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ANÁLISIS VECTORIAL DEFINICIÓN DE VECTOR Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial. Se trata de segmentos de recta con orientación; si se dibujan a escala se representa la medida de la cantidad. Para representar la dirección de las cantidades vectoriales se han ideado a los VECTORES. Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, fuerza, impulso, aceleración, campo eléctrico, etc.

Módulo

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Línea de acción Sentido

A Dirección



Línea horizontal

Ejemplo práctico vectores concurrentes

 Módulo: Llamado también NORMA o TAMAÑO, es la medida de la longitud del vector, el módulo se representará mediante la notación:

A : se lee “Módulo de A ”; si un vector no aparece con flecha encima se sobreentiende que se refiere al módulo, es decir: A = A  Dirección: Es el ángulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se toma la orientación con respecto al semieje positivo de las abscisas).  Sentido: Representado por la flecha del vector.  Línea de Acción: Es aquella línea donde se encuentra contenido el vector a través de la cual puede deslizarse.

Representación Analítica de un Vector Dados dos puntos A y B que determinan un vector sobre el plano, la forma vectorial se define por: V = B-A

o también

V = Punto final - Punto inicial

CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES: 1.

Vectores colineales: Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción. C

2.

B

A

A iguales: Dos vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección, módulo y sentido. L 1 // L 2 Vectores // L1 B

//

L2

3. Vector unitario: Es aquel cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector.

A= A u 4.

u=

�

A A

Vectores paralelos: Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas entre sí. En la figura: q =L1 = b A

L2

B

Dadas las rectas paralelas:

L3

L 1 //CL 2 // L 3

A // B  // C también Los vectores: son paralelos q b Por consiguiente se cumple también:

A A 5.

B

=

B

=

C C

vectores unitarios iguales

Vectores coplanares: Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano. B

P

C

A

6.

Vectores opuestos: Dos vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección, módulo pero sentido L // L 2 L1 contrario. 1 A



L2 B

b

7.

C

Vectores concurrentes: Son aquellos que sus líneas de acción se cortan entre sí, en un mismo punto. g O

A

B

Se observa que las líneas de acción de los vectores A , B y C concurren en el punto “O” OPERACIONES CON VECTORES ADICIÓN: Al vector “suma” también se le llama resultante. La resultante produce el mismo efecto que los sumandos. 1. MÉTODO DEL TRIÁNGULO b

Este métodoa es válido sólo para dos b vectores coplanares y concurrentes 



R = a b = S

Pasos a seguir: 

Se forma el triángulo, cuando son “SÓLO” 2 vectores



Para hallar el valor de R se aplica la Ley de Lamy o de senos: R a b = = senb sen  sen 

2. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

Pasos a seguir:

S

//

R=

//

A q



B



La suma ( S ) o resultante ( R ) es la diagonal del paralelogramo formado. La suma o resultante se denota: AB = R



ANALÍTICAMENTE: R=

2

2

A  B  2AB cosq

; Ley del paralelogramo

3. MÉTODO DEL POLÍGONO 3.1 Método del Polígono Abierto: Se usa generalmente para sumar más de dos vectores. Se colocan uno a continuación del otro, manteniendo constante su VALOR, DIRECCIÓN y SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del último. Ejemplo: a 1

b

2

d

3

c

4

Construyendo el polígono: 2

a

b

1

3

R

c

4

d

La resultante es: R = a  b  c  d

3.2 Polígono Cerrado: En esteAcaso todos B tienen la misma secuencia (horario). El extremo del último llega al origen del primero.

R=0

F E

C D

La Resultante es: R = A B CD E F = 0

DIFERENCIA ( D ) La diferencia de vectores es llamada también resultante diferencia. Vectorialmente: D = A  (- B) � D = A - B Por la Ley de cosenos: 2

2D

A

//

A  B  2AB cos(180º - q)

//

D=

180 - q q cos(180º -Bq) = - cosq B Pero se sabe que:

D=

A 2  B 2 - 2AB cosq

CASOS PARTICULARES Y POSICIONES RELATIVAS DE LOS VECTORES: 1. Cuando  = 0�y los vectores A y B son paralelos y del mismo sentido. A

A

B

R máx = A  B

R= AB

B

2. Cuando  = 180�y los vectores A y B son paralelos y de sentidos opuestos. A

A B

B

R= A-B R mín = A - B

3. Cuando  = 90�, los vectores A y B son perpendiculares. B R A

R=

A 2  B2

4. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 60°. A = X y B = X

A =X

R

R =X 3

60

B =X

5. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 120°. A = X y B = X

R =X A =X

120 

B =X

6. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo y forman 90°. A = X y B = X

B =X

R =X 2

R

A =X

DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR Expresión vectorial de A :

Y A = A xi  A y j A = A cosqi  AsenqA j A y = Asenq

q qj) A = A(cosqi  sen

A x = A cosq

Como par ordenado: A = A(cosq, senq)

Componentes rectangulares de un vector en el plano: Las componentes rectangulares están dadas por:

X

�A x = A cosq �A = Asenq �y Módulo del vector A :

A x 2  A y2

A = Dirección del vector A respecto al eje X:

tanq =

Ay Ax

Vectores en el Espacio Análogamente a los puntos del plano cartesiano que están representados por un par ordenado, los puntos del espacio se representan mediante ternas de números o coordenadas espaciales. Y Puntos en el espacio: (x, y, z) Y X: eje de abscisas

a2

Y: eje de ordenadas a3

A

O

Z: eje de cotas Z cota

A(a1,a2,a3)

a1 P(x,y,z)

O

Z abscisa

ordenada X X

Componentes de un vector en R 3

3 Expresión vectorial de un vector en R

Un vector

A = (a1, a2, a3)

, se puede escribir como combinación lineal de sus vectores unitarios canónicos, así:

A = a1i  a2j  a3k Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando:

V = Pfinal - Pinicial 3 Módulo de un vector en R

El módulo de un vector

A = a1i  a2j  a3k

A=

Y

Del gráfico: a2

a3 Z

O

; está dado por:

A

a1 X

2

2

a1  a2  a3

2

Vector Unitario Dado un vector:

A = (a1, a2, a3)

, se define como vector unitario

en la dirección de A , a la expresión: U

U

A

A

=

=

A A a1i  a2j  a3k 2

2

a1  a2  a3

2

3 Dirección de un vector en R : 3 La dirección de un vector en R , está dada por sus ángulos de orientación con respecto a los 3 ejes coordenados. Y a los cosenos de dichos ángulos se denominan cosenos directores.

Cosenos directores: Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados están dados por: Y a2

a3

O

b 



A a1

Z

X



:

ángulo de inclinación con respecto al eje X

b :

ángulo de inclinación con respecto al eje Y

:

ángulo de inclinación con respecto al eje Z



Dirección con el eje X:

Dirección con el eje Y:

Dirección con el eje Z:

cos =

a1 A

cosb =

a2 A

Cosenos directores

cos  =

a3 A

2 2 2 Propiedad: cos   cos b  cos  = 1

3 OPERACIONES CON VECTORES EN R

a) SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES: Dados dos vectores:

A = a1i  a2j  a3k

y

B = b1i  b2j  b3k

Se define como vectores suma y diferencia, respectivamente:

S = (a1  b1)i  (a2  b2)j  (a3  b3)k D = (a1 - b1)i  (a2 - b2)j  (a3 - b3)k 3 b) MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR EN R

Dado el vector:

A = a1i  a2j  a3k

y un escalar “r” se define como producto por escalar a la operación:

rA = r(a1i  a2j  a3k) � rA = ra1i  ra2j  ra3k Donde el vector rA , es múltiplo y necesariamente paralelo al vector A . Propiedades de la Multiplicación por escalar: 3 Dado los vectores A y B � R y los escalares r, s � R , se cumple:

1. rA // A 2. (r  s)A = rA  sA 3. r(A  B) = rA  rB 4. r(sA) = s(rA) = (rs)A

3 c) PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO PUNTO EN R :

Dados dos vectores:

A = a1i  a2j  a3k

Se define como producto interno

A.B

y

B = b1i  b2j  b3k

de vectores a la expresión dada por:

A �B = a1b1  a2b2  a3b3 Observe que:

2 A = a1i  a2j En R , para un vector ; se cumple que:

A

�

A = a12  a22 = A 2

3 A = a1i  a2j  a3k En R , para un vector ; se cumple que:

A

�

A = a12  a22  a32 = A 2

Otra definición: Es posible también definir el producto interno mediante la relación:

A �B = AB cosq Donde:

A : módulo del vector A B : módulo del vector B q : ángulo formado por los vectores A y B

Propiedades del Producto Interno: 3 Dado los vectores A, B y C � R y los escalares r, s �R , se cumple:

1. 2. 3. 4. 5.

A �B = B � A A

�

A = A2

(rA) �B = r(A �B) A �(B  C) = A �B  A �C (A  B) �(A - B) = A 2 - B 2

6. Si

A ^ B � A �B = 0

Importante: Del vector suma, de acuerdo a las propiedades: S= AB

S �S = (A  B)�(A  B)

2

2

S = A  2A �B  B

2

Por definición de producto interno:

S2 = A 2  B 2  2AB cosq Análogamente, para el vector diferencia:

D 2 = A 2  B 2 - 2AB cos q Observe: ¡Esta es la ley del coseno! 3 d) PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ EN R

A = a1i  a2j  a3k B = b1i  b2 j  b3k Dados dos vectores: y ; se define como producto vectorial A �B , a la expresión definida por el determinante: i j k A �B = a1 a2 a3 = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j  (a1b2 - a2b1)k b1 b2 b3 Propiedades del Producto Vectorial 3 Dado los vectores A, B y C �R y los escalares r, s �R , se cumple:

1. A �B = - B �A A �B

2.

A �(B �C) = (A �B)�C A

q 3. r(A)�B = r(A �B) B 4. (A  B)�C = A �C  B �C

Representación gráfica del producto vectorial

5. A �B = ABsenq 6. Si: =A // B

=

^ 7. Si ޴A

޴A B

B

A B

0 AB

Producto de vectores canónicos: Puestoj que un vector siempre es paralelo a sí mismo: i �i = j �j = k �k = 0 Además: k i �j = k j �k = i k �i = j

i

F

Regla de la mano derecha:

Fuerza aplicada

r Sirve para determinar la dirección del vector A �B Dirección del torque

¡Observe! A �B

r F q

t = rFsenq

A

t = r �F

B

El momento de fuerza es un ejemplo práctico del producto vectorial

Interpretación Geométrica del vector A×B El vector A �B , está representado por un vector perpendicular, tanto al vector A como al vector B . Su módulo es igual al área del paralelogramo formado.

�b = B �

A �B Triángulo h = Asenq Observe: AY = bh ; Además1� A �B 2 A

Luego: AY = bh = ABsenq O

h

q

AY = A �Bb = ABsen q B Para el triángulo: AV=

1 1 A �B = ABsenq 2 2

PRÁCTICA DE CLASE 1. Hallar el módulo del vector resultante. a) 1u

e) 4

b) 3u

3. Dado el siguiente paralelogramo indicado, hallar la resultante de los vectores mostrados: a) 8 u B C

c) 2u d) 5u1u

1u

1u

e) 6u

b) 12 u 4u

2. Dado el conjunto de vectores mostrados en la siguiente figura. a) 6

c) 16 u d) 20 u A

e) 0 u

3,5u

D

b) 9 c) 3 d) 53

2

4

3

4u 4. En el trapecio mostrado “M” es punto medio, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. M

8u

( b) 3 

a) 12 u b) 18 u

( c) 4 

c) 6 u

3) X

( ) e) 4  2 2 X

e) 15 u 6. Dar el valor de la resultante: a) 16 b = 10 a =126 b)

11. En el siguiente conjunto de vectores si:

B = 2u , C = 3u , D = 5u . Hallar el módulo de la resultante.

c) 14 d) 10 c e) 8

a) 2 19

e

d) 5 3

vectores iguales y su origen divide a B como 2 es a 1.

e) 2 5

3A  2B 6 X a)

4A  5B 2 b)

B B 3A 3 d)

e) 2A - B

3A - B 6 c)

8. En el ehexágono regular de lado “a”. Hallar el módulo de la resultante. a) a d b) 4a f

c

b 3a e) 2 9. En el cuadrado se halla contenido un cuarto de circunferencia; determine X en términos del vector resultante.

2  1) X

12. En la figura mostrada, ABC es un triángulo equilátero, si M, R, S son puntos medios de los lados AB ,

BC

a) 0,5 b) –0,5

c

c) 1 M d) a –1

5  1) X B 3X e) 2

e) 0,75 A

50

b) 10 13 68º

20

14. Hallar el módulo del vector resultante. a) 112 Y

c) 16 2

B

22º

15º

e) 2 26

circunferencia y los vectores A , B y X . Halle el vector resultante. X

C

S

50

b) 80

A

b

13. En el sistema mostrado, hallar el módulo el vector resultante. Y 26 a)

10. En un cuadrado de lado “a” hay un cuarto de

( ) a) 3  2 2 X

donde

R

X

d) 10 26

(

respectivamente,

B

c)

d)

AC

y

X = ma  rb  sc , hallar "m  r  s" .

c) 6 2

(

C

A

( b) 2  A

3) X X 2  3) X

D

10º

sabiendo que su extremo divide a A en dos

A

B

5

7. Se tiene dos vectores A y B , hallar el vector X ,

a 2a c) d) 3a

70º

b) 2 17

d

c)

(

3) X

( d) 5 

d) 20 u

a)

3) X

d) 25

30

50 46º

28º 9º

32

X

X

e) 30

19. Hallar el vector unitario paralelo a la recta cuya ecuación es y = 15 - 5x .

15. Si la resultante esta en el eje “X” y mide 10 u . Hallar "q " . a) 18,5º b) 30º

Y 15

q

e) 70º

q

X

q 30

16. En el sistema de vectores, determinar el módulo de la resultante.

26

b)

( 5,1 )

c)

26

( -1 , - 5 )

26

20. Si .

c) 37º

( 5 , - 1)

( -1 , 5 )

26

a) d)

25

d) 26,5º

( 1 ,5 )

e)

p =3

;

q =7

26

q = 19 . Hallar p �q y p�

a) 4 5

b) 6 7

d) 3 17

e) 4 6

c) 8 5

21. Se tiene los vectores A y B si B = 2i  2j  k , B = 6 . Hallar el el módulo de A es 4 y el A �

módulo del producto vectorial A �B

3 a) 7 10 4

23º

b) 8 37º

5 3

c) 3 9 35

a) 6

b) 4 3

d) 8 3

e) 3 6

c) 6 3

22. Cuáles son las componentes de la F = 2 600N mostrada, a lo largo de las direcciones coordenadas que se indican.

d) 15 3 e) 5 3

Z 12u

3u

17. Se tiene dos vectores Calcular: a -a 2b . 63º

a = 5N ,

b = 3N ;

F 4u

Y

b

Rpta: …………… X

10º

23. Hallar el valor “a” de forma que A = 2i  aj  k a) 4 N

b) 5 N c) 6 N

d) 7 N

e) 8 N

18. Si S = A  B  C , obtener el vector P cuya magnitud es 8 y es paralelo al vector S . Y 8 ( 3i  4j ) a) 5

35 24 ij b) 5 A 5 24 32 ij 5 c) 5 32 24 ij 5 d) 5 32 24 i j 5 e) 5

C

y B = 4i - 2j - 2k , sean perpendiculares. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 24. Dado los siguientes vectores: A = 10i  6j ; B = 3i  5j  10k ; C = i  j - 3k . Determinar:

( ) a) A  B �C Rpta. a): ……………

( ) C b) A �B �

Rpta. b): …………… X

B

25. Se tiene dos vectores de módulo constante dispuestos sobre un plano, se sabe que el mayor y el menor valor de su resultante es 32u y 6u, respectivamente. ¿Qué módulo tiene A - B , cuando A y B forman 60º?

a) d)

2 38 u

b)

1,5 76 u

3 76 u

c)

1,5 76 u

283 u

e)

26. En la figuraD que se muestra, M es punto medio de g = 10 u . Si la resultante de los AB, AC = CD vectores P y Q tiene un valor de 26 u, determine la g ánguloQMAD. ( AB = 28 u ). medidaCdel

30. En la figura dos vectores dados están ur ur ur relacionados entre sí por C = mA  nB , donde m y n son números reales. Determine m y n. a)

-

3 2 ;A 11 11

C4

P

g M

A

b)

B

c) d) a) 60º d) 50º

b) 37º e) 40º

c) 53º

e)

-

5

2 15

;-

-

5 3 ;- B 11 11

-

8 2 ;5 15

-

8 5 ;15 8

27. Al realizar algunas operaciones con los vectores

31. Si la resultante del sistema de vectores

A y B se logró obtener los vectores siguientes:

( mostrados es -2

4A - B

3  1) j , determine el módulo

del vector D , si verifica la siguiente igualdad:

A  2B

� 3-1� D= C� P � � 5 �

30º

a) 2 u Donde los módulos de los vectores son:

4A - B = 10 u y A  2B = 10 3 u Determine el módulo de 7A - 5B

a) d)

10 19 u

b)

3 14 u

e)

9 7u

c)

7 5u

b) c)

50N

d) 120 N

15N

g

g g

8u15 u d)

X

P

32. Se muestra tres vectores A , B y C que verifican 2 A = 2 B = C . Si la resultante de los tres vectores toma su menor valor, determine el valor del ángulo " " y el valor de la resultante. Y(cm) A

( 24;7) B

44º

X(cm)

O 

5 5N

C

29. La figura que se muestra es un rectángulo. Determine el módulo de la resultante del sistema de 6u vectores mostrados. a) 2u8 u c) 12 u

60º

C

5u

�

e) 20 N

b) 10 u

37º

80 2 N

30 17 N �

e)

16u

10u

c) 2 5 u

5 51u

50 17 N 40 17 Ng

b) 4 u

d) 4 5 u

28. La figura representa una placa sobre la cual actúan cuatro fuerzas coplanares. Determine el módulo de la resultante de estas cuatro fuerzas. a)

Y

8u

a) 16º y 24 cm c) 14º y 20 cm 16º y 25 cm e) 14º y 50 cm

b) 14º y 25 cm d)

33. En la figura se muestra a tres vectores P , Q y

e) 18 u Y S q q Q

P

X

S ; donde P = 3u y Q = 2 10 u . Determine el

valor de m si se verifica mP  3Q = nS (m y n son números reales). Considere:

tan q =

1 3.

14 a) 3 b) 5 11 c) 3

16 d) 3 17 e) 3 34. En la figura se muestra dos vectores dispuestos sobre un cubo. Determine en qué relación se encuentran los módulos de los vectores A  B y A-B.

1 a) 3 b)

B

A 2

g

2 3 c) 3 2 d) e) 3

35. Se tienen tres vectores a , b y c : si a = (2 , 3 , 0) ; b = (- 2 , 1 , 0) y c = 2i - 2j  2k .

.

( ) Hallar: a �b c a) 10 d) 16

b) 12 e) 18

c) 14