Analisa Struktur Metode Matriks.pdf

ANALISA STRUKTUR METODE FLEKSIBILITAS Kompetensi Dasar Mahasiswa Dapat Menghitung Struktur Statis Tak Tentu Dengan Menggunakan Metode Fleksibilitas A. DERAJAT KETIDAK TENTUAN STATIS (REDUNDANT)

ANALISA STRUKTUR dengan METODE MATRIKS STANDAR KOMPETENSI

Setelah Menyelesaikan Kuliah Analisa Struktur Dengan Metode Matriks Mahasiswa Dapat Menghitung, Dan Menggambar Gaya-gaya Dalam Struktur Statis Tak Tentu 1. 2.

MATERI : ANALISA STRUKTUR METODE FLEKSIBILITAS ANALISA STRUKTUR METODE KEKAKUAN

Persamaan Keseimbangan Statis Dalam Ruang

Y

Fy My Mz Fz

Z

Mx

Fx

åF åF

x

=0

åM

x

=0

y

=0

åM

y

=0

åF

z

=0

åM

z

=0

X

Jumlah Persamaan Dasar Keseimbangan = 6 Persamaan

Persamaan Keseimbangan Statis Dalam Satu Bidang Fy

åF = 0 åF = 0 åM = 0 x

Mz

y

Fx

z

Jumlah persamaan dasar keseimbangan = 3 persamaan

Kesimpulan 1 • Jumlah reaksi (r) ≤ jumlah persamaan dasar keseimbangan maka struktur dikatakan Statis Tertentu

2

1

r=3

3

Kesimpulan 2 • Jumlah reaksi (r) > jumlah persamaan dasar keseimbangan maka, struktur dikatakan Statis Tak Tentu 3

2 1

4

r=4

r>3

Kesimpulan 3 • Jumlah kelebihan reaksi dari jumlah persamaan dasar keseimbangan disebut Jumlah Derajat Ketidak Tentuan Statis atau Redundant (R) R=r–3 untuk bidang 2

3

1

4

r=5 r > 3; Struktur statis tak tentu R=5-3=2

5

Latihan • Soal 1 Hitung jumlah redundant struktur berikut ini : 3

2

1

7

5

• Soal 2

r = 7,

6

R= 7- 3 = 4

4 2

3

S

1

r = 8,

R=r-3-s=5 R=8-3-1= 4

5

6

4

8

7

B. Matriks Fleksibilitas Lihat soal berikut : F1

q.

EI

A

B

EI

C

A

D11 =

B

EI

C

q. D1

EI

D2

B

L

L D1 = -

q ( 2 L) 3 qL3 =24 EI 3EI

EI

D2 = -

5q(2 L) 4 5qL4 =382EI 24 EI

D21 =

D22 B F2

F2 (2 L) 2 F2 L2 D12 = = 16 EI 4 EI

F2, D 2

A

EI L

L

L

A

EI

C

L

F1 (2 L) 2 F1 L = 3EI 3EI

D12

q.

EI

B

L

R=2 F1 , D1

D21

EI

L

L

A

D11

F1 (2 L) 2 F1 L2 = 16 EI 4 EI

EI

C

L

F2 (2 L) 3 F2 L3 D22 = = 48 EI 6 EI

D1 + D11 + D12 = 0

-

qL3 2 F1 L F2 L2 + + =0 3EI 3EI 4 EI

….1

D2 + D21 + D22 = 0

5qL4 F1 L2 F2 L3 + + =0 24 EI 4 EI 6 EI

….2

C

•

Persamaan di atas dapat juga di tulis :

D1 + f11 F1 + f12 F2 = 0

dimana;

D 2 + f 21 F1 + f 22 F2 = 0 •

•

D12 = f12 F2

D21 = f 21 F1

D22 = f 22 F2

Dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian matriks

ì D1 ü é f11 í ý+ ê îD 2 þ ë f 21

,

D11 = f11 F1

f12 ù ì F1 ü ì0ü í ý=í ý f 22 úû îF2 þ î0þ

Dapat juga disingkat menjadi

{D}+ [ f ]{F} = {0}

atau

dimana;

2L L2 f11 = ; f12 = 3EI 4 EI 3 L2 f = L f 21 = ; 22 6 EI 4 EI

[ f ]{F} = -{D}

Kesimpulan •

Matriks fleksibilitas adalah

[ f ]{F} = -{D} •

Dimana :

[ f ] = matriks fleksibilitas {F} = gaya kelebihan atau redundant {D} = deformasi akibat gaya luar

Sifat matriks fleksibilitas [f] : 1. Matriks kuadrat (ordo matriks adalah sama (n x n)) 2. Matriks simetris : fij = fji

Langkah Perhitungan 1. Derajat ketidak tentuan statis (redundant) di tentukan 2. Pelepasan gaya kelebihan (redundan) sesuai dengan jumlah redundant 3. Hitung perpindahan (deformasi) akibat beban luar sesuai dengan struktur yang dilepas 4. Hitung matriks fleksibilitas 5. Hitung perpindahan akibat gaya kelebihan satu satuan pada struktur yang dilepas. 6. Hitung gaya kelebihan dengan menggunakan persamaan matriks fleksibilitas

Contoh Soal Soal

Hitung matriks fleksibilitas Elemen, F1=1 satuan

q.

EI

A

B

EI

C

EI

R=2

f11 =

Pelepasan gaya kelebihan

B

EI

EI

C

q.

EI

D2

B

q ( 2 L) 3 qL3 =24 EI 3EI

EI L

L D1 = -

A

f12 =

Hitung deformasi akibat beban luar D1

D2 = -

( 2 L) 2 L = 3EI 3EI

f 21 =

5q(2 L) 4 5qL4 =382EI 24 EI

f22 B

EI L

F2, D 2

A

L

f12

L

L

C

( 2 L) 2 L2 = 16 EI 4 EI

Hitung matriks fleksibilitas Elemen, F2=1 satuan

q. A

EI

B

L

Hitung Jumlah Redundant

F1 , D1

f21

f11

A

L

L

F1

C

EI L

F2

( 2 L) 2 L2 = 16 EI 4 EI

f 22 =

( 2 L) 3 L3 = 48 EI 6 EI

Matriks fleksibilitas : é 2L ê [ f ] = ê 3EI2 ê L êë 4 EI

L2 ù ú 4 EI ú 3 L ú 6 EI úû

=

L é 8 3L ù 12 EI êë3L 2 L2 úû

C

Hitung gaya kelebihan

Rumus Maka,

Jadi,

[ f ]{F} = -{D} [f ]

-1

12 EI L = 2 16 L - 9 L2

{F } = -[ f ] {D} -1

atau

é 2 L2 - 3Lù 12 EI ê ú = 7 L3 3 L 8 ë û

é 2 L2 - 3Lù ê ú 8 û ë - 3L

ì qL3 ü ì F1 ü 12 EI é 2L2 - 3Lù ïï - 3EI ïï 12 EI = 3 í ý=- 3 ê úí 4 ý F 7 L 7L 5 qL 3 L 8 î 2þ ë û ïï ïî 24 EI ïþ

ì F1 ü q é 2L2 - 3Lù ì 8 ü q ì L2 ü í ý= ê úí ý = í ý F 14 3 L 8 î 2þ ë û î5Lþ 14 î16 Lþ qL2 F1 = 14

é 2 L2 - 3Lù qL3 ì 8 ü ê ú 24 EI í5Lý 3 L 8 î þ ë û

Atau,

qL2 8qL F1 = , F2 = 14 7

q. A

C

B L

8qL F2 = 7

L

•

Hitung reaksi perletakan lainnya dengan menggunakan persamaan dasar keseimbangan Dengan penggunakan

:

qL2 MA = 14

q.

HA

A L RA

å H = 0;

C

B RB =

8qL 7

L

RC

HA = 0

= 0;

R A 2L -

qL2 8qL - 2qL.L + L =0 7 14

RA =

13qL 28

å M A = 0;

- RC 2 L -

qL2 8qL + 2qL.L = 0 L7 14

RC =

11qL 28

åM

C

Kontrol :

åV = 0;

13qL 8qL 11qL + +L - 2qL= 0 28 7 28

........................OK

Tugas •

Hitung reaksi perletakan dengan menggunakan metode Fleksibilitas dan gambar gaya-gaya dalam struktur berikut : 1.

Gunakan cara pelepasan yang berbeda dengan contoh. q. A

B

EI

C

L

L

2.

EI

q. A

2EI

B EI

C L

L/2

Kumpul Minggu Depan