b r 4 S   v (t ) dt   2dt  2t  4 2  17.77 a

0

0

r Definición: Sea C una curva suave dada por r (t ) en un intervalo cerrado  a, b  . Para a  t  b , la función longitud de arco viene dada por t= b z C

t

t=a

t r t s (t )   r ´(u ) du   a

a

 x´(u )   y´(u )   z´(u ) 2

2

2

du

la función longitud de arco es no-negativa. Mide la distancia y

sobre C desde el punto inicial punto

 x t , y t , z t  .

 x  a , y  a , z  a 

hasta el

La variable s se denomina

parámetro longitud de arco.

x

Curvatura Curvatura es la medida de que tan rápido se comba o tuerce una curva. Por ejemplo, círculos pequeños se comban más rápido que círculos más grandes. r Definición: sea C una curva suave dada por r (t ) . La curvatura de C en t está definida como menor curvatura

B

A

mayor curvatura

r r r T ´ t  r ´(t )  r "(t ) K r  3 r r ´ t  r ´ t  M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

29

Si usamos el parámetro longitud de arco s para definir la función que r describe la curva C, r ( s )  x( s )iˆ  y ( s ) ˆj  z ( s)kˆ (espacio), entonces la curvatura estaría definida como la razón de cambio del vector tangente unitario con respecto a s. Tal que r r dT K  T ´( s) ds

La curvatura de C en s:

Ejemplo: Calcule la curvatura de un círculo de radio R. Solución: Tomemos un círculo con centro en el origen y radio R dado por la función r r r (t )  R cos tiˆ  Rsen tjˆ , con r ´(t )   Rsentiˆ  R cos tjˆ . r r ´(t )  R 2sen 2t  R 2 cos 2 t  R 2  R K=1/R





r r r ´(t ) R cos tiˆ  sen tjˆ T (t )  r   cos tiˆ  sen tjˆ ; r ´(t ) R

R R Radio chico Curvatura grande

r T ´(t )  sen tiˆ  cos tjˆ

Radio grande Curvatura pequeña

t= b

r T ´(t )  sen 2t  cos 2 t  1

z C

r T ´ t  1  la curvatura del círculo de radio R es K  r R r ´ t 

y x

Si en lugar de tomar el parámetro t lo hacemos con la longitud de arco s, donde t r t s  t    r ´(u ) du   0

0

 R sen(u )   R cos(u ) 2

2

t

du  R  du  Rt 0

s , por lo tanto si parametrizamos la R ecuación del círculo en función de la longitud de arco s obtenemos la función: Tenemos que si s  Rt entonces t 

s s r r ( s )  R cos iˆ  Rsen ˆj R R 30

t

t=a

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

s s r donde r ´( s)  sen iˆ  cos ˆj R R

s s r r ´( s )  sen 2  cos 2  1 R R

y

r r r ´( s ) s s T (s)  r  sen iˆ  cos ˆj r ´( s ) R R

r 1 s s T ´( s )    cos iˆ  sen R R R

ˆj  

r 2 2 r dT s s 1 s s 1  1  1 K  T ´( s )    cos     sen   cos 2  sen 2  ds R R R R R R  R  R

curvatura:

2 2 Ejemplo 2: Calcule la curvatura de la curva C dada por r (t )  t , 2t , t t  1, t  0, t  0.5 y t  2

r r r ´(t )  r "(t ) 3 r r ´ t 

Solución: Tenemos que K 

r r r ´(t )  r "(t )  4  16  2 5

r r r ´(t )  r "(t )  3 r sustituimos en K  t   r ´ t  K  t  1 

K  t  0.5  

2 5

 1  20(1)  2

3

2 5



1  20(0.5) 2

r donde r ´(t )  1, 4t , 2t

r r "(t )  0, 4, 2

r r ´(t )  1  16t 2  4t 2  1  20t 2 , r r r ´(t )  r "(t )  0, 2, 4 ,

en



3





2 5 213 2 5 6

3

2 5

 1  20t 

 0.0465

 0.3043

2

3

.

K  t  0 

K  t  2 

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

2 5

 1  20(0) 

2 3

2 5



1  20(2)2



3



2 5 813

1  1 1

 0.0061

31