5 Exponentes

Exponentes fraccionarios y radicales

Capitulo 5

5.

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES. 5.1. Propiedades de los exponentes fraccionarios. 5.2. Operaciones con exponentes fraccionarios. 5.3. Definición de raíz 5.4. Propiedades de los radicales. 5.5. Simplificación de un radical. 5.6. Suma de radicales. 5.7. Multiplicación y división de radicales. 5.8. Racionalización.

Antecedentes Vestigios arqueológicos encontrados en Mesopotamia han permitido comprobar que los babilonios utilizaban la potenciación para efectuar multiplicaciones basándose en la propiedad de que el producto de dos números es igual al cuadrado de la semisuma menos el cuadrado de su semidiferencia. El matemático griego Diofanto utilizó la yuxtaposición para representar las potencias. De este modo x, xx, xxx… representaban la primera, segunda y tercera potencias de x respectivamente. La notación actual con exponentes fue introducida por René Descartes (1596-1650). A principios del Siglo X y hasta el siglo XIV, los matemáticos chinos se interesaron en el álgebra aritmética. Un matemático chino descubrió la relación entre el cálculo de raíces y el arreglo de coeficientes binomiales del triángulo de Pascal. Este descubrimiento y la multiplicación repetitiva (con iteraciones) se emplearon para extender la extracción de raíces y para resolver ecuaciones de grado mayor al cúbico. El signo de la raíz cuadrada

puede rastrearse en el tiempo hasta Christoff Rudolf (1500-1545), quien

lo escribió como  con dos trazos. Rudolf pensó que  recordaba el aspecto de la r minúscula, la inicial de la palabra radix, que significa raíz. Así la notación es x y se lee “la raíz cuadrada de x”

5.1 Propiedades de los exponentes fraccionarios Los exponentes fraccionarios provienen de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente del término radicando se divide por el índice de la raíz; si el cociente no es una cantidad entera, la división queda indicada, dando lugar al exponente fraccionario, es decir: a

1

n

 a n

b

m

m

n

1   b n   n b m  

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

5.2 Operaciones con exponentes fraccionarios La ley de los exponentes en la multiplicación, que nos dice que para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes es general y se aplica igualmente cuando las cantidades que se multiplican tienen exponentes negativos o fraccionarios. 1 2

a-4  a = a-3

a-1  a-2 = a-3

a a =a

a a =a =1

3

-5

-2

3

-3

3 4

a a  a

0

a



3 4

1 2

1 3  2 4

a  a

a

3 1   4 2

5 4

a



1 4

Recordando las propiedades de los exponentes:

a 

a m  a n  a mn

m n

am  amn , m  n n a

abm  a m b m

 a mn

am  anm , m  n n a

a m 

1

a

m

así mismo

1

a

m

 am

Ejemplo:

Multiplicar 2 x 1  3x



1 2

y



1 2

 y 1 por x 1  x



1 2

y



1 2

 y 1

Los polinomios están ordenados en orden ascendente con relación a x porque el exponente de x en el segundo termino -½ es mayor que el exponente de x en el primer termino -1 y el tercer termino y-1 equivale a x0y-1 y 0 es mayor que el -½. Tendremos 2x

1

 3x

x 1  x 2x

2





 3x

1 2

1 2

y y



3 2



3 2

 2x





y y

1 2

1 2

 y 1  y 1



1 2



1 2

 x 1 y 1  3x 1 y 1  x



1 2

y



1

2 x 1 y 1  3x  2 y 2x

2

 x



3 2

y



1 2

 2x

Ejemplo: 2

1

1



1

Multiplicar ab 1  a 3  a 3 b por a 3 b 3  b  2  a 3 b 1

2

1

a b 1  a 3  a 3 b 1 a 3 b 3

b

2

a



1 3 b 1

5-2



1 2

y



3 2

 3 2

3 2

 y 2

 y 2

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES 4

2

a 3 b  4  ab 3  a 3 b  2 2

1

ab 3  a 3 b  2  a 3 b 1 2

1

 a 3 b  2  a 3 b 1  1 4

2

a 3 b 4

 3a 3 b  2

1

1 1    3    El 1 último se obtiene porque el producto  a b  a 3 b   a 0 b 0  1  1  1       La ley de los exponentes en la división que nos dice que para dividir potencias de la misma base se resta el exponente del dividendo, se aplica igualmente cuando los exponentes de las cantidades que se dividen son negativos o fraccionarios.

a 1  a 2  a 1 2  a 3 aa



1 3

 1 1     3

a

1

a

1 3

a

a 3  a 5  a 3 5  a 2 4 3

1

3

1 3  4

a2  a4  a2

a



1 4

a 2  a 1  a 2 1  a3 a



1 4

1

 a2 

1 1   4 2

a



3 4

Ejemplo: 1 3 5 3 7 2 2 3 3 4 4 Dividir a b  2ab  a b entre a b  2a b a b

Dividendo y divisor están ordenados en orden ascendente a la a. Tendremos:

a 2b2  2a3b3 a 4b4

a 3b1  2a 2b2  a 1b3 a1b3  2ab5  a3b7  a 1b3  2b4  ab5  2b4  3ab5  2b4  4ab5  2a 2b6  ab5  2a 2b6  a3b7  ab5  2a2b6  a3b7

Al dividir 2b-4 entre a2b-2 como en el dividendo no hay a y en el divisor hay a2 debe de tenerse presente que 2b4 equivale a 2a0b-4 y dividiendo esta cantidad entre a2b-2 tenemos 2a0b-4  a2b-2 = 2a0-2b-4+2 = 2a2b-2 que es el resultado del cociente.

5-3

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES Ejemplo:

Dividir: 1

x 2  2  3x 1 2

4x  1  x



1 2



1 2

1 2

4 x  7 x  11  x



1 2

 3x 1

1

 4x  x 2  1 1

8 x 2  10  x



1 2

1 2

- 8x  2  2 x 12  3x





 12  3x

1 2

1 2



1 2

 3x 1

 3x 1

1

Al efectuar la división entre de 12 entre 4x 2 podemos considerar que 12 tiene x0 y tendremos 1

1

12  4 x 2  12x 0  4 x 2  3x

0

1 2

 3x



1 2

O sea que si en el divisor hay una letra que no la hay en el dividendo, esa letra aparece en el cociente con el signo cambiado.

5.3 Definición de raíz La

se llama signo radical. El número o expresión dentro del radical se llama radicando. Toda la

expresión, incluyendo el signo radical y el radicando recibe el nombre de expresión radical. Otra parte de una expresión radical es su índice. El índice indica la “raíz” de la expresión. Las raíces cuadradas tienen un índice de 2. El índice de las raíces cuadradas por lo general no se escribe.

x Significa

2

x .Otros tipos de expresiones radicales tienen índices diferentes. Por ejemplo

3

x es la

raíz tercera o cúbica de x. El índice de las raíces cúbicas es 3.

8 se lee “la raíz cuadrada de 8” y su radicando es 8 5 x se lee “la raíz cuadrada de 5x” y su radicando es 5x x x se lee “la raíz cuadrada de x entre 2y” y el radicando es 2y 2y

Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada negativa. La raíz cuadrada positiva o principal de un número real positivo x, que se describe como número positivo cuyo cuadrado es igual a x.

5-4

x , es el

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

Algo que debes de comprender bien es que las raíces cuadradas de los números negativos no son número reales. Consideremos  4 ¿A que es igual  4 ? Para evaluar esto,  4 , debemos encontrar un número cuyo cuadrado sea igual a –4. Pero sabemos que el cuadrado de cualquier número distinto de cero debe de ser un número positivo. Por lo tanto ningún número elevado al cuadrado da –4 y valor real. Los números como imaginarios.

 4 no tiene

 4 o la raíz cuadrada de cualquier número negativo, se llaman números

Para ayudarnos en el análisis de los números racionales e irracionales, definiremos los números cuadrados perfectos. Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... se llaman números cuadrados perfectos porque cada uno de ellos es el cuadrado de un número natural. Cuando un número cuadrado perfecto es un factor de un radicando, nos referimos a él como un factor cuadrado perfecto. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... número naturales 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, ... cuadrados de los número naturales 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... números cuadrados perfectos Un número racional es aquel que se puede escribir de la forma

a , donde a y b son enteros diferentes de b

cero (b0). Todos los enteros son números racionales, por que se pueden expresar con un denominador igual a 1. Las raíces cuadradas de los números cuadrados perfectos también son números racionales porque cada uno es un entero. Cuando un número racional se escribe como decimal, será un decimal finito o periódico. Decimal finito Decimal periódico 1 1  0.5  0.333... 2 3 1 2  0.25  0.666... 4 3 1 4  2.0  0.1666... 6 Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Al escribir los números irracionales como decimales, no son decimales infinitos ni periódicos. La raíz cuadrada de cualquier entero positivo que no sea un cuadrado perfecto es un número irracional. Por ejemplo,

2 y

3 son números irracionales.

5-5

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

Número cuadrado perfecto 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

Raíz cuadrada del número cuadrado perfecto 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400

Valor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Clasificar los números que aparecen en la tabla siguiente; los que sean racionales expresarlos como el cociente de dos enteros. N U M E R O -3 Entero positivo  Entero negativo Racional  Cociente  3 de dos 1 enteros Irracional

0

100 20% 0.333...

0.09 .333

25 12

7

2 3 4

3

25

32 2



   

0 1

10 1



1 5





1 3

3 10



333 1000





5 12



4 1

2 5 



Hay ocasiones en que es más conveniente trabajar con radicales que con exponentes racionales y viceversa. Con frecuencia es preferible intercambiar las dos formas. Las siguientes relaciones son útiles al respecto:

Considera que para b no negativo, cuando n es par

5-6

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

a

1

n

n a

b

m

m

1   b n   n b m  

n

Los siguientes ejemplos deben aclarar el proceso de cambiar una forma por la otra. Todas las variables representan números reales positivos.

5

1

 5

2

3u v  2 3

1 3

x

2

3

x



 5 3u 2v3

5

1



x

2

x

2

  3

5

2



3

2

m 1 2

y

2

4

2

 3 m2 o bien

3

2



3

1 y

3 4

3

2 4

7 x

13  13

3

3x y   3x y 

5

3u 2v3

1 7

w3  w 4

4

2

1

 3

3



y2

 m

2

3

1



x4  y4  x4  y4

 y 3

2



1 4

5

EJERCICIOS 5.1: Cambia a la forma radical. No simplifiques

11

1 2

5m U x

6 2 3

3 5 3 4

1 4

4y

a  b 

3 7

1

1 2

72

4ab 

5

4 y 

7 x y 

2 3 5

3 7

1 3 2

2 3

Cambia a la forma exponente racional. No simplifiques.

1 y2

6

4

w

4

a2

7

m

5

y3

4

xy 3

5

7m n  3

x2  y2

3 4

Para ayudarnos a cambiar y simplificar las expresiones con radicales, veremos varias propiedades de los radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo:

5-7

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES 5

 

25  25

1 5

5

 2 5  21  2

4  9  36  6 o bien

36  9  3 o bien 4 6

 

2  2 4

1 4 6

4  9  23  6 36 6  3 4 2

4 6

 

2 3

 2  2  22

1 3

 3 22

5.4 Propiedades de los radicales Estos ejemplos sugieren las siguientes propiedades generales de los radicales. n, m y k son números naturales 2, x y y son números reales positivos. 1.-

n

2.-

n

x  y

n

x y

xn  x

3.-

xy  n x n y

4.- kn x km  n x m

n

n

Estas propiedades se comprueban de la siguiente manera:

1.-

n

2.-

n

 

x  x n

1 n n

n n

x x 1

3.-

n

4.-

kn

x x x     1  y  y yn

1

xy  xy n  x n y n  n x n y 1

1 n

1 n

 

x km  x km

1 kn

n n

km

x y m

 x kn  x n  n x m

El siguiente ejemplo ilustra como se aplican estas propiedades. Todas las variables representan números reales positivos. Propiedad 1:

5

3x y  2

5

 3x 2 y

10 5  50  25  2  25  2  5 2

Propiedad 2: Propiedad 3:

3

3 x x 3 x 1 3  o bien: 3 x 27 3 3 27

Propiedad 4:

6

x 4  23 x 22  3 x 2

Las leyes de los radicales nos brindan los elementos para cambiar las expresiones algebraicas con radicales por una variedad de formas equivalentes. Una forma muy útil es la forma radical más simple. Se dice que una expresión algebraica con radicales está en la forma radical más simple, cuando satisface las cuatro condiciones siguientes: Forma radical más simple

5-8

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

1.- El radicando (expresión dentro del signo radical) no contiene ningún factor polinomial de una potencia mayor o igual al índice del radical.

x 3 Viola esta condición 2.- La potencia del radicando y el índice del radical no tienen ningún factor común, que no sea 1. 6

x 4 Viola esta condición

3.- No aparece un radical en el denominador.

3 Viola esta condición 5 4.- No aparece ninguna fracción dentro del radical.

2 Viola esta condición 3 Es necesario comprender que ocasionalmente, pueden ser más útiles otras formas que no sean con la forma radical más simple. La elección depende de la situación. Ejemplo:

Cambia a la forma radical más simple

72  6 2  2  6 2  2  6 2

8x 3  9

4x 2x  4x   2

2

2x  2x 2x

x6  3 x2

3x 3x 3 3x 3    x 3 3 3 3 3 x x2 2x 2x 2x 1     2x o bien 2 22 4 2 2 4 Al proceso de suprimir los radicales de un denominador se le llama racionalización del denominador.

5.5 Simplificación de un radical Una expresión que contiene radicales está en su forma más sencilla sí:  No se puede sacar ningún factor del radicando.  No puede reducirse ningún índice.  No hay fracciones dentro del radical.  No hay radicales en el denominador.

Ejemplo:

Reducir:

18  32  2  32  2  3 2

5-9

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES 4

25 x 2  4 5 x   5 x 2

1 1 3 42 3 16 3 8 3 2 23 2 3 2       3 4 4 2 4 3 4 3 42 3 43 4 4 2 2 5    5 5 5 5 x 1 x 2

Para eliminar el radical 2 del denominador recordemos la formula del producto de binomios conjugados (a-b)(a+b)=a2-b2; así multiplicando el numerador y el denominador de la expresión por (x+2), obtenemos:





x 1 x  2 x2  2 1 x  2   x2  2 x 2 x 2

5.6 Suma y resta de radicales Con frecuencia es posible simplificar las expresiones algebraicas con radicales sumando o restando términos que contengan exactamente las mismas expresiones. Ejemplo:

Combinando todos los términos posibles

5 3  4 3  5  4 3  9 3

23 xy 2  73 xy 2  2  73 xy 2  53 xy 2

3 xy  23 xy  4 xy  73 xy  3 xy  4 xy  23 xy  73 xy  7 xy  93 xy Así vemos que, si dos términos contienen exactamente el mismo radical con el mismo índice y también el mismo radicando, se pueden combinar en uno solo.

Ejemplo:

Expresemos ahora, los términos en su forma radical más simple y combinarlos hasta donde sea posible.

4 8  2 18

 4 42  2 92

8 2 6 2 2 2 2 12 

1 3

 2 4  3 

4 3

1 3 3 3

3 3 5 - 10

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

1   4   3 3  11 3 11  3 o bien 3 3 81  3 1 9

3

 3 33  3  3

1 3  32 3

13 3 3 1    3  3 3 3  8 33 3  33 3 

5.7 Multiplicación y división con radicales Ahora estudiaremos varios tipos de productos y cocientes especiales con radicales. En nuestro planteamiento de estos problemas la propiedad distributiva de los números reales desempeña un papel importante. Ejemplo:

Multiplicamos y simplificamos





2 10  3

 2 10  2  3  20  3 2  4 5 3 2





2 3



2 5

 2 2  3 2  5 2  15  2  2 2  15  2 2  13





x 3



x 5

 x x  3 x  5 x  15  x  2 x  15

 m  n  m  n  3

3

2

3

3

2

 3 m3  3 m2n2  3 mn  3 n3  m  3 m2 n 2  n

Recuerda que para expresar 2/3 en su forma radical más simple multiplicamos por 3 el numerador y el denominador, con el propósito de suprimir del denominador el radical.

2 2 3 6   3 3 3 3 El denominador se convierte así en un número racional.

5 - 11

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

5.8 Racionalización El proceso de convertir los denominadores irracionales en formas racionales se llama racionalización del denominador. Veamos ahora como se racionaliza el denominador binomial de

1 3 2

De nada sirve multiplicar el numerador y denominador por 3 o por 2. Pero al recordar el producto notable: (a-b)(a+b)=a2-b2. Observamos que conviene multiplicar el numerador y el denominador pero con el signo central opuesto. Así:



1  3 2

 

2  6 2



x y  x y





1 3 2 3 2   3 2 3 2 3 2 3 2













2 62 12  2 2 2 3  2 2 2 3  2     3 2 64 2 2 6 2 6 2

 



x y x y

 



 

x y x  2 xy  y  x y x y

5 - 12

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

EJERCICIOS 5.2: Extrae raíz cuadrada a los siguientes números. 1.-

Multiplica un número de dos cifras y extráele la raíz cuadrada.

2.-

Multiplica un número de 3 cifras por si mismo. y extráele raíz cuadrada.

3.-

Comprueba que el número 1.7320 es la raíz cuadrada del número 3.

4.-

Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números. Los números que no tienen raíz cuadrada perfecta, encuéntrala con dos decimales.

a)

b) 61

c) 121

d) 1000

e) 6

f)

81

g) 225

h) 12345

i)

j)

100

k) 235

l)

5

49

5.-

123456

Expresa las siguientes potencias en forma de radical.

a) 5

2

3

d) 49 g) x j) a

1 2

b) e) m

=

e) f)  xy 

3

c) i) ( 27 x 2 )

= 1

2

f)

=

7 2

=

h) g) 49x 2  2

=

k) h) (8 x3 )

1

3

=

=

1 x

i)

k) 3 =

l)

( x3 yz9)

1

3

a)

x3

b) 6 mn3

c)

8

x6 y8

d)

xy

e)

7

5x 2 y 3

f)

3

x3 y5 z 4

3x 2 y 2

h)

5

7ab 4

i)

x  y 2

k)

j)

5

3

3

b  c 2

EJERCICIOS 5.3: 5 - 13

3

j) a =

Expresa los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario

g)

1

m n

1

2 5

6.-

8

=

x  y 3

=

=

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

Saca del radical los factores que tengan raíz perfecta. (a)

32 

(b)

(c)

54 

(d)

(e)

80 

(f)

(g)

75 

(h)

(i)

72 

(j)

(k)

98 

(l)

(m)

28 

(n)

3

a 7b5 y 3 

(o)

128 

(p)

4

16 x 9 y 4 z 3 

4

32 

8x 3 y 

3

27 y 4 z 5 

20 x 6 y 8 

3

54 x 6 y 9 

18 x 7 y 3 

(q)

3

54 

(r)

5

ax 7 y 9 z 12 

(s)

3

162 

(t)

7

x9 z8 

(u)

45 

(v)

4

81a 6b 3 

(w)

63 

EJERCICIOS 5.4: 5 - 14

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

Suma los siguientes radicales: 1.-

3 5 + 2 5 -5=

2.-

5 2 +7 2 -2=

3.-

33a + 53a - 63a =

4.-

b + 2  b =

5.-

5 +  20 + 2 5=

6.-

52 + 50 =

7.-

18 - 32=

8.-

72 + 98 -200 =

9.-

16 - 3354 =

3

10.-

7 + 28 + 63 =

11.-

3x x3y +5x2xy =

12.-

2a3 a4 b4 -3a2bab = 32 + 3108 + 3 3256=

13.-

3

14.-

3

 24 + 53 =

15.-

45 +  20 +80 =

16.-

24 +54 +96=

17.-

5ax5y 3 + ax2yxy =

18.-

3xx7 + 5x9 + x11 =

19.-

5aa2 x3 y5 + 2a2yxy3 =

EJERCICIOS 5.5: Multiplicación de radicales

5 - 15

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

1.-

5  2  5  2  10

2.-

7  14  7  7  2  49  2  7 2

* Pueden multiplicarse si tienen el mismo índice.

3.-

2 xy 3  9 x 3 y 5  2 9 x 4 y 8  23x 2 y 4  6 x 2 y 4 multiplicados los coeficientes

4.-

2 2 3 2 





5.-

5  15 

6.-

33 3 3 9 

7.-

2  14 

8.-

6 x7 x 

  



9.-

3

16  3 5 

10.-

3

25  3 5 

11.-

3 xy 3  5 x 3 y 

12.-

3 xy  2 x 

13.-

3 6 

14.-

6 6 

15.-

10  10 

16.-

3

x  3 x2 





17.-

25 8

18.-

5 2 3 8 

19.20.21.22.23.-

5  x 5  x   7  2x 7  2x    2  x   2  3  5  x  3   2

2

2

EJERCICIOS 5.6:

5 - 16

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

a)

( x ) 2 = 1

( x2 y2 ) 2 ( x3 y3 )

d)

(ab)2 (a3b4 )4

f)

( x 2 y 2 ) 3 ( x5 y5 ) 6 =

h)

x 3 ( 2x 2 -3 x 3 ) =

j)

( 3x 2 - 1)(3x 2 + 1) =

l)

(x + 2 ) (x - 2 ) =

n)

x(x -2) =

p)

( + 1) (x -  x+ 1)=

r)

( 3 x3 + 2 ) ( 3x3 - 2 =

1

x5 x6

e)

3 3 3 2 =

g)

(81) 4 =

i)

( y3 ) 2 =

k)

(x 2 ) 4 =

m)

(3x ) 3 =

=

5

1

5

1

o)

(ab)

q)

2

s)

1 3

2

(a b ) ( 5x)

7 4

5 3

= 1

1

=

=

t) 1 2

u)

3x(2x y)

w)

( 2 x 3 y 2 )( 3 x 3 y 2 ) =

y)

( 18 )

aa)

( x 5 y 2 )5 =

cc)

(a 2 b 2 )2 =

ee)

(3 2 ) 5 =

gg)

(16)

1

1

1

=

2

1 2

= 1

1

1

=

1

1

1

5

1

1

1

2

3

3

1

1

c)

2

1 3

1

b)

1

5 3

3  3

3

1 2

=

v)

16

=

x)

423 =

z)

( 5x 2 +6 )( 5 x 2 - 6 )=

bb)

( 23 x 2 ) 2 ( 2 x 2 ) 3 =

dd)

3

ff)

5 3 5

1

=

1

1

1

3

1

1 2

1

3 4 =

2

1 4

10 3

=

EJERCICIOS 5.7: División de potencia de la misma base y exponente negativos.

5 - 17

5

=

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES 1

1)

x2 x

1 4

x

1 1 2 4

x

42 8

2 2 8

x x

1 4

2)

53



2 4

5

8

3) (2-2)2 =

4)

25 

2

5)

2  1

2



2 5

6  12



6)

x5 x



2 3 7

7) (xy2)-2 =

8)

a4 a

x5 9)  x

10)

b b

11) (x-3)3 =

12)



1 4



3 4





15 4

 21  a   

2

 34  a   

2



3

-2

-1

13) (5x y) =

14)

 9 2 27 2

x 2 y 3 15) 4 5  x y

16)

1

x3 y2 1 3

x y 3 5

17) (22)0 + 1 =

18)

a b 2 5

a a

19)





0

x 1  2 

20)

1 2

6 7 1 7





 21 31  x y    8x

5 - 18



1 2

1 2

y

1 2

3



EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES 1

21) 2(xy)0 + 2 =

 31 51  2  2x y  22)   1 1  2 2   4x y 

23) (3 + 40)2 =

 21 21   3a b  24)  3   27 x 2 y 4   

25) 3  7-1=

26)

27 81



27) 2 x 1 y 2



29) 3 1 x 2 y





1 2

 13



28)

3

1 4

3

 31 5 2  a b   

3

 25 32  a b   

5

1

2



1

 72 25  x y   

32)

33) (x-1+2)2=

 34  z  34)  5    4 z 

3

 21 32  x y   

2

2

4

 32  a  36)  5   4 a 

2

35) (x +3) =



37) x

1

2

 y

1

2

2



2



38)

5 - 19





31) 3x2 y z  2x-1 y-2 z-3=

0

3



 52  a  30)  3   4 a 

3 y   2

2 3

1

1

2



 25 65  a b   

2

 32 56  a b   

6





EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES



39) a

 13

5

 12



3

1

2



40)

16

41) (2x-1 + 4)(2x-1 - 4)=



43) x 3 y 2





1 3

 64 3 1 2



42) x-2x6 = x-2+4 = x4

 

44) x 2



1

 x 2 

2 1  3 1 45) 2  4  2 3

46) x-2x-3=

7 2  5 1 47) 3  2  6 1

48) 2-3  25 =

3 2  6 1 49) 1  4  3 3

5 - 20

1  x2

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

EJERCICIOS 5.8: Divide los siguientes radicales.

1.-

15  45

10.-

7 5 2

2.-

6  3

11.-

a 8b 9  a 3b 5 

3.-

20  5

12.-

x

9  18

13.-

26x 9 y 11  27 x 7 y 3 

32  4

14.-

2  2 + 3 =

3  2

15.-

3  5 - 7 =



16.-

11  13  17



17.-

7 x  14 x 3 y 2 

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

3

3 3

x 3 y3 xy

18ab 3 3 4

2a b

27a 6b 5 3a 3b



5 - 21

y x