1554056642225_practica Intro 1 Conjuntos.docx

Corporación Educativa “Caballeros de la Ley”. EDUCACIÓN DE CALIDAD AL SERVICIO DE LA COMUNIDAD TEMA: INTRO A LA TEO. DE CONJUNTOS 1: IDEAS BASICAS Noción de conjunto Concepto primitivo que no tiene definición, pero que nos da la idea de agrupación de objetos a los cuales llamaremos elementos del conjunto. Relación de pertenencia Si un objeto es elemento del conjunto, se dirá que pertenece (∈) a su conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece (∉) a dicho conjunto. Ejemplo: A = {4; 9; 16; 25}

ARITMETICA

PROF.: GUILLERMO E. ALEMAN

Se lee: “A” es el conjunto de los elementos “x”, tal que “x” es un número natural, además es mayor que 6 pero menor que 12. Relaciones entre conjuntos Inclusión (⊂): Se dice que un conjunto A está incluido en B; si todos los elementos de A, están en el conjunto B. Es decir:

Se lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, este también pertenece a “B”.

Cardinal de un conjunto Es la cantidad de elementos de un conjunto y se denota: n(A), así en el ejemplo anterior n(A)=4 Ejemplo: Sea: A = {a, e, i, o, u} Entonces: n(A) = 5 Que se lee: El cardinal de “A” es 5. Determinación de un conjunto

• Además: A⊂B ” A” está incluido en “B” “A” está contenido en “B” “A” es subconjunto de “B” •B⊃A “B” incluye a “A” “B” contiene a “A”

Por extensión o en forma tabular: Es cuando se indican los elementos del conjunto. A = {7; 8; 9; 10; 11}; Se lee: “A” es el conjunto cuyos elementos son: 7; 8; 9; 10 y 11. Ejemplo: Determine por extensión el siguiente conjunto: A= {5x + 1 < 3x + 11 < 4x + 10 / x ∈ Z} la suma de los elementos de A es …

• Observación: “∀” se lee para todo

A) 3 B) 4 Solución:

• n [subconjuntos propios de “A”] = 2n(A) – 1

C) 5

D) 9

E) 11

• n [subconjuntos “A”] = 2n(A)

Igualdad de conjuntos 5x + 1 < 3x + 11 x<5

3x + 11 < 4x + 10 1<x

Entonces: x = 2;3;4 Suma de valores de x = 9 Por compresión ó en forma constructiva: Es cuando se indica alguna característica particular y común a sus elementos. Así, por ejemplo, del ejercicio anterior: A = {x/x ∈ N; 6 < x < 12}

Si todos los elementos del conjunto “A” pertenecen al conjunto “B”, y todos los elementos del conjunto “B” pertenecen también al conjunto “A”, entonces se dice que estos 2 conjuntos son iguales. Esta igualdad de los conjuntos “A” y “B” se denota por: A = B. Es decir:

Ejemplo: Si: A = {x/x es una letra de la palabra AROMA}

_______________________________________________________________________ CENTRAL BREÑA: Jr. Jorge Chávez Nº 130 – Lima Telfs. 7641381 / RPC - 944575946 ANEXO SJL: Jr. Condebamba Nº 423 – B – Urbanización Canto Rey –- 3424536 / RPC - 980538400 PUENTE PIEDRA: Asoc. Casa Huertas San Pedro Mz B lote 08 – 5054800 / RPC – 982030565

1

B = {x/x es una letra de la palabra MAROMA} Entonces: A = {A, R, O, M} B = {M, A, R, O} Luego: A = B PRINCIPALES TIPOS DE CONJUNTOS Conjunto Vacío: Aquel que no tiene elementos, también se le llama nulo y se denota ∅ o { }

Conjuntos numéricos Conjunto de los números naturales (N) N = {0; 1; 2; 3; .......} Conjunto de los Números Enteros (Z) Z = {........; -2; -1; 0; 1; 2; .........} Conjunto de los Números Racionales (Q)

Ejemplo: {x/x ∈ N; 5 < x < 6} = { } No existe un “x ∈ N” que sea mayor que 5 y menor que 6 a la vez. Conjunto Unitario: Aquel que tiene un solo elemento, también se le llama singleton.

Conjunto de los Números Irracionales (I)

Ejemplo: {x/x ∈ N; 5 < x < 7} = {6} puesto que “6 ∈ N” es el único comprendido entre 5 y 7.

Son aquellos que tienen una representación decimal infinita no periódica y no pueden ser expresados como el cociente de 2 enteros.

Ejemplo: En los conjuntos unitarios H = {q2 + 1, 3q – 1} S = {3x + y, x – y + 8} Uno de los valores de q + x + y es: A) 9

B) 8

C) 7

D) 4

E) 5

Solución: q2 + 1 = 3q – 1 entonces q2 – 3q + 2 = 0 q = 2; 1

Conjunto de los Números Reales (R) Es la reunión de los racionales con los irracionales.

3x + y = x – y + 8 entonces 2x + 2y = 8 x+y=4 Ahora: q + x + y = 5 Ejemplo: Dados los conjuntos unitarios: P = {x + y, 8} Q = {y + z, 10} S = {x + z, 12} Calcular: (x + 4y – z) A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

Solución: x+y=8 y + z = 10 x + z = 12 Sumando: x + y + z = 15 Se observa: x = 5; y = 3; z = 7 x + 4y – z = 10 Conjunto Universal(U): Conjunto referencial que se toma como base para el estudio de otros conjuntos contenidos en él y se denota por U. Así, por ejemplo, el conjunto “U” para los siguientes conjuntos: A = {2; 4; 6; 8} y B = {1; 3; 5; 7; 9} U = {x/x ∈ N; 1 ≤ x ≤ 9} o U = {x/x ∈ N; x < 10} ó

Conjunto Potencia Sea: A = {a, b}; todos los subconjuntos de este conjunto son: {a}; {b}; {a, b}; ∅ Al conjunto cuyos elementos son los subconjuntos anteriores, se le llama también conjunto de partes de “A” y se le denota: P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} En general, el número de subconjuntos se halla con la siguiente relación: 2n; donde “n” es el número de elementos del conjunto.

U = {x/x ∈ Z}

_______________________________________________________________________ CENTRAL: Jr. Washington Nº 896 – Lima Telfs. 7641381 / RPC - 944575946 ANEXO SJL: Jr. Condebamba Nº 423 – B – Urbanización Canto Rey –- 3424536 / RPC - 980538400 PUENTE PIEDRA: Asoc. Casa Huertas San Pedro Mz B lote 08 – 5054800 / RPC - 982030565

2

Ejemplo: A = {m, a, r}; Entonces: P(A) = {{m}, {a}, {r}, {m, a}, {m, r}, {a, r}, {m, a, r}, ∅} n[P(A)] = 23 = 8 n [subconjuntos propios de “A”] = 23 – 1 Entonces hay 23 = 8

Ejemplo: A = {3; 5; 9}; n(A) = 3 subconjuntos que son:

∅; {3}; {5}; {9}; {3; 5}; {3; 9}; {5; 9} y {3; 5; 9} a) 4 EJERCICIOS RELACION DE PERTENENCIA E INCLUSION ENTRE CONJUNTOS

b) 7

c) 5

d) 3

e) 6

7. Dado el conjunto B={{a}; a; ∅; {a; b}; b} ¿cuántas de las siguientes afirmaciones, son verdaderas?

1. Dado el conjunto: A= {2;3; {2};4} Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas. *3∈A a) 0

* {2} ∈ A b) 1

*4∉A

c) 2

*8∉A

d) 3

e) 4

2. Sea el conjunto: A = {3; 4; {2}; 6} Coloque el valor de verdad en: a) 4 ∈ A

b) {4} ⊂ A

e) ∅ ∈ A

f) ∅ ⊂ A

c) {2} ∈ A

d) {3 ; 6} ⊂ A

8. Hallar n(A):

3. Dado el conjunto: B= {4; 5; {6}; 7} Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas. * {5} ⊂ B

* {4} ⊂ B

a) 0

b) 1

CARDINAL O NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTOS

*7⊄B c) 2

* {{6}} ⊄ B

d) 3

e) 4

4. Dado el conjunto siguiente: A = {4; {6}; {4;8}, {15}} Se puede afirmar que: a) {6} ⊂ A b) 5 ∈ A c) {4;8} ∈ A d) 4 ⊂ A e) 6 ∈ A 5. Dado el conjunto: A = {4; 3; {6}; 8} y las proposiciones:

A  4; 4; 5; 5; 5 , es:

a) 1

b) 2

c) 3

9. Si: A

 i, n, g, e, n, i, e, r, í , a

Calcular: a) 10

n  A  n  B  b) 12

* {6} ∈ A

* {6} ⊂ A

5; 5; 5; 3; 4 ?

*8∈ A

*∅⊂ A

*∅∈A

* {3 ; 8} ⊂ A

a) 3

b) 6

c) 5

d) 4

e) 3

6. Dado el conjunto A= {12; {8}; 6; {6}; {{8}}} Indique cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas.

c) 13

d) 14

e) 17

10. ¿Cuántos elementos posee:

* {4} ⊂ A

a) 7

e) 5

B  b, a, t, e, r, í , a

* {3} ∈ A

Indique el número de proposiciones verdaderas:

d) 4

b) 2

c) 1

d) 4

e) 5

11. Dado el conjunto: P = {5; 6; 7; 8; 9} y los conjuntos: M ={x ∈ P / x2 > 50 y x < 9} N ={x ∈ P / x es impar y 6 < x} Determinar: n(M) + n(N) a) 3

b) 4

c) 2

d) 1

e) 5

12. Calcular n(A) sabiendo que: A {a+b/a, b ∈ N, 0
b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

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3

a) {x/x es un número par} b) {x/x ∈ Z, 1 < x < 9} 13. Sean c) {2x/x ∈ Z, 1 < x <9} d) {x/x ∈ Z, 1 ≤ x ≤ 4} e) {2x/x ∈ N, 1 ≤ x ≤ 4}

Calcule: n(A) x n(B) a) 29

b) 87

c) 116

d) 58

e) 85

DETERMINACION DE UN CONJUNTO POR EXTENSION Y COMPRENSION 14. El conjunto que determina por comprensión al conjunto:

A  1; 4; 9; 16 , es: a) A  {x / 1  x  16} b) A  {x / x   1  x  16}

19. Si: A = {x / x = (4m - 1)2 m∈ N, 2 ≤ m ≤ 5} Entonces el conjunto A escrito por extensión es: a) {7; 11; 15; 19}

d) {49; 121; 225; 361}

c) {4; 9; 16; 25}

e) {3; 4; 7; 9}

20. Determinar por extensión el conjunto "A" e indicar el número cardinal de dicho conjunto.

a) 2

c) A  {x / x   1  x  16}

b) {2; 3; 4; 5}

b) 4

c) 3

d) 6

e) 5

2

21, ¿Cuántos elementos tiene "A", si:

d ) A  {x 2 / x   1  x  4} e) A  {x 2 / x   1  x  4}

a) 2 15. El conjunto que determina por comprensión al conjunto:

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

22. Sea el conjunto:

A  3; 4; 5; 6; 7 , es:

a) A 

x

/ 3  x  7

Encuentre el cardinal de A

b) A  {x / 3  x  7} c) A  {x / x   3  x  7} d ) A  {x / x   3  x  7} e) A 

x

a) 1

b) 2

/ x  3

23.Dados los conjuntos unitarios:

A  2; 4; 6; 8 , es:

A 

/ x es par

A  a) 3

17. Dados los conjuntos: A = {2a+1/ 1 < a < 8; a ∈ Z} B = {2a+1 ∈ Z / 1 < a < 8} Hallar la suma del mayor elemento de A con el menor elemento de B. c) 18

d) 19

 y  ; 8; B 

x

b) 26

2

 y

c) 51

e) 20

18 ¿Cuál de los siguientes determina por comprensión al conjunto? A = {2; 4; 6; 8}

4b

2



 x

d) 85

– y  ; 4

e) 100

b

 c

 1; 2c  9; 3b  4

b) 5

25. Si:

b) 17

e) 5

24.-Si A es un conjunto unitario, hallar

b) A  {x / 2  x  8} c) A  {2 x / 2  x  8} d ) A  {x / x   2  x  8} e) A  {2 x / x   1  x  4}

a) 16

 x

Calcular: a) 40

x

d) 4

PRINCIPALES TIPOS DE CONJUNTOS

16. El conjunto que determina por comprensión al conjunto:

a) A 

c) 3

c) 1

d) 2

e) 6

P  8  a; 5  b; 1 es un conjunto unitario,

calcular: “ a  b ” 2

a) 33

b) 65

2

c) 3

d) 52

e) 67

26. Si el conjunto “P” es unitario, hallar: “x

 y ”.

a) 21

Donde

b) 22

P 

x

 8; 14  y; 9

c) 23 d) 20

e) 24

27. Si el conjunto "B" es unitario, hallar:

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4

B  32  m; 23; n  5

"m + n". donde a) 18

b) 24

c) 37

a

28. Si: A 

d) 45

e) 49

 3; 28 es un conjunto unitario, el

2

menor valor de “a” es: a) 3

b) -3

c) 5

d) -5

e) 4

a

3

 3; 24

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 30. Si el conjunto: A= {a-4b; 5b-2a} es singleton. Calcular: a-3b a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

31. Si el conjunto "A" es unitario A = {a+b; b+c; a+c; 6} Calcular: a2 + b3 + c4 a) 28

b) 72

c) 96

d) 258

e) 117

32. Si el conjunto A es unitario, calcule a+b. A= {2a+3b; 77; 5b – 4a} a) 28

b) 21

c) 30

d) 27

e) 34

33. Si los conjuntos A y B son iguales:

A  a a  b;124 B  b3  1;32

Calcule la suma de elementos de M





M  x 2 / x  Z  a  x  b a) 48

b) 99

c) 91 d) 54 e) 55

b) - 10

c) – 12

d) b y c

e) a y c

36. Dados los conjuntos iguales: A = {a2 + 3; b + 1} y B = {13; 19} Considere a y b enteros. Indique la suma de los valores que toma: a + b a) 16

29. Si el conjunto "Q" es un conjunto unitario, calcular "a". si Q 

a) - 11

b) 24

c) 30

d) 12

e) 27

37. Si los conjuntos A y B son iguales, hallar a x b si a y b son naturales. A = {a2 + 2a; b3 - b} B = {2a; 15} a) 8

b) 15

c) 9

d) 12

e) 6

CONJUNTO POTENCIA, NUMERO DE SUBCONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS PROPIOS 38. Cuántos subconjuntos tiene "A" A= {r; e; c; o; n; o; c; e; r} a) 8

b) 32

c) 64

d) 128

e) 256

39. Cuántos subconjuntos propios tiene "B" B= {a; m; o; l; a; p; a; l; o; m; a} a) 7

b) 31

c) 127

d) 15

e) 63

40. Hallar el cardinal del conjunto A, sabiendo que tiene 2016 subconjuntos más que el conjunto B, que tiene 5 elementos. a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) N.A.

41. Si los conjuntos A y B poseen respectivamente 64 y 16 subconjuntos. Hallar: n(A) – n(B)

34. Dados los conjuntos iguales: a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

42. Dados dos conjuntos A y B, se sabe que: n(A) + n(B) = 10 Si A posee 31 subconjuntos propios. COLUMNA A m+3

COLUMNA B n+4

Hallar el número de elementos de P(B).

a) A es igual a B

a) 4

b) A es mayor que B

43 ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto?

c) B es mayor que A d) El problema es absurdo e) ¡No utilizar ésta opción!

a) 127

b) 8

b) 63

c) 16

c) 15

d) 32

d) 7

e) 6

e) 31

44. Si: A = {0; 1}; determina la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

35. Dados los conjuntos iguales: A = {a2 + 9; b + 2} B = {-9; 10} Hallar: a + b

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5

a) FFVFV

b) VFVFV c) VFFVF d) FFFVV

e) VVVFF

45 ¿Cuántos subconjuntos tiene la potencia del conjunto A, tal que: A = {2; {3}; 2}? a) 4

b) 16

c) 216

d) 8

e) 64

46.Si sabemos que un conjunto: C  { f , {}} , entonces podemos afirmar que este presenta ¿cuantos subconjunto? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

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