Analisis Operacional

An´ alisis Operacional Por: Mariela Curiel 23 de mayo de 2006

An´ alisis Operacional

Un gran n´ umero de problemas en computaci´ on se puede resolver usando las leyes operacionales.

Las leyes fueron identificadas por Buzen (1976) y posteriormente fueron extendidas por Buzen y Denning (1978).

La palabra operacional significa que puede medirse directamente. En el an´ alisis operacional todos los datos est´ an basados en medidas o datos conocidos.

Cantidades operacionales

Pueden medirse durante un periodo finito de observaci´ on. Ejemplo: el n´ umero de llegadas a un sistema (Ai) o el n´ umero de servicios completados en el dispositivo i (Ci). De ´ estas se pueden derivar otras cantidades operacionales: Tasa de llegadas λi =

Throughput Xi =

Utilizaci´ on Ui =

Num. de llegadas Ai = Tiempo T

Num. trab. culminados Ci = Tiempo T

Bi Tiempo que estuvo ocupado = Tiempo T

T. medio de Serv Si =

Tiempo que estuvo ocupado Bi = Num. trab. culmin. Ci

Leyes operacionales Son relaciones que se mantienen por cada periodo de observaci´ on. Ley de Utilizaci´ on Bi Ci B i Ui = = ∗ T T Ci o bien,

Ui = X i S i

Ley del Flujo Forzado Si el periodo de observaci´ on T es tal, que el n´ umero de llegadas a cada dispositivo es igual al n´ umero de trabajos culminados (Ai = Ci), se puede decir que los dispositivos satisfacen la suposici´ on del balance del flujo de trabajos. Suponga que cada trabajo realiza Vi visitas al dispositivo i. Si hay un balance en el flujo de trabajos, el n´ umero total de trabajos C0 que salen del sistema y el n´ umero de servicios completados en el dispositivo i Ci se relacionan por: Ci c i = C 0 Vi o V i = C 0

El throughput del sistema durante el per´ıodo de observaci´ on es: throughput del sistema X =

Trabajos culminados C0 = Tiempo total T

El throughput del i-´ esimo dispositivo es: Xi =

Ci C C = i ∗ 0 T C0 T

o bien, Ci = Vi X T De esta forma se relaciona el throughput de un dispositivo con el throughput del sistema (Ley del Flujo Forzado). Xi =

Combinando las dos leyes anteriores se tiene:

Ui = X i S i = XVi Si o Ui = XDi Di = es la demanda total al dispositivo por todas las visitas de un trabajo.

Otra forma de especificar la ruta o camino de los trabajos es a trav´ es de las probabilidades de transici´ on pij . pij es la probabilidad de que un trabajo se encamine al dispositivo j despu´ es de haber terminado en el dispositivo i. pi0 es la probabilidad de que un trabajo salga del sistema despu´ es de que haya culminado el servicio en el dispositivo i. En un sistema con balance del flujo de trabajos, cj =

M X

Cipij

i=0

Dividiendo ambos lados de la ecuaci´ on por C0 tenemos: Vj =

M X i=0

Vi pij

V0 es una visita fuera del sistema, es decir, la culminaci´ on de un trabajo. V0 = 1

Las ecuaciones anteriores permiten obtener los radios de visita a partir de las probabilidades de transici´ on.

La soluci´ on es posible siempre que cada dispositivo en el sistema sea visitado al menos una vez por cada trabajo.

Ley de Little L = λR Donde, L es N´ umero medio de clientes en el sistema, λ es la tasa de llegadas y R es el tiempo medio gastado en el sistema.

La ley de little se puede aplicar a cualquier sistema o subsistema si el flujo de trabajos en el subsistema es balanceado. Li = λ i R i Donde, Li es N´ umero medio de clientes en el dispositivo, λi es la tasa de llegadas al dispositivo y Ri es el tiempo medio gastado en el dispositivo.

Si el flujo de trabajos es balanceado, la tasa de llegadas es igual al throughput y podemos escribir: L = XR

Ley del Tiempo de Respuesta General

Sea Li el n´ umero de trabajos en el dispositivo i, se puede calcular L como: L = L1 + L2 + L3 + . . . + L M Que equivale, aplicando ley de Little, a: XR = X1R1 + X2R2 + . . . + XM RM Dividiendo ambos lados de la ecuaci´ on por X y utilizando la LFF se tiene: R = V 1 R 1 + V2 R 2 + . . . + V M R M o R=

M X i=1

Vi R i

Ley de Little para Sistemas Interactivos Los usuarios generan peticiones que van al sistema central, y una vez atendidas retornan al terminal. Despu´ es de un tiempo Z (thinking time) el usuario introduce su pr´ oxima petici´ on. Si el tiempo de respuesta es R, el tiempo total hasta la pr´ oxima petici´ on es R + Z. Cada usuario genera alrededor de T /(R+Z) peticiones en el per´ıodo de tiempo T. Si hay N usuarios, Throughput del sistema X

= = =

R = (N/X) − Z

Peticiones Tiempo Total N [T /(R + Z)] T N R+Z

An´ alisis de los Cuellos de Botella

Una consecuencia de la LFF es que las utilizaciones de los dispositivos son proporcionales a sus demandas de servicio.

El dispositivo con la mayor demanda de servicio tendr´ a la utilizaci´ on m´ as alta y se le denominar´ a dispositivo cuello de botella.

Mejorar el desempe˜ no en el dispositivo cuello de botella ofrecer´ a mayores beneficios con respecto al resto de los dispositivos.

Si b es el dispositivo cuello de botella, Db = Dmax. El throughput y los tiempos de respuesta del sistema est´ an acotados por: Sistemas Abiertos Xopt = D1 b Ropt = D =

P

Di

Sistemas Cerrados N 1 } X(N ) ≤ min{ , Db D + Z y, R(N ) ≥ max{D, N Db − Z} P

D = Di para todos los dispositivos excepto los terminales El punto de intersecci´ on de las dos as´ıntotas se conoce como knee. El n´ umero de

usuarios en este punto es:

D = N ∗ Db − Z o N∗ =

D+Z Db

Notaci´ on Variable T Ai Ci C0 Bi Ui Xi X Vi M

Significado Longitud del Per´ıodo de Obtervaci´ on N´ umero total de llegadas al dispositivo i N´ umero total de servicios completados en el dispositivo i N´ umero total de trabajos completados por el sistema en un per´ıodo de observaci´ on T Tiempo total que el dispositivo i estuvo ocupado durante el per´ıodo de observaci´ on T. Utilizaci´ on del dispositivo i Throughput en el dispositivo i Througput del sistema N´ umero promedio de visitas por trabajo al dispositivo i N´ umero de dispositivos en el sistema