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Royaume du Maroc ´ UNIVERSITE MOHAMED V AGDAL - RABAT ´ ´ ECOLE MOHAMMADIA D’INGENIEURS

D´ epartement Mod´ elisation et Informatique Scientifique

M´ emoire de Projet de Fin d’Etudes

OPTIMISATION DE PORTEFEUILLE SOUS DES CONTRAINTES DE RISQUE

´ En vue de l’obtention du diplˆ ome d’Ing´ enieur d’Etat

Soutenu le : 01/06/2015 Pr´ esent´ e par : CHABBAR Salma et LALLOUCH Sofia

Devant le jury compos´ e de : M r Abdelillah ABID

P.E.S. EMI

Pr´ esident

M me Joumala EL ALAOUI

P.E.S. EMI

Rapporteur

M r Rachid ELLAIA

P.E.S. EMI

Encadrant

M r Jaber KHAMLICHI

Responsable PGP - CMR

Parrain

Ann´ee universitaire 2014/2015

Remerciements Avant de rentrer dans le vif du sujet, nous tenons `a remercier notre encadrant interne a` l’EMI, Monsieur Rachid ELLAIA, pour ses conseils et ses commentaires pr´ecieux, qui nous ont permis de surmonter nos difficult´es et de progresser pour accomplir notre mission comme il le faut. Nos remerciements s’´etendent ´egalement `a Madame Joumala EL ALAOUI, pour l’honneur qu’elle nous a fait d’ˆetre rapporteur sur notre projet de fin d’´etudes, et a` Monsieur Abdelillah ABID pour avoir accept´e d’´evaluer notre travail et d’ˆetre pr´esident et membre de notre jury. Nous exprimons aussi notre profonde reconnaissance a` Monsieur Jaber KHAMLICHI, Responsable du Pˆole Gestion de Portefeuille, a` la Caisse Marocaine des Retraites, qui a fait que ce stage soit une r´ealit´e. Nos sinc`eres remerciements `a lui et a` Monsieur Slimane KABIRI, chef de la Division des op´erations, pour leurs accompagnements quotidiens, leurs orientations pr´ecieuses, leurs g´en´erosit´es et la grande patience dont ils ont su faire preuve malgr´e leurs charges professionnelles. Nous n’omettrons pas de remercier toute l’´equipe du pˆole gestion de portefeuille a` la CMR pour leur accueil chaleureux, leur sympathie et leur coop´eration, mais aussi pour leurs id´ees constructives et les informations tr`es utiles qu’ils nous ont fournies. Enfin, nous remercions toutes les personnes qui ont contribu´e de pr`es ou de loin a` la concr´etisation de ce travail.

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R´ esum´ e Le pr´esent m´emoire s’int´eresse a` la gestion des risques au sein d’un portefeuille et tout particuli`erement le portefeuille de la Caisse Marocaine des Retraites o` u notre projet de fin d’´etudes s’est d´eroul´e. La finalit´e de cette ´etude de risque est l’optimisation de la performance du portefeuille ´etudi´e tout en respectant le budget de risque allou´e par l’´etablissement. Dans un premier temps et apr`es une introduction a` l’univers du risque, nous avons quantifi´e le niveau de risque des portefeuilles de la CMR grˆace `a plusieurs indicateurs, que nous avons automatis´es sur VBA. Ensuite, comme tout gestionnaire de portefeuille se doit de trouver l’allocation d’actifs optimale en fonction de son budget de risque, nous avons mod´elis´e math´ematiquement un programme d’optimisation qui permettra de maximiser la performance du portefeuille en veillant a` ce que cela ne soit pas au d´etriment de la tol´erance au risque du gestionnaire. La combinaison de ces deux ´el´ements,la performance et le risque, a donn´e lieu `a un probl`eme d’optimisation de portefeuille sous des contraintes de risque que nous avons automatis´e sous MATLAB. Mots-cl´ es : Gestion des risques - Portefeuille - Optimisation - Performance - Mod´elisation.

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Abstract The main subject of our final project at the CMR is the quantification of the risk in their portfolio in order to realize a better management of their assets . At first, and after an introduction to Risk Management, we have quantified the level of risk of the portfolios of the CMR using several indicators which we automated on VBA. Then, as every portfolio manager has to find the optimal use of the assets according to his budget of risk, we made a mathematical modeling of a program of optimization which will allow us to minimize the risk of the portfolio without making it under-perform. The combination of these two elements, the performance and the risk, lead to a problem of the optimization of the portfolio under a constraint of risk which we automated under MATLAB.

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iv

Table des mati` eres Introduction

1

Pr´ esentation de l’organisme d’accueil : Caisse Marocaine des Retraites

3

1 Contexte g´ en´ eral 1.1 Notions fondamentales . . . 1.2 Classes d’actifs . . . . . . . 1.2.1 Actions . . . . . . . 1.2.2 Les obligations . . . 1.2.3 Les fonds mon´etaires 1.2.4 L’immobilier . . . . . 1.3 Types de gestion . . . . . . 1.3.1 La gestion active . . 1.3.2 La gestion passive . .

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6 . 6 . 6 . 7 . 8 . 9 . 9 . 10 . 10 . 11

2 Notion du risque 2.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 D´efinition g´en´erale du risque . 2.1.2 D´efinition du risque en finance 2.2 Typologie des risques . . . . . . . . . 2.2.1 Risques de march´e . . . . . . 2.2.2 Risque de liquidit´e . . . . . . 2.2.3 Risque de cr´edit . . . . . . . . 2.2.4 Risques op´erationnels . . . . .

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12 12 12 13 13 14 14 15 15

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17 17 17 18 19 19 20 21 22 24 28 30 30

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3 Gestion des risques 3.1 Notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Valeur liquidative . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 La performance . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Caract´eristiques d’une mesure de risque . 3.2 Outils de mesure de risque . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Volatilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Tracking-Error . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Bˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 La VaR Conditionnelle . . . . . . . . . . 3.2.6 Risque a` la baisse . . . . . . . . . . . . . 3.2.7 Autres outils de mesure . . . . . . . . .

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque 4 Application de gestion des risques 4.1 Pr´esentation de l’application . . . . 4.1.1 Description g´en´erale . . . . 4.1.2 Description de l’application 4.2 Interpr´etation des r´esultats . . . . .

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5 Optimisation du portefeuille Actions 5.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Mod´elisation math´ematique du probl`eme . . . . . . . 5.1.2 Mod`ele d’Evaluation Des Actifs Financiers (MEDAF) 5.2 Mod´elisation des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Contraintes de gestion . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Contraintes de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Formulation du probl`eme d’optimisation . . . . . . . . . . . 5.4 Application sous MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Optimisation - R´esultats et analyse . . . . . . . . . . . . . . Conclusion et perspectives

Chabbar et Lallouch

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34 34 34 35 42

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46 46 46 48 49 49 49 55 57 67 69

vi

- M.I.S -

Liste des acronymes CMR : Caisse Marocaines des Retraites DGP : Division de Gestion de Portefeuille BVC : Bourse des Valeurs de Casablanca MASI : Moroccan All Shares Index MADEX : Most Active Shares Index CFG : Casablanca Finance Group CDG : Caisse de D´epˆot et de Gestion MBI : Moroccan Bond Index MGBX : Moroccan Government Bond Index PF : Portefeuille VL : Valeur liquiditative IP : Indice de performance aIP : Indice de performance annualis´e TE : Tracking Error TMP JJ : Taux Moyen Pond´er´e au Jour-le-Jour VaR : Valeur a` Risque CVaR : Valeur a` Risque Conditionnelle VBA : Vasiual Basic Application MEDAF : Mod`ele d’Evaluation Des Actifs Financiers fmincon : Find minimum of constrained nonlinear multivariable function

vii

Table des figures 1 2

Organigramme de la CMR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Organisation du Pˆole Gestion de Portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5

1.1

Evolution de l’indice MASI Rentabilit´e Brut . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.1 3.2 3.3 3.4

Int´erpr´etation de la volatilit´e . . . . . . . . . . . . Coefficients bˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemple de la VaR sous une distribution normale La Valeur a` Risque conditionnelle . . . . . . . . .

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20 22 25 29

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15

Feuille instructions . . . . . . . . . . . . . Barre de menu . . . . . . . . . . . . . . . Interface de p´eriode de calcul . . . . . . . Interface des indicateurs de risques . . . . Param`etres de la VaR . . . . . . . . . . . R´esultats du calcul des indicateurs . . . . Feuille finale des donn´ees du portefeuille . Feuille finale des donn´ees TMP . . . . . . Reporting du portefeuille . . . . . . . . . . Rapport d’activit´e sur Word - Pages 1 et 2 Rapport d’activit´e sur Word - Pages 3 et 4 Rapport d’activit´e sur Word - Page 5 . . . Volatilit´e annualis´ee - Portefeuille Actions Risque a` la baisse - Portefeuille Actions . . VaR et CVaR - Portefeuille Actions . . . .

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5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Interface Menu sur Matlab . . . . . . . R´esultats d’importation des donn´ees . Interface d’optimisation . . . . . . . . R´esultats d’importation des donn´ees . Interface pour les rentabilit´es esp´er´ees . Donn´ees li´ees aux titres du portefeuille S´election des contraintes . . . . . . . . R´esultats de l’optimisation sur Excel .

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57 58 61 62 62 63 64 65

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Liste des tableaux 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Donn´ees initiales - R´epartition par secteur . . . . Donn´ees initiales - R´epartition par titre . . . . . . Donn´ees finales - R´epartition par titre . . . . . . Donn´ees finales - Indicateurs de risques . . . . . . Donn´ees finales - R´epartition par secteur . . . . . Comparaison entre les algorithmes d’optimisation

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Introduction Toute institution, quel que soit son domaine d’activit´e, est expos´ee a` une s´erie de risques. Les institutions financi`eres, par exemple, ´evoluent dans un environnement complexe en termes de diversit´e des instruments utilis´es, de fluctuations soudaines ou encore des mouvements adverses des prix du march´e ; elles deviennent ainsi tr`es vuln´erables face a` cet environnement et donc tr`es menac´ees par une s´erie de risques, qui doivent ˆetre maˆıtris´es, ´elimin´es ou du moins r´eduits. Le risque apparaˆıt comme l’un des d´efis actuels des dirigeants pour le d´efinir, le mesurer et le g´erer pour am´eliorer la performance. De ce fait, la gestion des risques est donc une composante indispensable pour une bonne gouvernance et un objectif essentiel a` int´egrer dans les strat´egies et la politique de l’entreprise. Notre projet de fin d’´etudes se d´eroule `a la Caisse Marocaine des Retraites (CMR), au sein du Pˆole Gestion de Portefeuille. Les aspects financiers abordables en gestion de fonds de pension sont tr`es vastes, mais nous allons nous int´eresser `a l’un d’eux en particulier : la gestion des risques au niveau des diff´erents portefeuilles de l’´etablisssment. En effet, la CMR est confront´ee `a des probl`emes de choix en avenir incertain et la gestion des actifs financiers comporte ainsi plusieurs risques de nature diff´erente qui peuvent provoquer, en cas d’une mauvaise gestion, des pertes consid´erables. Ces pertes peuvent ˆetre des destructions mat´erielles, des dommages corporels, de l’argent ou du temps investi, et peuvent s’exprimer de mani`ere qualitative (sur une ´echelle) ou par des grandeurs quantitatives (mon´etaires ou d’exploitation). Dans notre ´etude, nous nous int´eresserons essentiellement a` la quantification de la perte financi`ere mon´etaire, selon le type de risque, pour que le gestionnaire se situe, a` tout moment, par rapport au budget de risque qui lui est permis et mette en avant des ajustements : Combien d’argent pourrions-nous perdre ? Sommes-nous dans les proportions autoris´ees ? Quelle strat´egie choisir pour une couverture efficace des risques ? Pour quantifier les risques au niveau d’un portefeuille et les ´eventuelles pertes qui en r´esultent, plusieurs mod`eles ont ´et´e mis en place. Le grand succ`es de la th´eorie moderne du portefeuille revient essentiellement a` Markowitz dans les ann´ees 1950 [8], qui introduit le concept de diversification comme un outil fondamental de gestion des risques sp´ecifiques. Toutefois, plusieurs ´etudes ont d´emontr´e que le mod`ele est limit´e dans la mesure o` u cette diversification n’est pas suffisante pour prot´eger les portefeuilles des pertes `a forte ampleur, d’autant plus que d`es qu’un g´erant de portefeuille poss`ede une r´ef´erence de gestion il ne peut plus utiliser une optimisation Markowitz pour allouer son portefeuille [8]. Ainsi, plusieurs indicateurs de gestion du risque comme la volatilit´e, la VaR (Value-at-Risk), la Tracking Error, le risque a` la baisse etc, ont vu le jour et ont d´emontr´e leur efficacit´e au fil du temps. 1

Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

L’une des probl´ematiques majeure en gestion financi`ere est la d´etermination des risques financiers d’un portefeuille d’actifs. En effet, dans tout portefeuille, le facteur risque n’est pas moins important que le facteur performance, et ils doivent d´eterminer a` eux deux la strat´egie de placement. Les deux grands objectifs de la gestion des risques d’un portefeuille peuvent ainsi ˆetre reformul´es comme ´etant : L’am´elioration de la performance financi`ere et la pr´evention de toute perte potentielle. Le choix d’un portefeuille optimal d’actifs est depuis longtemps un sujet d’int´erˆet majeur dans le domaine de la finance. Dans ce projet, la probl´ematique pos´ee consiste `a d´ eterminer le portefeuille optimal qui convient ` a chaque investisseur, compte tenu de sa tol´ erance au risque. Nous chercherons a` optimiser le portefeuille en maximisant le rendement des titres le constituant sous contraintes des diff´erents risques auxquels ils sont expos´es, `a savoir le risque absolu et le risque relatif. En effet, par une allocation d’actifs, nous chercherons a` maximiser le rendement du portefeuille de la CMR et `a maintenir les risques a` un niveau acceptable, tout en respectant les contraintes de gestion et de diversification auxquelles l’´etablissement est assujetti. Le pr´esent travail reviendra tout d’abord sur une vue globale du contexte du stage : organisme d’accueil, analyse de la probl´ematique et analyse de l’existant, ensuite nous pr´esenterons les notions fondamentales de la gestion de portefeuille, ainsi que la notion du risque avec ses d´efinitions et ses types. Apr`es, nous analyserons la gestion des risques en pr´esentant une explication d´etaill´ee des diff´erents outils de mesure de risque avec leurs m´ethodes de calculs et leur interpr´etation. Le cahier de charges de notre projet portera essentiellement sur deux objectifs : – 1er objectif : Mettre en place un outil de calcul des diff´erents indicateurs de risques. Cet outil permettra, entre autres, de visualiser l’exposition des portefeuilles de la CMR au risque march´e, et de le quantifier en pourcentage ou en Dirhams, par rapport au march´e ou par rapport `a une r´ef´erence. – 2`eme objectif : Mettre a` la disposition des gestionnaires de la CMR un outil d’optimisation de portefeuille qui permettra de rechercher la meilleure r´epartition des actifs, qui assure un rendement maximal en tenant compte des contraintes de risque, a` travers une volatilit´e absolue d´efinie, d’une perte maximale a` ne pas d´epasser, passant par un budget de risque relatif a` respecter. Le respect de ce cahier de charges permettra, dans un premier temps, aux gestionnaires de portefeuille de la CMR, de faire un suivi du niveau de risque auquel ils sont expos´es pour tout type de portefeuille en leur possession, et d’optimiser, ensuite, ce portefeuille en prenant en compte leur aversion au risque et les seuils qu’ils s’imposent selon leur budget de risque.

Chabbar et Lallouch

2

- M.I.S -

Pr´ esentation de l’organisme d’accueil : Caisse Marocaine des Retraites 1.Pr´ esentation La Caisse Marocaine des Retraites (CMR) a ´et´e cr´e´ee par le Dahir du 2 Mars 1930 pour g´erer le r´egime de retraite instaur´e en faveur des fonctionnaires civils du protectorat. En 1996, la CMR a acquis son autonomie juridique, administrative et financi`ere et devint un Etablissement public, soumis au contrˆole financier de l’Etat. L’accession du Maroc a` l’ind´ependance a permis a` la CMR d’´etendre ses responsabilit´es pour prendre en charge diff´erents r´egimes. Actuellement, les r´egimes de pensions g´er´es par la CMR sont les suivants, r´epartis en deux modes de fonctionnement : 1. Par r´ epartition : : Les actifs versent des cotisations pour payer les retraites des personnes aˆg´ees tout en acqu´erant des droits, qui a` leurs tours seront financ´es par les g´en´erations futures d’actifs. Nous y retrouvons : – Le r´egime des pensions du personnel civil de l’Etat, des collectivit´es locales et de certains ´etablissements publics (ONEP, ONPT, Barid El Maghrib, etc.) ; – Le r´egime des pensions du personnel militaire (Les personnels des Forces Arm´ees Royales et des Forces Auxiliaires). 2. Par capitalisation : Chaque actif finance sa propre retraite. – Le r´egime de retraite ATTAKMILI : Il s’agit d’un r´egime compl´ementaire facultatif a` but non lucratif instaur´e en 2005 destin´e uniquement aux affili´es de base de la CMR. Il a pour objet la constitution d’une retraite compl´ementaire selon le principe de la capitalisation individuelle. Il permet, par le biais de cotisations mensuelles, de pr´eparer un suppl´ement de retraite de base. Nous retrouvons aussi, a` la charge du budget g´en´eral de l’Etat et d’autres organismes employeurs, les r´egimes dits  non cotisants  pour le compte justement de l’Etat et qui englobent essentiellement les pensions d’invalidit´e cr´e´es apr`es l’ind´ependance `a la faveur de circonstances particuli`eres et les allocations des Anciens R´esistants et Anciens Membres de l’Arm´ee de Lib´eration. 2.Organisation L’administration de la Caisse Marocaine des Retraites est assur´ee par un Conseil d’Administration pr´esid´e par le Premier ministre et compos´e de 14 membres. Sa gestion est assur´ee par un Directeur qui d´etient tous les pouvoirs et attributions n´ecessaires. 3

Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

Outre la Direction et le Secr´etariat G´en´eral, l’organisation de la CMR est constitu´ee de quatre pˆoles, 11 divisions et 33 services.

Directeur

Le Secr´etaire G´en´eral

Pˆole Op´erations

Pˆole Support

Pˆole Organisation et Syst`eme d’Information

Pˆole Gestion de Portefeuille

Figure 1 – Organigramme de la CMR 3.Pˆ ole Gestion de Portefeuille Le m´etier de gestion de portefeuille a ´et´e instaur´e a` la Caisse Marocaine des Retraites au lendemain de la r´eorganisation de celle-ci en novembre 1996. La mission principale du Pˆole Gestion de Portefeuille `a la CMR est de financer les engagements de la Caisse, optimiser le rendement des portefeuilles et optimiser la gestion de la tr´esorerie de la Caisse. Pour ce faire, des interventions (achat/vente d’actifs) sur le march´e sont effectu´ees par le personnel. En mati`ere d’organisation du m´etier de gestion de portefeuille `a la CMR le pˆole a adopt´e la structure organisationnelle que nous trouvons au niveau des salles de march´es. Il se d´ecompose donc comme suit :

Chabbar et Lallouch

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- M.I.S -

Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

Pˆole Gestion de Portefeuille

Division de Gestion

Division des op´erations

Service d’Asset Management Service de la Gestion des participants

Service de conformit´e et de Contrˆole Interne

Service Recherche et Analyse

Service Middle Office

Service Back Office

Figure 2 – Organisation du Pˆole Gestion de Portefeuille – Service d’Asset Management : Il a pour but de g´erer la tr´esorerie de la Caisse, assurer la meilleure ex´ecution de la politique de placement de la tr´esorerie et ´elaborer les comptes rendus de gestion (Reporting). – Service Gestion des participants : C’est un service qui a pour mission le suivi des investissements dans l’immobilier et le suivi des fonds d´el´egu´es de la caisse. – Service Middle Office : Il se charge de contrˆoler les op´erations pass´ees par le Service Asset Management, d’´elaborer les Reportings et comptes rendus d’activit´e, veiller au respect des r`egles prudentielles et mesurer la performance des portefeuilles. – Service Back Office : Il s’occupe des d´enouements des op´erations et du suivi administratif des portefeuilles. – Service de Conformit´ e et de Contrˆ ole Interne : Il veille au respect de la r´eglementation, de la d´eontologie et des r`egles et contraintes de gestion et se charge de contribuer au renforcement du dispositif de contrˆole interne du processus. – Service Recherche et Analyse : Il participe a` l’´elaboration de la politique de placement, assure une veille concurrentielle pour saisir les opportunit´es sur le march´e, contribue `a la prise de d´ecision au niveau du service Asset Management et anticipe les tendances des march´es.

Chabbar et Lallouch

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- M.I.S -

Chapitre 1 Contexte g´ en´ eral 1.1

Notions fondamentales

Avant d’entrer le vif du sujet de ce chapitre, certaines d´efinitions et notions doivent ˆetre pr´esent´ees. Ceci afin de mieux comprendre le contexte dans lequel s’inscrit notre projet de fin d’´etudes et qui rel`eve du monde de la finance dont certaines notions devraient ˆetre expliqu´ees pr´ealablement pour la bonne compr´ehension de ce m´emoire. Parmi ces d´efinitions nous citons : D´ efinition 1. Un actif financier est un titre ou un contrat, g´en´eralement transmissible et n´egociable sur les march´es financiers et qui est susceptible de produire `a son d´etenteur des revenus et/ou un gain en capital, en contrepartie d’une certaine prise de risque. [w1] D´ efinition 2. Un portefeuille d´esigne une collection d’actifs financiers d´etenus par un ´etablissement ou un individu.[w3] D´ efinition 3. Les produits/instruments financiers sont des titres ou des contrats, dont certains sont n´egociables ; ils sont utilis´es pour anticiper une rentabilit´e ou un risque mon´etaire. Ils se d´ecomposent essentiellement en deux types : les actifs financiers et les produits d´eriv´es financiers. [w4] D´ efinition 4. Le benchmark/indice de r´ ef´ erence, d´esigne tout ´el´ement servant de point de comparaison ou de r´ef´erence pour ´evaluer la rentabilit´e d’un portefeuille et mesurer la performance du march´e. Il peut ˆetre un indice ou une combinaison de plusieurs r´ef´erences. Pour un gestionnaire, un benchmark constitue un ´el´ement objectif d’appr´eciation de ses qualit´es qui lui permet de porter un jugement quantitatif et qualitatif sur les positions prises et les r´esultats obtenus.[w5]

1.2

Classes d’actifs

D´efinissons d’abord ce qu’est une classe d’actifs. D´ efinition 5. Une classe d’actifs regroupe des actifs ayant des caract´eristiques similaires en termes de risques et/ou de rendements.[w2]

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Pour un gestionnaire de portefeuille, choisir la classe d’actifs `a d´etenir afin de b´en´eficier d’une performance raisonnable est probablement la d´ecision d’investissement la plus importante qui soit. En effet, il existe plusieurs cat´egories d’actifs, certains plus risqu´ees d’autres moins, et il est n´ecessaire de connaitre le couple rendement/risque que propose chaque cat´egorie. Nous retrouvons ci-apr`es les quatre classes traditionnelles.

1.2.1

Actions

Une action est un titre de propri´et´e sur une fraction du capital qu’une entreprise d´ecide de vendre aux investisseurs. L’action est l’actif le plus n´egoci´e sur les march´es financiers [w6]. Il pr´esente principalement deux sources esp´er´ees de revenus pour son d´etendeur : – Les dividendes futurs qui repr´esentent une fraction du b´en´efice r´ealis´e par l’entreprise, soit donc la r´emun´eration vers´ee aux actionnaires d’une soci´et´e en contrepartie de leur investissement au capital de l’entreprise ; – Une ´eventuelle plus-value lors de la revente du titre. Les fonds actions sont souvent destin´es aux investisseurs ayant choisi un horizon d’investissement de long terme. En effet, les actions sont susceptibles de g´en´erer des performances plus ´elev´ees sur le long terme que d’autres investissements. Toutefois, elles peuvent aussi faire peser un plus grand risque sur le capital investi. En effet, les prix peuvent varier et il y a possibilit´e de ne pas r´ecup´erer l’investissement d’origine. Chaque classe d’actifs utilise un ou plusieurs indices de r´ef´erence pr´ecis. Pour les actions nous retrouvons essentiellement : – Le MASI (Moroccan All Shares Index) : C’est un indice de capitalisation retra¸cant l’´evolution globale du march´e et prenant en consid´eration toutes les valeurs cot´ees a` la Bourse de Casablanca, qui sont au nombre de 77 (Fin 2014). – Le MADEX (Most Active Shares Index) : C’est un indice compact qui constitue seulement une partie du MASI. Il regroupe les valeurs les plus liquides du march´e (cot´ees en continu), qui sont au nombre de 54 (Fin 2014). – Le MASI Flottant et MADEX Flottant : Depuis D´ecembre 2004, la BVC (Bourse des Valeurs de Casablanca) a adopt´e une nouvelle m´ethodologie de calcul de ces indices, bas´ee sur le principe du flottant, et ce dans le but d’assurer une meilleure coh´erence entre la r´ealit´e boursi`ere d’un titre et son poids dans l’indice, ce qui a donn´e naissance au MASI Flottant et au MADEX Flottant. – Le MASI Rentabilit´ e Brut et MADEX Rentabilit´ e Brut : Ils se calculent en se basant sur les rentabilit´es tout en int´egrant le montant des dividendes. La Caisse Marocaine des Retraites utilise comme indice de r´ef´erence le MASI Rentabilit´ e Brut ´etant donn´e qu’il regroupe toutes les valeurs du march´e en plus de prendre en consid´eration le montant des dividendes. Si nous prenons par exemple son ´evolution du 01/09/2014 au 15/02/2015 (Figure 1.1), nous remarquons qu’il y a des hausses et des baisses de rentabilit´e tout au long de la p´eriode d’´etude. Chabbar et Lallouch

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Figure 1.1 – Evolution de l’indice MASI Rentabilit´e Brut L’´evolution (hausse et baisse) du MASI dans la figure pr´ec´edente, repr´esente les fluctuations des prix au niveau du march´e actions. Ces fluctuations traduisent l’aspect instable et volatile du march´e et une pr´esence flagrante du risque. Nous pouvons donc conclure que les actions est une cat´egorie d’actifs tr`es risqu´ee.

1.2.2

Les obligations

A l’inverse de l’action qui est un titre de propri´et´e, l’obligation est un titre de cr´eance. En effet, ce titre repr´esente la part d’un emprunt long terme ´emis par l’Etat, par un organisme public ou semi-public, ou encore par des entreprises priv´ees, en fixant `a l’avance la dur´ee du prˆet et ses modalit´es de r´emun´eration. L’obligation ne donne aucun droit sp´ecifique sur les b´en´efices de l’entreprise mais son remboursement est prioritaire en cas de faillite. Les principales caract´eristiques d’une obligation sont : – Le nominal : Il est ´egal au capital de d´epart emprunt´e par l’´emetteur de l’obligation divis´e par le nombre de titres ´emis. – Le prix d’´emission : Il correspond au prix de l’obligation au moment de son ´emission. Ce prix peut diff´erer du nominal. – L’´ech´eance : Appel´ee aussi maturit´e, elle d´esigne la dur´ee de vie de l’obligation. Elle peut correspondre a` la date a` laquelle le d´etenteur de l’obligation se voit rembourser le montant int´egral du nominal. – Le prix de remboursement : Il correspond au remboursement de l’obligation a` son ´ech´eance. – Le coupon : Il correspond au versement p´eriodique d’un int´erˆet au d´etenteur de l’obligation. Les obligations peuvent repr´esenter un investissement int´eressant dans le sens o` u elles peuvent offrir un revenu r´egulier tout en offrant aux investisseurs une appr´eciation potentielle du capital, prot´eg´e, dans la mesure o` u le coupon que son d´etenteur re¸coit est en principe fixe. Les fonds obligataires sont donc adapt´es aux investisseurs prudents recherchant des flux de revenus r´eguliers.

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Les obligations sont g´en´eralement consid´er´ees comme un investissement plus sˆ ur que les actions dans la mesure o` u le coupon et le taux d’int´erˆets sont connus a` l’avance. D’autant plus, que les cours des obligations (c’est-`a-dire les prix auxquels s’´echangent les obligations) ne sont pas li´es aux r´esultats de l’entreprise ´emettrice donc ils sont moins al´eatoires que ceux de l’action, mais cela ne signifie pas qu’elles sont d´enu´ees de risques. Le risque existe bel et bien et d´epend essentiellement des taux d’int´erˆet, des caract´eristiques du titre ainsi que de la qualit´e de l’´emetteur. Concernant les indices de r´ef´erences obligataires, nous retrouvons essentiellement : – Le CFG (Casablanca Finance Group) Bonds : Premier indice obligataire lanc´e en 1993 par Casablanca Finance Group, dans le but de mesurer la performance globale quotidienne du march´e obligataire et en informer le grand public. Le CFG Bonds est constitu´e d’un panier d’obligations souveraines, appel´ees Bons de Tr´esor, qui sont de maturit´es initiales comprises entre 1 et 15 ans. – Le MBI (Moroccan Bond Index) : C’est un indice lanc´e par la BMCE Capital et CDMG (Cr´edit Du Maroc Gestion) qui repr´esente au moins 75% de l’int´egralit´e du march´e des Bons de Tr´esor a` taux fixe et est compos´e de quatre strates ou sous indices (court terme, moyen terme, moyen long terme, long terme) et se calcule a` partir de la moyenne de ces derniers. – Le MGBX (Moroccan Government Bond Index) : C’est un indice obligataire con¸cu par CDG Capital (Caisse de D´epˆot et de Gestion) compos´e de cinq strates qui permet de mesurer la performance des Bons de Tr´esor. Il est `a noter que la Caisse Marocaine des Retraites utilise le MBI comme indice de r´ef´erence.

1.2.3

Les fonds mon´ etaires

Les fonds mon´etaires procurent aux investisseurs un revenu r´egulier et sont g´en´er´es de mani`ere a` conserver une valeur stable. En effet, ils sont consid´er´es comme des investissements prudents. Ils offrent une performance certes minimale, mais restent tr`es liquides et prot`egent le capital. C’est sans doute les placements les plus s´ecuris´es et les moins risqu´es vue la disponibilit´e imm´ediate des liquidit´es en cas de besoin.

1.2.4

L’immobilier

L’immobilier est aussi un produit pris en compte dans la gestion d’actifs. Il reste quand mˆeme une classe d’actifs diff´erente des classes d’actifs traditionnelles (actions, obligations) dans le sens qu’il est ´eminemment attach´e a` l’´economie r´eelle. L’investissement immobilier permet de profiter d’un revenu sous forme de loyer. En effet, il consiste en l’achat de logements ou de bˆatiments en vue d’augmenter les profits grˆace aux loyers ou aux plus-values r´ealis´ees lors des reventes.

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Remarques : – Il existe ´eventuellement d’autres classes d’actifs : nous en citons les produits d´eriv´es tels que les futures, les options et les warrants. – Il est `a noter que chacune des cat´egories d’actif vues pr´ec´edemment, peut ˆetre une r´eponse aux besoins des investisseurs. Pour ceux dispos´es a` prendre plus de risque afin de g´en´erer des performances plus ´elev´ees, leur portefeuille serait probablement plus enclin `a d´etenir une plus grande proportion d’actions. Ceux pour qui il est plus important de disposer d’un revenu sˆ ur, pourraient pr´ef´erer accroˆıtre la proportion d’obligations qu’ils d´etiennent. Toutefois, dans la mesure o` u aucune classe d’actifs n’est sans risque, une bonne gestion de portefeuille ne s’entend qu’en diversifiant son portefeuille `a l’aide de ces diff´erents outils que sont les classes d’actifs. Un investisseur averti utilisera donc ces produits en les combinant au mieux afin de d´etenir un portefeuille diversifi´e qui lui permettra d’amortir le risque entrepris, en conf´erant une stabilit´e relative en cas de baisse de certains march´es.

1.3

Types de gestion

Chaque classe d’actifs vue pr´ec´edemment a ses avantages et ses inconv´enients. Il est donc indispensable que le gestionnaire se situe par rapport a` son budget de risque pour choisir la combinaison de classes qui lui convient, vient apr`es le choix du type de gestion `a adopter. En effet, il existe plusieurs types de gestion qu’il faut essentiellement appr´ehender dans le but de bien cerner le principe de gestion de portefeuille connu ´egalement sous le terme anglo-saxon d’Asset Management.

1.3.1

La gestion active

La gestion active a pour but de surclasser et battre le benchmark. L’objectif attendu est donc d’obtenir des rendements plus ´elev´es que ceux du march´e. L’investisseur adoptant cette strat´egie de gestion active va s´electionner les actifs susceptibles, selon lui, de r´ealiser des performances au-dessus de la moyenne sur un march´e et doit utiliser les outils n´ecessaires pour battre le march´e en fonction du type d’actifs, du risque du portefeuille et de l’horizon de temps. Le gestionnaire cherche donc `a distinguer les tendances, les secteurs, les valeurs qui lui paraissent sous-´evalu´ees et dont il esp`ere une progression plus vite que le march´e. Il investit et fait ´evoluer son portefeuille en cons´equence, dans l’espoir de voir ses analyses se confirmer et ainsi son portefeuille r´ealiser une performance sup´erieure a` celle de l’indice. Nous distinguons deux approches li´ees a` la gestion active : Bottom-up et Top Down.[w7] La premi`ere privil´egie lors de la s´election des titres, les caract´eristiques propres de chaque titre et non celles du secteur ou du pays dans lequel l’entreprise intervient. La deuxi`eme consiste en la s´election des titres selon le type de march´e (actions, obligations, march´e mon´etaire), ensuite selon les march´es internationaux sur lesquels ils veulent investir, puis sur les secteurs.

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1.3.2

La gestion passive

Aussi appel´ee gestion indicielle, cette gestion fonctionne selon une m´ethode de r´eplication de l’indice de r´ef´erence. Elle consiste a` investir en reproduisant de mani`ere totalement fid`ele la composition du benchmark. L’objectif premier de ce type de gestion est de permettre a` l’investisseur de recevoir la performance d’un march´e sans prendre le risque de sous-performance en abandonnant du mˆeme coup tout espoir de surperformance. Avec la gestion passive, l’investisseur peut donc suivre assez facilement l’´evolution de son portefeuille, dans la mesure o` u il subit exactement les mˆemes variations de la valeur de l’indice de r´ef´erence, a` la hausse comme `a la baisse. Il existe plusieurs m´ethodes de gestion indicielle [w8]. Nous en citons la r´eplication pure qui consiste a` acheter toutes les valeurs de l’indice en respectant les mˆemes pond´erations, et la r´eplication par satisfaction qui permet quant a` elle de constituer un portefeuille ayant des caract´eristiques similaires a` celles de l’indice, en ayant cette fois un plus petit nombre de valeurs. Toutefois, de nombreuses ´etudes ont montr´e que, le plus souvent, les g´erants d’actifs ne sont pas en mesure de battre leur benchmark avec r´egularit´e. Certains investisseurs pr´ef`erent la gestion indicielle leur garantissant la performance du march´e au lieu d’une performance plus al´eatoire. Une fois le contexte g´en´eral du projet expos´e nous allons `a pr´esent introduire dans le prochain chapitre, en d´etails, la notion de risque que nous avons retrouv´e tout au long des diff´erentes d´efinitions et notions explicit´ees pr´ec´edemment et qui repr´esente le mot cl´e de notre m´emoire.

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Chapitre 2 Notion du risque 2.1

G´ en´ eralit´ es

L’origine du concept de  risque  remonte aux civilisations les plus anciennes ; dans l’Italie ancienne, risicare signifie  oser . [16] Le concept de risque est souvent entendu de diverses fa¸cons et le recours aux ouvrages et dictionnaires illustre bien cette diversit´e de sens que nous pouvons lui donner. Il est n´ecessaire d’avoir une id´ee sur le risque au sens large et de s’int´eresser, par la suite, a` la d´efinition pr´ecise du risque qui nous int´eresse dans ce projet, et qui n’est autre que le risque financier dans toutes ses formes.

2.1.1

D´ efinition g´ en´ erale du risque

La premi`ere question qu’il faudrait poser est : qu’est-ce que le risque ?. La r´eponse a` cette question peut ne pas ˆetre totalement ´evidente. La notion du risque est tr`es complexe et ne cesse d’´evoluer de plus en plus. Elle est aper¸cue diff´eremment selon le contexte et le domaine d’application. En effet, elle occupe une signification diff´erente pour chacun d’entre nous mais repr´esente une pr´eoccupation fondamentale. Le risque d´esigne un danger bien identifi´e, associ´e en l’occurrence a` un ´ev´enement ou a` une s´erie d’´ev´enements. Le petit Larousse le d´efinit comme un  Danger, inconv´enient plus ou moins probable auquel nous sommes expos´e  ou encore comme une  Possibilit´e, probabilit´e d’un fait, d’un ´ev´enement consid´er´e comme un mal ou un dommage  [w9] Une d´efinition g´en´erale du risque, pourrait ˆetre la suivante :  La possibilit´e de voir surgir un probl`eme qui aura des cons´equences funestes, et qui portera atteinte aux projets de l’institution ou rendra plus improbable l’accomplissement de ses objectifs . [w10] Les d´efinitions du risque diff`erent selon le contexte, mais nous pouvons dire que la notion d’  incertitude  est commune `a toutes les d´efinitions Toutes mettent en avant le double aspect du risque, a` savoir le caract`ere al´eatoire et incertain de l’´ev´enement, assorti de la menace et l’impact qu’il repr´esente. Le risque est ainsi consid´er´e comme le produit de l’al´ea et de la vuln´erabilit´e.

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2.1.2

D´ efinition du risque en finance

Le d´eveloppement croissant des activit´es financi`eres et l’instabilit´e de l’environnement dans lequel op`erent les ´etablissements financiers ne font que croitre leurs expositions aux risques financiers. Un risque financier implique une relation entre un individu (ou une organisation) et un actif (ou un objectif de revenu) qui peut ˆetre perdu ou endommag´e. [w11] Pour qu’un risque soit qualifi´e de financier, il doit comporter trois ´el´ements : (1) un individu (ou une organisation) qui est expos´e(e) `a une perte, (2) un actif ou un revenu dont la destruction (ou la perte) causera une perte financi`ere, (3) un danger qui peut causer la perte. Le danger ici doit ˆetre vu comme li´e a` une source financi`ere.[w11] La notion de risque en finance est reli´ee a` la notion d’incertitude. En effet, le risque d’un actif financier pour un investisseur, peut ˆetre d´efini comme l’incertitude qui existe quant a` la valeur de cet actif a` une date future. Le risque d’un titre financier est fonction de la stabilit´e de la valeur du titre ainsi que des performances qui lui sont attach´ees. En effet, les flux li´es aux titres sont sujets de plusieurs menaces qui rel`event du monde ´economique et d’incertitudes qui sont propres a` la sph`ere financi`ere. En tout cas, quels que soient sa nature et son origine, tout risque se traduit par une fluctuation de la valeur du titre financier. Nous pouvons distinguer deux types de risques li´es a` la d´etention d’un actif [w12] : – Risque Syst´ematique : Risque li´e `a des services financiers susceptibles d’affecter l’ensemble du secteur. Il correspond a` des ´ev´enements affectant tout titre dans le portefeuille, quel qu’il soit. Il influence une majorit´e d’actifs dans une proportion plus ou moins forte comme la hausse du prix, les mouvements boursiers, etc. – Risque Sp´ecifique : ou encore risque non syst´ematique, est un risque li´e a` un seul actif en particulier ind´ependamment des ´ev´enements affectant le march´e. Il peut ˆetre d’ordre r´eglementaire, op´erationnel,etc. En mati`ere de gestion de portefeuille, seul le risque syst´ematique est r´emun´er´e par les investisseurs. Le risque sp´ecifique ´etant par d´efinition diversifiable par une optimisation du portefeuille de titres, il est par cons´equent non r´emun´er´e par les investisseurs. Nous pouvons aussi classifier le risque en deux types : Risque absolu et Risque relatif. Le premier concerne le risque d’un portefeuille par sois -mˆeme sans aucune d´ependance. Le deuxi`eme quant a` lui, concerne le risque auquel le portefeuille est expos´e par rapport a` une r´ef´erence ou un indice pr´ecis.

2.2

Typologie des risques

Il existe une liste non exhaustive des diff´erents risques que peut rencontrer un ´etablissement financier. Toutefois, la gestion du risque se concentre souvent sur quatre types principaux de risques financiers (march´e, liquidit´e, cr´edit, op´erationnel). Viennent ´evidemment s’y rajouter d’autres risques plus globaux et/ou plus exceptionnels. [19] Chabbar et Lallouch

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2.2.1

Risques de march´ e

Les prix sont le reflet du march´e et peuvent varier a` tout instant. Ces variations peuvent causer des pertes `a l’´etablissement et ˆetre source de d´eficits. En effet, le risque  march´ e est consid´er´e comme ´etant le risque de pertes li´e aux variations du prix des actifs d´etenus dans un portefeuille et `a leur effet n´egatif sur la valeur financi`ere totale du portefeuille. Traduit en terme de rendement, les rentabilit´es des actifs deviennent alors des variables al´eatoires dont l’´evolution future n’est pas, a` priori, connue et quantifiable. [19] De ce fait, le risque de march´e r´esulte de la possibilit´e de perte sur les positions prises sur le march´e suite a` des changements et des ´evolutions d´efavorables de celui-ci. En effet il regroupe des incertitudes li´ees essentiellement a` ces quatre composantes [w13] : – Les cours des actions : Le prix des actions varie continuellement en fonction de l’offre et de la demande. Ce risque s’applique aux placements dans des actions. Le risque li´e aux actions est donc le risque de perdre de l’argent en raison de la baisse du prix des actions. – Les taux d’int´erˆet : Risque li´e aux variations du taux d’int´erˆet. Ce risque s’applique aux placements par emprunt, comme les obligations. Le risque de taux d’int´erˆet est donc le risque que fait courir au porteur d’une cr´eance ou d’une dette `a taux fixe ou variable, l’´evolution des taux entre la date de l’engagement et la date du r`eglement. – Les taux de change : Nous parlons de risque de taux de change dans les cas o` u la structure proc`ede `a une op´eration, usant une devise diff´erente de sa monnaie nationale. Il s’agit donc d’un risque ´evident directement li´e aux fluctuations des cours des devises internationales entre elles, et indirectement li´e au facteur temps. – Les prix des mati`eres premi`eres : Risque li´e aux fluctuations d´efavorables des prix des mati`eres premi`eres. En effet, ces composantes du march´e sont souvent volatiles et exercent une pression importante sur les prix. En cons´equence, l’´eventualit´e de fluctuations des prix peut entraˆıner des pertes et des cons´equences n´egatives pour le b´en´efice d’un ´etablissement.

2.2.2

Risque de liquidit´ e

Le terme de  liquidit´e  peut ˆetre utilis´e sous diff´erents aspects, mais celui qui nous int´eresse est li´e aux caract´eristiques du march´e. Un march´e parfaitement liquide se caract´eriserait par une facilit´e et une rapidit´e d’y r´ealiser des transactions et garantirait donc a` tout instant un prix unique a` l’achat et a` la vente de mani`ere certaine, quelles que soient les quantit´es en jeu. Ainsi, un actif est aussi dit liquide quand il est tr`es rapidement n´egociable et ´echangeable a` court terme, a` faible coˆ ut et avec peu d’impact sur son prix. [19] Le risque de liquidit´e, est en fait le risque d’illiquidit´e et il repr´esente l’incapacit´e de liquider imm´ediatement des titres et d’effectuer ainsi une transaction aux conditions du march´e courant. Nous pouvons ainsi dire que les propri´et´es d’un actif liquide sont l’imm´ediatet´e, la largeur, la profondeur et la r´esilience. – L’imm´ediatet´e d´esigne la rapidit´e avec laquelle une transaction d’une taille d´etermin´ee et `a un coˆ ut d´etermin´e peut ˆetre conclue. Chabbar et Lallouch

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– La largeur ou l’´etroitesse, correspond `a l’amplitude de la fourchette offre-demande (ask-bid spread), c’est-`a-dire l’´ecart entre le cours acheteur (prix recherch´e) et le cours vendeur (prix propos´e). – La profondeur, correspond `a la quantit´e de titres disponible, c’est-`a-dire le volume de transactions effectu´ees sans modification du prix. – La r´esilience ou la r´eactivit´e, d´esigne la capacit´e, soit le d´elai n´ecessaire, pour que le cours revienne a` son niveau d’´equilibre apr`es en avoir ´et´e ´ecart´e suite a` un choc de liquidit´e (choc al´eatoire dans le flux des transactions). Le risque de liquidit´e est loin d’ˆetre n´egligeable, si par exemple vous proposez un actif a` la vente a` un prix donn´e et qu’il n’y a personne pour l’acheter ou du moins pas avec le prix que vous proposez, vous ne pourrez plus le vendre ou vous serez oblig´e de le vendre a` un prix moins favorable. Ainsi le risque de liquidit´e correspond a` cette perte potentielle provenant des coˆ uts de liquidation de l’actif, c’est un facteur important a` prendre en compte dans la gestion d’un portefeuille.

2.2.3

Risque de cr´ edit

Lorsqu’une entreprise a besoin de capitaux elle se retrouve face a` deux choix : Demander un prˆet bancaire ou ´emettre une obligation sur le march´e. Le risque  cr´edit  - ´egalement appel´e risque de d´efaut ou de contrepartie - survient lorsque l’emprunteur se retrouve dans l’incapacit´e de payer ses dettes et remplir ses engagements vis `a vis de ses cr´eanciers a` l’´ech´eance convenue. [19] Dans ce cas-l`a, si le d´ebiteur ne parvient pas a` ren´egocier les termes de son emprunt, il se verra dans l’obligation de d´eclarer faillite et de proc´eder le plus souvent `a la liquidation de ses biens afin de rembourser au mieux ses dettes. Par cons´equent, la quantification du risque cr´edit d’une entreprise est n´ecessaire et primordiale avant de lui accorder un cr´edit ou d’acheter une de ses obligations. Mod´eliser le risque cr´edit revient, en ce temps-l`a, a` d´eterminer la probabilit´e de d´efaut du d´ebiteur ainsi que le montant qui lui sera possible de couvrir en cas de d´efaut. Plusieurs param`etres rentrent en jeu pour r´ealiser cette quantification, notamment la sant´e du secteur dans lequel ´evolue l’entreprise, son niveau d’endettement actuel ainsi que ses perspectives d’´evolution.

2.2.4

Risques op´ erationnels

Le risque op´erationnel d´esigne tout ´ev´enement qui perturbe le d´eroulement des processus, il correspond donc a` la possibilit´e de subir une perte financi`ere, directe ou indirecte, a` la suite d’une d´efaillance sur le plan des activit´es. Le comit´e de Bˆale [w14] le d´efinit comme  le risque de pertes provenant de processus internes inad´equats ou d´efaillants, de personnes et syst`emes ou d’´ev´enements externes .

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Le risque op´erationnel est r´ealis´e essentiellement par : les employ´es, le processus interne de gestion, le syst`eme et par des ´ev´enements externes. Il reste donc difficile `a analyser et a` att´enuer, car il peut prendre diverses formes : – Risque de gestion des ressources humaines ; – risque de gestion des processus ; – risque de gestion des syst`emes ; – risque de vol et fraude ; – risque de conformit´e ; – risque juridique ; – risque de sinistre. Le risque op´erationnel est administr´e et estim´e par des techniques d’auto-´evaluations des risques, de compilation d’incidents et de l’utilisation des indicateurs cl´es. Toutefois, le risque op´erationnel est un risque difficilement quantifiable, contrairement aux autres risques, mais reste tr`es important dans la mesure o` u il peut exposer l’institution a` des pertes financi`eres consid´erables et nuire `a sa r´eputation. [14]

Chabbar et Lallouch

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Chapitre 3 Gestion des risques 3.1

Notions fondamentales

Le calcul de la plupart des ratios qui constituent les indicateurs de risque les plus pertinents repose sur le calcul d’indices de performance. Ces indices font eux-mˆemes intervenir la valeur liquidative du portefeuille qui est un outil essentiel dans le suivi de la performance du fonds ´etudi´e, particuli`erement lorsque ce dernier est commun, c’est `a dire qu’il regroupe plusieurs investisseurs libres de renter et sortir `a leurs gr´es ; ce qui influe sur la valorisation du fonds et sur la part de chaque investisseur. Pour cela nous allons dans un premier temps pr´esenter la signification et la m´ethode de calcul de la valeur liquidative d’un fonds, pour, ensuite ´evoquer la notion de performance et expliciter sa d´efinition ainsi que celle de l’indice de performance qui constitue la base de tous les calculs.

3.1.1

Valeur liquidative

Lorsqu’il s’agit d’un fonds commun entre plusieurs investisseurs, la valeur de l’actif global est susceptible de changer a` chaque instant. D´eterminer ´equitablement le pourcentage de l’actif global que d´etient chaque investisseur devient alors fastidieux compte tenu des nombreuses entr´ees et sorties d’argents que connaˆıt le fonds. L’utilisation de la valeur liquidative prend alors tout sens. Le fonds est divis´e en plusieurs parts de valeurs ´egales et chaque investisseur en d´etient un certain nombre. Lorsqu’une souscription (entr´ee d’argents) survient, de nouvelles parts sont cr´e´ees tandis que lorsque l’un des investisseurs d´ecide de se retirer du fonds, ses parts sont d´etruites. La valeur liquidative du fonds repr´esente alors la valeur d’une seule part du fonds ´etudi´e. Elle se doit d’ˆetre calcul´ee `a chaque mouvement du fonds, chaque arriv´ee ou retrait d’argent, en d’autres termes, `a chaque souscription ou rachat, pour ˆetre ensuite publi´ee. De cette mani`ere chaque investisseur connaˆıt la valeur d’une seule part du fonds et connaˆıt le nombre de parts qu’il poss`ede. Il peut d`es lors calculer sa part de l’actif global en multipliant les deux.

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La formule pour calculer la valeur liquidative est la suivante : V L(t) =

Actif net a` l’instant t Nombre de parts

(3.1)

En d’autres termes : P V L(t) =

3.1.2

Valeur des actifs - (D´epenses + Frais fonds)

PF

Nombre de parts

(3.2)

La performance

L’objectif de la d´etention d’un actif financier est d’esp´erer obtenir un gain substantiel. Ce gain peut ˆetre soit concr´etis´e (gain comptable), soit estim´e c’est-`a-dire potentiellement per¸cu `a travers son ´evaluation aux conditions du march´e. La mesure de ce gain estim´e est ce que nous appelons la performance. La mesure de performance joue un rˆole important dans la mesure o` u elle permet de faire le meilleur choix de placement pour un portefeuille d’actifs. La performance d’un actif ou d’un portefeuille est le taux de rendement potentiel d’une p´eriode donn´ee, elle repr´esente ainsi la plus ou moins-value r´ealis´ee par rapport a` l’investissement initial. Autrement dit, si un fonds a une performance de 5%. Ce 5% d´esigne le rapport entre le gain et les capitaux investis initialement. La performance d’un fonds est consid´er´ee comme un outil d’aide a` la d´ecision dans le cadre de la gestion de portefeuille. Elle permet en effet aux gestionnaires d’analyser les forces et faiblesses de la structure du portefeuille pour qu’il puisse ainsi adopter la strat´egie optimale. Il existe deux types de performance : a- Performance absolue : Elle mesure la progression de la valeur liquidative entre une date finale et une date initiale. En supposant que tout d´etachement (coupon ou dividende) est r´einvesti dans le titre dans la p´eriode consid´er´ee. b- Performance relative : Elle permet de mesurer le gain ou la perte r´ealis´ee par rapport a` une r´ef´erence ( benchmark ). C’est donc le rapport entre la performance du titre et celle du benchmark. Si ce rapport est sup´erieur `a 1 nous parlons de surperformance, sinon nous parlons de sous-performance. Un indice de performance est la Valeur Liquidative d’un fonds donn´e dont les op´erations sur titre (dividendes, coupons, etc) ont ´et´e int´egr´ees. Nous d´efinissons ainsi [1] l’indice de performance relatif `a une certaine p´eriode par la formule suivante :   V Lf in (3.3) IP = ln V Linit Dans la litt´erature, plusieurs ratios ont permis de mesurer la performance notamment le ratio de Sharpe, d’information, de Treynor, Sortino, l’alpha de Jensen, etc.[1]

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3.1.3

Caract´ eristiques d’une mesure de risque

Avant d’entamer la section sur les outils de mesure de risque, il est n´ecessaire de savoir ce qu’est une mesure de risque et quelles sont les propri´et´es qu’elle doit v´erifier. Les mesures de risque ont pour objectif de quantifier les pertes engendr´ees par le risque selon son type. Une mesure de risque est une fonction ρ qui fait correspondre `a un risque al´eatoire X un nombre positif ρ(X). En pratique, X peut repr´esenter une perte financi`ere de montant X et ρ(X) le montant du capital n´ecessaire pour faire face `a la perte X. En d’autres termes, ρ(X) repr´esente le niveau de  danger  inh´erent `a X. Nous disons qu’une mesure de risque ρ est acceptable, autrement dit coh´erente, si elle satisfait les propri´et´es suivantes [4] : – Homog´en´eit´e positive : ρ(M ∗ A) = M ∗ ρ(A) avec M ≥ 0 Si nous multiplions la valeur d’un portefeuille A d’un montant M, sa mesure de risque doit ˆetre multipli´ee par le mˆeme montant M – Sous additivit´e : ρ(A + B) ≤ ρ(A) + ρ(B) Si nous fusionnons deux portefeuilles A et B, la mesure de risque du portefeuille r´esultant ne doit pas ˆetre sup´erieure a` la somme des mesures de risque initiales de A et B. – Monotonicit´e : Si A ≤ B Alors ρ(A) ≥ ρ(B) Si un portefeuille A produit un r´esultat syst´ematiquement inf´erieur a` celui d’un portefeuille B, sa mesure de risque doit ˆetre sup´erieure a` celle de B – Invariance par translation : Pour tout K ∈ R, ρ(A + K) = ρ(A) − K Si nous ajoutons un montant de cash K (actif sans risque) au portefeuille A, sa mesure de risque doit diminuer du mˆeme montant K

3.2

Outils de mesure de risque

L’´etude des diff´erents outils de mesure de risque constitue une ´etape n´ecessaire et primordiale dans la gestion des risques. L’importance de cette ´etude r´eside dans les deux finalit´es qu’ils nous permettent d’atteindre, a` savoir juger de la sant´e financi`ere de l’´etablissement et s’assurer de son respect des diff´erentes contraintes et limites impos´ees par les autorit´es concern´ees. Ceci dans le but, d’une part, de se situer par rapport au march´e a` travers une r´ef´erence choisie afin de s’aligner sur cette dite r´ef´erence voire mˆeme la surperformer et de quantifier, d’une autre part, les diff´erentes pertes qui peuvent survenir suite aux risques pris. Le risque a deux dimensions, une dimension quantitative (combien je risque de perdre) et une dimension probabiliste (avec quelle probabilit´e). Les indicateurs de risque peuvent quantifier l’une ou l’autre, ou une combinaison des deux. Dans cette section, nous allons d´efinir les diff´erents outils de mesure de risque, jug´es pertinents et fiables, pour pouvoir quantifier tout type de risque au niveau des diff´erents portefeuilles existants.[7]

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3.2.1

Volatilit´ e

La volatilit´e est consid´er´ee comme la base des outils de mesure du risque des actifs dans plusieurs domaines (gestion de portefeuille, allocation d’actifs, ´evaluation des produits d´eriv´es). Elle sert de param`etre de mesure de risque et de degr´e d’incertitude et repr´esente ainsi, sur une p´eriode donn´ee, la dispersion et les variations des cours d’un actif par rapport a` son cours moyen. [w15] Toutefois, la volatilit´e n’est pas directement observable sur le march´e, il est donc n´ecessaire de l’estimer et de l’´evaluer avec pr´ecision en prenant en compte toutes les informations n´ecessaires a` savoir les indices de performances de l’actif.

Forte volatilit´e

Faible volatilit´e

Figure 3.1 – Int´erpr´etation de la volatilit´e La volatilit´e concerne tous les horizons (court, moyen et long terme) et ne prend en compte que les amplitudes des mouvements (Figure 3.1). Ainsi, plus la volatilit´e est importante, plus les perspectives potentielles de gain sont grandes, mais plus le risque de perte l’est aussi. A l’inverse, un actif sans ou avec tr`es peu de risques, aura une volatilit´e assez faible et offrira donc une s´ecurit´e relative. Nous distinguons deux types de volatilit´e : – La volatilit´e implicite : Elle repr´esente les anticipations du march´e sur les variations futures des cours de l’actif : C’est la volatilit´e que le march´e pense voir se r´ealiser dans le futur. Elle est d´ecrite sous l’hypoth`ese que les march´es financiers sont efficients, c’est-`a-dire des march´es o` u les prix refl`etent parfaitement toute l’information disponible. Toutefois, son calcul n´ecessite le recours `a des formules d’´evaluation des options, et g´en´eralement nous retrouvons le mod`ele de Black and Scholes [w22] et/ou l’algorithme de Newton Raphson. – La volatilit´e historique : Elle est fond´ee sur le comportement pass´e de l’actif, par l’utilisation de donn´ees historiques sur les cours (le plus haut, le plus bas, d’ouverture, de fermeture. . . ). Cette volatilit´e est tr`es simple a` calculer et n´ecessite peu d’outils math´ematiques, il suffit de calculer l’´ecart type, que nous d´efiniront par la suite, de la courbe historique du titre `a l’´echelle du temps d´esir´ee. Toutefois, la volatilit´e historique reste tr`es limit´ee et incertaine, dans la mesure o` u nous utilisons des donn´ees du pass´e pour pr´edire le futur.

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En ayant a` la fois la volatilit´e implicite et la volatilit´e historique de l’actif, le gestionnaire/investisseur peut comparer les deux et se forger une opinion de la volatilit´e `a venir et ainsi impl´ementer les strat´egies qu’il juge optimales. Math´ematiquement, la volatilit´e est d´efinie comme l’´ecart type estim´e et annualis´e des performances logarithmiques (indices de performance) sur une p´eriode donn´ee [1]. Elle est n´ecessairement positive ou nulle et s’´ecrit sous la forme suivante : s PT 2 √ t=1 (IPt − IP ) (3.4) Volatilit´e = σ = pas ∗ T −1 O` u: – – – –

T est le nombre de p´eriodes ´el´ementaires sur la p´eriode d’analyse IPt est l’indice de performance `a l’instant t P t ) IP est la moyenne arithm´etique des indices de performance IP = Tt=1 ( IP T pas est le facteur d’annualisation, il est ´egal 12 si la volatilit´e est mensuelle, 52 si elle est hebdomadaire ou 365 si elle est annuelle.

Il est a` noter que la volatilit´e n’est qu’une mesure de risque parmi d’autres et qu’elle est loin d’ˆetre une mesure parfaite. En particulier, la volatilit´e ne consid`ere que la dispersion moyenne des performances, propices a` des horizons de placements longs. Elle est, de ce fait, inadapt´ee pour prendre en consid´eration les ´ev´enements rares ou extrˆemes.

3.2.2

Tracking-Error

La volatilit´e est calcul´ee sur des performances absolues. Elle m´elange le comportement du gestionnaire avec celui des march´es. Toutefois, pour chaque portefeuille est assign´e ce que nous appelons un indice de r´ef´erence ou un benchmark, que le gestionnaire se doit de suivre ´etroitement ou avec une certaine marge. D’o` u d’ailleurs l’apparition de la TrackingError, qui se trouve ˆetre la volatilit´e de la performance, mais cette fois-ci relative. La  Tracking-Error , appel´ee aussi ´ecart de suivi, est donc une estimation du risque d’un investissement par rapport a` un autre. Elle est d´efinie comme ´etant la volatilit´e de la diff´erence de performance entre un fonds et son benchmark. Elle mesure l’´etendue de la libert´e (´ecart maximal) que le gestionnaire s’est accord´e vis-`avis de la r´ef´erence a` suivre. Dans quelle mesure les indices de performance du portefeuille suivent ceux de l’indice de r´ef´erence ? Ainsi, plus la Tracking-Error (TE) est ´elev´ee, plus le risque pris par le fonds par rapport `a son benchmark est fort. A l’inverse, une TE faible indique que le fonds ne s’est pas ´eloign´e, ou pas beaucoup, de la composition de son benchmark. La formule de calcul [1] de la TE annualis´ee est donc comme suit : s PT 2 √ t=1 (Ecartt − Ecart) T E = pas ∗ T −1

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(3.5)

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O` u: – Ecartt est la performance relative p´eriodique du fonds par rapport `a l’indice de r´ef´erence a` l’instant t ; tel que : Ecartt = IPf onds − IPindice – Ecart est la moyenne des indices de performances relatives – pas est le facteur d’annualisation

3.2.3

Bˆ eta

Le bˆeta repr´esente le risque syst´ematique, un risque attribu´e a` la volatilit´e du march´e dans sa globalit´e. Il mesure ainsi l’´elasticit´e ou la sensibilit´e d’un titre par rapport au march´e. En effet, le bˆeta compare les mouvements effectu´es par un actif par rapport `a son march´e de r´ef´erence. – Un bˆeta de 1 signifie que les titres ´evoluent de fa¸con identique, c’est-`a-dire que les fluctuations du march´e seront reproduites. – Un bˆeta > 1 signifie que les titres sont tr`es sensibles aux fluctuations du march´e (fluctuations amplifi´ees). – Un bˆeta < 1 signifie que les titres r´eagissent peu aux mouvements du march´e (fluctuations att´enu´ees). Lorsque le benchmark varie de X%, le fonds varie d’une amplitude ´egale a` β ∗ X%. Par exemple, sur la Figure 3.2, nous retrouvons diff´erentes valeurs du coefficient bˆeta

β = 1.5

A B

β=1

Performance du titre C β = 0.5

Performance du march´e Figure 3.2 – Coefficients bˆeta – Pour le titre B, avec un bˆeta ´egal a` 1, un mouvement de 1% sur le march´e entraˆınera en moyenne un mouvement de 1% sur le titre. – Pour le titre A, avec un bˆeta ´egal a` 1.5, les mouvements de ce titre seront 1.5 fois plus volatiles que ceux du march´e, a` la hausse comme a` la baisse. Si l’indice monte -diminue- de 1%, le titre lui grimpera –reculera- de 1.5%. – Pour le titre C, avec un bˆeta ´egal a` 0.5, les mouvements de ce titre auront une volatilit´e ´egale en moyenne `a 50% de celle du march´e, a` la hausse comme a` la Chabbar et Lallouch

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baisse. Ainsi, plus le bˆeta est ´elev´e, plus le risque est important, et l’espoir de gain aussi. A l’inverse, un bˆeta faible traduit un risque certes peu important mais en parall`ele aussi une rentabilit´e du titre tr`es faible. La formule du bˆeta se calcule comme la covariance entre la performance du fonds et la performance de l’indice, divis´ee par la variance de l’indice sur une p´eriode donn´ee. Dans le cas d’un portefeuille compos´e de n titres, le bˆeta du portefeuille est ´egal a` la moyenne pond´er´ee des bˆetas des diff´erents titres qui le composent.[1]

βf onds =

Cov(aIPf onds , aIPindice ) V ar(aIPindice )

(3.6)

O` u: – aIPf onds est l’indice de performance annualis´e du fonds – aIPindice est l’indice de performance annualis´e de l’indice de r´ef´erence (march´e). Pour annualiser un indice de performance, il suffit de le multiplier par le facteur d’an√ nualisation vu pr´ec´edemment. aIP = pas ∗ IP La variance, utilis´ee dans l’´equation (3.6), permet d’´etudier les variations d’une va2 . riable par rapport `a elle-mˆeme. Elle repr´esente le carr´e de l’´ecart-type et est not´ee σaIP Plus la variance est ´elev´ee, plus le cours de l’actif est susceptible de s’´eloigner de sa moyenne. La covariance, utilis´ee dans l’´equation (3.6), permet de mesurer a` quel point deux distributions de performance, de deux portefeuilles diff´erents (ici le fonds, et le march´e), peuvent ´evoluer de mani`ere identique. Elle est n´egative si les portefeuilles varient dans le sens contraire, et positive s’ils varient dans un mˆeme sens. Son calcul est d´etermin´e par la formule suivante : Cov(aIPf onds , aIPindice ) = σ(aIPf onds ,aIPindice ) T

1 X (aIPf onds,t − aIPf onds ) ∗ (aIPindice,t − aIPindice ) = T − 1 t=1 (3.7) O` u: – aIPf onds est la moyenne arithm´etique des indices de performance annualis´es du fonds – aIPindice est la moyenne arithm´etique des indices de performance annualis´es du march´e. Toutefois, la covariance ne permet pas de d´eterminer l’intensit´e de la liaison qui peut exister entre deux actifs, d’o` u la n´ecessit´e d’utiliser le coefficient de corr´elation [w16]. Ce dernier d´efinit donc le degr´e de d´ependance lin´eaire entre l’´evolution des performances du portefeuille et celles de son indice de r´ef´erence. Il est tr`es simple `a utiliser et est ´egal au rapport de la covariance des deux actifs et du produit non nul de leurs ´ecarts types. ρ(aIPf onds − aIPindice ) = Chabbar et Lallouch

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σ(aIPf onds ,aIPindice ) σaIPf onds ∗ σaIPindice

(3.8) - M.I.S -

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Le coefficient de corr´elation est compris entre -1 et 1 : Une corr´elation de 1 signifie qu’il existe une relation lin´eaire positive entre les deux actifs (corr´elation positive parfaite) ; une corr´elation de 0 signifie qu’il n’existe aucune relation entre les deux actifs et une corr´elation de -1 signifie qu’il existe une relation lin´eaire n´egative entre les deux actifs (corr´elation n´egative parfaite). Nous pouvons dire que le coefficient bˆeta est un indicateur de risque tr`es utile, son int´erˆet s’inscrit essentiellement dans la gestion de portefeuilles. Toutefois, il reste limit´e et il y a quand mˆeme lieu de s’en m´efier vues les diverses hypoth`eses sous lesquelles il est utilis´e [w17]. En effet, nous y retrouvons : – Hypoth`ese 1 : Les march´es financiers sont parfaits, c’est-`a-dire qu’il n’y a aucun coˆ ut de transactions, ni de taxes pour les dividendes. Les actifs sont tous n´egociables. – Hypoth`ese 2 : La d´etermination du coefficient bˆeta se base sur des donn´ees historiques, il est donc n´ecessaire que les facteurs agissant sur les variations du march´e au pass´e soient les mˆemes au futur.

3.2.4

Value-at-Risk

La VaR (Value-at-Risk) est une r´ef´erence standard sur les march´es financiers : Elle est d´efinie comme la mesure de la perte potentielle maximale, sur un actif ou sur un portefeuille d’actifs, susceptible d’ˆetre enregistr´ee avec une probabilit´e donn´ee suite a` des mouvements adverses de prix ou de taux sur un horizon de temps fix´e.[20] La VaR est donc un moyen de mieux maˆıtriser les risques financiers. C’est un outil de pilotage utile dans le reporting interne, et dans la supervision de la prise globale de risques par les organes d´ecisionnels. Elle est adapt´ee `a diff´erents types de risques (march´e, cr´edit, liquidit´e. . . ), mais est utilis´ee particuli`erement comme indicateur de suivi des risques de march´e. Nous pouvons dire qu’elle permet de r´epondre `a la question suivante : Sur les N prochains jours, avec une probabilit´e 1−α, quel est le maximum que nous pouvons perdre ? De ce fait, trois ´el´ements sont indispensables pour une bonne interpr´etation de la VaR : – Le niveau (seuil) de confiance 1 − α est un param`etre compris entre 0 et 1 (En g´en´eral 95 ou 99%). Il repr´esente le niveau d’incertitude que le gestionnaire est prˆet a` accepter, avec α le taux de risque. – La distribution des pertes : Elle repr´esente en quelque sorte la loi suivie par le rendement du portefeuille. – L’horizon de temps N : Il correspond `a la p´eriode sur laquelle les pertes potentielles sont estim´ees, en d’autres termes c’est la p´eriode de d´etention de l’actif. La VaR est consid´er´ee donc comme un indicateur tr`es synth´etique fournissant une appr´eciation du risque pour un quantile et un horizon de temps donn´es et repr´esente la pire perte attendue sur une certaine p´eriode.[5] Elle refl`ete les pertes dues au risque de march´e et doit v´erifier l’´equation suivante : P r(r  V aR) = 1 − α

(3.9)

– r ´etant le rendement observ´e sur l’horizon de temps N.

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Si nous prenons un portefeuille qui suit une distribution normale, nous pouvons lire sur le graphique (Figure 3.3) que la Value-at-Risk d´efinie pour un niveau de confiance de 95% (c’est-`a-dire α = 5%) est ´egale `a -1.645. C’est-`a-dire que la VaR(95%, 1jour) correspond a` une perte de 1.645 million de Dirhams, autrement dit il y a 95% de chance pour que la perte n’exc`ede pas 1.645 million de Dirhams.

Figure 3.3 – Exemple de la VaR sous une distribution normale Afin de bien calculer la VaR d’un portefeuille, il est indispensable de faire un bon nombre d’hypoth`eses : – Hypoth`ese 1 : Normalit´e des variations des prix des actifs. – Hypoth`ese 2 : Rendement moyen des actifs nul pour la p´eriode consid´er´ee. – Hypoth`ese 3 : Lien direct entre la VaR `a N jours et la Var `a 1 jour. Nous avons donc : V aR((1 − α)%, N jours) = V aR((1 − α)%, 1jour) ∗

√ N

(3.10)

Nous passons de la VaR `a 1J a` celle d’un √ diff´erent horizon de temps N en ajustant la volatilit´e de l’´el´ement ´etudi´e par σN = N xσ1 . Ceci en appliquant The square root of time rule. [11] Toutefois, l’hypoth`ese 1 constitue une grande limite de la VaR et peut biaiser les r´esultats. En effet, la loi normale a tendance a` sous-estimer les grandes variations et les amplitudes des mouvements qui existent r´eellement dans le march´e. En cons´equence, le calcul de la VaR d´epend essentiellement de la m´ethodologie utilis´ee pour la construction de la distribution de probabilit´e. Il existe pour cela trois grandes m´ethodes : a- M´ ethode param´ etrique ou m´ ethode analytique : C’est l’une des m´ethodes les plus rapides a` mettre en place. Pour cela, il faut d’abord d´efinir les facteurs de risques qui vont influencer la variation de la valeur du portefeuille

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´etudi´e. Par exemple, le prix ou le taux, ainsi qu’un param`etre symbolisant leurs distributions. Nous prendrons comme param`etre, la variance ou, plus pr´ecis´ement, l’´ecart-type qui refl`ete parfaitement la volatilit´e du facteur ; outil qui permet la mesure de la dispersion de la variable .[20] Mais avant d’appliquer la VaR param´etrique, plusieurs hypoth`eses doivent ˆetre ´emises pour pouvoir justifier son utilisation [9] : – Les variations des facteurs de risques suivent une loi normale. Toutefois, cette hypoth`ese ne refl`ete pas toujours la r´ealit´e notamment lorsque nous nous int´eressons a` des ´ev´enements rares. – La relation entre les variations des valeurs du portefeuille et les variations des valeurs du march´e est lin´eaire. – Les profils des instruments financiers sont lin´eaires. Ces hypoth`eses nous permettent d’utiliser la formule suivante afin de calculer la VaR pour un horizon d’un jour avec un seuil de confiance X = 1 − α : V aR(X, 1J) = P × ZX × σj

(3.11)

O` u: – P est la valeur du portefeuille loi – ZX est calcul´e tel que P (Z ≺ ZX ) = X avec Z ,→ N (0, 1) o` u Z est le facteur de risque choisi. G´en´eralement nous optons pour l’un des seuils de confiance suivant : - X = 95% qui correspond `a ZX = 1.645 - X = 99% qui correspond `a ZX = 2.33 – σj est la volatilit´e quotidienne du portefeuille qui s’exprime en fonction de la volaA o` u 252 repr´esente les jours ouvrables. tilit´e annuelle par σj = √σ252 En utilisant l’hypot`ese sur la VaR ´emise pr´ec´edemment, nous pouvons passer de la VaR a` 1Jour a` la VaR a` l’horizon N d´esir´e en utilisant la formule (3.10) Pour un portefeuille comportant deux actifs , la VaR du portefeuille est formul´ee a` partir de la VaR, V aR1 , du premier actif et celle, V aR2 , du deuxi`eme comme suit [9] : q (3.12) V aRP F = V aR12 + V aR22 + 2 × ρ × V aR1 × V aR2 O` u ρ est le coefficient de corr´elation entre les variations des deux actifs du portefeuille. Dans le cas d’un portefeuille comportant plus de deux actifs nous utiliserons la matrice de corr´elation pour mesurer la corr´elation entre les diff´erents actifs. Ceci constitue en soi, une limite a` cette m´ethode car plus le nombre d’actif augmente plus la taille de la matrice augmentera et alourdira par cons´equent le calcul. b- M´ ethode historique : La m´ethode historique, ou non param´etrique, est consid´er´ee comme la m´ethode la plus simple a` r´ealiser. Elle est fond´ee sur les pertes et gains pass´es des actifs composant le portefeuille. Il est donc n´ecessaire d’avoir acc`es aux donn´ees historiques n´ecessaires et Chabbar et Lallouch

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de consid´erer que les cours pass´es refl`etent les cours futurs. En effet, nous supposons que les tendances futures sont identiques a` celles du pass´e. [9] La premi`ere ´etape de la m´ethode historique consiste `a identifier les variables du march´e, souvent nous consid`erons le facteur prix. La s´erie historique des prix nous permettra de construire une distribution empirique a` partir de laquelle nous d´eduisons le quantile. Supposons que nous ayons des donn´ees historiques sur N jours. 1. Tout d’abord, pour chaque jour, il convient de trouver les pertes et gains (prix final – prix initial) qui correspondent. 2. Ensuite, il faudra classer ces N pertes/gains potentiels par ordre croissant 3. Finalement, pour avoir notre valeur `a risque V aR((1 − α)%, 1j), il suffit de prendre la N ∗ α i`eme valeur du classement. V aR((1 − α)%, 1j) = N ∗ (100% − (1 − α)%)

(3.13)

Exemple : Pour un nombre de jours N=1000, si nous souhaitons obtenir une VaR `a 95%, il suffit de relever la 50`eme (= 1000*(100%-95%)) valeur obtenue. Si N ∗ α n’est pas entier, la VaR est calcul´ee par interpolation lin´eaire des valeurs du classement correspondantes aux entiers encadrants N ∗ α. Ceci suivant la formule :

V aR((1 − α)%, 1j) = Pk + (N ∗ α − k)(Pk+1 − Pk )

(3.14)

– Pi : La i`eme valeur du classement des pertes/gains potentiels – k : La partie enti`ere de N ∗ α c- M´ ethode de Monte Carlo : Monte Carlo est une m´ethode probabiliste pour la simulation utilis´ee en vue de calculer une valeur num´erique avec un certain niveau de confiance. Le calcul de la VaR, en utilisant cette m´ethode ,nous permet d’atteindre des r´esultats concluants l`a o` u les autres m´ethodes ne sont pas applicables, telle que l’utilisation de la VaR param´etrique pour les produits optionnels. Cette m´ethode repose sur les ´etapes suivantes : 1. Choix du mod` ele : Choisir le mod`ele ad´equat qui va d´ecrire de mani`ere fiable l’´evolution de notre actif financier (dans le cas d’un portefeuille compos´e de plusieurs actifs nous proc´ederons comme pr´ec´edemment : c’est a` dire calculer la VaR pour chaque actif et ensuite d´eduire celle du portefeuille). Dans le cas d’actions, par exemple, le mod`ele le plus utilis´e est celui qui repose sur l’´evolution d’un mouvement Brownien g´eom´etrique. 2. D´ efinition des param` etres du mod` ele choisi. Dans le cadre du mˆeme exemple, l’´evolution du cours de l’actif sera d´ecrit par le mouve-

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ment brownien g´eom´etrique suivant :    √ σ2 S(t + ∆t) = S(t)exp µ − ∆t + σε ∆t 2

(3.15)

O` u: – µ repr´esentera le taux sans risque de l’actif – σ repr´esentera la volatilit´e annuelle de l’actif – ε est une variable al´eatoire qui suit la loi normale N(0,1) 3. Choix de l’horizon de temps T : Nous allons calculer le cours de l’actif en plusieurs moments t tel que t ∈ [0, T ] . 4. Simulation de diff´ erentes trajectoires : Une fois que nous avons initialis´e les param`etres du mod`eles et que nous avons fix´e l’horizon de temps T , nous allons pouvoir g´en´erer N sc´enarios grˆace a` la variable al´eatoire ε. Pour chaque sc´enario nous aurons les valeurs du cours de l’actif de l’instant 0 `a l’instant T. De cette mani`ere ∆S = S(T ) − S(0) repr´esentera la perte/gain g´en´er´e(e) dans chaque simulation. Nous obtiendrons alors N pertes/gains potentiels que nous allons classer par ordre croissant. Dans ce cas l`a, la VaR pour un intervalle de confiance de (1−α)% sera la (α%×N )i`eme plus petite valeur.

Limites de la VaR : La valeur `a risque pr´esente l’avantage d’ˆetre simple a` interpr´eter. Elle permet d’obtenir une vision globale du risque en l’exprimant sous la forme d’une seule valeur, correspondant a` la perte maximale encourue. N´eanmoins, elle est souvent critiqu´ee vues ses nombreuses limites. En effet, d’une part, elle ne donne aucune id´ee sur la nature des pertes au-del`a du quantile (niveau de confiance) en question. Par exemple, pour un niveau de confiance 1 − α = 99%, le dernier 1% peut ˆetre  r´eparti  tr`es diff´eremment sur les pertes. Il peut se r´epartir d’une fa¸con homog`ene sur la queue de la distribution ou bien avoir  une fr´equence  tr`es ´elev´ee pour un montant particulier ce qui peut ˆetre dangereux. D’autre part, elle ne constitue pas une mesure de risque valable et coh´erente. Elle ne v´erifie pas la propri´et´e de sous-additivit´e que toute mesure de risque se doit de faire.

3.2.5

La VaR Conditionnelle

Cette section couvre la moyenne des pertes exc´edant la valeur a` risque. Cet outil de mesure est apparu dans la litt´erature afin de rem´edier aux diff´erentes lacunes que la valeur a` risque poss`ede lors de l’´evaluation du risque. Comme il est mentionn´e pr´ec´edemment, la VaR ne constitue pas une mesure de risque ad´equate dans de nombreux cas `a cause de la propri´et´e de sous-additivit´e qu’elle ne parvient pas `a respecter.

Chabbar et Lallouch

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

Afin de rem´edier donc aux d´efauts de la VaR, un nouvel outil de mesure de risque a vu le jour : La CVaR, (Valeur `a risque Conditionnelle) ou encore ES (Expected Shortfall). La CVaR poss`ede en effet la caract´eristique de sous-additivit´e et l’ensemble des autres caract´eristiques (homog´en´eit´e, monotonie et invariance transitionnelle) qui furent mentionn´ees ; ce qui fait d’elle une mesure de risque valable dans tous les cas. La CVaR est consid´er´ee comme le quantile correspondant a` la perte potentielle que peut subir un titre ou un portefeuille suite a` des mouvements d´efavorables des prix de march´e avec un certain seuil de confiance sachant que cette perte d´epasse la VaR. La CVaR est donc une mesure de risque plus pertinente et aussi puissante que la VAR, puisqu’elle tient compte des cas extrˆemes et des ´ev´enements de grands dommages encourus. ` partir de la VaR, le concept de CVaR devient relativement trivial. Comme nous A l’avons mentionn´e, la CVaR est l’esp´erance des pertes sachant qu’elles sont sup´erieures `a la VaR. Nous pouvons donc l’´ecrire de la mani`ere suivante : CV aR((1 − α)%, N ) = E(P t|P t > V aR((1 − α)%, N ))

(3.16)

Figure 3.4 – La Valeur a` Risque conditionnelle Ainsi, nous pouvons dire que la VaR mesure la valeur qui s´epare les (1 − α)% de la distribution, la CVaR quant `a elle se focalise sur la queue de distribution de la perte, les α restant, dont nous ne connaissons ni la distribution, ni l’esp´erance. Les m´ethodes de calcul de la CVaR restent identiques `a celles de la VaR. – M´ethode analytique – M´ethode historique – M´ethode Monte Carlo La m´ethode de calcul que nous avons choisi d’adopter pour le calcul de la VaR et la CVaR des portefeuilles de la CMR est celle historique. Etant donn´e que les hypoth`eses de la m´ethode param´etrique ne sont pas souvent applicables et que d’apr`es d’anciens travaux de la CMR effectu´es sur la VaR il s’est av´er´e que la m´ethode de Monte Carlo nous donne Chabbar et Lallouch

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des r´esultats proches de celle historique mais avec un coˆ ut, de temps et d’espace utilis´e, plus ´elev´e, notre choix s’est port´e sur la m´ethode historique.

3.2.6

Risque ` a la baisse

Comme cit´e auparavant, la volatilit´e nous permet d’avoir une id´ee sur la dispersion et les variations des performances d’un fonds par rapport `a sa performance moyenne, qu’elles soient des performances n´egatives ou positives. Le risque `a la baisse, quant `a lui, ne s’int´eresse qu’aux performances jug´ees n´egatives et repr´esente donc la volatilit´e n´egative du fonds ´etudi´e. Les performances n´egatives sont d´etermin´ees par rapport a` une certaine performance fix´ee a` l’avance et qui repr´esente le rendement minimum acceptable pour le fonds. Le TMP JJ (taux moyen pond´er´e au jour le jour) repr´esente le taux sans risque et d´efinit donc le seuil minimal de rendement acceptable dans le choix d’un investissement risqu´e, sa performance repr´esentera donc la base sur laquelle seront jug´ees les performances du fonds. Le risque `a la baisse, exprim´e en pourcentage, r´ev`elera donc la mesure dans laquelle les rendements historiques de la CMR furent inf´erieurs `a ceux du TMP JJ. Plus le pourcentage est faible plus le risque de perte est faible, ceci suivant la formule suivante [2] :

Rb =

√

sP pas ×

T t=1

δ(t)(IPCM R (t) − IPT M P JJ (t))2 PT t=1 δ(t)

(3.17)

Avec : ( δ(t) = 1IPCM R (t)−IPT M P JJ (t)≺0 =

3.2.7

1 si IPCM R (t) − IPT M P JJ (t) ≺ 0 0 sinon

(3.18)

Autres outils de mesure

Les outils explicit´es pr´ec´edemment repr´esentent les principales mesures de risque au niveau d’un portefeuille. Toutefois, chaque portefeuille a ses propres variantes. Pour l’obligataire par exemple, nous retrouvons les indicateurs de risques suivants : 1- La duration : Dans le march´e obligataire, les fluctuations des taux d’int´erˆet repr´esentent l’une des plus grandes appr´ehensions des investisseurs. Cette appr´ehension est symbolis´ee par le risque taux qui refl`ete la volatilit´e des taux de rendement. La duration repr´esente l’un des indicateurs de ce risque.[w18] L’un des soucis d’un d´etenteur d’un titre financier est d’en assurer le rendement surtout lorsque les taux changent. La duration d’une obligation se d´efinit comme ´etant la dur´ee (en ann´ee) a` partir de laquelle le titre sera `a l’abri des fluctuations des taux, en d’autres termes la dur´ee a` partir de laquelle l’obligation ne va g´en´erer que des flux positifs.

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Nous pouvons distinguer deux diff´erentes durations [w19] : a- La duration de Macaulay : Cette appellation nous parvient du monde anglo-saxon et qui est ´equivaut a` la duration d´efinie pr´ec´edemment. Elle prend en consid´eration les flux g´en´er´es par l’obligation pond´er´es par le temps suivant la formule suivante : Pn i×Fi Pn i×Fi D= O` u: – – – –

i=1 (1+r)i

i=1 (1+r)i Fi i=1 (1+r)i

= Pn

P

(3.19)

n est la maturit´e de l’obligation Fi est le flux mon´etaire a` la date i r est le taux d’int´erˆet (taux d’actualisation du rendement ) P est le prix de l’obligation

Lorsque les taux de march´e augmentent nous pouvons remarquer grˆace a` la formule d’actualisation (3.19) que les flux g´en´er´es vont diminuer, donc la valeur de l’obligation va aussi diminuer causant une perte de capital a` son d´etendeur. Ceci lui permettra donc de r´einvestir ses coupons `a un taux plus ´elev´e et donc plus avantageux et vice versa. Nous constatons que les deux ph´enom`enes  d’effet-capital  et  d’effet-coupon  ´evoluent inversement et par cons´equent ils vont se compenser `a un certain moment. Ce moment repr´esentera la duration de l’obligation. La duration nous donne un premier aper¸cu sur l’effet de la variation du taux de rendement de l’obligation sur la variation de son prix. Au moment o` u elle croˆıt, le prix se retrouve sujet au changement des taux et par cons´equent il est plus volatile donc plus risqu´e. Toutefois, cet aper¸cu reste fiable a` un certain degr´e de variation des taux, au-del`a de ce seuil lorsque l’amplitude de variation des taux augmente, cette mesure n’est plus rigoureuse car elle ne tient pas compte de la convexit´e de la courbe prix-taux des obligations. La duration ainsi d´efinie n’est donc pas utilis´ee dans les march´es financiers ; nous avons plus recourt a` la duration modifi´ee qui d´erive de la duration de Macaulay. b- La duration modifi´ ee : Elle refl`ete l’impact d’une variation du taux de march´e de 1 % sur la variation du prix de l’obligation. DM =

D 1+r

(3.20)

O` u: – D est la duration de Macaulay – r est le taux d’int´erˆet (d’actualisation, de rendement).

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2-La sensibilit´ e: La sensibilit´e figure ´egalement parmi les indicateurs du risque taux. C’est un param`etre important dans la gestion du risque et donc des performances d’un portefeuille d’obligations. Elle caract´erise l’´elasticit´e du prix par rapport a` la variation du taux de march´e. Plus pr´ecis´ement, elle repr´esente l’impact sur le prix de l’obligation d’une variation de 1% du taux de march´e.[w20] Ceci se traduit math´ematiquement par : S=

∆P P0

∆r

=

1 ∆P P ∆r

(3.21)

O` u: – ∆P est la variation du prix de l’obligation – ∆r est la variation du taux de march´e ( = ±1) – P0 est le prix de d´epart de l’obligation. La formule pr´ec´edente devient donc : S=

Prix final - Prix de d´epart × (±100) Prix de d´epart

(3.22)

Comme expliqu´e pr´ec´edemment, le taux de march´e et le prix de l’obligation ´evoluent inversement. La sensibilit´e est donc de signe n´egatif et nous donnera le pourcentage avec lequel le prix diminuera lorsque le taux augmentera d’un point et le pourcentage avec lequel il augmentera lorsque le taux de march´e diminuera d’un point. En reprenant la formule math´ematique de la sensibilit´e suivante : dP dr

S=

P

(3.23)

En utilisant aussi l’expression du prix de l’obligation : P =

n X i=1

Fi (1 + r)i

(3.24)

Nous arrivons `a d´emontrer facilement la relation suivante qui lie la sensibilit´e `a la duration de l’obligation. D (3.25) S=− 1+r La sensibilit´e est donc proportionnelle a` la duration. Ainsi plus la duration est longue plus la sensibilit´e est forte : Une variation d’un point du taux de march´e entraˆınera une grande variation du prix. Une hausse du taux de march´e serait la bienvenue dans ce cas, contrairement a` sa baisse. 3- La convexit´ e: La sensibilit´e en tant qu’indicateur de risque taux nous renseigne sur la proportion de variation du prix, n´eanmoins l’impact sur le prix des diff´erentes fluctuations du taux de march´e n’est pas la mˆeme en hausse qu’en baisse. Ceci revient, comme mentionn´e plus haut, a` la convexit´e de la courbe prix-taux des obligations. Pour cette raison, il faut donc tenir compte d’un autre indicateur de risque taux lors de grandes variations du taux de Chabbar et Lallouch

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

march´e. Cet indicateur n’est autre que la convexit´e. [w21] La convexit´e est repr´esent´ee par la d´eriv´ee seconde du prix par rapport au taux de march´e et s’exprime comme suit :   1 ∆P + S × ∆r (3.26) Cv = × (∆r)2 P0 O` u: – – – –

∆r est la variation du taux de march´e ∆P est la variation du prix de l’obligation P0 est le prix de d´epart de l’obligation S ˆest la sensibilit´e de l’obligation.

Plus la convexit´e d’une obligation est ´elev´ee plus son prix baissera lentement lors de la hausse des taux et augmentera rapidement lors de leurs baisses. Ces indicateurs propres au portefeuille obligataire ne seront pas utilis´es dans le pr´esent m´emoire ´etant donn´e que nous allons nous int´eresser par la suite uniquement au portefeuille action de la CMR. N´eanmoins, nous avons jug´e utile de les pr´esenter en vue d’aider et d’encourager la continuit´e de ce projet en y rajoutant les aspects non trait´es.

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Chapitre 4 Application de gestion des risques 4.1

Pr´ esentation de l’application

Apr`es avoir pr´esent´e, dans la partie pr´ec´edente, la d´emarche th´eorique du calcul des indicateurs de risques, nous allons d´ecrire dans la suite les diff´erentes d´emarches effectu´ees pour aboutir a` la conception de l’application de gestion des risques, qui exploitera justement ces indicateurs. Nous pr´esenterons ensuite les r´esultats obtenus aux cours des simulations. Toutefois, dans cette premi`ere application, nous avons travaill´e sur les valeurs liquidatives du portefeuille dans sa globalit´e et nous nous sommes content´es des indicateurs de risque li´es au march´e notamment la volatilit´e, le bˆeta, la Tracking Error, le risque a` la baisse, la VaR et la CVaR.

4.1.1

Description g´ en´ erale

L’application est d´evelopp´ee sous VBA appliqu´e `a Excel, le choix de cet outil de programmation a ´et´e fait selon les raisons suivantes : – La familiarisation des responsables de gestion de portefeuille de la CMR avec Excel ; – L’utilisation de quelques fonctions pr´ed´efinies sur Excel pour les formules math´ematiques consid´er´ees ; – La possibilit´e de g´en´erer et ´editer un reporting avec des graphes sur Excel et sur Word. Cette application, comme cit´e auparavant, servira essentiellement aux calculs des indicateurs de risque li´es au march´e pour le portefeuille de la CMR. Il y a 4 fichiers pour chaque portefeuille : Actions, Obligataire, Global mais aussi pour un quelconque portefeuille ´eventuel. Nous expliquerons la proc´edure d’utilisation de l’application pour un portefeuille Actions. Toutefois, les d´emarches et explications suivantes restent les mˆemes pour tout type de portefeuille.

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

4.1.2

Description de l’application

Une fois l’application d´emarr´ee, une feuille



Instructions



apparait :

Figure 4.1 – Feuille instructions Cette premi`ere feuille (Figure 4.1) servira essentiellement `a expliquer a` l’utilisateur, que l’application utilise les valeurs liquidatives du portefeuille de la CMR, celles du portefeuille de r´ef´erence BENCHMARK, ainsi que celles du taux sans risque TMP JJ, et qu’il faudrait les copier `a leur emplacement pour que les indicateurs de risque puissent ˆetre calcul´es. Il va de soi, que les donn´ees doivent ˆetre initialis´ees sur une mˆeme p´eriode pour ne pas fausser les r´esultats. En cliquant sur s’affiche.



Lancez le menu



(Figure 4.1), une barre de menu en haut de page

Figure 4.2 – Barre de menu Pour remplir les donn´ees du portefeuille  Action , il faut cliquer sur  Portefeuille Action  (Figure 4.2) pour acc´eder `a la feuille correspondant aux donn´ees du portefeuille. Les donn´ees n´ecessaires de cette feuille sont remplies (des fois ces donn´ees peuvent ˆetre journali`eres). Or, pour le calcul des indicateurs, il est n´ecessaire que les donn´ees soient hebdomadaires. Il y a un bouton qui servira justement a` faire le tri des donn´ees.

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De la mˆeme mani`ere, il faut cliquer sur  TMP  mentionn´e sur la barre de menu (Figure 4.2) pour remplir ses donn´ees et cliquez sur le bouton n´ecessaire pour faire le tri en cas de besoin. Maintenant que toutes les donn´ees sont ins´er´ees a` leur place, il faut cliquer sur  Calcul des indicateurs  mentionn´e sur la barre de menu (Figure 4.2). Une fenˆetre (Figure 4.3) s’affiche d`es lors pour s´electionner la p´eriode sur laquelle les indicateurs de risque vont ˆetre calcul´es.

Figure 4.3 – Interface de p´eriode de calcul En cliquant sur  Date de d´ebut  un calendrier s’affiche. La valeur s´electionn´ee par d´efaut sur le calendrier est la premi`ere date des donn´ees a` partir de laquelle nous pouvons commencer le calcul, en d’autres termes c’est la premi`ere date pour laquelle il y a un historique suffisant, ici d’une ann´ee glissante, soit 52 semaines. En effet, si une date ant´erieure `a celle-ci est s´electionn´ee, un message d’erreur apparait.

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Comme nous nous sommes ba´es sur des donn´ees hebdomadaires, il faut s´electionner un Vendredi de la semaine, dans le cas contraire, un autre message d’erreur apparait.

De la mˆeme mani`ere, en cliquant sur  Date de fin , un calendrier apparait avec cette fois-ci comme valeur par d´efaut la derni`ere date mentionn´ee sur les donn´ees du portefeuille. Si jamais l’utilisateur s´electionne une date de fin inf´erieure a` la date de d´ebut, un message d’avertissement apparait.

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Une fois la s´election des dates est valid´ee, nous passons maintenant au calcul des indicateurs de risques. Les indicateurs n´ecessaires sont mentionn´es sur l’interface ciapr`es.(Figure 4.4)

Figure 4.4 – Interface des indicateurs de risques Pour le calcul de la VaR et la CVaR, une saisie des param`etres s’impose : La valorisation du portefeuille (en DH) et le niveau de confiance (95 ou 99%).

Figure 4.5 – Param`etres de la VaR Finalement, nous retrouvons la feuille finale suivante qui comporte le calcul des indicateurs de risques : Volatilit´e annualis´ee, bˆeta, Tracking Error annualis´ee, Risque `a la baisse, VaR et CVaR pour le portefeuille de la CMR mais aussi pour celui du benchmark.(Figure 4.6)

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Figure 4.6 – R´esultats du calcul des indicateurs En parall`ele a` ces fonctionnalit´es apparentes, des calculs ont ´et´e faits. Nous retrouvons notamment la feuille des donn´ees du portefeuille qui devient comme suit (Figure 4.7). En effet, il ´etait n´ecessaire de calculer en parall`ele les indices de performance du portefeuille de la CMR ainsi que ceux du Benchmark, mais aussi l’´ecart entre les deux indices. Quand la valeur est positive, elle est ´ecrite en vert, quand elle est n´egative en rouge.

Figure 4.7 – Feuille finale des donn´ees du portefeuille De la mˆeme mani`ere il ´etait question de calculer l’indice de performance reli´e au taux sans risque TMP (Figure 4.8). Chacune des colonnes I et J (Delta CMR et Delta Benchmark) correspond au r´esultat de la condition d’´ecart li´e au risque `a la baisse dans l’´equation (3.18). Si cette condition est ´egale a` 1, le r´esultat est affich´e en rouge, sinon si il est ´egal `a 0 et sera en bleu.

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Figure 4.8 – Feuille finale des donn´ees TMP L’application est aussi dot´ee d’autres fonctionnalit´es compl´ementaires importantes. En effet, en cliquant sur  Reporting Action  (Figure 4.6), nous pouvons g´en´erer un reporting avec la mise en page habituelle et exig´ee de la CMR. Ce reporting sous cette forme (Figure 4.9), contient les diff´erents graphes correspondant a` l’´evolution des indices de performances et des indicateurs de risques sur la p´eriode donn´ee.

Figure 4.9 – Reporting du portefeuille

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Nous pouvons aussi g´en´erer un reporting global sur Word en cliquant sur le bouton correspondant (Figure 4.6). Ce rapport d’activit´e comporte cinq pages, donc chacune traite les r´esultats des indicateurs reli´es `a la CMR avec une description d´etaill´ee de chaque indicateur et leur interpr´etation pour une compr´ehension plus approfondie du r´esultat du calcul de chacun.

Figure 4.10 – Rapport d’activit´e sur Word - Pages 1 et 2

Figure 4.11 – Rapport d’activit´e sur Word - Pages 3 et 4

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Figure 4.12 – Rapport d’activit´e sur Word - Page 5

4.2

Interpr´ etation des r´ esultats

L’application, cit´ee auparavant, est applicable a` diff´erents types de portefeuille. Nous l’avons test´ee pour le portefeuille Actions, le portefeuille Obligations, et le portefeuille Global de la Caisse Marocaine des Retraites. Nous d´ecouvrirons ci-apr`es les r´esultats ressortissants de chacun des portefeuilles et leurs interpr´etations. 1- Portefeuille Actions : L’application a ´et´e test´ee sur des donn´ees actions pour une p´eriode allant du 31/12/2010 au 31/12/2014. Le calcul des indicateurs s’est fait donc du Vendredi 06/01/2012 au Vendredi 26/12/2014 (p´eriode pour laquelle l’historique est suffisant). – La volatilit´e annualis´ee : Nous avons calcul´e la volatilit´e annualis´ee sur une ann´ee glissante, soit 52 semaines. La volatilit´e du portefeuille de la CMR est comprise entre 6.519% et 13.177% avec une moyenne de 10.159%. La volatilit´e annualis´ee du benchmark quant a` elle, est

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comprise entre 5.755% et 12. 957% avec une moyenne de 9.732%.

Figure 4.13 – Volatilit´e annualis´ee - Portefeuille Actions Nous remarquons que la CMR s’aligne plus ou moins au Benchmark (ici MASI Rentabilit´e Brut) sur la p´eriode consid´er´ee (Figure 4.13). Les deux affichent quand mˆeme une volatilit´e moyenne tr`es importante, ce qui implique que l’investissement en actions est un placement a` risque. Cela s’explique par les fluctuations et variations des prix des actions. Ainsi, nous pouvons dire que le risque de volatilit´e du cours est important et il peut d´ependre de la qualit´e de la soci´et´e, de ses r´esultats et de l’´evolution g´en´erale de la bourse. Il est donc n´ecessaire de choisir les bonnes actions `a introduire au niveau du portefeuille. – Le Bˆeta : Le bˆeta du portefeuille  action est compris entre 0.968 et 1.124 avec une moyenne de 1.014. Cela implique que les titres ´evoluent dans le mˆeme sens que les fluctuations du benchmark, ce qui est ´evident vu la similitude de l’´evolution de leurs volatilit´es. – La Tracking-Error annualis´ee : La Tracking Error (TE) annualis´ee affiche un r´esultat compris entre 1.59% et 2.246% avec une moyenne de 1.86%. Nous pouvons dire que la TE assez faible, ce qui explique sur le portefeuille de la CMR ne s’est pas ´eloign´e, ou pas beaucoup, de la composition du MASI Rentabilit´e Brut. – Le risque `a la baisse : Le risque `a la baisse est compris entre 3.18% et 10.813% avec une moyenne 7.22% pour la CMR, et une moyenne de 6.90% pour le MASI Rentabilit´e Brut. Nous remarquons que l’´evolution de l’indicateur est `a peu pr`es la mˆeme pour les deux portefeuilles. Toutefois, le pourcentage du risque a` la baisse est relativement ´elev´e ce qui implique un risque de perte assez important.

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Figure 4.14 – Risque a` la baisse - Portefeuille Actions – La VaR et CVaR : Si nous prenons la premi`ere et derni`ere date des donn´ees actions pour lesquelles l’historique est suffisant, la VaR est la CVaR `a ces jours sont :

Figure 4.15 – VaR et CVaR - Portefeuille Actions

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Pour une valorisation du portefeuille de 10 000 Dh par exemple (valeur fictive), pour la derni`ere ann´ee d’´evaluation, nous avons une perte de 2.8%, soit l’´equivalent d’`a peu pr`es 280 Dh : A un niveau de confiance de 95%, la CMR ne va pas perdre plus de 280 Dh. Le benchmark quant a` lui, ne va pas perdre plus de 240 Dh. La CVaR quant a` elle, affiche un pourcentage de -3.6%, soit une valeur d’`a peu pr`es 360 Dh, c’est-`a-dire que pour les cas extrˆemes, soit une probabilit´e des 5% restants (1-95%), la CMR ne va pas perdre plus 325 Dh. 2- Portefeuille Obligations et Portefeuille Global : Quant au portefeuille Obligations ou mˆeme le portefeuille Global, la volatilit´e reste tr`es minime et se trouve aux alentours de 0.5%. Pour le portefeuille obligations cela s’explique par le fait que les obligations repr´esentent un investissement sˆ ur et stable, et qu’elles sont moins expos´ees aux risques de march´e. En effet, l’obligation est consid´er´ee comme une dette, et le risque majeur qui peut y avoir est ne pas se faire rembourser. Ce risque est naturellement en fonction de la qualit´e de l’´emetteur. Pour le portefeuille global cela s’explique par la diversit´e des actifs le constituant, et surtout par le fait que les obligations d´etiennent un grand pourcentage au niveau du portefeuille global. En effet, l’allocation d’actifs au niveau ce portefeuille se fait selon les exigences suivantes : – Le pourcentage des obligations est sup´erieur ou ´egal a` 60% – Le pourcentage des actions est inf´erieur ou ´egal a` 30% – La somme des pourcentages de l’immobilier ainsi que du non cˆot´e est inf´erieure a` 5% De ce fait, la diversification stipule le mixage entre des actifs risqu´es et d’autres moins risqu´es, ce qui att´enue le degr´e de risque auquel peut ˆetre expos´e le portefeuille. En th´eorie, un portefeuille diversifi´e qui comprend une vari´et´e d’actifs tend a` ajuster et ´equilibrer les fluctuations du rendement, cela est essentiellement dˆ u a` la faible corr´elation qui puisse y avoir entre ces actifs. D’autant plus, pour un portefeuille diversifi´e qui comprend plusieurs types de d’actifs, il est beaucoup moins probable que tous ces actifs affichent un mauvais rendement en mˆeme temps. En effet, les diff´erents types de d’actifs ne r´eagissent pas tous de la mˆeme fa¸con aux ´ev´enements mondiaux et aux variations des facteurs ´economiques.

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Chapitre 5 Optimisation du portefeuille Actions 5.1

Position du probl` eme

La premi`ere application nous a permis d’avoir une id´ee sur le niveau de risque du portefeuille de la CMR grˆace au reporting des diff´erents indicateurs de risque calcul´es. Ce reporting a pour but de nous orienter quant `a la strat´egie `a adopter dans la gestion des diff´erents portefeuilles de la CMR. Ces r´esultats sont-ils satisfaisants ? La volatilit´e du portefeuille est-elle acceptable ? L’´ecart maximal accord´e au gestionnaire par rapport au portefeuille de r´ef´erence est-il respect´e ? La perte mod´elis´ee par la VaR et la CvaR est-elle tol´erable ? Chaque combinaison de r´eponses d´efavorables a` ces questions repr´esente des contraintes que notre portefeuille se doit de respecter pour se placer `a un niveau de risque admissible en ´echange d’un certain rendement que nous chercherons a` maximiser. Dans ce chapitre, nous nous int´eresserons uniquement au portefeuille actions, dans la mesure o` u il est consid´er´e comme le portefeuille le plus risqu´e. Nous ´etudierons ce portefeuille, titre par titre, afin de d´eterminer la composition optimale qui permettra, pour un certain niveau de risque, de maximiser le rendement tout en respectant les contraintes pr´e´etablies. Ainsi, la performance ne sera plus exprim´ee a` partir des valeurs liquidatives du portefeuille mais a` travers le rendement des cours propres `a chaque titre le composant. La partie qui suit constituera un rappel sur les formules math´ematiques qui nous permettront de calculer les param`etres n´ecessaires `a l’optimisation souhait´ee.

5.1.1

Mod´ elisation math´ ematique du probl` eme

1- Rendement d’un titre : Les rendements calcul´es et utilis´es tout au long de ce projet sont des rendements journaliers exprim´es comme suit :

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

Pour un titre i a` la date j : Ri,j =

coursi,j − coursi,j−1 coursi,j−1

(5.1)

O` u: – coursi,j est le cours de fermeture du titre i a` la date j. 2- Rendement du portefeuille : Le rendement d’un portefeuille a` la date j est la moyenne des rendements de chaque titre le composant, pond´er´ee par les proportions ou poids de chaque titre dans la composition totale du portefeuille. Pour un portefeuille compos´e de n titres, nous avons : RP F,j =

n X

xi ∗ Ri,j

(5.2)

i=1

O` u: – RP F,j est le rendement du portefeuille `a la date j – xi est le poids du titre i dans le portefeuille PF – Ri,j : rendement du titre i a` la date j. 3- Fonction objectif : Partant d’une situation initiale qui est la derni`ere ´evaluation du portefeuille actions de la CMR, la probl´ematique pos´ee est le suivante : Quel sera le poids `a attribuer `a chaque titre et ´eventuellement quels seront les nouveaux titres `a introduire dans notre portefeuille afin de maximiser son rendement tout en fixant un niveau risque `a respecter ? La fonction objectif de notre probl`eme d’optimisation est donc formul´ee a` partir du rendement anticip´e du portefeuille action dont l’ensemble des poids de chaque titre repr´esentera les variables de d´ecisions de notre probl`eme. Sa formulation math´ematique est comme suit : M aximiser xt R x

(5.3)

O` u: – x est le vecteur de poids des titres du portefeuille – R est vecteur des rendements anticip´es de chaque titre. Le vecteur de rendement anticip´e du portefeuille sera calcul´e a` partir du Mod`ele d’´evaluation des actifs financiers (MEDAF), dont la m´ethode et les hypoth`eses seront expos´ees dans la partie suivante.

Chabbar et Lallouch

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

5.1.2

Mod` ele d’Evaluation Des Actifs Financiers (MEDAF)

Avant d’investir dans un actif financier risqu´e, il faudrait que son rendement esp´er´e soit sup´erieur a` celui d’un actif sans risque pour pouvoir justifier le risque entrepris. Cette diff´erence de rendement est ce que nous appellons la prime de risque et est d´efinie comme le suppl´ement de rendement exig´e par l’investisseur afin d’investir dans l’actif risqu´e . Cette prime de risque ne tient compte que du risque syst´ematique qui est impossible a` ´eliminer par la diversification puisque ce dernier affecte l’ensemble des actifs. Ainsi le rendement, attendu par le march´e pour un certain actif devrait tenir compte de cette prime de risque et donc du risque syst´ematique. Le mod`ele d’´evaluation des actifs financiers (MEDAF) remplit cette exigence et fournit une estimation du rendement attendu par le march´e pour un actif financier en fonction de son risque syst´ematique.[3] Ce mod`ele repose sur 4 hypoth`eses [13] : 1. Les investisseurs peuvent acheter ou vendre n’importe quel actif financier a` son prix de march´e, sans coˆ uts de transaction ni impˆots. Ils peuvent, de plus, prˆeter ou emprunter aux taux d’int´erˆet sans risque. 2. Tous les investisseurs d´etiennent un portefeuille efficient, c’est a` dire un portefeuille offrant la rentabilit´e esp´er´ee la plus ´elev´ee pour une volatilit´e donn´ee. 3. Les investisseurs forment des anticipations homog`enes sur les rentabilit´es esp´er´ees, les volatilit´es et les corr´elations de tous les actifs financiers. Cette hypoth`ese peut s’expliquer par le fait que les anticipations des rentabilit´es se basent sur les informations publiques disponibles et par cons´equent les anticipations form´ees ont le mˆeme fondement. Ceci permet de justifier que les investisseurs feront les mˆemes pr´evisions et donc que leurs anticipations seront homog`enes. 4. La matrice de variance-covariance des rentabilit´es des titres est stable dans le temps. Avant d’appliquer le MEDAF, il va nous falloir dans un premier temps ´evaluer le risque syst´ematique d’une action. Ceci revient `a d´eterminer le pourcentage de l’impact du risque syst´ematique dans la variation de ses rendements. Pour ce faire il s’agira d’observer la sensibilit´e du rendement de cette action par rapport `a une variation de 1% du rendement d’un portefeuille exclusivement expos´e au risque syst´ematique. Ce portefeuille ainsi d´efini est appel´e portefeuille efficient et que l’hypoth`ese 3 du MEDAF apparente au portefeuille march´e.[17] Etant donn´e que les anticipations des investisseurs sont homog`enes, ils identifieront tous, le mˆeme portefeuille efficient qui va constituer, en plus de l’actif sans risque, leur portefeuille global dont les pond´erations diff`erent suivant l’aversion au risque de chaque investisseur. Par cons´equent, le portefeuille efficient devrait regrouper tous les actifs risqu´es se trouvant sur le march´e. Chaque titre, bien qu’il soit risqu´e, est d´etenu par un investisseur et fait, par cons´equent, partie de son portefeuille. Ce portefeuille n’est autre que le Chabbar et Lallouch

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portefeuille efficient qui est identique pour les diff´erents investisseurs. Ainsi sous cette hypoth`ese, la mesure du risque syst´ematique d’un actif consiste a` calculer son bˆeta. La formule du MEDAF se pr´esente alors comme suit [6] :

Rendement anticip´e du titre i = Taux sans risque + Prime de risque du titre i

Ri = rf + βi ∗ (E(Rm ) − rf )

(5.4)

O` u: – E[Rm ]–rf est la prime de risque march´e.

5.2

Mod´ elisation des contraintes

L’objectif de ce chapitre consiste `a maximiser le rendement du portefeuille. Toutefois, plusieurs contraintes rentrent en jeu et doivent ˆetre tenues en compte. Dans cette partie, nous d´etaillons ces contraintes et explicitons leurs mod´elisations math´ematiques, que nous int´egrerons par la suite au niveau de notre programme d’optimisation.

5.2.1

Contraintes de gestion

Le but de l’optimisation est de d´efinir l’ensemble des poids de chaque titre qui va maximiser la fonction objectif tout en respectant le niveau de risque d´esir´e pour le portefeuille. Cependant ces poids devront eux aussi respecter les seuils auxquels doit se soumettre la CMR et qui sont d´efinis par rapport aux poids de son benchmark. De ce fait, pour chaque titre i dont les poids sont xi et bi dans le portefeuille de la CMR et celui du benchmark respectivement : – Si bi ≤ 10% alors xi ne doit pas d´epasser 10% – Si 10% > bi ≤ 15% alors xi ne doit pas d´epasser 15% – Si 15% > bi ≤ 20% alors xi ne doit pas d´epasser 20%.

5.2.2

Contraintes de risque

Les contraintes de risque du probl`eme regroupent deux types de risque : – Risque march´e : Repr´esent´e par la volatilit´e du portefeuille, la Tracking Error, le bˆeta, la VaR et la CvaR. – Risque liquidit´e : Repr´esent´e par le ratio de liquidit´e qui sera explicit´e un peu plus loin.

Chabbar et Lallouch

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

Risque march´ e 1- La Volatilit´ e: La volatilit´e d’un portefeuille se calcule a` travers les volatilit´es des titres qui le composent mais aussi en tenant compte des d´ependances qui existent entre les ´evolutions de ses diff´erents titres. Cette d´ependance est repr´esent´ee par la notion de covariance entre chaque couple de titre du portefeuille, elle permet de quantifier leurs ´ecarts conjoints par rapport a` leurs esp´erances respectives. La covariance entre un titre i et j sur une p´eriode T s’exprime par la relation suivante : T

1 X (Ri,t − Ri )(Rj,t − Rj ) cov(i, j) = σij = T − 1 t=1

(5.5)

O` u: – Ri,t et Rj,t sont les rendements des titres i et j respectivement a` la date t – Ri et Rj sont les rendements moyens de chaque titre sur la p´eriode T . La covariance est une extension de la variance σ 2 vue pr´ec´edemment, pour i = j nous retrouvons la variance du titre i. Ainsi, la volatilit´e du portefeuille de n titres est la somme des covariances des titres le composant pond´er´ee par leurs poids : σP F =

n X n X

xi xj σij

(5.6)

i=1 j=1

O` u: – xi est le poids du titre i. L’´equation (5.6) peut s’´ecrire sous la forme matricielle suivante o` u la matrice de variance/covariance est sym´etrique d´efinie positive et nous permet de caract´eriser la distribution du portefeuille :   x1   ..  σ11 · · · σ1n  .  
 .   . . .. ..   xi  x1 . . . xi . . . xn  .. (5.7)  = xt V x  .  σn1 · · · σnn  ..  xn 2- La Tracking Error : La Tracking Error exprime la volatilit´e de la diff´erence de rendement entre un fonds et son benchmark.[15] De ce fait la Tracking Error d’un portefeuille dont les poids du benchmark sont
b 1 . . . bi . . . bn Chabbar et Lallouch

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

est : T E = (x − b)t V (x − b)

(5.8)

3- Le Bˆ eta : Pour un portefeuille, le bˆeta peut ˆetre d´efini comme suit : Cov(RP F , Rindice ) V ar(Rindice ) P Cov( ni=1 xi ∗ Ri , Rindice ) = V ar(Rindice ) n X Cov(Ri , Rindice ) = xi ∗ (bilin´earit´e de la covariance) V ar(Rindice ) i=1

βP F =

=

n X

(5.9)

xi ∗ βi

i=1

4- La VaR et la CVaR : La VaR mesure la perte potentielle maximale, sur un actif ou sur un portefeuille d’actifs, susceptible d’ˆetre enregistr´ee avec une probabilit´e donn´ee sur un horizon de temps fix´e.[12] La CVaR, quant `a elle, mesure l’esp´erance de perte exc´edant la VaR. Soit un portefeuille de n actifs x = portefeuilles disponibles.

x 1 . . . xi . . . xn




∈ X avec X ⊂ Rn ensemble des

La perte x associ´ee au portefeuille est repr´esent´ee par la fonction suivante : f : X × Rn → R (x, y) 7−→ f (x, y) o` u y est le vecteur qui correspond au risque rattach´e a` x. Dans notre cas, il s’agira des diff´erents rendements futurs de chaque titre composant le portefeuille, ce qui lui conf`ere son caract`ere incertain et al´eatoire et par la mˆeme occasion celui de la perte f (x, y). L’exp´erience al´eatoire ´etudi´ee est donc les diff´erents rendements que peut r´ealiser le portefeuille et qui d´efinissent aussi les diff´erentes pertes que peut encourir le portefeuille. Soit l’espace probabilis´e (Ω, B, P ) o` u Ω est l’univers li´e a` l’exp´erience ´etudi´ee muni de sa tribu B. Nous supposons que la loi de probabilit´e de y a une densit´e de probabilit´e not´ee fY (y) = p(y). Soit l’´ev´enement A de B tel que A = {y/f (x, y) ≤ α}, c’est-`a-dire les rendements qui vont conduire `a une perte inf´erieure `a α. La fonction de r´epartition de la variable al´eatoire associ´ee a` la perte du portefeuille x est d´efinie comme suit : Fperte (α) = P (perte ≤ α) = P (Y ∈ A) Chabbar et Lallouch

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Autrement dit, la probabilit´e que la perte du portefeuille x ne d´epasse pas le seuil α et que nous allons noter ψ(x, α), exprime aussi la probabilit´e que le rendement du portefeuille engendre une perte inf´erieure a` α. Nous avons : ψ(x, α) = P (Y ∈ A) =

R

1A (y)fy dy =

R

R f (x,y)≤α

p(y)dy

Z ψ(x, α) =

p(y)dy

(5.10)

f (x,y)≤α

ψ en tant que fonction de α, est une fonction croissante et nous supposons qu’elle est continue c’est-`a-dire qu’il n’y a pas de saut de α. La VaR et CVaR du portefeuille x pour un niveau de confiance β seront not´ees respectivement αβ (x) et φβ (x) et sont donn´ees par les formules suivantes : VaR : αβ (x) = min {α ∈ R : ψ(x, α) ≥ β}

(5.11)

Cet ensemble regroupe les pertes dont la probabilit´e de les d´epasser dans le portefeuille x est inf´erieure a` β. Etant donn´e que ψ est croissante, le minimum de cet ensemble est atteint lorsque la valeur de ψ est minimale i.e. quand ψ(x, α) = β CVaR : Soit l’´ev´enement : C = {y/f (x, y) ≥ αβ (x)} La CVaR du portefeuille x de VaR αβ est d’apr`es la d´efinition donn´ee pr´ec´edemment (3.16) : φβ (x) = E(g(Y )/C) Avec g(y)=f(x,y) Nous avons : φβ (x) =

1 P (C)

R C

g(Y )dP =

1 P (C)

R C

g(y)fy dy

O` u P (C) = 1 − β est la probabilit´e que la perte d´epasse la VaR. Donc φβ (x) =

1 1−β

1 φβ (x) = 1−β

R C

f (x, y)p(y)dy

Z f (x, y)p(y)dy

(5.12)

f (x,y)≥αβ

Nous d´efinissons la fonction Fβ sur X × R par laquelle nous allons caract´eriser αβ et φβ (x) par : Z 1 Fβ (x, α) = α + [f (x, y) − α]+ p(y)dy (5.13) 1 − β y∈Rn Chabbar et Lallouch

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque O` u [t]+ = max {t, 0} . Les deux th´eor`emes suivants, d´emontr´es par Rockafellar et Uryasev [18], sont essentiels dans la mod´elisation math´ematique de la VaR et CVaR. Th´ eor` eme 1. Pour un x fix´e, la fonction Fβ est convexe et de classe C 1 . Pour tout portefeuille x, la CVaR de niveau de confiance β est donn´ee par : ∀x ∈ X φbeta (x) = minFβ (x, α) α∈R

(5.14)

L’ensemble des valeurs de α pour lesquelles le minimum est atteint, est not´e : Aβ (x) = minFβ (x, α) α∈R

(5.15)

Cet ensemble est un intervalle non vide, ferm´e born´e -qui peut ˆetre en particulier r´eduit en un point-. La VaR au seuil β est donn´e par : αβ (x) = l’extr´emit´e gauche deAβ (x)

(5.16)

αβ ∈ argmin Fβ (x, α) et φβ (x) = Fβ (x, αβ (x))

(5.17)

De mˆeme :

α∈R

Th´ eor` eme 2. Minimiser la CVaR d’un quelconque portefeuille x revient `a minimiser Fβ (x, α) ∀(x, α) ∈ X × R, tel que : minφβ (x) = x∈X

min Fβ (x, α)

(5.18)

(x,α)∈X×R

O` u le couple (x∗ , α∗ ) minimise Fβ si et seulement si x∗ minimise φβ et α∗ ∈ Aβ (x∗ ). En particulier, si nous nous trouvons dans le cas o` u Aβ (x∗ ) est r´eduit en un point, alors la minimisation de Fβ (x, α) nous donne un couple (x∗ , α∗ ) qui n’est pas forc´ement unique, tel que x∗ minimise la CVaR de niveau de confiance β et α∗ nous donne la VaR correspondante. Approximation de Fβ : Dans cette partie nous allons approcher l’int´egrale se trouvant dans l’expression de (5.13) Fβ . Nous posons h(y) = [f (x, y) − α]+ alors Fβ (x, α) = α +

1 1−β

R y∈Rn

h(y)p(y)dy

Nous avons H= Chabbar et Lallouch

R y∈Rn

h(y)p(y)dy = E(h(Y )) 53

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

Soit

y1 . . . yi . . . yq




un ´echantillon de la loi Y distribu´ee selon la densit´e p(y).

L’estimateur dit de Monte-Carlo de H= E(h(Y)) est : P P h˜q = 1q qj=1 h(yj ) = 1q qj=1 [f (x, yj ) − α]+ Par cons´equent, une approximation de Fβ (x, α) est : q

X 1 F˜β (x, α) = α + [f (x, yj ) − α]+ q(1 − β) j=1

(5.19)

Lin´ earisation : Afin de lin´eariser la formulation de F˜β (x, α) nous allons utiliser des variables artificielles zj ∀j = 1, ..., q tel que : F˜β (x, α) sera remplac´ee par : α+

1 q(1−β)

Pq

j=1 zj

avec les contraintes lin´eaires :

zj ≥ f (x, yj ) − α,

zj ≥ 0,

j=1,...,q,

α∈R

Application ` a notre probl` eme d’optimisation : Soit x le vecteur de d´ecision comportant l’ensemble des poids de chaque titre, y le vecteur des rendements anticip´es g´en´er´es par le MEDAF, x0 vecteur des poids initiaux du portefeuille actions de la CMR, y0 le vecteur de rendement des titres lors de la derni`ere ´evaluation et CV aR0 (en pourcentage) la valeur absolue CVaR maximale |CV aRmax | d’un niveau de confiance β. Remarque : – Nous avons |V aR| ≤ |CV aR|. Il suffit donc d’introduire la contrainte sur la CVaR pour pouvoir restreindre la valeur de la VaR. La fonction de perte est donn´ee suivant l’expression : f (x, y) = xt0 y0 − xt y La formulation de la CVaR est donc :  z ≥ xt0 y0 − xt yj − α, zj ≥ 0, j = 1..q   j q X 1  zj ≤ CV aR0 α+  q(1 − β) j=1

Chabbar et Lallouch

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(5.20)

(5.21)

- M.I.S -

Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

Risque liquidit´ e La liquidit´e des titres du portefeuille actions de la CMR est ´evalu´ee a` travers le ratio de liquidit´e suivant : Pour un titre i : Quantit´e moyenne ´echang´ee du titre i (5.22) Capital flottant du titre i O` u le capital flottant repr´esente la quantit´e totale du titre i susceptible d’ˆetre ´echang´ee en bourse. Li =

Ce ratio de liquidit´e (5.22) nous permet d’avoir une id´ee sur le pourcentage ´echang´e de chaque titre dans le march´e. Plus Li est ´elev´e plus le nombre de transactions auxquelles a particip´e le titre i est grand. Cela nous permet d’´evaluer d’une certaine mani`ere la liquidit´e de ce titre. Le titre est d’autant plus liquide que le ratio est grand. Pour le portefeuille : Le ratio de liquidit´e du portefeuille est la somme des ratios de liquidit´e des titres le composant pond´er´ee par leurs poids respectifs : LP F =

n X

L i xi

(5.23)

i=1

5.3

Formulation du probl` eme d’optimisation

Le probl`eme est formul´e comme suit :  xt R   M aximiser x        sous les contraintes :         xt V x ≤ volmax : Volatilit´e          (x − b)t V (x − b) ≤ T Emax : Tracking Error       Pn eta i=1 xi βi = β0 : Bˆ      zj ≥ xt0 y0 − xt yj − α, zj ≥ 0, j = 1..q : CVaR  P  q 1   α + q(1−β)  j=1 zj ≤ CV aR0        xt L ≥ liq0 : Liquidit´e       Pn   erations  i=1 xi = 1 : Somme des pond´       0 ≤ x ≤ ν : Contrainte de gestion

(5.24)

O` u: Chabbar et Lallouch

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– R le vecteur des rendements anticip´es – V la matrice de covariance des titres – b le vecteur des poids du benchmark – CV aR0 le seuil maximal de la CVaR – volmax le seuil maximal de la volatilit´e – T Emax le seuil maximal de la Tracking Error – β0 Bˆeta fix´e par la CMR – liq0 le seuil minimal du ratio de liquidit´e – ν le vecteur de contrainte de gestion La r´esolution du probl`eme nous fournit le vecteur de d´ecision x repr´esentant les poids des diff´erents actifs ainsi que la VaR du portefeuille correspondant, not´ee α.

Chabbar et Lallouch

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

5.4

Application sous MATLAB

Apr`es avoir formul´e notre probl`eme d’optimisation au complet, nous allons maintenant l’impl´ementer sous MATLAB. Le choix de ce langage de programmation est essentiellement dˆ u a` sa rapidit´e, sa capacit´e `a g´erer un grand nombre de donn´ees ainsi que son efficacit´e face aux calculs matriciels. A l’ouverture de l’applicatif, une premi`ere interface Menu s’affiche :

Figure 5.1 – Interface Menu sur Matlab En cliquant sur le bouton correspondant `a l’importation des donn´ees (Figure 5.1), nous pourrons importer le fichier n´ecessaire pour que le programme fonctionne. Le fichier des donn´ees, est un fichier Excel qui comporte plusieurs feuilles, a` savoir : – ’Portefeuille initial’ contient le libell´e des actions disponibles dans le portefeuille de la CMR ainsi que son poids. Pour notre simulation, nous utiliserons un portefeuille fictif compos´e de 14 actions. – ’Poids MASI’ contient les diff´erents titres existants au niveau du portefeuille MASI avec leurs poids et les poids sectoriels. – ’Secteur’ regroupe toutes les actions qui existent dans le march´e ainsi que le secteur correspondant `a chacune. – ’Cours’ correspond `a l’historique des cours de chaque action. – ’Quantit´es’ correspond `a l’historique des quantit´es ´echang´ees de chaque action. – ’Indices’ correspond aux valeurs liquidatives du MASI Rentabilit´e Brut.

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

– ’Pond´eration’ comporte pour chaque date, les actions disponibles avec leurs codes, leurs nombres de titres, leurs cours, leurs facteurs flottant. Une fois ce dernier fichier import´e, deux tableaux apparaissent :

Figure 5.2 – R´esultats d’importation des donn´ees Le premier tableau, a` gauche, correspond a` une r´epartition sectorielle (Tableau 5.1). En effet, nous retrouvons tous les secteurs existants (qui sont au nombre de 22) avec pour chaque secteur la somme des poids des titres qui y figurent, que ¸ca soit pour le portefeuille de la CMR que pour celui du benchmark. En plus de l’affichage de l’´ecart entre les deux poids (Poids de la CMR – Poids du benchmark).

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque Secteur Poids CMR AGRO 4.6800 ASSUR 0 BMC 19.6000 BANK 16.1657 BOISS 0 CHIM 0 DISTR 5.5000 EEE 0 ELC 0 IBEI 0 IMMOB 23.0749 LH 0 LSI 9.1800 MINES 2.2700 PG 3.8100 PHARM 0 SP 14.3300 SAC 0 SFAF 0 SPH 0 TCOM 0 TRANS 1.3894

Poids BENCHMARK Ecart 4.1322 0.5478 4.4318 -4.4318 13.8971 5.7029 37.6715 -21.5058 1.5033 -1.5033 0.3480 -0.3480 2.2598 3.2402 0.0713 -0.0713 1.0083 -1.0083 0.0653 -0.0653 7.4507 15.6242 0.2162 -0.2162 0.4241 8.7559 2.4416 -0.1716 1.9380 1.8720 0.4695 -0.4695 0.0036 14.3264 0.4285 -0.4285 1.2122 -1.2122 0.4179 -0.4179 19.4533 -19.4533 0.1231 1.2663

Table 5.1 – Donn´ees initiales - R´epartition par secteur Le deuxi`eme tableau, `a droite, contient le d´etail de ses secteurs (Tableau 5.2), et donc affiche les r´esultats titre par titre (au nombre de 74). Pour chaque titre, nous retrouvons son code, son libell´e, son secteur, ainsi que son poids au niveau de la CMR et celui au niveau du benchmark.

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque Code MA0000011868 MA0000012049 MA0000012247 MA0000011421 MA0000012031 MA0000012023 MA0000010944 MA0000011710 MA0000012007 MA0000010928 MA0000012114 MA0000010936 MA0000010506 MA0000011934 MA0000010332 MA0000012080 MA0000012122 MA0000010019 MA0000011926 MA0000011884 MA0000011835 MA0000010811 MA0000010381 MA0000011454 MA0000010365 MA0000010415 MA0000010985 MA0000011728 MA0000010969 MA0000011009 MA0000011942 MA0000011587 MA0000011801 MA0000011595 MA0000011843 MA0000011140 MA0000012205 MA0000011777 MA0000012056 MA0000011819 MA0000011991 MA0000011694 MA0000011512 MA0000012239 MA0000011462 MA0000011637 MA0000011611 MA0000011132 MA0000011579 MA0000011678 MA0000012163 MA0000012106 MA0000011058 MA0000011793 MA0000010993 MA0000010068 MA0000010951 MA0000010803 MA0000011660 MA0000011645 MA0000011447 MA0000011439 MA0000010464 MA0000010639 MA0000010357 MA0000011215 MA0000010035 MA0000011744 MA0000012064 MA0000011850 MA0000010571

Libell´ e Titre CARTIER SAADA CENTRALE LAITIERE COSUMAR DARI COUSPATE LESIEUR CRISTAL UNIMER AGMA LAHLOU-TAZI ATLANTA SAHAM ASSURANCE WAFA ASSURANCE AFRIC INDUSTRIES SA ALUMINIUM DU MAROC CIMENTS DU MAROC COLORADO HOLCIM ( Maroc ) JET CONTRACTORS LAFARGE CIMENTS SONASID ATTIJARIWAFA BANK BCP BMCE BANK BMCI CDM CIH BRASSERIES DU MAROC OULMES MAGHREB OXYGENE SNEP AUTO HALL AUTO NEJMA ENNAKL FENIE BROSSETTE LABEL VIE REALIS. MECANIQUES STOKVIS NORD AFRIQUE NEXANS MAROC TAQA MOROCCO DELATTRE LEVIVIER MAROC STROC INDUSTRIE ALLIANCES BALIMA CGI DOUJA PROM ADDOHA RES DAR SAADA RISMA DISWAY HPS IB MAROC.COM INVOLYS M2M Group MICRODATA S.M MONETIQUE MANAGEM MINIERE TOUISSIT REBAB COMPANY SMI AFRIQUIA GAZ SAMIR PROMOPHARM S.A. SOTHEMA MED PAPER LYDEC AXA CREDIT DIAC SALAF EQDOM MAGHREBAIL MAROC LEASING SALAFIN TASLIF DELTA HOLDING ZELLIDJA S.A

Secteur AGRO AGRO AGRO AGRO AGRO AGRO ASSUR ASSUR ASSUR ASSUR BMC BMC BMC BMC BMC BMC BMC BMC BANK BANK BANK BANK BANK BANK BOISS BOISS CHIM CHIM DISTR DISTR DISTR DISTR DISTR DISTR DISTR EEE ELC IBEI IBEI IMMOB IMMOB IMMOB IMMOB IMMOB LH LSI LSI LSI LSI LSI LSI LSI MINES MINES MINES MINES PG PG PHARM PHARM SP SAC SFAF SFAF SFAF SFAF SFAF SFAF SFAF SPH SPH

Poids CMR

4.6800

8.0200

11.5800 10.5400 5.6257

5.5000

15.3849 3.5600 4.1300

9.1800

2.2700

3.8100

14.3300

Poids BENCHMARK 0.0209 0.4750 2.2664 0.0814 0.8965 0.3919 0.1421 0.3410 1.0195 2.9292 0.0313 0.1450 2.7608 0.2031 3.7872 0.0894 6.3729 0.7105 18.8678 8.3041 6.7780 1.4818 0.7494 1.4903 1.2752 0.2282 0.0295 0.1154 1.1152 0.1294 0.1040 0.0605 0.8029 0.0131 0.0347 0.0713 1.0083 0.0344 0.0308 0.4707 0.0341 2.2911 3.4332 1.2216 0.2162 0.1632 0.1359 0.0158 0.0182 0.0284 0.0627 0.0235 1.0731 0.7504 0.0038 0.6143 1.4569 0.4811 0.0678 0.4017 0.0036 0.4285 0.0280 0.0107 0.4749 0.1371 0.0906 0.3289 0.1184 0.4060 0.0119

Table 5.2 – Donn´ees initiales - R´epartition par titre Pour la colonne des poids pour la CMR, ils correspondent aux poids des titres existants sur le portefeuille initial. Certaines cases sont vides, cela veut dire que les titres en questions ne figurent pas dans ce portefeuille. Par contre, comme le benchmark d´etient tous les titres du march´e, il est normal que la colonne des poids de ses titres soit remplie en entier.

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Par cons´equent, si l’utilisateur veut qu’un nouveau titre fasse partie de son nouveau portefeuille (celui dont l’allocation sera g´en´er´ee a` la fin grˆace au programme), il peut tout simplement ´ecrire a` la place correspondant a` son poids, le chiffre z´ero, comme pr´esent´e ci-apr`es.

Finalement, en cliquant sur le bouton vers une nouvelle interface.



Valider



(Figure 5.2), l’utilisateur est dirig´e

Figure 5.3 – Interface d’optimisation

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Nous rappelons, que le but de ce programme est d’utiliser les r´esultats de la premi`ere application de gestion des risques pour avoir une id´ee sur les seuils a` imposer a` chaque indicateur de risque. De ce fait, sur cette interface (Figure 5.3), une importation de donn´ees est n´ecessaire. En cliquant sur  Importer les donn´ees  (Figure 5.3), nous importerons le fichier Excel correspondant a` la premi`ere application.

Figure 5.4 – R´esultats d’importation des donn´ees Tous les champs correspondant aux indicateurs de risques ont ´et´e pris de l’application de gestion des risques, except´e celui de la liquidit´e. Ce dernier a ´et´e calcul´e grˆace a` la formule vue pr´ec´edemment et qui n´ecessitait les poids des titres de notre portefeuille initial. Comme notre but est d’optimiser notre portefeuille, il est question de g´en´erer les rendements futurs des titres `a partir de leurs rentabilit´es esp´er´ees. Apr`es tout, c’est le futur qui nous importe, non le pass´e ! En cliquant sur le bouton  Rentabilit´e esp´er´ee des titres  (Figure 5.3), une interface s’affiche :

Figure 5.5 – Interface pour les rentabilit´es esp´er´ees

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La dur´ee d’´evaluation reste un choix que l’utilisateur se doit de faire. Il peut choisir une dur´ee d’´evaluation d’une ann´ee, de trois ann´ees ou encore cinq ann´ees. En cliquant sur  OK  (Figure 5.5) le tableau se remplit ainsi que la valeur moyenne du taux sans risque et la valeur de la prime du risque.

Figure 5.6 – Donn´ees li´ees aux titres du portefeuille Le tableau contient les 14 titres figurant sur notre portefeuille initial, mais aussi les 3 autres que nous avons d´ecid´e de rajouter. Pour chaque titre, il y a son libell´e, le secteur auquel il appartient, sa volatilit´e, son bˆeta, son taux moyen, ainsi que son taux MEDAF. Le tout sur une p´eriode d’une ann´ee (comme mentionn´e sur l’interface). A noter que si jamais un titre n’a pas l’historique suffisant, sp´ecialement pour les titres r´ecemment ajout´es au march´e, un message d’avertissement apparait et le rendement de ce titre est remplac´e par la moyenne des rendements des titres se trouvant sur le mˆeme secteur que ce nouveau titre.

Nous rappellons aussi que le taux MEDAF utilise pour son calcul le taux sans risque ainsi que le rendement du march´e. Nous prendrons ici la moyenne de chacune de ces deux Chabbar et Lallouch

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valeurs. Apr`es avoir valid´e cette partie, nous pouvons maintenant passer a` l’´etape de saisie des contraintes. Comme d´ej`a mentionn´e auparavant, notre but est d’optimiser le portefeuille sous des contraintes de risque. L’utilisateur se doit donc de cocher les contraintes qu’il veut int´egrer au niveau de cette optimisation et indiquer le seuil qu’il veut leur attribuer. Le nombre de contraintes peut aller de 1 jusqu’`a 5, cela reste un choix personnel. (Figure 5.7)

Figure 5.7 – S´election des contraintes Si nous choisissons par exemple deux contraintes (Bˆeta et CVaR), nous devons leur imposer un seuil a` ne pas d´epasser. Par exemple, nous prenons la contrainte de la CVaR avec une contrainte de perte maximale de 1% et la contrainte du bˆeta ´egale `a 1, c’esta`-dire que les titres du portefeuille de la CMR doivent suivre les mˆemes fluctuations du march´e.

En cliquant sur  Valider  (Figure 5.3), nous obtenons les r´esultats suivants, qui s’affichent sur un nouveau fichier Excel qui se g´en`ere automatiquement.(Figure 5.8)

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Figure 5.8 – R´esultats de l’optimisation sur Excel Le premier tableau a` gauche contient les titres disponibles sur le portefeuille apr`es optimisation. Ceux avec le fond gris correspondent aux nouveaux titres qui n’existaient pas au niveau de notre portefeuille initial et que nous avons ins´er´es au d´ebut du programme. Pour chaque titre il y a son rendement anticip´e (en rouge s’il est n´egatif), sa volatilit´e, son poids initial, son poids final, son poids au niveau benchmark, l’´ecart entre le poids initial du titre pour la CMR et son poids pour benchmark et finalement l’´ecart entre le poids final du titre pour la CMR et son poids pour le benchmark. (Les ´ecarts sont inscrits en bleu s’ils sont n´egatifs).

Table 5.3 – Donn´ees finales - R´epartition par titre

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En haut a` droite de la feuille Excel (Figure 5.8), nous retrouvons la performance initiale du portefeuille qui ´etait n´egative, d’une valeur -0.766%. Apr`es optimisation, nous l’avons am´elior´ee, elle est maintenant de 0.047%. En plus du calcul des diff´erents indicateurs de risques pris en charge (volatilit´e, bˆeta, Tracking Error, liquidit´e, VaR et CVaR). Nous remarquons ainsi que nos contraintes sont bel et bien respect´ees. En effet, nous obtenons un bˆeta de 1 et une CVaR inf´erieure a` -1%

Table 5.4 – Donn´ees finales - Indicateurs de risques Sur cette mˆeme page (Figure 5.8), en bas a` droite, nous retrouvons le tableau qui contient les r´esultats de l’optimisation, cette fois-ci par r´epartition sectorielle.

Table 5.5 – Donn´ees finales - R´epartition par secteur

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5.5

Optimisation - R´ esultats et analyse

Dans la partie pr´ec´edente, nous avons utilis´e l’algorithme exact Find minimum of constrained nonlinear multivariable function(fmincon) impl´ement´e par d´efaut sur Matlab et qui permet de r´esoudre un probl`eme d’optimisation donn´e `a plusieurs variables et dont les contraintes sont non lin´eaires ce qui correspond a` notre probl`eme. La r´esolution s’est faite a` l’aide de l’algorithme de points int´erieurs dont dispose fmincon. Toutefois, pour tester la robustesse et l’efficacit´e de cet algorithme, nous avons utilis´e les m´etaheuristiques, notamment Particle Swarm Optimisation (PSO), Quantum Particle Swarm (QPS), Modified Quantum Particle Swarm (MQP), Firefly Algorithm (FA), Cuckoo Search (CKO), Bat-Inspired Metaheuristic Algorithm (BAT) et Particle Swarm With Random Differences (RD). [10][22][21] Ces algorithmes peuvent ˆetre pertinents et int´eressants, dans la mesure o` u il peuvent trouver une solution quand la m´ethode exacte n’en trouve pas. Nous avons donc impos´e `a chaque algorithme les contraintes suivantes :

Le tableau qui suit regroupe les r´esultats d´ecoulant de l’utilisation de chaque algorithme. En effet, pour chaque algorithme nous avons calcul´e le temps d’ex´ecution et les r´esultats li´es `a notre portefeuille, a` savoir la performance du portefeuille, sa volatilit´e, son bˆeta et sa tracking-error, et ce dans le but d’analyser la robustesse, la rapidit´e et la coh´erence des r´esultats obtenus par chacun. Temps Performance Somme Volatilit´e Bˆeta Tracking d’ex´ecution (s) des poids Error Fmincon 0.139886 0.047 1 0.032 1.000 0.098 PSO 119.80744 2.332 1.3 0.151 0.517 0.033 Cuckoo Search 369.528565 4.627 1.3 1.261 -0.266 0.74 Bat 94.397229 2.737 1.7 0.234 0.787 0.061 Firefly 131.38934 8.954 2.4 3.092 -0.45 2.16 MQP 125.836084 2.324 1.3 0.148 0.528 0.031 QPSO 118.212846 2.332 1.29 0.149 0.512 0.031 RD 100.869429 2.332 1.3 0.151 0.516 0.033 Table 5.6 – Comparaison entre les algorithmes d’optimisation

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Les algorithmes m´etaheuristiques malgr´e le nombre d’it´erations ´elev´e sur lequel ils ont ´et´e programm´es (5000), ils ont d´emontr´e leur incapacit´e a` optimiser une fonction sous plusieurs contraintes d’´egalit´e et/ou d’in´egalit´e. En effet, utiliser ces algorithmes pour des probl`emes d’optimisation sous une ou deux contraintes, peut afficher un tr`es bon r´esultat, mais une fois il s’agit d’introduire plusieurs contraintes (sup´erieures `a 3), ces algorithmes ne sont pas aussi efficaces si nous ne choisissons pas avec avec pertinence leurs param`etres. Les m´etaheuristiques, bien qu’ils arrivent `a maximiser le rendement de notre portefeuille et afficher une performance int´eressante, ils ne sont pas en mesure de satisfaire toutes les contraintes en mˆeme temps, ce qui peut donc biaiser les r´esultats et ne nous permet pas d’atteindre notre objectif d’optimisation sous des contraintes de risque. Toutefois, pour l’am´elioration de ces lacunes, il est n´ecessaire de faire une ´etude approfondie sur les bons param`etres `a prendre en compte lors de l’impl´ementation de ces algorithmes. Par cons´equent, en fonction des ´el´ements disponibles et a` d´efaut de trouver les meilleurs param`etres, nous pouvons conclure que la m´ethode exacte reste l’algorithme le mieux adapt´e `a notre probl`eme d’optimisation. Les r´esultats sont `a la hauteur de nos attentes et v´erifient parfaitement les seuils que nous leurs avions impos´es.

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Conclusion et perspectives Au terme de ce projet, nous avons pu toucher diff´erents aspects de la gestion de portefeuille et la gestion des risques financiers. Dans un premier lieu, nous nous sommes int´eress´es principalement au risque march´e. En effet, nous avons pu r´epondre aux besoins de l’organisme d’accueil en leur fournissant un outil efficace, programm´e sur VBA, leur permettant de quantifier le risque march´e grˆace a` une impl´ementation des indicateurs de risque, des plus classiques (volatilit´e, Tracking Error, risque `a la baisse) aux plus r´ecemment d´evelopp´es (bˆeta, VaR, CVaR). Cet outil, dot´e d’un reporting, permettra aux gestionnaires de la Caisse Marocaine des Retraites de visualiser l’´evolution de ces indicateurs en comparaison avec leur indice de r´ef´erence. L’outil est applicable pour diff´erents types de portefeuille. Toutefois, le portefeuille  actions  reste le plus int´ eressant en termes d’exposition au risque. C’est dans ce sens que nous avons d´ecid´e de suivre une approche d’optimisation, dans le but justement de maximiser la performance du portefeuille tout en fixant des contraintes de risques a` respecter. Ensuite, nous avons formul´e et impl´ement´e le probl`eme d’optimisation sous MATLAB, en travaillant sur un portefeuille  Actions d´etaill´e, c’est-`a-dire, titre par titre, en incluant cette fois ci, en plus du risque march´e, le risque de liquidit´e. En effet, ce dernier s’av`ere tr`es important aussi, dans la mesure o` u tout gestionnaire cherche a` avoir des titres liquides pour pouvoir b´en´eficier d’une plus-value en cas de vente et non pas se trouver face `a une situation de perte. Notre programme d’optimisation nous a permis de respecter toutes les contraintes de risques impos´ees par le gestionnaire en g´en´erant une performance bien meilleure que celle du pass´e. Ainsi, `a travers une allocation d’actifs optimale, nous avons pu proposer aux gestionnaires un retour sur investissement tout en respectant le budget de risque. Toutefois, sous contraintes de temps, nous n’avons pas pu toucher au risque cr´edit, dont l’impl´ementation aurait pu apporter une valeur ajout´ee au probl`eme d’optimisation, et raffiner l’allocation d’actifs.

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Quant au portefeuille obligataire et au portefeuille global, bien qu’ils soient moins risqu´es que l’action, leur optimisation peut ˆetre int´eressante et d’autres indicateurs de risques peuvent s’y rajouter. Apr`es tout, la gestion de risques et la gestion de portefeuille ne cessent d’´evoluer et d’acqu´erir de l’importance. Ce travail n’est qu’un volet parmi d’autres, il peut donc ˆetre exploit´e afin de toucher d’autres aspects de ces deux gestions.

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque

[20] Gr´egory Taillard. Gestion d’actifs et des risques- value at risk, Mars 2006. GFN 206. [21] X.-S. Yang. Engineering Optimisation by Cuckoo Search. Int. J. Mathematical Modelling and Numerical Optimisation, 1(4), pp. 330-343, 2010. [22] X.-S. Yang. A New Metaheuristic Bat-Inspired Algorithm. Nature Inspired Cooperative Strategies for Optimization(NISCO 2010), 284, 65-74, 2010.

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Annexes Particle Swarm Optimisation (PSO) ou encore Optimisation par essaim de particules (OEP) est un algorithme populaire en raison de sa simplicit´e et sa rapidit´e. PSO a pour but de rechercher l’optimum global d’une fonction objectif. L’analogie se fait par rapport `a un essaim (population) d’oiseaux par exemple qui sont a` la recherche de nourriture (optimum global). Chaque oiseau, en explorant l’espace de recherche, trouve un optimum personnel (personal best) et connait ´egalement l’optimum global (global best) de l’essaim. Ainsi, il continue a` voler tout en garder ces informations. Ces 2 optimums vont intervenir sur la mani`ere dont la trajectoire de l’oiseau se modifi´e en changeant son vecteur vitesse. Le PSO est moins sensible aux probl`emes de l’optimum local. Il est bas´e sur le comportement social des diff´erentes esp´eces et utilise une ´equation de mise `a jour pour g´en´erer de nouvelles solutions.

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Optimisation du portefeuille sous des contraintes de risque Algorithm 1 Particle Swarm Optimisation 1: 1-Initialisation Cr´ eer une population initiale de solutions. 2: 2- Evaluation et Stockage 3: Xbest,1 = X1 4: On ´ evalue la fonction objective not´ee F, pour cette solution X1 : 5: y = f (X1 ) 6: On ´ evalue la fonction objective pour les autres solutions Xi , donc on a : 7: for i = 2 : popsize do 8: if F (Xi ) < y then 9: Xbest,i = Xi 10: y = F (Xi ) 11: end if 12: end for 13: Xbest,G = Xbest,i 14: 3- Boucle principale 15: for g = 1 : M axgen do 16: for i = 1 : popsize do 17: Merre `a jour l’´equation de position des particules ~ g+1 = X ~ g + V~ g X i i i 18:

Mettre `a jour l’´equation de vitese ~ best,i − X ~ i ) + βR2 (X ~ best,G − X ~ i) V~ig = αV~ig−1 + βR1 (X

19: 20: 21: 22: 23: 24: 25: 26: 27:

(5.25)

(5.26)

On ´evalue la fonction objective if F (Xi ) < F (Xbest,i ) then Xbest,i = Xi end if end for if F (Xbest,i ) < F (Xbest,G ) then Xbest,G = Xbest,i end if end for

avec V~ est le vecteur vitesse, α et β (d’une valeur respective de 0.5 et 2) sont des scalaires pr´ed´efinis, g le nombre d’it´erations et R1 et R2 sont des nombres al´eatoires uni~ best,i correspond `a la meilleure valeur de la i`eme form´ement r´epartis ∈ (0, 1). Le vecteur X ~ best,G correspond `a la meilleure solution (´egalement solution (appel´e ici ”indivual best”), X connu comme ”global best”). Le premier terme a` droite de l’´equation 5.26 est le facteur d’inertie qui est un multiple scalaire de la vitesse a` partir des it´erations pr´ec´edentes.

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Quantum Particle Swarm (QPS) a ´et´e propos´e en 2004 et inspir´e par la m´ecanique quantique, et traite les solutions individuelles de PSO comme des particules quantiques. La diff´erence fondamentale entre cet algorithme et PSO est simplement l’´equation de mise a` jour. QPS n’utilise plus un terme d’inertie, mais plutˆot ce qu’on appelle un attracteur local. Algorithm 2 Quantum-Behaved Particle Swarm 1- Initialisation Cr´eer une population initiale de solution. 2: 2- Evaluation et Stockage Xbest,1 = X1 4: On ´ evalue la fonction objective not´ee F, pour cette solution X1 : y = f (X1 ) 6: On ´ evalue la fonction objective pour les autres solutions Xi , donc on a : for i = 2 : popsize do 8: if F (Xi ) < y then Xbest,i = Xi 10: y = F (Xi ) end if 12: end for Xbest,G = Xbest,i 14: 3- Boucle principale for g = 1 : M axgen do 16: for i = 1 : popsize do On d´efinit l’attracteur local ~ best,i + (1 − φ)X ~ best,G p~i = φX 18:

avec φ=

βR1 βR1 + γR2

Mettre `a jour l’´equation de position des particules ~g − X ~ g ln(1/R3 ) ~ g+1 = p~i ± C X i i 20: 22: 24: 26: 28:

(5.27)

(5.28)

On ´evalue la fonction objective if F (Xi ) < F (Xbest,i ) then Xbest,i = Xi end if end for if F (Xbest,i ) < F (Xbest,G ) then Xbest,G = Xbest,i end if end for

~ g est ce qu’on appelle ”mean best value” qui est simplement la moyenne avec C arithm´etique des meilleurs vecteurs individuels pour chaque g´en´eration. Les scalaires R1 , R2 et R3 sont des nombres al´eatoires ∈ (0, 1), et α est un param`etre d´efini par l’utilisateur qui diminue lin´eairement au cours de chaque g´en´eration de 1 `a 0,5. Chabbar et Lallouch

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Modified Quantum-Behaved Particle Swarm MQP consiste a` modifier al´eatoirement l’attracteur local p~i ~ best,i a. S´electionner un invidivual best vecteur j diff´erent de X ~ best,j ) < F (X ~ best,i ) b. If F (X ~ best,G dans l’´equation (5) par X ~ best,j Remplacer X En d’autres termes, cette m´ethode provoque l’´equation (5.28) pour ˆetre soit la combinaison lin´eaire du vecteur i de l’invidual best et le global best, ou la combinaison lin´eaire du vecteur i de l’indivual best et d’un autre choisi au hasard, sup´erieur a` l’indivual best. Le reste de l’algorithme est identique `a celui de QPS. Il est sugg´er´e que α soit mise en place de telle fa¸con a` diminuer lin´eairement au cours de chaque g´en´eration de 1 a` 0,4.

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Firefly Algorithm, propos´e par le Dr Yang en 2009, est un algorithme qui est bas´e sur le comportement d’accouplement des lucioles. Dans certaines circonstances, le Dr Yang souligne que FA est un cas particulier de PSO. Algorithm 3 Firefly Algorithm 1- Initialisation Cr´eer une population initiale. 2- Evaluation Evaluer la fonction objective pour chaque solution 3: 3- Boucle principale for g = 1 : M axgen do Calculer alpha 6: for i = 1 : popsize do for j = 1 : popsize do ~ i ) < F (X ~ j ) then if F (X ~ i et X ~j 9: 1. Calculer la distance Euclidi`enne r entre X 2. Calculer l’attractivit´e 2

β = (β0 − βmin )e−γr + βmin

(5.29)

3. G´en´erer un vecteur de perturbation al´eatoire dim X ~u = (α(R − 0.05) ∗ L)b ei

(5.30)

i=1

12:

4. Appliquer l’´equation : ~ g+1 = (1 − β)X ~ g + βX ~ g + ~u X i i j

(5.31)

end if end for 15: end for Evaluer la fonction objective de la nouvelle population end for La forme et la mise en oeuvre de (5.31) sont tr`es importantes. Lors de la mise en oeuvre, la luciole est compar´ee a` chaque luciole qui lui est sup´erieure et d´eplac´ee dans cette direction sans r´e-´evaluation de la fonction objective. Par cons´equent, une seule luciole peut avoir sa position a` jour `a plusieurs reprises avant d’atteindre sa destination finale et, comme la position pr´ec´edente est incluse dans chaque mise `a jour, cette ´equation combine parfaitement les ´etapes pr´ec´edentes.

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L’algorithme BAT ressemble a` DE (Differential Evolution) en terme de comparaisons afin de mettre `a jour chaque nouvelle g´en´eration de solutions de candidats. Il int`egre partiellement les perturbations de la meilleure solution dans sa formulation, et comme PS, il recherche l’espace de fonction bas´e sur un multiple de la diff´erence entre le global best et un indivual particuler . Cependant, chacune de ces ´etapes est effectu´ee s´epar´ement, et la comparaison de l’´evolution diff´erentielle (DE) est utilis´ee `a la fin pour d´eterminer quelles solutions candidates sont retenues et celles qui sont rejet´ees. Algorithm 4 Bat-Inspired Algorithm 1- Initialisation Cr´eer une population initiale. 2- Evaluation Evaluer la fonction objective pour chaque solution 3- Boucle principale 4: for g = 1 : M axgen do Calculer A 1 1 M axgen ) Ag = Ag−1 ( 9000 Copier l’originale population dans une population temporaire k for i = 1 : popsize do 8: 1. Calculer la fr´equence et la vitesse

(5.32)

f = fmin − (fmax − fmin ) ∗ R

(5.33)

Comme pour PS ~ g+1 = X ~ g + V~ g X i i i Pour chaque composante k du vecteur de vitesse 12: g g−1 g g Vi,k = Vi,k + (Xi,k − XbestG,k )∗f

16:

(5.34)

2. Mettre a` jour la population temporaire en utilisant la vitesse end for 3. if R1 > ρ then Remplacer le membre donn´e de la population temporaire avec une perturbation al´eatoire du global best individual g g Bi,k = XbestG,k + 0.01(a + (b − a)) ∗ R)

(5.35)

end if 20: 4. Evaluer la fonction objective pour la population temporaire 5. if Le membre de la population temporaire est meilleur que l’original then if R2 > A then 24: Remplacer l’original end if end if end for

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Cuckoo Search est quant `a lui bas´e sur les habitudes de nidification ´etranges de l’oiseau de coucou. Cet algorithme int´egre ´egalement des vols de L´evy (des marches al´eatoires)pour des fins d’optimisation. Algorithm 5 Cuckoo Search 1- Initialisation Cr´eer une population initiale. 2- Evaluation Calculer la fonction objective pour chaque solution 3- Boucle principale for g = 1 : M axgen do 5: Copier la population initiale dans une population temporaire k for i = 1 : popsize do Mettre `a jour les positions de la population temporaire en utilisant les vols de L´evy g+1 g Xi,k = Xi,k + (0.01

10:

σN1 1/β

|N2 |

g g (Xi,k − XbestG,k )) ∗ N3

(5.36)

Evaluer la fonction objective pour la population temporaire Modifier la population temporaire en utilisant la proc´edure du nid vide. if R1 > pa then ~ g+1 = X ~ g + R2 (X ~g −X ~ g) X i i j k

(5.37)

end if Evaluer la fonction objective pour la population temporaire 15: end for if Le membre de la population temporaire est meilleur que l’original then Remplacer l’original end if end for Dans l’´equation (5.36), N1 , N2 et N3 sont des nombres normalement distribu´e centr´e a` z´ero, β est un param`etre pr´ed´efini ( ici =1.5), k est le num´ero de la dimension, et σ ≈ 0.69657 Dans l’´equation (5.37), R1 et R2 sont des nombres al´eatoires uniform´ement r´epartis ∈ (0, 1), et pa est un param`etre pr´ed´efini ( ici =0.25). Les deux membres de la population d´esign´ees par j et k sont choisis au hasard dans la population.

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Particle Swarm With Random Differences (RD) est inspir´e par le concept des marches al´eatoires et l’attracteur locale modifi´ee du MQP, il ajoute `a la polyvalence de PSO sans changer radicalement la proc´edure de base. Traditionnellement, chaque solution en PSO est soustraite de son propre meilleur vecteur individuel. Cette m´ethode introduit une probabilit´e qu’une solution soit soustraite d’un indivual best autre que le sien. Algorithm 6 Particle Swarm with Random Differences 1-Initialisation Cr´eer une population initiale de solutions. 2- Evaluation et Stockage Xbest,1 = X1 On ´evalue la fonction objective not´ee F, pour cette solution X1 : y = f (X1 ) 6: On ´ evalue la fonction objective pour les autres solutions Xi , donc on a : for i = 2 : popsize do if F (Xi ) < y) then Xbest,i = Xi y = F (Xi ) end if 12: end for Xbest,G = Xbest,i 3- Boucle principale for g = 1 : M axgen do for i = 1 : popsize do if R < Rp then 18: M´elanger au hasard les best individual vecteurs de sorte que chaque solution soit soustraite de l’indivual best d’une autre solution j plutˆot que la sienne i end if Merre `a jour l’´equation de position des particules ~ g + V~ g ~ g+1 = X X i i i Mettre `a jour l’´equation de vitese ~ best,j − X ~ i ) + βR2 (X ~ best,G − X ~ i) V~ig = αV~ig−1 + βR1 (X

(5.38)

where i,j ∈ [1, popsize] and i 6= j Evaluer la fonction objective pour la nouvelle solution j 24: if F (Xj ) < F (Xbest,j ) then Xbest,j = Xj end if end for if F (Xbest,j ) < F (Xbest,G ) then Xbest,G = Xbest,j 30: end if end for Rp est la probabilit´e de diff´erence al´eatoire, c’est un param`etre pr´edifini ∈ [0, 1] qui diminue lin´eairement avec le nombre de g´en´eration de 0,5 a` 0,0 selon le nombre maximum de g´en´erations Chabbar et Lallouch

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