1η εξέταση προόδου στις 7/11/2009

Ονοματεπώνυμο:

1η Εξέταση Προόδου στην Γραμμική Άλγεβρα Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010, 7/11/2009 1. Όποια απο τις παρακάτω προτάσεις πιστεύετε ότι είναι αληθής

σημειώστε την με ένα Α και όποια πιστεύετε ότι είναι ψευδής με ένα Τ. a. Εάν για έναν Ν-επι-Ν πίνακα Α γνωρίζουμε ότι Α2=0 τότε Α=0. b. Εάν για έναν Ν-επι-Ν πίνακα Α γνωρίζουμε ότι ΑΑΤ=0 τότε Α=0. c. Εάν υπάρχει ο αντίστροφος ενός πίνακα Α τότε υπάρχει και ο αντίστροφος του ανάστροφού του. 2. Υποθέτοντας ότι οι Α,Β και Γ είναι τυχαίοι Ν-επι-Ν αντιστρέψιμοι πίνακες, σημειώστε a. με ποιούς απο τους i. Α-1Β-1Γ-1, ii.Γ-1Β-1Α-1, iii.(ΒΓ)-1Α-1, iv.(ΓΤΒΤΑΤ)-1 ισούται ο (ΑΒΓ)-1 . b. με ποιούς απο τους ΑΑ-1Β, ΑΒΑ-1, Β, ΒΒ-1Β ισούται ο Α-1ΑΒ c. πόσες περίπου πράξεις απαιτούνται για να υπολογισθεί ο Α1

3. Για ποιές τιμές των r και s το σύστημα x+y+z=1, x-y+z=s-4, (r-

3)z=-2s+8 έχει (α) μια και μοναδική λύση, (β) πολλές λύσεις και (γ) καμία λύση; 4. Αποδείξτε όσες απο τις παρακάτω προτάσεις πιστεύετε ότι ισχύουν και δικαιολογίστε γιατί δεν ισχύουν οι υπόλοιπες. a. Εάν Α είναι ένας οποιοσδήποτε Ν-επι-Ν πίνακας τότε ο πίνακας Α+ΑΤ είναι συμμετρικός. b. Εάν Α είναι ένας οποιοσδήποτε Ν-επι-Μ πίνακας τότε ο πίνακας ΑΑΤ είναι συμμετρικός. 5. Εάν ο πίνακας Α είναι διαγώνιος τότε αποδείξτε ότι ο (Ακ)-1 (όπου κ θετικός ακέραιος αριθμός) είναι επίσης διαγώνιος και δώστε τις τιμές των διαγωνίων στοιχείων του συναρτήσει των στοιχείων ai,j του Α. 6. Περιγράψτε τα στοιχεία της k-γραμμής του πίνακα ΑΕ, όπου Α ένας Ν-επι-Ν γνωστός πίνακας με στοιχεία ai,j και όπου Ε ένας Ν-

Ονοματεπώνυμο:

επι-Ν πίνακας του οποίου τα μόνα μη-μηδενικά στοιχεία ei,j είναι τα ei,i=i, για i=1,…,N και e2,8=9.