Teoria Exponentes

MATEMÁTICA SUPERIOR I Universidad César Vallejo L

I

M

A

N

Profesor:

O

R

T

E

Mg. Roger Soto Quiroz TEORÍA DE EXPONENTES

Potenciación: Regla:

Ejemplo:

Radicación: • • • • •

m

x am  x a m  a x x m n = x mx n a b a b m x m xa = a x n bn b m n p x mnp x a = a x x a m b n = a mx b n

1

MATEMÁTICA SUPERIOR I •

a mb nc p d q = abcd m bcd n cd p d q

EJERCICIOS SOBRE TEORÍA DE EXPONENTES

(

I. Simplifica los siguientes ejercicios:

11) − 2 3

    99veces    x} 1) x 99 + x 99 +  + x 99 ÷ { x. x.x   

{

12)

}

) + (− 2 ) 2

2 3

2 0 2 . 2.2   2 − 5 + π 10 factores

99 veces

13) 2)

1

2

3

4

9

(( ) )

10

x . x .x . x  x . x

( )

3) a 2b 3a 4b5 a 6b 7 veces   8   x.x.x  x.x 4) C = x.x  .x x.x

4. 4.4   4 − 16  . 16  .16  16 14)  20 factores 10 factores 15)

6 veces

25.37.49 5) H = 8 3 6 4 .2 .3 veces 6 44107 44 8 2 2 2 x .x .x . x 2 x n  2 6) R  x.x4.x243 x.x 1 20  n veces

−1

1 1 7) V =   +   2 3

( )

8) A = 3 2 + 3 2

3

−2

1 −  3

2 n+ 4 − 2 n+3 2 n+ 2

16)

10 n +3 − 10 n +2 10 n

17) 3

2 n+7 − 2 n+6 2n

( x ) .( x ) .x 18) (x ) 2 4

−3

1 − 27 2 +   5

5 6

20

7 8

19) R =

−1

3 m+1.9 m+ 2 n 27 m−1.81n +1

x n + 3 .x n + 3 .x n + 3  ( n + 5) veces 20) I = n + 7 n + 7 n + 7 x .x .x  ( n + 1) veces

0

9) L = 3 2 0 + 5 2 3 + 5 25 0

 x  . x  21) C  x  5 9

3519.( 8.5) .2713 16

10) C =

5

 x 2 3 4  .x 6 3   R= 2 10 x 11 . x 21

( 2.3.5) 30 .( 5.9) 5 .1418

7 3

2 8

2

;x  0

MATEMÁTICA SUPERIOR I

22) H = a 2+ a .a 3+ a .a 4 −2 a −3 −2 −1   1   2 4  23) A =   +   +     5 7   2  

−3

 2 8 24) D = − ( − 7 ) − 4 3 +   +    3  5 0

2

−1

4)

9

5)

3

−4 −2

9.3 9.3 9  3 9.3 27

6) C =

0

−1

3 4

x5

4 3

x

6 x +3.4 x 25) V = x x +1 8 .3

7) H =

2 3 x + 2 + 2 3 x + 4 + 2 3 x +3 26) A = 2 x +1.2 x .2 x +1

8) A =

2 3 2

9) D =

2 −1

27)

L=3

28) L =

22

70

m

a b   .  b a

m+n

92

3 x +1 + 3 x + 2 + 3 x +3 + 3 x + 4 3 x −1 + 3 x − 2 + 3 x −3 + 3 x −4

10) A = n +1

29) Si: aa=3; calcula: a a3 A= a a2

( ) ( )

−n

 1  27 +    125 

−3 −1

2

2

 3   2   3 8

n+

1 3

n +1

2 .2 n −1

11) R = 3 x 2 .3 x 4 .3 x 5 12) D = 3 x 2 x 5 .

30) Si: xx=2; el equivalente de: 2 2 S = x x + x x + x , será :

3

x9

13) A = 5 x 4 .3 x 2 .4 x 4 .x −1 II. Reduce los siguientes radicales: x +3

1) 2) 4

81 + 3 −2 −1

3) R =

+9

3

−2 −1

27 3 + + 36

4

4 4 14) S =         ( x +1) radicales

256

−2 −1

15) C =  1     2

−2 4

1 32 5

1 +   3

x.3 x.4 x 4

16) A = 2

x.3 x. x

3

x +5

2 x +3

54

x +3

 1  −3 −  8

−1

MATEMÁTICA SUPERIOR I

 17) M = 4. 8. 16 . 3  3

4

5

5

 2 

20)

− 29

18) O = 5 4.a 8a + 2 .5 8.a 4 a −3 19) S = n 8 n+1

(

3n+ 3

2 n + 7 .3n + 3 4 n − 2

)

n−3

a)

6. 6. 6

b)

6 + 6 + 6 +

c)

12 − 12 − 12 − 

d)

2.3 2. 2.3 2. 2.3 2 

PRODUCTOS NOTABLES Productos Notables o Identidades Algebraicas son productos indicados que tienen una forma determinada de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo sin necesidad de efectuar la operación, llamadas también EQUIVALENCIAS NOTABLES. Las más importantes son:

1. BINOMIO AL CUADRADO. * (a+b)2 = a2 + 2ab +b2 * (a - b)2 = a2 -2ab +b2 2. SUMA POR DIFERENCIA * (a+b)(a-b) = a2 - b2 3. BINOMIO AL CUBO * (a+b)3 = a3 + 3a2 b +3ab2 +b3 * (a - b)3 = a3 - 3a2 b +3ab2 - b3

forma desarrollada

* (a+b)3 = a3 + b3 +3ab(a +b) * (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)

forma semidesarrollada

4. BINOMIO POR TRINOMIO * (a+b) (a2 - ab +b2 ) = a3 +b3 * (a - b) (a2 +ab +b2) = a3 - b3

5. BINOMIO CON UN TÉRMINO COMÚN * (x+b)(x+d) = x2 + (b+d)x + bd

4

MATEMÁTICA SUPERIOR I

6. PRODUCTO DE BINOMIOS * (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x +bd 7. TRINOMIO AL CUADRADO * (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

forma desarrollada

* (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)

forma semidesarrollada

8. TRINOMIO AL CUBO * (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3a2b + 3a2c+3b2a+ 3b2c+3c2a+3c2b+6abc * (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)

EJERCICIOS PROPUESTOS I. Escribe el resultado de:

1.

( p + 3) 2

2.

( x 2 − 1) 2

3.

(ax 2 + by 3 ) 2

4.

(am + bn) 2

5.

(a + a −1 ) 2

6.

( a  b) 2   a  b 

2

7.

( a  b) 2   a  b 

2

8.

( x + y )( x − y )

9.

(1 + x 2 )(1 − x 2 )

10. (ax 2 + by 3 )(ax 2 − by 3 ) 11. (am + bn)(am − bn) 12. ( x + y + z )( x − y + z ) 13. ( x − 3)( x + 3) 14. (m + 6)(m − 6) 15. (a x + 4)(a x − 4) 16. (a 2 + b 3 )(a 2 − b 3 ) 17. ( x +

y )( x − y )

5

MATEMÁTICA SUPERIOR I 1

1

1

1

18. (a − 2 − a 2 )(a − 2 + a 2 )

II. Resuelve:

1. Escribe el resultado de: a) ( x + 1)

6. Efectúa:

2

b) (a − 11)(a + 10) c) (a − x)( x + a )

3

d) (1 + 3 x 2 ) 2

7. Si:

e) (1 − 2 xy )(1 + 2 xy ) (1 − a )(1 + a ) f)

3

m m − m3 − n6 . m m + m3 − n6

x + 2yz + x − 2yz = 8yz

Calcula:

g) (a 7 − c 7 ) 2

8. Si:

x + 2yz − x − 2yz

(x + 1)2 = ( 3 + 2)x

Calcula:

h) ( y 2 − 3 y )( y 2 + 3 y )

(b x − 2 + c y −1 ) 2 j) (a 7 − 2)(a 7 + 2) k) (a m − b n )(a m + b n ) l) (x m − y n )2 m) (2a − b − c)(2a + b + c) i)

F=

a) 2

(x2 + 1)2

x4 + 1 b) 3 c) 4 d) – 2e) – 3

9. Si: 3 a + 3 b + 3 c Calcula:

=0

a3 + b3 + c3 − 27abc (a + b)(a + c)(b + c)

2. Simplifica: 1  1  2 1   x +   x −   x + 2  x  x   x 

10. Efectúa:

3. Si: a+b = 3 y ab = 1, halla el valor

(x − 1)(x + 4)(x + 2)(x − 3) + (x − 2)(x + 5)(x + 3)(x − 4)

P=

de a3 +b3

4. Si: x +2y = m+n 2

2

− 2(x2 + x − 10)2 + 56

y

11. Efectúa:

2xy = m-n, halla x4 +4y4

(a + b)(a2 + b2)(a3 − b3)(a2 − ab + b2)(a4 − a2b2 + b4 ) + b12

5. Halla el valor de: (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 − (a + b + c)2

Si: a2 + b2 + c2 = 7

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorizar un polinomio es el primer método para obtener las raíces o ceros de la expresión. Para factorizar se comienza con una regla que te permite desarrollar la destreza, para aplicarla a ejercicios de mayor dificultad

6

MATEMÁTICA SUPERIOR I

. 1. FACTOR COMÚN

a  x  y   ax  ay

2. FACTOR POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS ax  bx  ay  by  x(a  b)  y(a  b)  (a  b)(x  y) 3. DIFERENCIA DE CUADRADOS.  a  b   a  b   a 2  b2 4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

 a  b  2  a 2  2ab  b 2  a  b  2  a 2  2ab  b 2 5. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS a 3  b3   a  b  a 2  ab  b 2 a 3  b3

   a  b  a

2

 ab  b 2

 

6. Generalizando a n  b n   a  b  a n 1  a n  2 b  a n 3b 2   ab n  2  b n 1 an  bn

   a  b  a

n 1

 a n  2 b  a n 3b 2   ab n  2  b n 1

 

7. TRINOMIO DE LA FORMA x 2  bx  c . x 2  bx  c  (x   1 )(x   2 ) 8. FACTORIZACIÓN POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS.

ax  bx  c    x      2

2

; con   a ,  

b

,   c

b2 4a

2 a 9. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini. Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero. Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado enteras, ax

4

+bx

x1 3

,

x2

+cx

, 2

x3

y

x4

ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e

se factoriza así:

+dx +e =a (x −x1 )(x −x 2

)(x −x 3 )(x −x 4 )

EJERCICIOS PROPUESTOS

7

tiene cuatro raíces

MATEMÁTICA SUPERIOR I I.

Factoriza:

1) 2) 3) 4) 5)

a2 + a xy − yz 3m 5 − m 3 7 a 2 x 3 − 35ax 2 m 6 + m 3 − 3m 9

6) 9 − 6m + m 2 7) 4(1 + n) 2 − 4(1 + n)(m − 1) + (m − 1) 2

r2 + 2rs + 9 s 2 9 9) x 2 + 2 x( x + y ) + ( x + y ) 2 8)

10) 4u 2 − 9v 2 11) 1 − 9u 2 v 6 w 4

´1 − 9a 4 4 x 6 4a 10 13) − 49 121 14) a 4 n − 225b 2 m 12)

1 4 8 4 2 16) u + 6u v + 9v 4 17) m 2 + 3m − 10 18) c 2 + 7c + 6 19) y 8 + y 4 − 30 4 2 15) a + a +

20) a 4 + 4b 4 21) a8  b8 22) 3u 5  48u

II.

Factoriza las siguientes expresiones:

1) x 5 − ax 4 + bx 4 − abx 3

p 3q 5r 2 − p 2 q 3r 3 + p 5q 2 r 2 3) m 2 − 25 2)

8

MATEMÁTICA SUPERIOR I 4) 25 x 4 + 70 x 2 y 2 + 49 y 4

x 4 + 1 + 2x 2 9u 3 + 12u 2 v 2 − 15uv a 2 b 4 c 6 − 256 9u 2 + 25v 4 − 30uv 2 a 20 − a 16 + a 12 − a 8 + a 4 − a 2 a 7 − 3a 5 + 7 a 3 − 11a 4 u 2 − 41u + 400 a 7 − 3a 5 + 7 a 3 − 11a 4 a2 13) − ab + b 2 4 14) 3a 2 b + 6ab − 5a 3b 2 + 8a 2 bx + 4ab 2 m 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)

15) 2a 3b 4 c 5 + a 2 b 5 c 5 + a 4 b 3 c 5 + a 3b 3 c 5 + a 2 b 4 c 5 16) x 4 + x 3 − x 2 + 5 x − 30 17) 2 x 2 − x − 3 18) a 2 (b − c) + b 2 (c − a) + c 2 (a − b) 19) ( x − y )( x 2 − z 2 ) − ( x − z )( x 2 − y 2 ) 20) ( x 3 + x 2 ) 2 − ( x + x 4 ) 2 III. Resuelve: 1) ¿Cuántos factores de primer grado admite la expresión:

a 5 − 4a 3 + a 2 − 4

2) ¿En cuántos factores se descompone la expresión:

64a 7b7 − ab13

3) Proporciona la suma de factores al factorizar la expresión (a 2 − c 2 + b 2 + 2ab + 1) 2 − 4( a + b) 2 en 4 factores. 4) La suma de los factores de:

x 2 y 2 z − x 2 yz 2 − xy 3 z + xy 2 z 2 es : 5) Al factorizar el polinomio: x 2 − y 2 + 2 yz − z 2 − 8 x + 16 La suma algebraica de los términos independientes de los factores primos es:

6) Al factorizar x 5 − x 4 − 2 x 3 + 2 x 2 + x − 1 se obtuvo una expresión de la forma: ( x − 1) ∝ ( x + 1) β

Halla α+β

7) La suma de los factores de ( x 2 + x − 1) 2 + (2 x + 1) 2 al factorizar es:

9

MATEMÁTICA SUPERIOR I 8) ¿Cuántos factores se obtienen al factorizar x6-m6 ?

10