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FLUJO DE POTENCIAS EN REDES TRIFÁSICAS. ASPECTOS GENERALES

Definiciones clásicas de la potencia aparente en redes trifásicas El cálculo de la potencia aparente, en circuitos trifásicos desequilibrados, puede realizarse mediante varias definiciones. A continuación, se presentan algunas de ellas: las dos primeras consideran las potencias definidas por Budeanu y, la última, las tensiones y corrientes de la red o bien las componentes de potencia de Fryze 6?.  La potencia aparente vector, viene dada por la expresión: 2

2

 c   c   c  SVEC    Pk     Qbk     Dk         k a   k a   k a 

2

 La potencia aparente aritmética, es la suma de las potencias aparentes de las fases: S AVA 

c



k a

2 Pk2  Qbk  Dk2

siendo Pk la potencia activa, Qbk , Dk las potencias reactiva y de distorsión de Budeanu, respectivamente, correspondientes a la fase k.  La potencia aparente eficaz se define como: S RMS 

c



k a

2 Pk2  Q Fk 

c

 Vk

k a

Ik

Vk , I k son los valores eficaces de la tensión e intensidad de la fase k. Q Fk es la

potencia reactiva de Fryze demandada por la fase k, por tanto, incluye no sólo el efecto reactivo, sino también el de distorsión. De las expresiones anteriores, se deduce: i. En la potencia aparente vector, se compensan las potencias reactiva y de distorsión de las fases, lo que no ocurre en las restantes. ii. Las potencias eficaz y aritmética son idénticas. En general, se verifica: SVEC  S AVA  S RMS

Por tanto, en redes trifásicas, de acuerdo a la potencia aparente considerada, el factor de potencia tomará valores diferentes; se cumple: FPVEC 

P SVEC

 FPAVA 

P S AVA

 FPRMS 

P S RMS

siendo FPVEC , FPAVA , FPRMS , los factores de potencia correspondientes a las potencias aparentes vector, aritmética y eficaz, respectivamente.

Definiciones globales de la potencia en redes trifásicas Se consideran los dos Grupos de mayor impacto: el primero, es el IEEE Working Group, encabezado por A. Emanuel; tras una encuesta, cumplimentada por 50 compañías eléctricas de Estados Unidos y Canadá, ha propuesto una definición de potencia aparente en régimen no-sinusoidal. El segundo Grupo, la Escuela Alemana, dirigido por M. Depenbrock, presenta una metodología, que no sólo formula una definición de potencias y plantea una división de la misma, sino que incluso establece las bases para la determinación de circuitos equivalentes y, por tanto, podría permitir la compensación de la potencia no-activa 7. Aunque estos dos Grupos son los que cuentan con más seguidores, no por ello debe olvidarse la existencia de otros equipos de trabajo, con menor influencia para liderar nuevas teorías en este ámbito. En nuestra opinión, en redes monofásicas y trifásicas a tres hilos, el modelo del Grupo de IEEE es el adecuado. Sin embargo, en redes a cuatro hilos es preciso tener en cuenta el efecto del neutro; en 8 se tiene en cuenta la intensidad que circula por el neutro. Formulación del IEEE Working Group El Grupo del IEEE, determina los parámetros de una red trifásica equivalente equilibrada, definiendo como Potencia Aparente Equivalente S e : S e  3Ve I e

siendo Ve , I e : Va2 Vb2 Vc2 2 Ve  3

I 2  I b2  I c2 I e2  a 3

donde Va, Vb, Vc, son las tensiones entre los respectivos conductores de línea y un neutro cualquiera e Ia, Ib, Ic, son las corrientes de línea. Sin embargo, en redes a tres hilos resulta más conveniente el cálculo de Ve a través de las tensiones de línea Vij , empleando: Ve2 

2 2 2 Vab Vbc Vca 9

Una vez definidos los valores Ve, Ie, se descomponen -como en las redes monofásicas-, las distintas magnitudes en sus componentes fundamental y armónica:

-2-

2 Ve2  Ve21 VeH

2 I e2  I e21  I eH

siendo Ve21 

2 2 2 Vab 1 Vbc1 Vca 1 9

I e21 

2 VeH 

I a21  I b21  I c21 3

2 2 2   Vabh Vbch Vcah   9 h 1  

 

2 I eH 

2 2 2  I ah  I bh  I ch   3 h 1 

   

En las expresiones el subíndice e significa que es la magnitud equivalente; así Ve es la Tensión Equivalente al sistema trifásico desequilibrado dado, e IeH es la Intensidad Armónica Equivalente del mismo. La Potencia Aparente Equivalente Se, puede descomponerse en la Potencia Aparente Equivalente Fundamental Se1, y la Potencia Aparente Equivalente No-fundamental SeN: 2 S e2  S e21  S eN

La Potencia Aparente Fundamental Se1, se descompone para establecer el grado de desequilibrio de la red: S e21  S12  S d21

La Potencia Aparente Fundamental de Componente Directa S1 , viene dada por: S1  3V1 I 1

donde V1 , I 1 son los valores eficaces de la tensión y la corriente fundamental de secuencia directa, respectivamente; Sd1 es la Potencia Aparente de Desequilibrio, resultante de las Potencias Aparentes de Secuencia Inversa S 1 , y Homopolar S 1o . A su vez, S1 puede descomponerse en P1 , Q1 Potencia Activa y Reactiva de Secuencia Directa, respectivamente. La figura 1, muestra el flujo de potencias de una red trifásica.

-3-

Si la red fuera a cuatro hilos, es necesario considerar el efecto del neutro, por la pérdida de potencia que podría originarse en el mismo; para el caso particular en que la resistencia del neutro tenga el mismo valor que la de las fases, la intensidad equivalente, toma el valor: 2 2 2 2 2 Ia  Ib  Ic  In I*  3

siendo In, la corriente que circula por el neutro, e

I*

la intensidad equivalente.

Figura 1. Flujo de potencias de una red trifásica.

En redes a cuatro hilos, resulta más adecuado considerar las tensiones fase-neutro, para la determinación de la tensión equivalente Ve. La Potencia Aparente Equivalente, en este caso viene dada por la expresión: S*  3 Ve I e  Va2  Vb2  Vc2

I a2  I b2  I c2  I n2

En lo sucesivo, tanto en circuitos a tres como a cuatro hilos, se designará la Potencia Aparente Equivalente como S* . Propuesta de Depenbrock M. Depenbrock, líder de la Escuela Alemana, basándose en los trabajos de Fryze y Buchholz, presentó en la Conferencia Blindleistung, celebrada en Aachen en 1979, la teoría que luego se conoció como el método FBD -Fryze, Buchholz, Depenbrock-, que define un circuito monofásico equivalente que consume idéntica potencia aparente que el sistema polifásico dado.

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El método FBD, considera activos todos los conductores del sistema polifásico, lo que excluye el concepto de hilo neutro; para el cálculo de las tensiones de rama, toma como punto de referencia el neutro flotante de una carga equilibrada en estrella. Define la potencia aparente como el máximo valor del producto de la tensión y corriente equivalente: S   V I 

siendo V2 

k

 V

 1

donde V , V , son los valores eficaces de las tensiones equivalente y de rama, respectivamente. I 2 

k

 I

 1

I  , I , son las corrientes equivalente y de rama, respectivamente.

A pesar de algunas interesantes aportaciones conceptuales, el método FBD ha sido desplazado por el propuesto por el Grupo de IEEE, cuya descomposición de potencias resulta de una mayor sencillez y donde las diferentes componentes de potencia se relacionan, directamente, con las particularidades de la red.

Pérdidas en la línea Se determina la expresión de las pérdidas, en la línea de alimentación, a partir de las magnitudes globales definidas. Se supone que los cuatro conductores de línea tienen el mismo valor de resistencia RL . La potencia perdida en la línea, para un régimen genérico de funcionamiento i, es:





2 2 2 2 PLi  I ai  I bi  I ci  I ni RL

Por tanto: PLi  3 I*2i R L



La mínima pérdida de potencia en la línea, para el mismo valor de potencia transmitida a la carga, tiene el valor:

2 2 2 PLmn a  b  c RIII L -5-

siendo las corrientes I a , I b , I c sinusoidales y en fase con la componente directa de la tensión, es decir, la condición de pérdidas mínimas implica que la tensión de alimentación sea sinusoidal equilibrada1. Por tanto, la potencia consumida en la carga, en régimen de pérdidas mínimas, es: P1  3V1 I 1 cos  1

siendo  1 , el desfase entre la tensión y la corriente de la componente directa. PLmn  3 I 12 cos 2  1 R L

Dividiendo, miembro a miembro, PLmn y PLi , resulta: PLmn I 12 cos 2  1  PLi I*2i

que puede expresarse en función de las potencias aparentes, resultando: PLmn  S 1 cos  1   PLi S* i 

   

2

 Ve  V   1

   

2

siendo S1 cos  1 / S* i , la relación entre la Potencia de Componente Directa y la Potencia Aparente Equivalente, que se designa FP i , Factor de Potencia de Componente Directa. Por tanto: V PLmn  FP2i  e V  PLi  1

   

2

En la mayoría de los casos FP i  FP* i , Ve  V1 , resultando: PLmn  FP*2i PLi

Intercambio de energía reactiva en la alimentación En redes monofásicas sinusoidales con carga lineal, se asocia la demanda de potencia reactiva con la presencia de elementos L/C, por lo que se define -por muchos autores- como energía de almacenamiento, de manera que en circuitos con carga resistiva o en aquéllos en resonancia a la frecuencia de la excitación, no existe generación de energía reactiva en el alternador; sin embargo, en redes trifásicas desequilibradas, incluso con tensión sinusoidal y También se obtiene factor de potencia unidad si la tensión de alimentación es equilibrada nosinusoidal y la carga resistiva simétrica. No obstante, no se considera, este caso, porque implica una distorsión de la tensión de alimentación. 1

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carga resistiva lineal, puede establecerse un intercambio de energía reactiva entre las fases del alternador, a pesar de no existir elementos almacenadores de energía.

(a)

(b)

Figura 2. Intercambio de energía reactiva. (a) Circuito con alimentación sinusoidal equilibrada. (b) Diagrama fasorial correspondiente al caso ii.

Sea el circuito trifásico de la figura 2, alimentado por un alternador trifásico sinusoidal equilibrado, siendo E a  300 V . Se consideran cuatro casos -todos ellos con carga resistiva lineal-, siendo su configuración la indicada en la tabla I.

Tabla I. Valores de las cargas y tipos de conexión correspondientes a los casos i a iv. CASO i ii iii iv

Ra ( ) 0 5 5 5

R b ( ) 5 5 5 5

Rc ( ) 25  25  25  5

Conexión Triángulo abierto Tres hilos Cuatro hilos Carga equilibrada

Según se muestra en la tabla II, en el caso i, las fases a y c del alternador están generando potencia reactiva capacitiva y la b inductiva, aunque la consumida -en conjunto- es nula, porque no existe ningún elemento reactivo en la red. En el caso ii, se atenúa el fenómeno, pero sigue generándose reactiva en dos de las fases. Si se modifica la topología del circuito ii, conectando un hilo neutro de impedancia despreciable, caso iii, el alternador de alimentación deja de generar energía reactiva. Obviamente, también desaparece la generación de reactiva, para el caso iv, red equilibrada, siendo éste el de máxima eficiencia energética.

Tabla II. Valores de las potencias aparentes -expresados en kVA- y de los factores de potencia, según distintas definiciones, correspondientes a los casos i al iv.

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CASO

SEa

SEb

SEc

SVEC

SAVA

i

32,4-j12,5

27+j15,6

5,4-j3,1

64,8

72,1

ii

14,7-j5,7

14,7+j5,7

4,9

34,3

iii

18

18

3,6

iv

18

18

18

S*

FPVEC

FPAVA

FP*

81,5

1

0,898

0,795

36,4

39,6

1

0,942

0,868

39,6

39,6

44,5

1

1

0,889

54

54

54

1

1

1

En la tabla II se indican, además de los valores de las potencias aparentes complejas generadas por las fases del alternador, las potencias aparentes definidas, así como el factor de potencia correspondiente a cada definición. Se observa que el más exigente es el FP* , ya que sólamente alcanza el valor unidad, cuando la red está equilibrada con carga resistiva lineal; por el contrario, FPVEC es la unidad, en todos los casos, por el hecho de que la potencia reactiva total demandada por la carga -al ser resistiva- es nula. Por tanto, las potencias reactivas intercambiadas entre las fases del alternador -en los caos i y ii-, deben considerarse potencias de desequilibrio, ya que la carga es resistiva.

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