Actividad3_cálculo Diferencial E Integral.doc

Nombre de la materia Cáá lculo diferenciál e integrál Nombre de la Licenciatura Nombre del alumno Matrícula Nombre de la Tarea Unidad 2 Nombre del Profesor Fecha

Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.” Albert Einstein

ACTIVIDAD 3 Objetivos: 

Definir e Identificar geométrica y algebraicamente el concepto de derivada.



Calcular derivadas explícitas de funciones continuas.



Calcular derivadas de funciones implícitas, así como derivadas de orden superior para su interpretación gráfica.

Instrucciones: Después de revisar los videos y los recursos siguientes debes desarrollar la actividad 3.

Video 

Ejemplos de aplicación de la derivada.

Lectura 

Derivadas y métodos de derivación (INITE, 2012). Se presenta la derivada de la función inversa y de funciones implícitas (páginas 104-120).



Diversas aplicaciones de la derivada (INITE, 2012). Podrás revisar los polinomios de Taylor y de Maclaurin (páginas 141-143), así como la regla de L'Hopital (páginas 148-149).



Derivadas II (INITE, 2011). Documento en el que se observa la manera de calcular derivadas de orden superior (páginas 173-178).

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

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Formá de eváluácioá n: Criterio

Ponderación

Presentación

10%

Valor de los ejercicios

90%

1: (Valor 9.0 puntos)

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Desarrollo de la actividad: Al modelar las situaciones de nuestro entorno para expresar la relación existente entre las variables involucradas en términos de operaciones algebraicas y al describir la dinámica de estas situaciones, nos encontramos con que la variación de alguna de estas variables en un periodo determinado, implica la variación simultánea de las otras variables con respecto al tiempo. Por principio conceptual, sabemos que la variación de una variable con respecto al tiempo es, en sí misma, una velocidad y que éstas son expresables en términos de derivadas, que son divisiones de diferenciales de cada variable, como:

Como ejemplo, supongamos que se está inflando un globo esférico, al inflarlo más y más, su volumen aumenta en función de la cantidad de gas o aire que se le introduzca, (diferente a la situación de inflar un balón cuyo volumen no aumenta, aunque si su presión interna), así como aumenta también el área de su superficie. La cantidad de aire que se introduce al globo por unidad de tiempo es una razón de cambio (una razón es una división) y se expresa como la derivada

, es decir, la variación del volumen del globo por unidad de tiempo. Si se sabe que la velocidad con que el aire entra al globo es de, por ejemplo, 2 metros cúbicos por minuto (lo que significa que el volumen del globo aumenta dos metros cúbicos cada minuto) puede expresarse esta información como:

Como se sabe, el volumen de un globo esférico (o en general de una esfera) depende del radio r del mismo y puede ser de interés investigar cómo es la variación del radio r con respecto al tiempo, (esto es, determinar

) cuando

. Igualmente, puede ser de interés determinar la

variación del área A de la superficie del globo con respecto al tiempo,

De hecho, se conoce que el Área A y el Volumen V de una esfera se expresan en función del radio de la misma por medio de las relaciones:

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Unidad 2.Derivadas Cálculo diferencial e integral

Así, aplicando los principios del cálculo diferencial, bien sea derivando implícitamente a A y a V con respecto a t, o aplicando el concepto de la regla de la cadena en la forma de

se pueden obtener expresiones para las razones de cambio

,ó

,

. Si en el contexto del problema

se especifican valores para las variables r, A o V, las razones de cambio

pueden darse en

forma explícita como valores concretos. De hecho, en el contexto de los problemas que se relacionan con este tema, la información provee al menos una razón de cambio conocida y alguna información específica de las variables involucradas y se pide determinar otra(s) razón(es) de cambio. Se propone la siguiente estrategia para resolver problemas de Razones de cambio relacionadas: 1.

Lea el problema con cuidado y mucha atención identificando sus partes.

2.

Dibuje o genere un bosquejo o diagrama del problema.

3.

Asigne letras a todas las cantidades y variables que sean función del tiempo.

4.

Exprese la información dada y la relación de variables en términos de derivadas.

5.

Escriba una ecuación que relacione las diversas variables del problema.

6.

Aplique aspectos geométricos de la relación de estas variables, para eliminar por sustitución algunas de ellas, dejando solo las que son importantes y/o solicitadas para cálculo.

7.

Use la regla de la cadena o derivación implícita respecto de t en la ecuación resultante del punto 5.

8.

Sustituya la información dada en la ecuación resultante y resuelva para la razón de cambio desconocida.

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Ejemplo 1: Se bombea aire dentro de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a razón de

¿con qué rapidez crecen el radio del globo y su área cuando el diámetro es de 50 cm? Solución. Como se puede analizar, al aumentar el volumen del globo, aumenta también su radio y su área superficial (Figura 1).

La información suministrada señala que la razón de cambio del volumen respecto del tiempo es de

, y se desea calcular la razón de cambio del radio respecto del tiempo y la razón de cambio del área respecto del tiempo, cuando el diámetro es de 50 cm., o el radio es de 25 cm.

Globo r

rádi o

Figura 1. Globo que crece al inflarse

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Asignando V, r y A a las variables Volumen, radio y Área respectivamente, las razones de cambio

dada y solicitadas se expresan como

. Así, el problema a resolver se expresa como

Dado

, calcular

cuando r = 25 cm.

Las relaciones que conectan V, r y A son:

En primer lugar, utilizando la relación

y derivando ambos lados de la ecuación con

respecto a t tenemos:

Como

, despejando

se tiene que:

Cuando r = 25, se tiene que:

Así, el radio del globo crece a razón de

cuando su diámetro es de 50 cm.

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Para calcular la razón de cambio

, partimos de la relación

. Derivando a ambos lados

con respecto a t, se tiene:

Como

, y si r = 25 cm., se tiene que:

Se concluye que el área del globo crece a razón de

cuando su diámetro es de 50 cm. ó 25 cm

de radio.

Ejemplo 2: Una escalera de 10 m. de largo está apoyada contra una pared vertical. Si el extremo inferior de la

escalera resbala alejándose de la pared a razón de

¿con qué rapidez resbala hacia abajo su

extremo superior cuando su extremo inferior está a 6 m. de la pared? (Figura 2). Solución. Se entiende que el piso es horizontal y que la pared es vertical, por lo que el piso es perpendicular a la pared.

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Asignando x a la distancia de la pared al extremo inferior de la escalera & y a la distancia del piso

al extremo superior de la escalera, la información dada nos señala que

calcular

y se desea

cuando x = 6 m.

Dado que el piso y la pared son perpendiculares, el sistema Piso-Pared-Escalera forman un triángulo rectángulo en el que el piso y la pared son los catetos y la escalera la hipotenusa y por principio geométrico, se cumple el Teorema de Pitágoras, por lo que la siguiente relación es válida:

Derivando ambos lados de esta ecuación respecto de t, se obtiene:

Despejando

se tiene su expresión de razón de cambio:

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Cuando x = 6 m., de la relación

se concluye que y = 8 m., por lo que:

El signo negativo del resultado, significa que el valor y de la distancia del extremo superior de la escalera al piso está disminuyendo. Cuando la escalera resbala.

Ejercicio: (Valor 9.0 puntos) Si una bola de nieve se funde de modo que su área superficial disminuye a razón de

,

encuentre la razón a la cual disminuye el diámetro cuando éste es de 10 cm.

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A= 4π r2

r=D 2

_dp_ =?

4π (D)2

dt d A = 2cm2/mm

2 4π D2

dt

4

d A = 2π dp π (D2) dt dt 2cm2/mm = 2π (10) (_dp_) dt _2cm2/mm_ = _dp_ 20πcm dt _dp_ = ___2cm2/mm___ = _2cm/min_ dt 20(1.1416) cm 62.832 _dp_ = 0.0318309141cm/min dt La razón por la cual la bola de nieve disminuyo su diámetro a 10cm es debido a que la bola tenia una velocidad de 0.0318309141 cm/min.

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