Actividad6_calculo Diferencial E Integral.docx

Nombre de la materia Cálculo diferencial e integral Nombre de la Licenciatura Ingeniería en Sistemas Nombre del alumno 00000000 Matrícula 111111111111111 Nombre de la Tarea Métodos de integración Unidad 5 5 Nombre del Profesor xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Fecha xxxxxxxx

Unidad 5.Métodos de integración. Cálculo diferencial e integral

“Lo fácil es darse por vencido y rendirse, pero tú no lo vas a hacer, porque vas a seguir luchando para poder disfrutar de tus éxitos.”

ACTIVIDAD 6 Objetivos: 

Identificar y aplicar los métodos de integración básicos.



Realizar integrales mediante el método de cambio de variable y por partes.

Instrucciones: Después de revisar los videos y los recursos siguientes debes desarrollar la actividad 6.

Lectura



Métodos de integración (INITE, 2011). Se presentan los métodos de sustitución, por partes, sustitución trigonométrica y fracciones racionales (páginas 243-272).

Presentación 

Métodos de integración ( Rodriguez, 2012).

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2

Unidad 5.Métodos de integración. Cálculo diferencial e integral

Forma de evaluación: Criterio

Ponderación

Presentación

10%

Valor de los ejercicios

90%

1: 2: 3: 4:

(Valor (Valor (Valor (Valor

2.0 2.0 2.5 2.5

puntos) puntos) puntos) puntos)

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Unidad 5.Métodos de integración. Cálculo diferencial e integral

Desarrollo de la actividad:

Ejemplo 1: Calcular mediante el método de cambio de variable la siguiente integral:

∫ 𝑥√𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 Solución: Se realiza primero el cambio de variable y se obtiene su diferencial:

Entonces

∫ 𝑥 √𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 √𝑢

𝑢 = 𝑥2 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑢 1 1 2 1 1 = ∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 = ( ) ( ) 𝑢3/2 = 𝑢3/2 = (𝑥 2 + 1)3/2 + 𝐶 2𝑥 2 2 3 3 3

Ejercicio 1: (Valor 2.0 puntos) Utilizando el método de cambio de variable calcular la integral que se indica.

∫ 𝑥 √3𝑥 2 + 2 𝑑𝑥

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Unidad 5.Métodos de integración. Cálculo diferencial e integral

Ejemplo 2: Realizar la siguiente integral utilizando el método de integración por partes:

∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 Solución: Tenemos que utilizar la fórmula de la integral por partes

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 Realizamos la identificación de cada una de las partes como sigue:

𝑢=𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑣 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 Entonces

∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − [∫(−𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥] = −𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 + 𝐶

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Unidad 5.Métodos de integración. Cálculo diferencial e integral

Ejercicio 2: (Valor 2.0 puntos) Realizar mediante la integración por partes la siguiente integral:

∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥

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Unidad 5.Métodos de integración. Cálculo diferencial e integral

Ejemplo 3: Realizar la siguiente integral mediante el método de suma de fracciones parciales

∫ Solución: Primero tenemos que separar el integrando

5𝑥 + 3 𝑑𝑥 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 5𝑥 + 3 𝑥 2 + 2𝑥 − 3

En suma de fracciones parciales. Para ello lo primero es factorizar el denominador como sigue a continuación:

𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) Luego, se realiza la separación como sigue a continuación:

5𝑥 + 3 5𝑥 + 3 𝐴 𝐵 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 3) = = + = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) (𝑥 + 3) (𝑥 − 1) (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) De donde

5𝑥 + 3 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) Como los denominadores son iguales sólo queda que los numeradores sean iguales también:

5𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 3) Las raíces del denominador son x=1 y x=-3. Sustituyendo la primera obtenemos:

5(1) + 3 = (𝐴 + 𝐵)(1 − 1) + 𝐵(1 + 3) 8 = (𝐴 + 𝐵)(0) + 𝐵(4) 8 = 4𝐵 𝐵=2 Mientras que si sustituimos x=-3 tenemos:

5(−3) + 3 = 𝐴(−3 − 1) + 𝐵(−3 + 3) −15 + 3 = 𝐴(−4) + 𝐵(0) −12 = −4𝐴 𝐴=3

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Unidad 5.Métodos de integración. Cálculo diferencial e integral

Entonces

𝑥2

5𝑥 + 3 3 2 = + + 2𝑥 − 3 (𝑥 + 3) (𝑥 − 1)

De donde

∫

5𝑥 + 3 3 2 3 2 𝑑𝑥 = ∫ [ + ] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 (𝑥 + 3) (𝑥 − 1) (𝑥 + 3) (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 3∫ + 2∫ = 3 ln(𝑥 − 1) + 2 ln(𝑥 + 3) + 𝐶 (𝑥 + 3) (𝑥 − 1)

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Unidad 5.Métodos de integración. Cálculo diferencial e integral

Ejercicio 3: (Valor 2.5 puntos) Realizar la siguiente integral utilizando el método de integración por suma de fracciones parciales

∫

2𝑥 − 1 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

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Unidad 5.Métodos de integración. Cálculo diferencial e integral

Ejemplo 4: Realizar la integral siguiente mediante el método de sustitución trigonométrica.

∫

𝑑𝑥 𝑥 2 √4 − 𝑥 2

Solución Como el radicando del denominador tiene la forma a2 − u2 entonces tenemos que realizar la sustitución trigonométrica 𝜋

𝜋

𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃, − 2 < 𝜃 < 2 .

Al diferenciar esto nos queda

𝑑𝑥 = 2 cos 𝜃 𝑑𝜃 Entonces

∫

𝑑𝑥 𝑥 2 √4

−

𝑥2

=∫

2 cos 𝜃 𝑑𝜃

=∫

2 cos 𝜃 𝑑𝜃

(2 sen 𝜃)2 √4 − 4 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 (2 sen 𝜃)2 √4 − (2 sen 𝜃)2 cos 𝜃 𝑑𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 =∫ =∫ =∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃√4(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 𝑠𝑒𝑛2 𝜃√4(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 𝑠𝑒𝑛2 𝜃√(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) cos 𝜃 𝑑𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 =∫ =∫ =∫ = ∫ = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃√𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑠𝑒𝑛2 𝜃√𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 1 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 = cot 𝜃 + 𝐶 2 x

Como x = 2 sen θ, entonces sen θ = , por lo que: 2

√𝟒 − 𝒙𝟐 𝒄𝒐𝒕 𝜽 = 𝒙

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Ejercicio 4: (Valor 2.5 puntos) Resolver la siguiente integral mediante el método de sustitución trigonométrica

∫

𝑑𝑧 𝑧 2 √16 − 4𝑧 2

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