ANALISA STRUKTUR METODE FLEKSIBILITAS Kompetensi Dasar Mahasiswa Dapat Menghitung Struktur Statis Tak Tentu Dengan Menggunakan Metode Fleksibilitas A. DERAJAT KETIDAK TENTUAN STATIS (REDUNDANT)
ANALISA STRUKTUR dengan METODE MATRIKS STANDAR KOMPETENSI
Setelah Menyelesaikan Kuliah Analisa Struktur Dengan Metode Matriks Mahasiswa Dapat Menghitung, Dan Menggambar Gaya-gaya Dalam Struktur Statis Tak Tentu 1. 2.
MATERI : ANALISA STRUKTUR METODE FLEKSIBILITAS ANALISA STRUKTUR METODE KEKAKUAN
Persamaan Keseimbangan Statis Dalam Ruang
Y
Fy My Mz Fz
Z
Mx
Fx
åF åF
x
=0
åM
x
=0
y
=0
åM
y
=0
åF
z
=0
åM
z
=0
X
Jumlah Persamaan Dasar Keseimbangan = 6 Persamaan
Persamaan Keseimbangan Statis Dalam Satu Bidang Fy
åF = 0 åF = 0 åM = 0 x
Mz
y
Fx
z
Jumlah persamaan dasar keseimbangan = 3 persamaan
Kesimpulan 1 • Jumlah reaksi (r) ≤ jumlah persamaan dasar keseimbangan maka struktur dikatakan Statis Tertentu
2
1
r=3
3
Kesimpulan 2 • Jumlah reaksi (r) > jumlah persamaan dasar keseimbangan maka, struktur dikatakan Statis Tak Tentu 3
2 1
4
r=4
r>3
Kesimpulan 3 • Jumlah kelebihan reaksi dari jumlah persamaan dasar keseimbangan disebut Jumlah Derajat Ketidak Tentuan Statis atau Redundant (R) R=r–3 untuk bidang 2
3
1
4
r=5 r > 3; Struktur statis tak tentu R=5-3=2
5
Latihan • Soal 1 Hitung jumlah redundant struktur berikut ini : 3
2
1
7
5
• Soal 2
r = 7,
6
R= 7- 3 = 4
4 2
3
S
1
r = 8,
R=r-3-s=5 R=8-3-1= 4
5
6
4
8
7
B. Matriks Fleksibilitas Lihat soal berikut : F1
q.
EI
A
B
EI
C
A
D11 =
B
EI
C
q. D1
EI
D2
B
L
L D1 = -
q ( 2 L) 3 qL3 =24 EI 3EI
EI
D2 = -
5q(2 L) 4 5qL4 =382EI 24 EI
D21 =
D22 B F2
F2 (2 L) 2 F2 L2 D12 = = 16 EI 4 EI
F2, D 2
A
EI L
L
L
A
EI
C
L
F1 (2 L) 2 F1 L = 3EI 3EI
D12
q.
EI
B
L
R=2 F1 , D1
D21
EI
L
L
A
D11
F1 (2 L) 2 F1 L2 = 16 EI 4 EI
EI
C
L
F2 (2 L) 3 F2 L3 D22 = = 48 EI 6 EI
D1 + D11 + D12 = 0
-
qL3 2 F1 L F2 L2 + + =0 3EI 3EI 4 EI
….1
D2 + D21 + D22 = 0
5qL4 F1 L2 F2 L3 + + =0 24 EI 4 EI 6 EI
….2
C
•
Persamaan di atas dapat juga di tulis :
D1 + f11 F1 + f12 F2 = 0
dimana;
D 2 + f 21 F1 + f 22 F2 = 0 •
•
D12 = f12 F2
D21 = f 21 F1
D22 = f 22 F2
Dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian matriks
ì D1 ü é f11 í ý+ ê îD 2 þ ë f 21
,
D11 = f11 F1
f12 ù ì F1 ü ì0ü í ý=í ý f 22 úû îF2 þ î0þ
Dapat juga disingkat menjadi
{D}+ [ f ]{F} = {0}
atau
dimana;
2L L2 f11 = ; f12 = 3EI 4 EI 3 L2 f = L f 21 = ; 22 6 EI 4 EI
[ f ]{F} = -{D}
Kesimpulan •
Matriks fleksibilitas adalah
[ f ]{F} = -{D} •
Dimana :
[ f ] = matriks fleksibilitas {F} = gaya kelebihan atau redundant {D} = deformasi akibat gaya luar
Sifat matriks fleksibilitas [f] : 1. Matriks kuadrat (ordo matriks adalah sama (n x n)) 2. Matriks simetris : fij = fji
Langkah Perhitungan 1. Derajat ketidak tentuan statis (redundant) di tentukan 2. Pelepasan gaya kelebihan (redundan) sesuai dengan jumlah redundant 3. Hitung perpindahan (deformasi) akibat beban luar sesuai dengan struktur yang dilepas 4. Hitung matriks fleksibilitas 5. Hitung perpindahan akibat gaya kelebihan satu satuan pada struktur yang dilepas. 6. Hitung gaya kelebihan dengan menggunakan persamaan matriks fleksibilitas
Contoh Soal Soal
Hitung matriks fleksibilitas Elemen, F1=1 satuan
q.
EI
A
B
EI
C
EI
R=2
f11 =
Pelepasan gaya kelebihan
B
EI
EI
C
q.
EI
D2
B
q ( 2 L) 3 qL3 =24 EI 3EI
EI L
L D1 = -
A
f12 =
Hitung deformasi akibat beban luar D1
D2 = -
( 2 L) 2 L = 3EI 3EI
f 21 =
5q(2 L) 4 5qL4 =382EI 24 EI
f22 B
EI L
F2, D 2
A
L
f12
L
L
C
( 2 L) 2 L2 = 16 EI 4 EI
Hitung matriks fleksibilitas Elemen, F2=1 satuan
q. A
EI
B
L
Hitung Jumlah Redundant
F1 , D1
f21
f11
A
L
L
F1
C
EI L
F2
( 2 L) 2 L2 = 16 EI 4 EI
f 22 =
( 2 L) 3 L3 = 48 EI 6 EI
Matriks fleksibilitas : é 2L ê [ f ] = ê 3EI2 ê L êë 4 EI
L2 ù ú 4 EI ú 3 L ú 6 EI úû
=
L é 8 3L ù 12 EI êë3L 2 L2 úû
C
Hitung gaya kelebihan
Rumus Maka,
Jadi,
[ f ]{F} = -{D} [f ]
-1
12 EI L = 2 16 L - 9 L2
{F } = -[ f ] {D} -1
atau
é 2 L2 - 3Lù 12 EI ê ú = 7 L3 3 L 8 ë û
é 2 L2 - 3Lù ê ú 8 û ë - 3L
ì qL3 ü ì F1 ü 12 EI é 2L2 - 3Lù ïï - 3EI ïï 12 EI = 3 í ý=- 3 ê úí 4 ý F 7 L 7L 5 qL 3 L 8 î 2þ ë û ïï ïî 24 EI ïþ
ì F1 ü q é 2L2 - 3Lù ì 8 ü q ì L2 ü í ý= ê úí ý = í ý F 14 3 L 8 î 2þ ë û î5Lþ 14 î16 Lþ qL2 F1 = 14
é 2 L2 - 3Lù qL3 ì 8 ü ê ú 24 EI í5Lý 3 L 8 î þ ë û
Atau,
qL2 8qL F1 = , F2 = 14 7
q. A
C
B L
8qL F2 = 7
L
•
Hitung reaksi perletakan lainnya dengan menggunakan persamaan dasar keseimbangan Dengan penggunakan
:
qL2 MA = 14
q.
HA
A L RA
å H = 0;
C
B RB =
8qL 7
L
RC
HA = 0
= 0;
R A 2L -
qL2 8qL - 2qL.L + L =0 7 14
RA =
13qL 28
å M A = 0;
- RC 2 L -
qL2 8qL + 2qL.L = 0 L7 14
RC =
11qL 28
åM
C
Kontrol :
åV = 0;
13qL 8qL 11qL + +L - 2qL= 0 28 7 28
........................OK
Tugas •
Hitung reaksi perletakan dengan menggunakan metode Fleksibilitas dan gambar gaya-gaya dalam struktur berikut : 1.
Gunakan cara pelepasan yang berbeda dengan contoh. q. A
B
EI
C
L
L
2.
EI
q. A
2EI
B EI
C L
L/2
Kumpul Minggu Depan