Apendice. Tecnicas De Conteo

APÉNDICE: TÉCNICAS DE CONTEO “La ciencia es la estética de la inteligencia” Gastón Bachelard “La ESTADÍSTICA es la estética de la naturaleza” MOVE

Métodos de enumeración Con la finalidad de especificar el total de resultados posibles de un espacio muestral S de interés, especialmente en la construcción de funciones de probabilidad de variable discreta, como la distribución binomial, expondremos algunas técnicas de enumeración: Principio de multiplicación Si una operación se puede realizar a través de k fases sucesivas y cada fase es realizable de ni maneras, entonces la operación global es realizable de n1 × n2 × n3 × ... × n k maneras. Ejemplo 1. Considérense los distintos itinerarios entre Medellín, Cartagena y San Andrés, utilizando como medios de transporte avión, barco, carro y tren; ¿de cuántas maneras se puede realizar el tour completo Medellín – Cartagena – San Andrés según las rutas y medios que muestra el siguiente diagrama?

1

El itinerario Medellín Cartagena se puede efectuar de tres maneras, el itinerario Cartagena San Andrés se puede realizar de dos maneras y el tour completo Medellín, Cartagena San Andrés de 2 × 3 = 6 maneras.

Principio de adición. Si una operación global se puede realizar a través de k fases excluyentes y cada fase se puede realizar de ni maneras, entonces la operación global se k

puede realizar de n1 + n 2 + n3 + ... + n k =

ni maneras.

i

Observe que:

La sumatoria

es un operador que goza de las siguientes

propiedades: a)

1

i =1

x i = x1

n

b)

i =1

xi =

n j =1

xj =

n k =1

xk ,

el

subíndice es una variable muda. c)

(k + k + d)

k + ... + k ) =

n

k = nk

Propiedad asociativa generalizada 2k i =1

e)

xi =

k i =1

xi +

2k

xi

i = k +1

Propiedad telescópica n 1

f)

o sea la suma de una constante, n veces

i =1

(a i − a i −1 )

= an − ao

Propiedad de operador lineal n 1

(a x k + b y k )

= a

n 1

xk + b

n 1

yk

a y b constantes.

Estas propiedades son importantes para la operación de variables aleatorias discretas y valores esperados.

2

Ejemplo 2. Considérese el número de maneras para temperar en clima frío en Pasto, Bogotá o Manizales, o en clima cálido en Barranquilla, Cartagena, Tolú o Riohacha. ¿De cuántas maneras se puede temperar según el diagrama siguiente? Veamos:

Se puede temperar frío de 3 maneras y cálido de 4 maneras para un total de

3 + 4 = 7 maneras. Principio de permutación. Definimos el número de permutaciones de n objetos como el total de maneras como se pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale a

1 × 2 × 3 × ... × n = n ! , definido como factorial de n.

Observe que se

cumple la fórmula de recurrencia n! = n (n − 1) ! y por consistencia con ella cuando n=1 se define 1! = 0! = 1.

Ejemplo 3. Se tiene un equipaje conformado de Pantalones: P, Camisas: C, Interiores: I, y Zapatos: Z. ¿De cuantas maneras se puede colocar en un armario de 4 compartimentos?

3

C1

C2

C3

C4

PC Ι Z

CΙ Z

ΙZ

Z

4

×

3

×

2

×

1

= 4!

En el C1 podemos colocar una de las cuatro clases de equipaje, es decir, hay 4 maneras de ocupar C1, para C2 tendremos sólo 3 maneras, para C3 2 maneras, para C4 sólo 1 manera de ocuparlo, es decir, el total de maneras es 4×3×2×1 = 4! = 24 Con fundamento en los principios de adición, multiplicación y permutación se definen los conteos de variación, combinación y partición.

Variaciones. Cuando se permutan solo r ≤ n tomados de los n elementos entonces definimos,

Prn =

n! (n − r )!

como el número de variaciones de n objetos tomados de a r.

Ejemplo 4. En el caso de las cuatro prendas de equipaje considere que solo se dispone de 3 compartimentos. ¿De cuantas maneras se pueden colocar las cuatro prendas en los 3 compartimentos? Calculamos Prn =

n! 4! = =4 (n − r )! 3!

Combinaciones. Cuando en las variaciones se prescinde del orden de los r objetos se definen las combinaciones de n objetos tomados en grupos de r ≤ n como n r

=

r! r ! (n − r !)

4

Ejemplo 5. ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar ternas, sin restitución y sin considerar el orden entre 5 objetos diferentes? Calculamos

Observe que

n

=

r n r

=

r! 5! = = 10 r ! (n − r !) 3! 2! n n−r

es decir que el número de subgrupos posibles de

r objetos o de n-r objetos en un conjunto de tamaño n es igual. Y que en particular con r=1 n

=

n −1

n 1

=n

Particiones El número de particiones distintas de n objetos en los cuales n1 son de una clase, n 2 de una segunda clase, ..., nk de una k − ésima clase, coincide con el número de formas de hacer una partición de un conjunto de n objetos en k celdas con n1 objetos en la primera celda,

n 2 elementos en la segunda

celda y así sucesivamente donde n = n1 + n 2 + ... + n k y el orden en cada celda y entre celdas no se considera; este número es: n n n1 , n 2 , ..., n k

=

r

=

ni

n! n1 ! n 2 ! n 3 ! ... n k !

1

Ejemplo 6. a)

De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas con restitución y considerando el orden, entre cuatro elementos diferentes? Veamos, sean a, b, c y d los elementos, entonces:

5

aa

ab

ac ad

a b

ba

bb

bc bd

c d

ca

cb cc cd

da

db

= S

dc dd

# S = nr # S = 4 2 = 16 parejas

b) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas, sin restitución, considerando el orden, entre cuatro elementos diferentes? Veamos:

a b c d n

#S =

r

r! =

4 2

2! =

−

ab

ac ad

ba

−

bc bd

ca

cb

−

cd

da

db

dc

−

= S

4! = 12 parejas 2!

c) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas, sin restitución, sin considerar el orden, entre cuatro elementos diferentes Veamos

a b c d

#S =

n r

=

−

−

−

−

ba

−

−

−

ca

cb

−

−

da

db

= S

dc −

n! 4! = = 6 parejas n! (n − r )! 2! 2!

Ejemplo 7. a) De cuántas maneras se pueden seleccionar 5 parejas hombre mujer entre 80 chinos y 20 chinas?

6

Veamos: 20 chinas

las maneras de seleccionar 5 chinas son combinaciones de 20 objetos tomados en subgrupos de 5, o sea

80 chinos

20 5

las maneras de seleccionar 5 chinos son combinaciones de 80 objetos tomados en subgrupos de 5, o sea

Y las maneras de conformar 5 parejas =

20

80

5

5

80 5 según el principio de

la multiplicación. b)

Cuál es la probabilidad de que al seleccionar 10 personas salgan exactamente 5 parejas? El número de parejas hombre mujer posibles dividido por el número total de subgrupos de 10. Esto es: 20 5

•

80 5

100 10

Ejemplo a) De cuántas maneras se puede seleccionar una muestra de tamaño n de una población de tamaño N, n < N ? b) Si todas las muestras son equiprobables, cual es la probabilidad de seleccionar una muestra en particular? a) Se trata seleccionar subgrupos de n elementos de entre N objetos posibles, es decir, el total de muestras posibles es

7

N n

=

N! , n
N n

b) La probabilidad de una muestra es

−1

=

n ! (N − n) ! , N!

n < N.

Ejemplo 9. Coeficientes binomiales, combinaciones y triángulo de PASCAL Expansión del binomio (a + b )n

(a + b)o

= ..................1

(a + b)1

= .......... .........a + b

(a + b )2

= ...................a 2 + 2 a b + b 2

(a + b)3

= .....................a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 Los coeficientes de estos polinomios se pueden representar en el denominado Triángulo de PASCAL

Observe

que

en

cada

subtriángulo la suma de dos números consecutivos en cada fila es igual al número en el centro en la fila siguiente. 3 k =o

3 k

= 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

8

Observe que el desarrollo de

3

que corresponde al concepto de

k

combinaciones, reproduce los coeficientes binomiales.

Ejercicio. Comprobar que los números de ternas tomados entre cuartetas, en la siguiente representación, coinciden con los cálculos correspondientes, según los principios de conteo. Selecciones de ternas de letras entre (a, b, c, d)

9

De cuántas maneras se pueden seleccionar r objetos tomados entre n, con restitución y considerando el orden? De cuántas maneras se pueden seleccionar n objetos tomados entre n, sin restitución y considerando el orden? De cuantas maneras se pueden seleccionar r elementos tomados entre n, sin restitución y sin considerar el orden?

PROBLEMAS SELECCIONADOS 1. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer usando 3 dígitos y 3 letras del abecedario? (Considérese los dígitos del 0 al 9 y 26 letras). 2. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 5 parejas en 10 butacas en las filas de un teatro, de manera que no quede ninguna pareja separada? 3. ¿Cuántos números se pueden formar usando todos los siguientes dígitos: 2, 4, 5, 7, 9 .

4.

a)

¿Si no se pueden repetir los dígitos?

b)

¿Cuántos de estos números son múltiplos de 5?

c)

¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

d)

¿Cuántos de ellos son menores de 50.000?

e)

¿Cuántos de ellos son pares?

Seis personas fueron invitadas a un banquete a una mesa rectangular con capacidad para seis.

¿De cuántas formas diferentes pueden

sentarse las seis personas si: a)

Todas aceptaron la invitación?

b)

Dos de ellas no aceptaron la invitación?

10

5.

¿Cuántos números de teléfono de 7 dígitos se pueden establecer si todos los dígitos se pueden utilizar con repetición pero no pueden comenzar con cero?

6. Seis personas que van en un tour llegan a un hotel donde hay 6 cuartos, uno a continuación del otro a lo largo de un corredor, los cuales serán asignados al azar a las 6 personas, dos de ellas son conocidas de antemano. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar las 6 personas en sus respectivos cuartos si las dos conocidas solicitaron estar en cuartos contiguos? 7.

Considérese una caja con 4 bolitas numeradas del 1 al 4. ¿De cuántas formas se pueden sacar 3 bolitas una por una, si: a) no se reemplazan en la caja las sacadas previamente? b) se reemplazan en la caja las sacadas previamente?

8.

¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar 6 llaves en un llavero en forma de aro?

9.

Se desean sentar 5 señores y 5 señoras alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas formas pueden sentarse si no se pueden sentar dos damas una al lado de la otra?

10. En un experimento psicológico de aprendizaje, una rata tiene la opción de escoger una de cinco trayectorias.

Si se escogen dos ratas para el

experimento, ¿cuántos eventos simples están asociados con este experimento? ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral? 11. Una pizzería ofrece pizzas con cualquier combinación (incluyendo la que sólo tiene queso y la que contiene todo) de los siguientes ingredientes: pimiento, cebolla, champiñón, chorizo, anchoas y jamón.

11

¿Cuántas

pizzas diferentes se pueden ordenar si hay la posibilidad de escoger pizzas con ninguno, uno o más ingredientes y hasta con todos ellos? 12. Una bolsa contiene 5 canicas blancas y 7 rojas.

Si se desean sacar 5

canicas al azar, ¿de cuántas formas posibles pueden ser sacadas si: a) las canicas pueden ser de cualquier color? b) se quieren exactamente 3 blancas? c) las 5 deben ser del mismo color? 13. En un laboratorio hay 4 diferentes trabajos que realizar en una tarde en particular y hay 5 personas para hacerlos. ¿De cuántas formas pueden ser asignadas las 5 personas para hacer los cuatro trabajos? 14. Una investigadora tiene 4 drogas que desea probar, pero sólo dispone de animales suficientes para probar 3 de las drogas.

¿De cuántas formas

puede probar las cuatro drogas? 15. Se le suministran drogas a 8 animales de la siguiente forma:

Tipo A a

tres de ellos, tipo B a otros tres y tipo C a los dos restantes.

Luego se

coloca cada uno de los animales en una de las 8 diferentes cajas adyacentes para su observación.

Si los animales sólo se distinguen en

base al tipo de droga recibida, ¿de cuántas formas diferentes pueden ser colocados? 16. En el binomio (1 − 2 x )13 encontrar: a) el quinto término del desarrollo. b) el décimo tercer término del desarrollo. c) los dos términos centrales del desarrollo. d) el término independiente. 17. Encontrar el coeficiente del término que contiene a:

12

a)

x 2 y 4 en el desarrollo de (2 x + 3 y )6 .

b)

x 5 en el desarrollo de x + x −3 .

(

)

18. A partir del conjunto de letras de la palabra VIDA se escogen 2 letras una por una.

Enliste el espacio muestral, o sea, el conjunto de todas las

parejas posibles. 19. Si las letras ORMA se arreglan en línea al azar, cuál es la probabilidad de que en el arreglo aparezca ROMA? 20. Una muestra de 6 individuos para cierta prueba es seleccionada de un grupo de 20 fumadores y 10 no fumadores.

¿De cuántas maneras se

pueden seleccionar muestras que contengan 4 fumadores? 21. En un experimento de Modelos Animales, los hámsteres pueden clasificarse de acuerdo con su sexo: hembra o macho; de acuerdo con su edad: juvenil o adulto, y de acuerdo con la cepa que será inoculada: L. panamensis,,, L. Braziliensis y L. Guayanensis. total de formas posibles de clasificar a un hámster.

13

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