1.3.fonksiyonlar

MatematikNet.Com

1.3. Bağıntılar ve Fonksiyonlar İki kümenin kartezyen çarpımı yardımı ile bağıntı ve fonksiyon kavramlarını vereceğiz. Önce kartezyen çarpım tanımını verelim: 1.3.1.Tanım A ile B iki küme olmak üzere {(a,b): aÎA ve bÎB } kümesine A ile B nin kartezyen çarpım kümesi denir ve AxB ile gösterilir. Örneğin; {1,2,3,4} , B={a,b,c } alınırsa, kartezyen çarpım kümesi, AxB={(1,a), (1,b),(1,c),(2,a), (2,b),(2,c),(3,a), (3,b),(3,c),(4,a), (4,b),(4,c)} dir. 1.3.2.Tanım AxB nin her bir alt kümesine A dan B ye bir bağıntı denir. Özel olarak, AxA nın her bir alt kümesine A da bir bağıntı denir. 1.3.3.Tanım Bir A kümesinde bir bağıntı b olsun. (x,y)Îb olmasını xby ile gösterelim. Eğer (i) Her xÎA için xbx oluyorsa,

(yansıma özelliği)

(ii) xby olduğunda ybx oluyorsa

(simetri özelliği)

(iii) xby ve ybz olduğunda xbz oluyorsa

(geçişme özelliği)

varsa b bağıntısına bir denklik bağıntısı denir. Örneğin eşitlik bir denklik bağıntısıdır, kan akrabalığı bir denklik bağıntısıdır. Çoğu zaman denklik bağıntısı º sembolü ile gösterilir. Buna karşılık farklı olmak bir denklik bağıntısı değildir. Mesela sevmek de bir denklik bağıntısı değildir. Çünkü bir kadın kocasını sever, kocası da kendi annesini sever, ancak kadın kaynanasını sevmeyebilir ki bu da sevmenin geçişme özelliğini sağlamadığını gösterir. Hatta sevmek simetri özelliğine de sahip değildir. Bir insan birini sever, ancak sevilen kişi kendisini seveni sevmeyebilir. 1.3.4.Tanım (fonksiyon) A dan B ye bir f bağıntısı eğer xÎA, yÎB, zÎB için (x,y)Îf ve (x,z)Îf olduğunda y=z olması özelliğine sahipse f e bir fonksiyondur denir ve y=f(x) şeklinde yazılır. (x,y)Îf olacak şekildeki bütün xÎA elemanlarının kümesine f in tanım kümesi ve {f(x): xÎA } kümesine f in değer kümesi denir. Örneğin, A={1,2,3}, B={1,4,9,10} olmak üzere f={(1,1), (2,4),(3,9)} 14

yazarsak, f , A dan B ye bir fonksiyon olur ( f(x)=x2 her sayı için tanımlı bir fonksiyondur.). 1.3.5.Tanım (Bileşke fonksiyon). f fonksiyonu bir A kümesinden Bir B kümesine bir fonksiyon ve g de B kümesinden bir C kümesine bir fonksiyon olmak üzere

A kümesinden B kümesine {(x,y): xeA ve en az bir yeB için (x,y)ef ve (y.z)eg}

ile tanımlanan fonksiyona f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve gof ile gösterilir. Örnek. f(x)=x+1 ve g(x)=x2 ile verilmişse (gof)(x)=g(f(x)=g((x+1))=(x+1)2 olarak bulunur. 1.3.6.Tanım (birebir fonksiyon). Eğer bir f fonksiyonu (x1,y)Îf ve (x2,y)Îf olduğunda x1=x2 olması özelliğine sahipse f fonksiyonuna birebirdir denir. Bu ise y=f(x1) ve y=f(x2) olduğunda x1=x2 olmasına yani f(x1)=f(x2) olduğunda x1=x2 olmasına denktir.

Önermelerden

pÞq

º

q¢ Þ p¢

aldığımızda f in birebir olması için gerek ve yeter koşulun

olduğunu gözönüne x1¹x2 olduğunda

f(x1)¹f(x2) olması özelliğinin sağlanması olduğunu görürüz. Örnek. Her x için f(x)=x ile tanımlanan f fonksiyonu birebirdir. Fakat f(x)=x2 ile tanımlanan fonksiyon birebir değildir. Ancak A={1,2,3} , B={1,4,9,10} olmak üzere f={(1,1),(2,4),(3,9)} ile tanımlanan fonksiyon A dan B ye birebir bir fonksiyondur. 1.3.7.Tanım (Örten fonksiyon). Eğer her yÎB için y=f(x) olacak şekilde en az bir xÎA bulunabiliyorsa A dan B ye olan f fonksiyonuna örtendir (veya üzerinedir) denir. Örnek. A={1,2,3,4} , B={1,4,9,10} olmak üzere f={(1,1),(2,4),(3,9),(4,9)} ile f tanımlanan f fonksiyonu örten değildir. Ancak f={(1,1),(2,4),(3,9),(4,10)} ile tanımlanan f fonksiyonu örtendir. Benzer şekilde her x için f(x)=x2 şeklinde tanımlanan f örten değil ancak her x sayısı için tanımlanan f(x)=x ile tanımlanan f örtendir. 1.3.8.Tanım (Ters fonksiyon). Eğer bir f fonksiyonu A dan B ye birebir ve örten ise {(y,x): (x,y)Îf } kümesine f in ters fonksiyonu denir ve f -1 ile gösterilir. Örnek. f(x)=

2x + 1 ile tanımlanan f in tanım kümesini ve varsa ters fonksiyonunu 5x - 2

bulunuz.

15

Örnek. f(x)=1+

2x + 1 ile tanımlanan f in tanım kümesini ve varsa ters 5x - 2

fonksiyonunu bulunuz. 1.3.Alıştırmalar (Bağıntılar ve Fonksiyonlar) 1) IRxIR üzerinde (x1,x2) , (y1,y2) elemanları için x1=y1 oluyorsa (x1,x2) º (y1,y2) diyelim. º nin bir denklik bağıntısı olduğunu ispatlayınız. 2) INxIN üzerinde (i,j) º (m,n) olmasını in=jm olarak tanımlayalım. º nın bir denklik bağıntısı olduğunu ispatlayınız. 3) NxIN üzerinde (i,j) º (m,n) olmasını i+n=j+m olarak tanımlayalım. º nın bir denklik bağıntısı olduğunu ispatlayınız. 4) IRxIR üzerinde (x1,x2) , (y1,y2) elemanları için x2=y2 oluyorsa (x1,x2) º (y1,y2) diyelim. º nin bir denklik bağıntısı olduğunu ispatlayınız. 5) Bir f fonksiyonunun birebir olması için gerek ve yeter koşul her A ve B kümesi için f(AÇB)=f(A)Çf(B) olmasıdır. İspat ediniz. 6) f(x)=

3x - 1 fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz ve varsa ters fonksiyonunu 2x - 3

bulunuz. 7) f(x)=

x 1+ x

fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz. Birebir olduğunu

gösteriniz. Tersini bulunuz. 8) f(x)=

x 1- x

fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz. Birebir olduğunu

gösteriniz. Tersini bulunuz. 9) Bir fonksiyon birebir ve örten ise tersinin de birebir ve örten olduğunu gösteriniz. 10) Birebir iki fonksiyonun bileşkesi de birebirdir. İspat ediniz. 11) Örten iki fonksiyonun bileşkesi de örtendir. İspat ediniz.

MatematikNet.Com 16