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LA DIVER S IF IC A T IO N DE P OR TEFEU ILLES DE TITR ES Markowitz formalise le dilemme de l’investisseur, à savoir comment maximiser la rentabilité d’un portefeuille pour un niveau de risque donné ou minimiser le risque d’un portefeuille pour un niveau de rentabilité donné. Un agent rationnel est dirigé par une fonction d’utilité:

Dans ce modèle d’optimisation nous tenons compte de la rentabilité totale du portefeuille , de son risque total σ et du coef cient d’aversion au risque de l’investisseur θ Donc, ce critère moyenne-variance permet à l’investisseur de déterminer le meilleur couple rentabilité-risque tenant compte de son aversion au risque. De plus, le risque du portefeuille dépend non seulement du risque de chaque titre le constituant mais aussi de la manière dont les différents titres covarient entre eux. Le risque du portefeuille tient donc compte non seulement du risque individuel des titres mais également de la covariance entre ces titres. C’est pour cette raison que la combinaison de plusieurs titres dans un portefeuille a l’avantage de faire disparaître une partie du risque surtout quand les titres ont tendance à évoluer de manière conjointe mais dans un sens opposé. Théoriquement, l’écart-type ou la volatilité d’un portefeuille est plus faible que celui ou celle des titres qui le composent. La covariance entre deux variables aléatoires X et Y (ou deux rendements) notée COVxy ou σ est l’espérance du produit des écarts à la moyenne de ces dernières. Elle est donc exprimée ainsi :

En regardant cette équation, nous pouvons constater que si les titres évoluent dans le même sens, leurs rentabilités seront au-dessus ou en-dessous de leurs moyennes au même moment, engendrant une covariance positive. Si les titres évoluent conjointement mais dans le sens opposé, la rentabilité de l’un sera supérieure à sa moyenne lorsque la rentabilité de l’autre sera inférieure à sa moyenne, occasionnant une covariance négative. Nous pouvons donc interpréter facilement le signe de la covariance. En revanche, la valeur de la covariance ne nous informe pas clairement sur la relation entre les titres comme elle mélange deux informations: l’ampleur de la volatilité des titres (traduite par l’écart des rentabilités à leur moyenne) et leur évolution. Une covariance est d’autant plus élevée que la volatilité des titres est élevée et qu’ils évoluent dans la même direction. Nous faisons donc appel à un autre outil statistique: la corrélation des rentabilités qui neutralise l’effet «volatilité ou risque individuel des titres» puisqu’elle se calcule en divisant la covariance des rentabilités par le produit de leurs écart-types :

Ainsi, la corrélation, comme la covariance (exprimée d’ailleurs en fonction de la covariance), décrit la relation entre les rendements des titres mais elle a l’avantage d’être plus informative parce qu’elle neutralise l’effet de la volatilité. La valeur de la corrélation se trouve dans l’intervalle [−1; +1]. Son signe sera toujours le même que celui de la covariance (comme les écart-types sont toujours positifs) et il s’interprète exactement comme le signe de la covariance. Toutefois, sa valeur s’interprète plus facilement que celle de la covariance. Si la corrélation est égale à +1, les rendements des deux titres en question évolueront conjointement de la même manière et ils seront dits parfaitement positivement corrélés. Cela veut dire que si le cours du premier titre augmente, le second le suivra et augmentera de la même ampleur. Si la corrélation entre les rendements de deux titres est de −1, ils évolueront de manière inverse et seront dits parfaitement négativement corrélés. Cela veut dire que si le prix d’un titre progresse, il y a de fortes chances que le prix de l’autre baissera de la même ampleur. Si la corrélation de deux titres est nulle, l’évolution du prix d’un titre n’influencera pas celle de l’autre. Considérons un scénario simple: un portefeuille composé de deux titres A et B. Sa rentabilité est donnée par:

Sa volatilité est donnée par l’équation suivante :

Un investisseur arrive sur le marché avec une somme totale de 100 000 euros. Il achète 1 000 titres d’Air France au prix de 40 euros et 600 titres de Total au prix de 100 euros. Le rendement d’Air France est de 14%, le rendement de Total est de 8%. Les écarts-types d’Air France et de Total sont respectivement de 18 % et de 10%. Les rendements de ces deux titres sont négativement corrélés avec une corrélation de − 0,4. Quels sont le rendement espéré et la volatilité de ce portefeuille? Calculons le poids de chaque titre dans le portefeuille. L’investisseur achète les titres d’Air France pour une somme de 40 000 euros (1000 titres au prix de 40 euros). Le reste de l’argent (60 000 euros) sera investi en actions Total (600 titres au prix de 100 euros). La part d’Air France dans le portefeuille est

Et la part de Total dans le portefeuille est:

Ayant à présent les pondérations ou poids de chaque titre dans le portefeuille, nous pouvons calculer le rendement du portefeuille:

La volatilité ou l’écart-type du portefeuille composé à 40% d’actions Air France et à 60% d’actions Total est: