3. Cuerda Tensa

Laboratorio 3 Oscilaciones de una cuerda tensa 3.1

Objetivos

1. Determinar los modos normales de vibraci´on de una cuerda fija en ambos extremos. 2. Verificar experimentalmente la relaci´on de la frecuencias en estado de resonancia de las cuerdas con respecto a los par´ametros: Tensi´on, longitud y densidad. 3. Encontrar la densidad de la cuerda utilizada.

3.2

Preinforme

1. A qu´e se denomina resonancia ?. Explique. 2. Cu´al es la diferencia entre ondas estacionarias y ondas viajeras ?. 3. Mediante diagramas explique los modos de resonancia de una cuerda fija en ambos extremos.

3.3

Fundamento Te´ orico

Consid´erese una cuerda de longitul L y densidad lineal de masa µ, sujeta en los extremos x = 0 y x = L. La cuerda se hace oscilar en un punto por medio de un vibrador conectado a un generador de ondas senoidales. En estas condiciones, el sistema se constituye en un oscilador forzado. Un an´alisis de las ondas incidentes y reflejadas que se forman en la cuerda 1 lleva a la siguiente funci´on de onda como soluci´on de la ecuaci´on diferencial unidimensional de onda: 1

ver FISICA volumen II: campos y ondas Alonso-Finn, secci´on 22.5

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LABORATORIO 3. OSCILACIONES DE UNA CUERDA TENSA ψ(x, t) = (Asenkx + Bcoskx)senωt

(3.1)

Claramente ψ(x, t) no describe una onda viajera ya que x y t no estan involucrados en el argumento de esta funci´on en la forma (x ± vt). Esto da como resultado una amplitud que tiene la caracter´ıstica de ser fija para cada punto particular de la cuerda, pero variable de un punto a otro a lo largo de la misma. La expresi´on para la amplitud ser´a entonces: φ(x, t) = (Asenkx + Bcoskx)

(3.2)

Las constantes A y B se determinan con las condiciones iniciales. As´ı la expresi´on: ψ(x, t) = φ(x)senωt indica que cada punto de la cuerda tiene un movimiento arm´onico transversal de frecuencia ω. Cuando la cuerda est´e en resonancia con el agente externo que produce el movimiento, se presentar´an los distintos modos propios de oscilaci´on y los desplazamientos transversales tendr´an su m´axima amplitud. Para encontrar las frecuencias fn correspondientes a los modos propios de oscilaci´on se utilizan las siguientes condiciones de frontera: • ψ(0,t)=0 • ψ(L,t)=0 De la primera condici´on de frontera se obtiene: [Asenk(0) + Bcosk(0)]senωt = Bsenωt = 0 Por lo tanto B = 0 y la ecuaci´on (3.1) queda de la siguiente manera: ψ(x, t) = Asenkxsenωt De la segunda condici´on de frontera: AsenkLsenωt = 0 En esta ecuaci´on A y senωt deben ser diferentes de cero. Por tanto: senkL = 0 Lo cual es v´alido para kL = nπ con n = 1, 2, 3...

´ 3.3. FUNDAMENTO TEORICO

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Figura 3.1: Ondas estacionarias en la cuerda. Utilizando las expresiones del movimiento ondulatorio k = 2 πλ y v = λ∗f , donde k y v son el n´ umero de onda y la velocidad de propagaci´on de la onda respectivamente, se obtiene la siguiente expresi´on para las frecuencias correspondientes a los modos propios de oscilaci´on de la cuerda: nv 2L De la din´amica asociada a las ondas transversales en una cuerda, la velocidad de propagaci´on de ellas a lo largo de la misma est´a dada por: fn =

v=

!

T µ

Siendo T la tensi´on en la cuerda. La expresi´on para las frecuencias propias queda en definitiva: n fn = 2L

!

T µ

!

T µ

(3.3)

n = 1 corresponde al modo fundamental: 1 f1 = 2L

n = 2 corresponde al segundo arm´onico, n = 3 al tercero y asi sucesivamente, siendo cada uno de ellos m´ ultiplos de la fecuencia fundamental en la forma: f2 = 2f1 , f3 = 3f1 ... y as´ı sucesivamente. Tambi´en n es el n´ umero de vientres de las ondas estacionarias. Ver Figura 3.1.

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LABORATORIO 3. OSCILACIONES DE UNA CUERDA TENSA

3.4

Materiales

• Generador de se˜ nales. • Frecuenc´ımetro. • Balanza de 0,01 g de resoluci´on. • Vibrador. • Cuerda, portapesas, masas de 50 gramos. • Cinta m´etrica graduada en mm. • L´ampara estrobosc´opica. (opcional)

3.5

Precauciones

• Utilice una se˜ nal senosoidal. • Utilice el frecuenc´ımetro con una sensibilidad de 0.2, ”Gate time” en 1 s y la escala en 100 Hz. • Cerci´orese que la longitud de la cuerda sea suficiente para observar 7 arm´onicos • Observe que la cuerda est´e en posici´on horizontal y sus extremos fijos se encuentren a la misma distancia del borde de la mesa.

3.6

Procedimiento

1. Mida la longitud total de la cuerda y su masa. 2. Monte el equipo como se sugiere en la Figura 3.2. 3. Fije la tensi´on a un valor, mida la longitud entre los extremos fijos L y con el generador de se˜ nales trate de encontrar 7 arm´onicos. Utilizando el frecuenc´ımetro mida las frecuencias para cada uno de ellos. Empiece con el fundamental. 4. Sin cambiar de cuerda, en el modo fundamental, o en el segundo arm´onico, mantenga constante la longitud L y mida la frecuencia para cinco valores distintos de la tensi´on T . 5. Ahora sin cambiar de cuerda, en el modo fundamental, o en el segundo arm´onico, mantenga constante la tensi´on y mida la frecuencia para cinco valores distintos de la longitud.

´ 3.7. ANALISIS

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Figura 3.2: Montaje experimental. 6. Utilice la l´ampara estrobosc´opica para observar algunos arm´onicos. Compare los valores dados por la l´ampara y el frecuenc´ımetro. 7. Elabore en cada numeral las tablas de datos apropiadas.

3.7

An´ alisis

1. Numeral 3 del procedimiento. • Construya en papel milimetrado una gr´afica de frecuencia f en funci´on del n´ umero de vientres n. Qu´e clase de curva obtiene?. C´omo var´ıa la frecuencia en funci´on de los vientres?. • Si la gr´afica en el numeral anterior es una l´ınea recta, haga el an´alisis correspondiente para obtener el valor de la densidad de masa µ(Valor experimental) • Determine la densidad de la cuerda mediante la expresi´on: µ=

m &T

Donde: m, es la masa de la cuerda y &T , la longitud total de la cuerda. • Considere este valor como te´orico y compare en t´erminos de porcentaje el valor de µ obtenido en el paso anterior 2. Numeral 4 del procedimiento.

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LABORATORIO 3. OSCILACIONES DE UNA CUERDA TENSA • Construya un gr´afico de frecuencia en funci´on de la tensi´on. Es su gr´afica una l´ınea recta?. Si no lo es, encuentre la relaci´on entre la frecuencia y la fuerza tensora. C´omo es esta relaci´on?. 3. Numeral 5 del procedimiento. • Construya un gr´afico en papel milimetrado de frecuencia f en funci´on de L1 . Es el gr´afico una l´ınea recta?. • Qu´e puede decir acerca de la forma en que var´ıa la frecuencia respecto a la longitud de la cuerda?. 4. De los resultados obtenidos, escriba una relaci´on de comportamiento de la frecuencia en funci´on de las variables discutidas. 5. De acuerdo con el paso anterior, el comportamiento experimental de la frecuencia de oscilaci´on de una cuerda hallada corresponde a la ecuaci´on (3.3) deducida por la teor´ıa?. 6. Analice el paso 6 del procedimiento.

3.8

Preguntas

1. Cuando la cuerda est´a en resonancia, por qu´e permanece finita la amplitud de vibraci´on?. 2. Cite fen´omenos y aplicaciones donde se presenten ondas estacionarias. 3. Algunos cantantes pueden romper un vaso de vino al mantener cierto tono de voz. C´omo se puede explicar esto?.