1808561064_muhammad Akbar Hamid_c_laprak 3 Sidig_unlocked.docx

LAPORAN PRAKTIKUM SISTEM DIGITAL TUGAS MODUL III (PENYEDERHANAAN FUNGSI BOOLEAN)

Dosen : I Gusti Ngurah Anom Cahyadi Putra, S.T., M. Cs

Oleh : Kadek Nanda Banyu Permana

1808561050 (C)

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA 2019

BAB I LANDASAN TEORI

1.1 Penyederhaan dengan Aksioma-Aksioma dan Teorema-Teorema Boolean Seperti yang telah dipelajari pada modul sebelumnya, suatu fungsi Boolean dapat disederhanakan dengan untuk melakukan optimalisasi terhadap semua fungsi tersebut. Penyederhanaan fungsi-fungsi tersebut dapat menggunakan aksioma-aksioma dan (A1) X = 0 if X ≠ 1 (A1’) X = 1 if X ≠ 0 (A2) If X = 0, then X’ = 1 (A2’) if X = 1, then, X’ = 0 (A3) 0 . 0 = 0 (A3’) 1 + 1 = 1 (A4) 1 . 1 = 1 (A4’) 0 + 0 = 0 (A5) 0 . 1 = 1 . 0 = 0 (A5’) 1 + 0 = 0 + 1 = 1 (T1) X + 0 = X (T1’) X . 1 = X (T2) X + 1 = 1 (T2’) X . 0 = 0 (T3) X + X = X (T3’) X . X = X (T4) (X’)’ = X (T5) X + X’ = 1 (T5’) X . X’ = 0 (T6) X + Y = Y + X (T6’) X . Y = Y . X (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7’) (X . Y) . Z = X . (Y . Z) (T8) X . Y + X . Z = X . (Y + Z) (T8’) (X + Y) . (X + Z) = X + Y . Z (T9) X + X . Y = X (T9’) X . (X + Y) = X (T10) X . Y + X . Y’ = X (T10’) (X + Y) . (X + Y’) = X (T11) X . Y + X’. Z + Y . Z = X . Y + X’ . Z (T11’) (X + Y) . ( X’ + Z) . (Y + Z) = (X + Y) . (X’ + Z) (T12) X + X + . . . + X = X (T12’) X . X . . . . . X = X

(Identities) (Null elements) (Idempotency) (Involution) (Complements) (Commutativity) (Associativity) (Distributivity) (Covering) (Combining) (Consensus) (Generalized idempotency)

(T13) (X1 . X2 . . . . . Xn)’ = X1’ + X2’ + . . . + Xn’ (T13’) (X1 + X2 + . . . + Xn)’ = X1’ . X2’ . . . . . Xn’

(DeMorgan’s theorems)

(T14) [F(X1, X2, . . ., Xn, +, .)]’ = F(X1’, X2’, . . ., Xn’, . , +)

(Generalized DeMorgran’s theorem)

teorema-teorema seperti dibawah yang sudah dijelaskan pada modul sebelumnya. Contoh penyederhanaan fungsi menggunakan Aksioma-aksioma dan Teorema-teorema : 1.

2.

X+X’Y

= (X+X’)(X+Y)

(Distributivity dan Complements)



= 1(X+Y)

(Identities)



= X+Y

X’Y’Z+X’YZ+XY’ = X’Z(Y+Y’)+XY’

(Distributivity dan Complements)



= (X’Z)1+XY’

(Identities)



= X’Z+XY’

Selain dengan aksioma dan teorema penyederhaan fungsi Boolean juga dapat dilakukan dengan peta Karnaugh. 1.2 Peta Karnaugh Peta Ini Digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean, Dengan cara memetakan tabel kebenaran dalam kotak-kotak segi empat yang jumlahnya tergantung dari jumla

peubah (variabel) masukan. Penyederhanaan untuk setiap “1” yang bertetanggaan 2,4,8,16… menjadi suku minterm yang sederhana. Berikut beberapa jenis peta karnaugh sesuai dengan peubah fungsi yang akan disederhanakan :

•

Peta Karnaugh Dua Peubah

•

Peta Karnaugh Tiga Peubah

Contoh : f = m (0,1,2,4,6)

•

Peta Karnaugh Empat Peubah Contoh : f = m (0,2,8,10,12,14 )

•

Peta Karnaugh Lima Peubah Peletakan posisi suku Minterm

Contoh : f =

•

m (0,7,8,15,16,23,24 )

Peta Karnaugh Enam Peubah Peletakan posisi Minterm

Contoh : f =

m (0, 4, 10, 11, 18, 21, 22, 23, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 36, 50, 53, 54, 55, 58, 61, 62, 63)

1.3 Peta Karnaugh dengan Sukumax Dilakukan dengan cara memetakan tabel kebenaran dalam kotak-kotak segi empat yang jumlahnya tergantung dari jumlah peubah (variabel) masukan. Penyederhanaan untuk setiap “0” yang bertetanggaan 2,4,8,16… menjadi suku maxterm yang sederhana. Contoh : g = π M(1,3,4,5,6,7,9,11,13,15)

1.4 Penilikan Kesamaan Peta Karnaugh dapat digunakan untuk menilik kesamaan dua buah fungsi boolean. Contoh : •

Buktikan kesamaan

Dapat dilihat kedua fungsi memiliki peta karnaugh yang sama.

BAB II PEMBAHASAN DAN TUGAS

2.1 Permasalahan 1)

Soal Pendahuluan Sederhanakanlah fungsi :

a.

AB + A’B + B

b.

AB’C + B’C + A’B + A’B’C

c.

WX’YZ + X’YZ’ + WX’Y’ + Y’Z Gunakanlah Peta Karnough dan buatlah simulasi rangkaian untuk membuktikan

bahwa rangkaian awal dan hasil penyederhanaan tersebut sama! 2) Soal Modul – NIM Genap 1.

Jelaskan secara detail apa yang dimaksud dengan kondisi tak acuh pada Peta Karnaugh!

2.

Tentukan pernyataan sederhana dalam bentuk jumlah hasilkali untuk fungsi Boolean berikut : a. F(x,y,z) = Σ (2,3,6,7) b. F(A,B,C,D) = Σ (7, 13, 14, 15) c. F(a,b,c,d) = M (4,6,7,15) d. F (w,x,y,z) = M (2,3,11,13,14,15)

3.

Untuk fungsi Boolean a. PQ‟R + P‟Q + P‟QR‟ b. ABD + A‟C‟D + A‟B + A‟CD + AB‟D c. XY‟Z + P‟WX‟Y + PW‟X + WX‟Z‟

4.

Sederhanakanlah fungsi-fungsi berikut dalam bentuk hasilkali jumlah : a. (A‟ + B‟ + C)(A + B + D‟)(C + D)(C‟+D) b. (A‟ + B + D‟)(A + B‟ + C‟)(A + B„ + D‟) c. WXY‟Z + WX‟Z + XY‟Z + XY‟Z

Catatan : semua fungsi disederhanakan dengan menggunakan Peta Karnaugh!

2.2 Pembahasan dan Tugas 1)

Jawaban Soal Pendahuluan a. S = AB + A’B + B = AB + A’B + AB + A’B = AB + A’B = m11 ,m1

• Karnaugh Map

1

1

S=B •

Truth Table

•

Circuit

b. S = AB’C + B’C + A’B + A’B’C = AB’C + AB’C + A’B’C + A’BC + A’BC’ + A’B’C = m1,m2,m3,m5 •

Karnaugh Map

1 1 S = A’B + B’C

1

1

•

Truth Table

•

Circuit

B’C A’B

c. S = WX’YZ + X’YZ’ + WX’Y’ + Y’Z = WX’YZ + WX’YZ’ + W’X’YZ’ + WX’Y’Z + WX’Y’Z’ + WXY’Z + WX’Y’Z + W’XY’Z + WXY’Z = m1,m2,m5,m8,m9,m10,m11,m13 •

Karnaugh Map

1

1 1 1 1

1

S = AB’ + B’CD’ + C’D

1

1

•

Truth Table

•

Circuit B’CD’ C’D AB’

2) Jawaban Soal Modul – NIM Genap 1.

Kondisi tak acuh pada peta Karnaugh Angka 1 dan 0 dalam table kebenaran menunjukkan bahwa kombinasi variable input akan membuat fungsi outputnya bernilai 1 atau 0. Dalam prakteknya, terdapat kombinasi variable input yang tidak pernah ada. Sebagai contoh, kode BCD hanya menggunakan kombinsi variable input 0000 sampai dengan 1001 (mengkodekan angka decimal 0 sampai dengan 9), sedangkan 1010 sampai dengan 1111 tidak boleh muncul dalam operasi normalnya. Sehingga keluaran dari fungsi 1010 sampai dengan 1111 tidak perlu diperhatikan karena dijamin tidak akan pernah ada, keadaan ini disebut dengan Keadaan Acuh (Don’t Care Condition).

Keadaan don’t care tersebut dimanfaatkan dalam Peta Karnaugh untuk mendapatkan penyederhanaan lebih lanjut pada fungsinya. Untuk membedakan keadaan don’t care ini dengan 1 dan 0, digunakan tanda silang (X). Dalam pengelompokan peta Karnaugh, X hanya digunakan untuk menyumbang

pengelompokan angka 1 yang lebih luar. Sehingga X tidak perlu digunakan jika tidak menyumbang untuk pengelompokan angka 1 yang lebih luas. Jadi, pemilihannya

hanya

menguntungkan.

tergantung

pada

penyederhanaan

Beberapa kondisi don't care

yang

paling

yang penting untuk

diperhatikan adalah 1. Jika terdapat kondisi don't care dalam penyederhanaan K-Map, maka kondisi ini bisa dianggap 1 (high) atau 0 (low) artinya bisa dimasukkan ke dalam lingkaran dalam proses penyederhanaan atau bisa tidak dimasukkan ke dalam lingkaran. 2. Dalam kondisi tertentu, jika terlalu banyak sel don't care yang diabaikan, padahal memungkinkan untuk tidak diabaikan dan dimasukkan ke lingkaran penyederhanan maka hal ini sangatlah kurang optimal. 3. Dalam membuat lingkaran pada K-map, sebaiknya kita membuat lingkaran sebanyak mungkin mengcover kondisi don't care. 2.

Sederhana dalam bentuk jumlah hasil kali (SOP/minterm) a. F(x,y,z) = Σ (2,3,6,7) •

Karnaugh Map

y’z

yz’

x’

1

1

x

1

1

y’z’

F=y •

Truth Table xyz

y’z

•

Circuit

x y z

b. F(A,B,C,D) = Σ (7, 13, 14, 15) •

Karnaugh Map

1 1 •

Truth Table

•

Circuit

1

1

c. F(a,b,c,d)

= π (4,6,7,15) = Σ (0,1,2,3,5,8,9,10,11,12,13,14)

•

Karnaugh Map

1

1

1

1

1 1

1

1

1

•

Truth Table

•

Circuit

1 1

1

F (w,x,y,z) = π (2,3,11,13,14,15) = Σ (0,1,4,5,6,7,8,9,10,12) •

Karnaugh Map yz

wx

d.

F = wx’z’ + w’x + x’y’ + y’z’ •

Truth Table

•

Circuit w x

y

z wx’z’ w’x x’y’ y’z’

Untuk fungsi Boolean a. PQ’R + P’Q + P’QR’

P

QR

F

= PQ’R + P’QR + P’QR’ + P’QR’ = Σ (2,3,5) = PQ’R + P’Q

b. ABD + A’C’D + A’B + A’CD + AB’D

F = ABCD + ABC’D + A’BC’D + A’B’C’D + A’BCD + A’BC’D + A’BCD’

+ A’BC’D’ + A’BCD + A’B’CD + AB’CD + AB’C’D = Σ (1,3,4,5,6,9,11,13,15) = A’B + D c. XY’Z + P’WX’Y + PW’X + WX’Z’

WX

3.

YZ

P’

P

F = PWXY’Z + P’WXY’Z +PW’XY’Z + P’W’XY’Z + P’WX’YZ +P’WX’YZ’

+ PW’XYZ + PW’XY’Z + PW’XYZ’ + PW’XY’Z’ + PWX’YZ’ P’WX’YZ’ PWX’Y’Z’ + P’WX’Y’Z’ = Σ (5,8,10,11,13,20,21,22,23,24,26,29) = P’WX’Y + WX’Z’ + XY’Z + PW’X 4.

Hasil kali jumlah (POS/maxterm) a. (A’ + B’ + C)(A + B + D’)(C + D)(C’+D) S = (A’+B’+C).(A+B).(D)

b. (A’ + B + D’)(A + B’ + C’)(A + B’ + D’) S = (A+B’+D’).(A+B’+C’).(A’+B+D’)

WXY’Z + WX’Z + XY’Z + XY’Z S = (W+X).(X’+Y’).(Z) YZ

WX

c.

BAB III KESIMPULAN

Ketika mengerjakan soal-soal mengenai penyederhanaan fungsi Boolean dengan peta karnough dapat disimpulkan bahwa Karnaugh Map dapat digunakan untuk menyederhanakan rangkaian dengan cara yang lebih mudah di banding menggunakan aljabar boolean yang memiliki cara yang panjang. Selain itu, karnaugh Map dapat digunakan untuk membuat persamaan logika dari tabel kebenaran. Karnaugh Map berfungsi untuk menunjukkan hubungan antara input logika dan output yang diinginkan.Karnaugh Map hanya cocok digunakan jika fungsi Boolean mempunyai jumlah variable paling banyak 6 buah, jika variable yang terlibat pada suatu fungsi Boolean lebih dari 6 buah maka penggunaan K-Map menjadi semakin sulit.