Analisa Struktur Dengan Matriks.pdf
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Analisa Struktur Dengan Matriks.pdf as PDF for free.
More details
- Words: 4,216
- Pages: 29
MODUL MATERI KULIAH B-3 PENGENALAN ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS Tujuan Pembelajaran Umum Mahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)
3.1
Pendahuluan Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)
Tujuan Pembelajaran Khusus Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan yang meliputi penurunan rumus kekakuan, deformasi, dan derajat kebebasan
ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)
Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan : {P}= [K]{U} dimana : { P } = matriks gaya [K]
= matriks kekakuan
{ U } = matriks perpindahan Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu dengan menggunakan Metode Kekakuan.
Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi)
sudah tertentu/pasti.
Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan kinematis struktur.
Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : “ Koefisien Kekakuan “ dan “ Perpindahan titik simpul yang tidak diketahui “.
3.2
Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method) Tujuan Pembelajaran Khusus Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan Langsung, untuk mencari matriks kekakuan elemen dan global, serta penentuan deformasi dan gaya pada ujung aktif
METODE KEKAKUAN LANGSUNG matriks kekakuan U 1, P1
U2 , P 2 1
1
2
U 3, P3
U4 , P 4
P1 P2
=
P3 P4
{P} =[K]{U} gaya
K11
K12
K13
K14
U1
K21
K22
K23
K24
U2
K31
K32
K33
K34
U3
K41
K42
K43
K44
U4
P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4
perpindahan
Kesetimbangan gaya di arah U1
P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4
Kesetimbangan gaya di arah U2
P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4
Kesetimbangan gaya di arah U3
P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4
Kesetimbangan gaya di arah U4
Jika U1 = 1
dan
P1 = K11
P2 = K21
;
U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
Jika U2 = 1
dan
P1 = K12
P2 = K22
;
dan
P1 = K13
P2 = K23
;
P4 = K41
Lihat Gambar (a)
;
P3 = K32
;
P4 = K42
Lihat Gambar (b)
U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
Jika U4 = 1
dan
P1 = K14
P2 = K24
;
P3 = K31
U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
Jika U3 = 1 ;
;
;
P3 = K33
;
P4 = K43
Lihat Gambar (c)
U2 = U3 = U4 = 0 , maka : ;
P3 = K34
;
P4 = K44
Lihat Gambar (d)
Gb. A
K21 =
6EI L2
K31 =
-12EI L3
K11 =
12EI L3
K41 =
6EI L2
U1 ’ = 1
P1’ = K11 P2’ = K21
U'1 = 1
P3’ = K31
L , EI
P4’ = K41 K22 =
Gb. B
4EI L
K42 =
U1 ’ = 1
2EI L
P1’ = K11 P2’ = K21
U'2 = 1
6EI L2
K12 =
K32 =
-6EI L2
P3’ = K31 P4’ = K41
K23 =
Gb. C
-6EI L2
K43 =
U1 ’ = 1
-6EI L2
P1’ = K11 P2’ = K21
U'3 = 1
K13 =
-12EI L3
K33 =
P3’ = K31
12EI L3
P4’ = K41 U1 ’ = 1 K24 =
Gb. D
2EI L
K44 =
P1’ = K11
4EI L
P2’ = K21
U'4 = 1
K14 =
6EI L2
K34 =
P3’ = K31
6EI L2
P4’ = K41
K
=
K
K11
K12
K13
K14
K21
K22
K23
K24
K31
K32
K33
K34
K41
K42
K43
K44
=
12 EI L3
6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
− Matriks Kekakuan
Gambar
12 EI L3
6 EI L2 (a)
-
6 EI L2 2 EI L (b)
12 EI L3 -
6 EI L2 (c)
-
6 EI L2 4 EI L
(d)
Jika pada batang bekerja gaya aksial :
U1’,P1’
U2’,P2’
L, EA
EA L
K11 =
K21 = −
U1’= 1
K12 = -
K22 =
EA L
EA L
EA L
U2’= 1
U1, P1
U2, P2 1
1
2
U3, P3
U4, P4
Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :
K 6x6
= −
EA L
EA L
0
0
0
12 EI L3
6 EI L2
0
0
6 EI L2
4 EI L
0
EA L
0
0
0
0
−
12 EI L3 6 EI L2
-
-
0
-
0
12 EI L3
6 EI L2
6 EI L2
2 EI L
EA L
0
0
6 EI L2
0
12 EI L3
2 EI L
0
-
-
-
6 EI L2
-
6 EI L2 4 EI L
q 2
1 L, EI
1
2
1
Kinematis tidak tentu orde 1 Kinematis tertentu
q
Struktur primer 1 q L2 12
1 q L2 12
(Restrained structure)
4 EI L
Sistem sekunder
4 EI L
q 2
1
Kondisi awal : M2 = 0 M2 = M2q + M2θ2 = 0
q
−
1 2 4 EI θ2 = 0 qL + L 12
3
=
qL 48 EI
θ2 =
qL3 48 EI
1 2 qL θ 2 = 12 4 EI L M12 = M12q + =
4 EI 2 EI θ1 + θ2 L L
1 2 2 EI q L3 1 qL + 0 + = q L2 12 L 48 EI 8
M12 = M21q + = −
4 EI 2 EI θ2 + θ1 L L
4 EI q L3 1 2 qL + +0 = 0 L 48 EI 12
3.3
Elemen Balok 2 Dimensi Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok 2 dimensi dengan cara Metode Kekakuan langsung
Contoh 1 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q 1
1
2
2
L, EI
3
L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen 0
0
1
1
0
2
3
2 2
1
0
Menentukan matriks tujuan 0
0
0
1
2
1
0
DOF : 2
1
2 rotasi
0
Matriks kekakuan struktur
3
2
1
2
[ Ks ] 2 x 2 [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen : Elemen 1 0
K1
=
0
0
1
12 EI L3
6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
0
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
0
6 EI L2
0
4 EI L
1
−
12 EI L3
6 EI L2
-
6 EI L2 2 EI L
12 EI L3 -
6 EI L2
-
Matriks Tujuan { T1 } = { 0
[ K1 ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
0
1 }T
0
Elemen 2 0
K2
=
1 6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
0
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
1
6 EI L2
0
4 EI L
2
12 EI L3
-
6 EI L2 Matriks Tujuan { T2 } = { 0
[ K2 ] = 2x2
2
12 EI L3
−
4 EI L 2 EI L
0
6 EI L2 2 EI L
1
0
12 EI L3 -
-
6 EI L2
2 }T
2 EI L 4 EI L
Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] = 2x2
4 EI L
0
0
+ 0
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
=
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
{ Ps } = [ Ks ] { Us } dimana : Us
=
deformasi ujung-ujung aktif
Ks
=
kekakuan struktur
Ps
=
gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka : q
0
0
−
Ps =
−
1 q L2 12
1 q L2 12
1 q L2 12
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
- 2⎤ L = ⎥ 8⎦ 28 EI
1 L ⎡ 4 8 . 4 - 2 . 2 EI ⎢⎣- 2
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
L ⎡ 4 - 2⎤ 28 EI ⎢⎣- 2 8 ⎥⎦
−
1 q L2 12
1 q L2 12
⎡ 4 - 2⎤ ⎢- 2 8 ⎥ ⎣ ⎦
1 q L2 12
Us
=
L 28 EI
=
1 4 q L2 + q L2 6 6
3 q L3 168 EI
Rotasi di joint 2
5 q L3 168 EI
Rotasi di joint 3
−
Us
1 1 q L2 - q L2 3 6
−
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1
:
Elemen 2
U1
:
U2
U1 1 U1 2 U1 3 U1 4
=
= −
U2 1 U2 2 U2 3 U2 4
=
0 0 0
=
3 q L3 168 EI
0 3 q L3 − 168 EI 0 5 q L3 168 EI
Reaksi akibat beban luar : q 1 q L2 12
0
0
qL 2
=
0
PR2
=
qL 2
0 0
1 q L2 12
qL 2 1 q L2 12
0 PR1
−
−
1 q L2 12
qL 2
Gaya akhir elemen : Elemen 1
P1 =
:
{ P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
12 EI L3
6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
0
0
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
0
0
6 EI L2
12 EI L3
6 EI L2
0
2 EI L
-
−
12 EI L3
-
6 EI L2
6 qL 56 2 − q L2 56 6 qL 56
=
−
P2 =
4 EI L
=
−
6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
6 EI L2
4 EI L
6 EI - 2 L
2 EI L
6 EI L2
12 EI L3
2 EI L
6 EI - 2 L
6 EI L2
0
2 q L2 28
12 EI L3
12 EI L3
3 q L3 168 EI
{ P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
:
−
−
0
−
4 q L2 56
Elemen 2
6 EI L2
+
3 qL 28 1 − q L2 28 3 qL 28
−
P1
-
-
-
6 EI L2 4 EI L
qL 2
0
−
3 q L3 168 EI
0 5 q L3 168 EI
1 q L2 12
+
qL 2 −
1 q L2 12
32 qL 56 4 q L2 56
P2
=
16 qL 28 2 q L2 28 12 qL 28
=
24 qL 56
0
0
Free Body Diagram : 1 q L2 28
2 q L2 28
3 qL 28
3 qL 28
2 q L2 28
q
0
12 qL 28
16 qL 28
Menggambar gaya-gaya dalam : 16 qL 28
Bidang D :
+
-
3 qL 28
Bidang M :
3 qL 28
12 qL 28
2 q L2 28
+ 1 q L2 28
+
Contoh 2 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung Dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q 1
1
2
2
L, EI
3
L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen 0
0
1
1
0
2
3
2 2
1
0
Menentukan matriks tujuan
1
2
1
0
DOF : 2
1
1
Matriks kekakuan struktur
3
2
2 rotasi
2
[ Ks ] 2 x 2 [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja : Elemen 1
K1
= 2x2
0 4 EI L
1 2 EI L
0
2 EI L
4 EI L
1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0
[ K1 ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
1 }T
Elemen 2
K2
= 2x2
1 4 EI L
2 2 EI L
1
2 EI L
4 EI L
2
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
Matriks Tujuan { T2 } = { 1
[ K2 ] = 2x2
4 EI L 2 EI L
2 }T
2 EI L 4 EI L
Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
+
=
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
{ Ps } = [ Ks ] { Us } dimana : Us
=
deformasi ujung-ujung aktif
Ks
=
kekakuan struktur
Ps
=
gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka : q
0
0
−
1 q L2 12
1 q L2 12
−
Ps =
1 q L2 12
1 q L2 12
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L - 2⎤ L ⎡ 4 - 2⎤ = ⎥ 8⎦ 28 EI ⎢⎣- 2 8 ⎥⎦
L ⎡ 4 1 8 . 4 - 2 . 2 EI ⎢⎣- 2
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps } L ⎡ 4 - 2⎤ Us = 28 EI ⎢⎣- 2 8 ⎥⎦
Us
=
L 28 EI
=
1 q L2 12
1 q L2 12
1 1 q L2 - q L2 6 3 4 1 q L2 + q L2 6 6
3 q L3 168 EI
Rotasi di joint 2
5 q L3 168 EI
Rotasi di joint 3
−
Us
−
−
Deformasi untuk masing-masing elemen U1 1 Elemen 1
:
Elemen 2
U1
:
U2
=
0 =
U1 2
−
3 q L3 168 EI
U2 1
−
3 q L3 168 EI
=
=
5 q L3 168 EI
U2 2
Reaksi akibat beban luar : q
0
0
1 q L2 12
0 PR1
=
PR2
= 0
−
1 q L2 12
1 q L2 12 −
1 q L2 12
Gaya akhir elemen : Elemen 1
P1
=
:
4 EI L
2 EI L
0
2 EI L
4 EI L
3 q L3 − 168 EI
−
P1
{ P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
= −
2 q L2 56 4 q L2 56
−
= −
1 q L2 28 2 q L2 28
0 + 0
Hasil perhitungan hanya momen saja
Elemen 2
P2
P2
=
:
{ P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
−
5 q L3 168 EI
4 q L2 56
=
3 q L3 168 EI
1 q L2 12 1 − q L2 12
+
2 q L2 28
Hasil perhitungan hanya momen saja
= 0
0
Free Body Diagram : 1 q L2 28
3 qL 28
2 q L2 28
Dihitung lagi
3 qL 28
2 q L2 28
16 qL 28
q
0
12 qL 28
Dihitung lagi
Menggambar gaya-gaya dalam : 16 qL 28
Bidang D :
+
-
3 qL 28
3 qL 28
12 qL 28
Bidang M :
2 q L2 28
+
+
1 q L2 28
Contoh 3 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung, dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja untuk kekakuan balok yang tidak sama.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q 1
1
2
L, EI
2
3
L, 2EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen 0
0
1
1
2
0 3
2 2
1
0
Menentukan matriks tujuan
1 0
2
1 1
1
DOF : 2
3
2 2
2 rotasi
Matriks kekakuan struktur [ Ks ] 2 x 2 [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja.
Elemen 1
K1
= 2x2
0 4 EI L
1 2 EI L
0
2 EI L
4 EI L
1
1 8 EI L
2 4 EI L
1
4 EI L
8 EI L
2
8 EI L
4 EI L
4 EI L
8 EI L
Matriks Tujuan { T1 } = { 0
[ K1 ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
1 }T
Elemen 2
K2
= 2x2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1
[ K2 ] = 2x2
8 EI L 4 EI L
2 }T
4 EI L 8 EI L
Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
+
=
12 EI L 4 EI L
4 EI L 8 EI L
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
{ Ps } = [ Ks ] { Us } dimana : Us
=
deformasi ujung-ujung aktif
Ks
=
kekakuan struktur
Ps
=
gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka : q
0
0
−
Ps =
−
1 q L2 12
1 q L2 12
1 q L2 12
1 q L2 12
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
4 EI L
12 EI L 4 EI L
8 EI L
1 L ⎡ 8 12 . 8 - 4 . 4 EI ⎢⎣- 4
-4 ⎤ L = ⎥ 12⎦ 80 EI
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
L ⎡ 8 80 EI ⎢⎣- 4
-4⎤ 12⎥⎦
−
1 q L2 12
1 q L2 12
⎡ 8 ⎢- 4 ⎣
-4⎤ 12⎥⎦
Us
=
L 80 EI
−
Us
=
1 2 q L2 - q L2 3 3
−
3 1 q L2 + q L2 3 3
1 q L3 80 EI
Rotasi di joint 2
1 q L3 60 EI
Rotasi di joint 3
Deformasi untuk masing-masing elemen U1 1 Elemen 1
:
Elemen 2
U1
:
U2
=
0 =
U1 2
−
1 q L3 80 EI
U2 1
−
1 q L3 80 EI
=
=
1 q L3 60 EI
U2 2
Reaksi akibat beban luar : q
0
0
1 q L2 12
0 PR1
PR2
= 0
=
−
1 q L2 12
1 q L2 12 −
1 q L2 12
Gaya akhir elemen : Elemen 1
P1
=
:
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
−
P1
= −
P2
=
=
:
+
1 q L3 − 80 EI
−
=
4 q L2 80
0
0
2 q L2 80
Elemen 2
P2
{ P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
−
0
1 q L2 40
Hasil perhitungan hanya momen saja
2 q L2 40
{ P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
8 EI L
4 EI L
4 EI L
8 EI L
−
1 q L3 80 EI 1 q L3 60 EI
2 q L2 40
1 q L2 12 1 − q L2 12
+
1 q L2 20
Hasil perhitungan hanya momen saja
= 0
0
Free Body Diagram : 1 q L2 40
3 qL 40
2 q L2 40
Dihitung lagi
3 qL 40
2 q L2 40
22 qL 40
q
Dihitung lagi
0
18 qL 40
Menggambar gaya-gaya dalam : 22 qL 40
Bidang D :
+
-
3 qL 40
3 qL 40
Bidang M :
18 qL 40
2 q L2 40
+
+
1 q L2 40
Contoh 4 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q = 1 t/m 1
1
P=2t 2
L = 4 m, EI
2
3
L = 2 m, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen 0
0 1 0
1
2 1
2 3
2 3
Menentukan matriks tujuan
DOF : 3 0
0 1 0
1
1 dilatasi
2
2
1
2 rotasi
1
Matriks kekakuan struktur
3
2 3
[ Ks ] 2 x 2 [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen : Elemen 1
K1
= 2x2
0 4 EI 4
1 2 EI 4
0
2 EI 4
4 EI 4
1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0
[ K1 ] = 2x2
4 EI 4
0
0
0
1 }T
Elemen 2 0
K2
=
1
2
3
12 EI 23
6 EI 22
-
12 EI 23
6 EI 22
0
6 EI 22
4 EI 2
-
6 EI 22
2 EI 2
1
6 EI 22
2
4 EI 2
3
−
12 EI 23
-
2 EI 2
6 EI 22 Matriks Tujuan { T2 } = { 0
6 EI 22
1
0
2 }T
12 EI 23 -
6 EI 22
-
[ K2 ] = 3x3
2 EI 2 6 EI 4 4 EI 2
6 EI 4 12 EI 8 6 EI 4
4 EI 2 6 EI − 4 2 EI 2
-
Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] =
4 EI L
0
0
0
2x2
=
6 EI 2 6 EI − 4 2 EI 2
+
6 EI 4 12 EI 8 6 EI 4
-
4 EI 2 6 EI − 4 2 EI 2
2 EI 2 6 EI 4 4 EI 2
6 EI 4 12 EI 8 6 EI 4
-
= EI
2 EI 2 6 EI 4 4 EI 2
3
-1,5
1
-1,5
1,5
-1,5
1
-1,5
2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us }
{ Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana : Us
=
deformasi ujung-ujung aktif
Ks
=
kekakuan struktur
Ps
=
gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka : P=2t
q =1 t/m
−
1 q L2 12
1 q L2 12 1 q L2 12
Ps
=
1,33 =
-P
0
0
-2 0
0
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] = EI
[ Ks ]-1 =
1 EI
3
-1,5
1
-1,5
1,5
-1,5
1
-1,5
2
1
2
1
2
6,67
4
1
4
3
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us
=
1 EI
1
2
1
1,33
2
6,67
4
-2
1
4
3
0
=
-2,67
Rotasi di joint 2
-10,67
Translasi di joint 3
-6,67
Rotasi di joint 3
Deformasi untuk masing-masing elemen U1 1 Elemen 1
:
0
=
U1
= -2,67
U1 2
Elemen 2
:
=
U2
0
U2 1 U2 2 U2 3 U2 4
- 2,67
=
-10,67 - 6,67
Reaksi akibat beban luar : P=2t
q =1 t/m
1 q L2 = 1,33 12
−
1 q L2 = - 1,33 12
0
0
0 1,33 PR1
0
=
PR2
=
2
-1,33 0 Gaya akhir elemen : Elemen 1
:
EI
P1
=
EI 2
{ P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
EI 2
0
EI
− 2,67
1,33 + -1,33
2
0 P1
Hasil perhitungan hanya momen saja
= -4
Elemen 2
P2 =
:
{ P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
12 EI 8
6 EI 4
-
12 EI 8
6 EI 4
0
0
6 EI 4
4 EI 2
-
6 EI 4
2 EI 2
- 2,67
0
6 EI 4
12 EI 8
6 EI 4
-10,67
2 EI 2
-
4 EI 2
- 6,67
−
12 EI 8
-
6 EI 4
6 EI 4
-
2 4 P2
= 0 0
Free Body Diagram : 0
1
q =1 t/m
4
4
3
2
P=2t
+
2 0
Menggambar gaya-gaya dalam : Bidang D : 1
2
+
+
3 Bidang M : 4
+
2
3.1
Pendahuluan Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)
Tujuan Pembelajaran Khusus Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan yang meliputi penurunan rumus kekakuan, deformasi, dan derajat kebebasan
ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)
Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM) adalah suatu metode untuk menganalisa struktur dengan menggunakan bantuan matriks, yang terdiri dari : matriks kekakuan, matriks perpindahan, dan matriks gaya. Dengan menggunakan hubungan : {P}= [K]{U} dimana : { P } = matriks gaya [K]
= matriks kekakuan
{ U } = matriks perpindahan Salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan di atas, yaitu dengan menggunakan Metode Kekakuan.
Pada Metode Kekakuan, variable yang tidak diketahui besarnya adalah : perpindahan titik simpul struktur (rotasi dan defleksi)
sudah tertentu/pasti.
Jadi jumlah variable dalam metode kekakuan sama dengan derajat ketidaktentuan kinematis struktur.
Metode Kekakuan dikembangkan dari persamaan kesetimbangan titik simpul yang ditulis dalam : “ Koefisien Kekakuan “ dan “ Perpindahan titik simpul yang tidak diketahui “.
3.2
Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method) Tujuan Pembelajaran Khusus Mahasiswa mengerti tentang Metode Kekakuan Langsung, untuk mencari matriks kekakuan elemen dan global, serta penentuan deformasi dan gaya pada ujung aktif
METODE KEKAKUAN LANGSUNG matriks kekakuan U 1, P1
U2 , P 2 1
1
2
U 3, P3
U4 , P 4
P1 P2
=
P3 P4
{P} =[K]{U} gaya
K11
K12
K13
K14
U1
K21
K22
K23
K24
U2
K31
K32
K33
K34
U3
K41
K42
K43
K44
U4
P1 = K11 . U1 + K12 . U2 + K13 . U3 + K14 . U4
perpindahan
Kesetimbangan gaya di arah U1
P2 = K21 . U1 + K22 . U2 + K23 . U3 + K24 . U4
Kesetimbangan gaya di arah U2
P3 = K31 . U1 + K32 . U2 + K33 . U3 + K34 . U4
Kesetimbangan gaya di arah U3
P4 = K41 . U1 + K42 . U2 + K43 . U3 + K44 . U4
Kesetimbangan gaya di arah U4
Jika U1 = 1
dan
P1 = K11
P2 = K21
;
U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
Jika U2 = 1
dan
P1 = K12
P2 = K22
;
dan
P1 = K13
P2 = K23
;
P4 = K41
Lihat Gambar (a)
;
P3 = K32
;
P4 = K42
Lihat Gambar (b)
U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
Jika U4 = 1
dan
P1 = K14
P2 = K24
;
P3 = K31
U2 = U3 = U4 = 0 , maka :
Jika U3 = 1 ;
;
;
P3 = K33
;
P4 = K43
Lihat Gambar (c)
U2 = U3 = U4 = 0 , maka : ;
P3 = K34
;
P4 = K44
Lihat Gambar (d)
Gb. A
K21 =
6EI L2
K31 =
-12EI L3
K11 =
12EI L3
K41 =
6EI L2
U1 ’ = 1
P1’ = K11 P2’ = K21
U'1 = 1
P3’ = K31
L , EI
P4’ = K41 K22 =
Gb. B
4EI L
K42 =
U1 ’ = 1
2EI L
P1’ = K11 P2’ = K21
U'2 = 1
6EI L2
K12 =
K32 =
-6EI L2
P3’ = K31 P4’ = K41
K23 =
Gb. C
-6EI L2
K43 =
U1 ’ = 1
-6EI L2
P1’ = K11 P2’ = K21
U'3 = 1
K13 =
-12EI L3
K33 =
P3’ = K31
12EI L3
P4’ = K41 U1 ’ = 1 K24 =
Gb. D
2EI L
K44 =
P1’ = K11
4EI L
P2’ = K21
U'4 = 1
K14 =
6EI L2
K34 =
P3’ = K31
6EI L2
P4’ = K41
K
=
K
K11
K12
K13
K14
K21
K22
K23
K24
K31
K32
K33
K34
K41
K42
K43
K44
=
12 EI L3
6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
− Matriks Kekakuan
Gambar
12 EI L3
6 EI L2 (a)
-
6 EI L2 2 EI L (b)
12 EI L3 -
6 EI L2 (c)
-
6 EI L2 4 EI L
(d)
Jika pada batang bekerja gaya aksial :
U1’,P1’
U2’,P2’
L, EA
EA L
K11 =
K21 = −
U1’= 1
K12 = -
K22 =
EA L
EA L
EA L
U2’= 1
U1, P1
U2, P2 1
1
2
U3, P3
U4, P4
Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial :
K 6x6
= −
EA L
EA L
0
0
0
12 EI L3
6 EI L2
0
0
6 EI L2
4 EI L
0
EA L
0
0
0
0
−
12 EI L3 6 EI L2
-
-
0
-
0
12 EI L3
6 EI L2
6 EI L2
2 EI L
EA L
0
0
6 EI L2
0
12 EI L3
2 EI L
0
-
-
-
6 EI L2
-
6 EI L2 4 EI L
q 2
1 L, EI
1
2
1
Kinematis tidak tentu orde 1 Kinematis tertentu
q
Struktur primer 1 q L2 12
1 q L2 12
(Restrained structure)
4 EI L
Sistem sekunder
4 EI L
q 2
1
Kondisi awal : M2 = 0 M2 = M2q + M2θ2 = 0
q
−
1 2 4 EI θ2 = 0 qL + L 12
3
=
qL 48 EI
θ2 =
qL3 48 EI
1 2 qL θ 2 = 12 4 EI L M12 = M12q + =
4 EI 2 EI θ1 + θ2 L L
1 2 2 EI q L3 1 qL + 0 + = q L2 12 L 48 EI 8
M12 = M21q + = −
4 EI 2 EI θ2 + θ1 L L
4 EI q L3 1 2 qL + +0 = 0 L 48 EI 12
3.3
Elemen Balok 2 Dimensi Tujuan Pembelajaran Khusus
Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok 2 dimensi dengan cara Metode Kekakuan langsung
Contoh 1 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q 1
1
2
2
L, EI
3
L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen 0
0
1
1
0
2
3
2 2
1
0
Menentukan matriks tujuan 0
0
0
1
2
1
0
DOF : 2
1
2 rotasi
0
Matriks kekakuan struktur
3
2
1
2
[ Ks ] 2 x 2 [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen : Elemen 1 0
K1
=
0
0
1
12 EI L3
6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
0
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
0
6 EI L2
0
4 EI L
1
−
12 EI L3
6 EI L2
-
6 EI L2 2 EI L
12 EI L3 -
6 EI L2
-
Matriks Tujuan { T1 } = { 0
[ K1 ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
0
1 }T
0
Elemen 2 0
K2
=
1 6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
0
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
1
6 EI L2
0
4 EI L
2
12 EI L3
-
6 EI L2 Matriks Tujuan { T2 } = { 0
[ K2 ] = 2x2
2
12 EI L3
−
4 EI L 2 EI L
0
6 EI L2 2 EI L
1
0
12 EI L3 -
-
6 EI L2
2 }T
2 EI L 4 EI L
Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] = 2x2
4 EI L
0
0
+ 0
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
=
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
{ Ps } = [ Ks ] { Us } dimana : Us
=
deformasi ujung-ujung aktif
Ks
=
kekakuan struktur
Ps
=
gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka : q
0
0
−
Ps =
−
1 q L2 12
1 q L2 12
1 q L2 12
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
- 2⎤ L = ⎥ 8⎦ 28 EI
1 L ⎡ 4 8 . 4 - 2 . 2 EI ⎢⎣- 2
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
L ⎡ 4 - 2⎤ 28 EI ⎢⎣- 2 8 ⎥⎦
−
1 q L2 12
1 q L2 12
⎡ 4 - 2⎤ ⎢- 2 8 ⎥ ⎣ ⎦
1 q L2 12
Us
=
L 28 EI
=
1 4 q L2 + q L2 6 6
3 q L3 168 EI
Rotasi di joint 2
5 q L3 168 EI
Rotasi di joint 3
−
Us
1 1 q L2 - q L2 3 6
−
Deformasi untuk masing-masing elemen
Elemen 1
:
Elemen 2
U1
:
U2
U1 1 U1 2 U1 3 U1 4
=
= −
U2 1 U2 2 U2 3 U2 4
=
0 0 0
=
3 q L3 168 EI
0 3 q L3 − 168 EI 0 5 q L3 168 EI
Reaksi akibat beban luar : q 1 q L2 12
0
0
qL 2
=
0
PR2
=
qL 2
0 0
1 q L2 12
qL 2 1 q L2 12
0 PR1
−
−
1 q L2 12
qL 2
Gaya akhir elemen : Elemen 1
P1 =
:
{ P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
12 EI L3
6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
0
0
6 EI L2
4 EI L
-
6 EI L2
2 EI L
0
0
6 EI L2
12 EI L3
6 EI L2
0
2 EI L
-
−
12 EI L3
-
6 EI L2
6 qL 56 2 − q L2 56 6 qL 56
=
−
P2 =
4 EI L
=
−
6 EI L2
-
12 EI L3
6 EI L2
6 EI L2
4 EI L
6 EI - 2 L
2 EI L
6 EI L2
12 EI L3
2 EI L
6 EI - 2 L
6 EI L2
0
2 q L2 28
12 EI L3
12 EI L3
3 q L3 168 EI
{ P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
:
−
−
0
−
4 q L2 56
Elemen 2
6 EI L2
+
3 qL 28 1 − q L2 28 3 qL 28
−
P1
-
-
-
6 EI L2 4 EI L
qL 2
0
−
3 q L3 168 EI
0 5 q L3 168 EI
1 q L2 12
+
qL 2 −
1 q L2 12
32 qL 56 4 q L2 56
P2
=
16 qL 28 2 q L2 28 12 qL 28
=
24 qL 56
0
0
Free Body Diagram : 1 q L2 28
2 q L2 28
3 qL 28
3 qL 28
2 q L2 28
q
0
12 qL 28
16 qL 28
Menggambar gaya-gaya dalam : 16 qL 28
Bidang D :
+
-
3 qL 28
Bidang M :
3 qL 28
12 qL 28
2 q L2 28
+ 1 q L2 28
+
Contoh 2 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung Dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q 1
1
2
2
L, EI
3
L, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen 0
0
1
1
0
2
3
2 2
1
0
Menentukan matriks tujuan
1
2
1
0
DOF : 2
1
1
Matriks kekakuan struktur
3
2
2 rotasi
2
[ Ks ] 2 x 2 [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja : Elemen 1
K1
= 2x2
0 4 EI L
1 2 EI L
0
2 EI L
4 EI L
1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0
[ K1 ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
1 }T
Elemen 2
K2
= 2x2
1 4 EI L
2 2 EI L
1
2 EI L
4 EI L
2
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
Matriks Tujuan { T2 } = { 1
[ K2 ] = 2x2
4 EI L 2 EI L
2 }T
2 EI L 4 EI L
Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
+
=
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
{ Ps } = [ Ks ] { Us } dimana : Us
=
deformasi ujung-ujung aktif
Ks
=
kekakuan struktur
Ps
=
gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka : q
0
0
−
1 q L2 12
1 q L2 12
−
Ps =
1 q L2 12
1 q L2 12
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
8 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L - 2⎤ L ⎡ 4 - 2⎤ = ⎥ 8⎦ 28 EI ⎢⎣- 2 8 ⎥⎦
L ⎡ 4 1 8 . 4 - 2 . 2 EI ⎢⎣- 2
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps } L ⎡ 4 - 2⎤ Us = 28 EI ⎢⎣- 2 8 ⎥⎦
Us
=
L 28 EI
=
1 q L2 12
1 q L2 12
1 1 q L2 - q L2 6 3 4 1 q L2 + q L2 6 6
3 q L3 168 EI
Rotasi di joint 2
5 q L3 168 EI
Rotasi di joint 3
−
Us
−
−
Deformasi untuk masing-masing elemen U1 1 Elemen 1
:
Elemen 2
U1
:
U2
=
0 =
U1 2
−
3 q L3 168 EI
U2 1
−
3 q L3 168 EI
=
=
5 q L3 168 EI
U2 2
Reaksi akibat beban luar : q
0
0
1 q L2 12
0 PR1
=
PR2
= 0
−
1 q L2 12
1 q L2 12 −
1 q L2 12
Gaya akhir elemen : Elemen 1
P1
=
:
4 EI L
2 EI L
0
2 EI L
4 EI L
3 q L3 − 168 EI
−
P1
{ P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
= −
2 q L2 56 4 q L2 56
−
= −
1 q L2 28 2 q L2 28
0 + 0
Hasil perhitungan hanya momen saja
Elemen 2
P2
P2
=
:
{ P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
−
5 q L3 168 EI
4 q L2 56
=
3 q L3 168 EI
1 q L2 12 1 − q L2 12
+
2 q L2 28
Hasil perhitungan hanya momen saja
= 0
0
Free Body Diagram : 1 q L2 28
3 qL 28
2 q L2 28
Dihitung lagi
3 qL 28
2 q L2 28
16 qL 28
q
0
12 qL 28
Dihitung lagi
Menggambar gaya-gaya dalam : 16 qL 28
Bidang D :
+
-
3 qL 28
3 qL 28
12 qL 28
Bidang M :
2 q L2 28
+
+
1 q L2 28
Contoh 3 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung, dengan hanya memperhatikan deformasi akibat rotasi saja untuk kekakuan balok yang tidak sama.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q 1
1
2
L, EI
2
3
L, 2EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen 0
0
1
1
2
0 3
2 2
1
0
Menentukan matriks tujuan
1 0
2
1 1
1
DOF : 2
3
2 2
2 rotasi
Matriks kekakuan struktur [ Ks ] 2 x 2 [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen akibat deformasi rotasi saja.
Elemen 1
K1
= 2x2
0 4 EI L
1 2 EI L
0
2 EI L
4 EI L
1
1 8 EI L
2 4 EI L
1
4 EI L
8 EI L
2
8 EI L
4 EI L
4 EI L
8 EI L
Matriks Tujuan { T1 } = { 0
[ K1 ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
1 }T
Elemen 2
K2
= 2x2
Matriks Tujuan { T2 } = { 1
[ K2 ] = 2x2
8 EI L 4 EI L
2 }T
4 EI L 8 EI L
Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] = 2x2
4 EI L
0
0
0
+
=
12 EI L 4 EI L
4 EI L 8 EI L
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
{ Ps } = [ Ks ] { Us } dimana : Us
=
deformasi ujung-ujung aktif
Ks
=
kekakuan struktur
Ps
=
gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka : q
0
0
−
Ps =
−
1 q L2 12
1 q L2 12
1 q L2 12
1 q L2 12
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] =
[ Ks ]-1 =
4 EI L
12 EI L 4 EI L
8 EI L
1 L ⎡ 8 12 . 8 - 4 . 4 EI ⎢⎣- 4
-4 ⎤ L = ⎥ 12⎦ 80 EI
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us =
L ⎡ 8 80 EI ⎢⎣- 4
-4⎤ 12⎥⎦
−
1 q L2 12
1 q L2 12
⎡ 8 ⎢- 4 ⎣
-4⎤ 12⎥⎦
Us
=
L 80 EI
−
Us
=
1 2 q L2 - q L2 3 3
−
3 1 q L2 + q L2 3 3
1 q L3 80 EI
Rotasi di joint 2
1 q L3 60 EI
Rotasi di joint 3
Deformasi untuk masing-masing elemen U1 1 Elemen 1
:
Elemen 2
U1
:
U2
=
0 =
U1 2
−
1 q L3 80 EI
U2 1
−
1 q L3 80 EI
=
=
1 q L3 60 EI
U2 2
Reaksi akibat beban luar : q
0
0
1 q L2 12
0 PR1
PR2
= 0
=
−
1 q L2 12
1 q L2 12 −
1 q L2 12
Gaya akhir elemen : Elemen 1
P1
=
:
4 EI L
2 EI L
2 EI L
4 EI L
−
P1
= −
P2
=
=
:
+
1 q L3 − 80 EI
−
=
4 q L2 80
0
0
2 q L2 80
Elemen 2
P2
{ P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
−
0
1 q L2 40
Hasil perhitungan hanya momen saja
2 q L2 40
{ P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
8 EI L
4 EI L
4 EI L
8 EI L
−
1 q L3 80 EI 1 q L3 60 EI
2 q L2 40
1 q L2 12 1 − q L2 12
+
1 q L2 20
Hasil perhitungan hanya momen saja
= 0
0
Free Body Diagram : 1 q L2 40
3 qL 40
2 q L2 40
Dihitung lagi
3 qL 40
2 q L2 40
22 qL 40
q
Dihitung lagi
0
18 qL 40
Menggambar gaya-gaya dalam : 22 qL 40
Bidang D :
+
-
3 qL 40
3 qL 40
Bidang M :
18 qL 40
2 q L2 40
+
+
1 q L2 40
Contoh 4 Analisa struktur pada balok dengan cara Metode Kekakuan Langsung Dengan memperhatikan deformasi akibat translasi dan rotasi.
Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q = 1 t/m 1
1
P=2t 2
L = 4 m, EI
2
3
L = 2 m, EI
Menentukan keaktifan ujung-ujung elemen 0
0 1 0
1
2 1
2 3
2 3
Menentukan matriks tujuan
DOF : 3 0
0 1 0
1
1 dilatasi
2
2
1
2 rotasi
1
Matriks kekakuan struktur
3
2 3
[ Ks ] 2 x 2 [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
Membuat matrik kekakuan elemen : Elemen 1
K1
= 2x2
0 4 EI 4
1 2 EI 4
0
2 EI 4
4 EI 4
1
Matriks Tujuan { T1 } = { 0
[ K1 ] = 2x2
4 EI 4
0
0
0
1 }T
Elemen 2 0
K2
=
1
2
3
12 EI 23
6 EI 22
-
12 EI 23
6 EI 22
0
6 EI 22
4 EI 2
-
6 EI 22
2 EI 2
1
6 EI 22
2
4 EI 2
3
−
12 EI 23
-
2 EI 2
6 EI 22 Matriks Tujuan { T2 } = { 0
6 EI 22
1
0
2 }T
12 EI 23 -
6 EI 22
-
[ K2 ] = 3x3
2 EI 2 6 EI 4 4 EI 2
6 EI 4 12 EI 8 6 EI 4
4 EI 2 6 EI − 4 2 EI 2
-
Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K1 ] + [ K2 ]
[ Ks ] =
4 EI L
0
0
0
2x2
=
6 EI 2 6 EI − 4 2 EI 2
+
6 EI 4 12 EI 8 6 EI 4
-
4 EI 2 6 EI − 4 2 EI 2
2 EI 2 6 EI 4 4 EI 2
6 EI 4 12 EI 8 6 EI 4
-
= EI
2 EI 2 6 EI 4 4 EI 2
3
-1,5
1
-1,5
1,5
-1,5
1
-1,5
2
Untuk mendapatkan deformasi ujung-ujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us }
{ Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
dimana : Us
=
deformasi ujung-ujung aktif
Ks
=
kekakuan struktur
Ps
=
gaya-gaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)
Untuk contoh di atas, maka : P=2t
q =1 t/m
−
1 q L2 12
1 q L2 12 1 q L2 12
Ps
=
1,33 =
-P
0
0
-2 0
0
Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ]-1
[ Ks ] = EI
[ Ks ]-1 =
1 EI
3
-1,5
1
-1,5
1,5
-1,5
1
-1,5
2
1
2
1
2
6,67
4
1
4
3
Jadi : { Us } = [ Ks ]-1 { Ps }
Us
=
1 EI
1
2
1
1,33
2
6,67
4
-2
1
4
3
0
=
-2,67
Rotasi di joint 2
-10,67
Translasi di joint 3
-6,67
Rotasi di joint 3
Deformasi untuk masing-masing elemen U1 1 Elemen 1
:
0
=
U1
= -2,67
U1 2
Elemen 2
:
=
U2
0
U2 1 U2 2 U2 3 U2 4
- 2,67
=
-10,67 - 6,67
Reaksi akibat beban luar : P=2t
q =1 t/m
1 q L2 = 1,33 12
−
1 q L2 = - 1,33 12
0
0
0 1,33 PR1
0
=
PR2
=
2
-1,33 0 Gaya akhir elemen : Elemen 1
:
EI
P1
=
EI 2
{ P1 } = [ K1 ] + { PR1 }
EI 2
0
EI
− 2,67
1,33 + -1,33
2
0 P1
Hasil perhitungan hanya momen saja
= -4
Elemen 2
P2 =
:
{ P2 } = [ K2 ] + { PR2 }
12 EI 8
6 EI 4
-
12 EI 8
6 EI 4
0
0
6 EI 4
4 EI 2
-
6 EI 4
2 EI 2
- 2,67
0
6 EI 4
12 EI 8
6 EI 4
-10,67
2 EI 2
-
4 EI 2
- 6,67
−
12 EI 8
-
6 EI 4
6 EI 4
-
2 4 P2
= 0 0
Free Body Diagram : 0
1
q =1 t/m
4
4
3
2
P=2t
+
2 0
Menggambar gaya-gaya dalam : Bidang D : 1
2
+
+
3 Bidang M : 4
+
2
Related Documents
Analisa Struktur Dengan Matriks.pdf
April 2020 22
Analisa Struktur 1
May 2020 18
Rangkuman Analisa Struktur Clear.pdf
June 2020 18
Analisa Struktur Metode Matriks.pdf
May 2020 24
Analisa Struktur Dome.docx
August 2019 41
Analisa Struktur Sebelum Uas_wjs.xlsx
April 2020 20More Documents from "Yukhri"
Bcj01
December 2019 28
Sistem Jaringan Drainase Irigasi.pdf
December 2019 26
Bcj03
December 2019 31
Kampanye Anti Aborsi
April 2020 18
Efisiensi Irigasi Dan Pengukuran Debit
December 2019 26