02 Statistika - Distribusi. Peluang

STATISTIKA OLEH :

WIJAYA email : [email protected]

FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2009

II. SEBARAN PELUANG ¾ Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinan hasil suatu percobaan. ¾ Anggota (Titik Contoh) = Setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang contoh. ¾ Kejadian = Himpunan bagian dari ruang contoh S. Misal sebuah uang logam dilempar tiga kali (atau tiga uang logam dilempar satu kali) : ¾ Ruang Contoh (S) = { AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG} ¾ Anggota (Titik Contoh) = AAA, AAG, … , GGG ¾ Kejadian = {AAA}, {AAG}, …, {GGG}

II. SEBARAN PELUANG ¾ Pemutasi = Susunan data atau benda yang tergantung pada letaknya. n! .r Pn = (n–r)! Banyaknya kemungkinan menanam 2 dari 4 tanaman hias untuk ditanam pada pot plastik satu tanaman dan satu tanaman lagi pada pot gerabah yaitu sebanyak 12 kemungkinan. 4! .r Pn =

1x2x3x4 =

(4–2)!

= 12 1x2

II. SEBARAN PELUANG

¾ Kombinasi = Susunan benda yang tidak tergantung pada letaknya. n! .r Cn = r! ( n – r ) ! Banyaknya kemungkinan memilih 2 dari 4 mata kuliah pilihan yaitu sebanyak 6 kemungkinan. 4! 1x2x3x4 .r Cn = = =6 2!(4–2)! (1x2)(1x2)

II. SEBARAN PELUANG ¾ Peluang = frekuensi relatif suatu kejadian. n P(x = n) = N Misal sebuah uang logam dilempar tiga kali (atau tiga uang logam dilempar satu kali) : ¾ Ruang Contoh (S) = { AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG} P (A = 0) = 1/8

P (A = 2) = 3/8

P (A = 1) = 3/8

P (A = 3) = 1/8

II. SEBARAN PELUANG 2.1 Sebaran Peluang Diskrit Sebaran Peluang Diskrit atau Fungsi Peluang Diskrit = Tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskrit berikut peluangnya. Grafiknya berbentuk histogram peluang.

2.2 Sebaran Peluang Kontinyu = Rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak kontinyu berikut peluangnya Grafiknya dapat berbentuk linier, simetris, menjulur ke kanan/kiri. Fungsinya disebut Fungsi Kepekatan Peluang.

II. SEBARAN PELUANG 2.1 Sebaran Peluang Diskrit Misal sebuah uang logam dilempar tiga kali (atau tiga uang logam dilempar satu kali) : ¾ Ruang Contoh (S) = { AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG} P (A = 0) = 1/8

P (A = 2) = 3/8

P (A = 1) = 3/8

P (A = 3) = 1/8

X (Munculnya Angka) f (x) = P ( X = x )

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

II. SEBARAN PELUANG 2.1 Sebaran Peluang Diskrit 1. Sebaran Peluang Binom Bila suatu ulangan binom mempunyai peluang berhasil p dan gagal q, maka peluang keberhasilan dalam n ulangan yang bebas : b (x ; n, p) = xCn . px . qn–x Rata-rata μ = n.p

x = 0, 1, 2, …, n

Ragam σ2 = n.p.q

¾ Untuk perhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Binom ∑ b (x ; n, p) = p ( 0 ≤ x ≤ n )

2.1 Sebaran Peluang Diskrit 1. Sebaran Peluang Binom 10% buah mangga yang diekspor tergolong rusak. Sebuah sampel berukuran 20 diambil secara acak. Berapa peluang sampel yang diambil itu rusak : a. 2 buah b. paling sedikit tiga buah c. paling banyak 4 buah d. rata–rata yang rusak Jawab : a. Yang rusak 2 buah = P (x = 2) b (x ; n, p) = xCn . px . qn–x

x = 2 n = 20 p = 0,20 q = 0,80

b (2 ; 20 ; 0,2) = 2C20 . (0,2)2 . (0,8)18 20! b(2 ; 20 ; 0,2) = 2! 18!

(0,2)2 (0,8)18 = 0,1369

2.1 Sebaran Peluang Diskrit 1. Sebaran Peluang Binom Tabel Jumlah Peluang Binom n

r

0,10

0,20

0,25

20

0

0,1216

0,0115

0,0032

1

0,3917

0,0692

0,0243

2

0,6769

0,2061

0,0913

3

0,8850

0,4551

0,2631

4

0,9648

0,6733

0,4654

a. Yang rusak 2 buah = P (x = 2) = P(x ≤ 2) – P(x ≤ 1) P (x = 2) = 0,2061 – 0,0692 = 0,1369

2.1 Sebaran Peluang Diskrit 1. Sebaran Peluang Binom Tabel Jumlah Peluang Binom n

r

0,10

0,20

0,25

20

0

0,1216

0,0115

0,0032

1

0,3917

0,0692

0,0243

2

0,6769

0,2061

0,0913

3

0,8850

0,4551

0,2631

4

0,9648

0,6733

0,4654

b. Paling sedikit 3 buah = P (x ≥ 3) = 1 – P(x ≤ 2) P (x ≥ 2) = 1 – 0,2061 = 0,7939

2.1 Sebaran Peluang Diskrit 1. Sebaran Peluang Binom Tabel Jumlah Peluang Binom n

r

0,10

0,20

0,25

20

0

0,1216

0,0115

0,0032

1

0,3917

0,0692

0,0243

2

0,6769

0,2061

0,0913

3

0,8850

0,4551

0,2631

4

0,9648

0,6733

0,4654

c. Paling banyak 4 buah = P (x ≤ 4) = 0,6733 d. Rata-rata = n. p = (20)(0,20) = 4 buah

2.1 Sebaran Peluang Diskrit 2. Sebaran Peluang Poisson P(x ; μ) =

e–μ μx x = 1,2, … dan e = 2,718 x!

μ = Rata-rata

Ragam σ2 = μ

Dalam diperhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Poisson ∑ p (x ; μ) = p ( 0 ≤ x ≤ r ) Contoh : Rata–rata banyaknya tikus per dam2 di lahan sawah diduga tersebar 10. Hitung peluang dalam luasan 1 dam2 terdapat a. paling banyak 5 ekor b. lebih dari 12 ekor, c. 8 sampai 11.

2. Sebaran Peluang Poisson Tabel Jumlah Peluang Poisson r 5 8 9 10 11 13

9,0 0,1157 0,4557 0,5874 0,7060 0,8030 0,9261

Rata-rata ( μ ) 9,5 10,0 10,5 0,0885 0,0671 0,0504 0,3918 0,3328 0,2794 0,5218 0,4579 0,3971 0,6453 0,5830 0,5207 0,7520 0,6968 0,6387 0,8981 0,8645 0,8253

11,0 0,0375 0,2320 0,3405 0,4599 0,5793 0,7813

a. Paling banyak 5 ekor = P (x ≤ 5) = 0,0671 b. Lebih dari 12 ekor = P (x >12) = 1 – P(x ≤ 11) P (x >12) = 1 – 0,6968 = 0,3032

2. Sebaran Peluang Poisson Tabel Jumlah Peluang Poisson r 5 8 9 10 11 13

9,0 0,1157 0,4557 0,5874 0,7060 0,8030 0,9261

Rata-rata ( μ ) 9,5 10,0 10,5 0,0885 0,0671 0,0504 0,3918 0,3328 0,2794 0,5218 0,4579 0,3971 0,6453 0,5830 0,5207 0,7520 0,6968 0,6387 0,8981 0,8645 0,8253

11,0 0,0375 0,2320 0,3405 0,4599 0,5793 0,7813

c. 9 sampai 11 ekor = P (x ≤ 11) – P(x ≤ 8) P (x ≤ 11) – P(x ≤ 8) = 0,6968 – 0,3328 = 0,3640

2.2 Sebaran Peluang Kontinyu 1. Sebaran Peluang Normal - z x –μ z =

σ Dalam diperhitungan digunakan Tabel Jumlah Peluang Normal-z Contoh 1 : Tentukan luas daerah (peluang) dari : a. P(z < -1,46) b. P(z <2,38) c. P(1,24 < z < 2,04) d. P(z > 1,15)

1. Sebaran Peluang Normal-z Z

0,00

0,04

0,05

0,06

0,08

0,09

-1,4

0,0808 0,0749 0,0735 0,0721 0,0694 0,0681

1,1

0,8643 0,8729 0,8749 0,8770 0,8810 0,8830

1,2

0,8849 0,8925 0,8944 0,8962 0,8997 0,9015

2,0

0,9772 0,9793 0,9798 0,9803 0,9812 0,9817

2,3

0,9893 0,9904 0,9906 0,9909 0,9913 0,9916

Contoh 1 : Tentukan luas daerah (peluang) dari : a. P(z < –1,46) = 0,0721 b. P(z <2,38) = 0,9913 c. P(1,24 < z < 2,04) = 0,9793 – 0,8925 = 0,0868 d. P(z > 1,15) = 1 – 0,8749 = 0,1251

1. Sebaran Peluang Normal-z Contoh 2 : Rata–rata volume air kemasan “X” setiap gelas 200 ml dengan simpangan baku 10 ml. Jika volume air menyebar normal, hitunglah peluang gelas yang berisi : a. 208 ml. b. antara 191 dan 209 ml. c. 187 sampai 207 ml. d. Jika ada 10.000 gelas, berapa gelas yang berisi > 224 ml. Jawab : Rata–rata μ = 200 ml ; simpangan baku σ =10 ml. a. 208 ml = P(207,5 < x 208,5) x– μ 207,5 – 200 z1 = = = 0,75 σ 10

1. Sebaran Peluang Normal-z Jawab : Rata–rata μ = 200 ml ; simpangan baku σ =10 ml. a. P(x = 208 ml) = P(207,5 < x < 208,5) x– μ 207,5 – 200 z1 = = = 0,75 σ 10 x– μ z2 =

208,5 – 200 =

σ

= 0,85 10

P(207,5 < x < 208,5) = P(0,75 < z < 0,85) = P(z < 0,85) – P(z < 0,75) = 0,8023 – 0,7734 = 0,0289

1. Sebaran Peluang Normal-z Jawab : Rata–rata μ = 200 ml ; simpangan baku σ =10 ml. b. Antara 191 dan 209 ml = P(191 < x < 209) x– μ 191 – 200 z1 = = = – 0,90 σ 10 x– μ z2 =

209 – 200 =

σ

= 0,90 10

P(191 < x < 209) = P(–0,90 < z < 0,90) = P(z < 0,90) – P(z < –0,90) = 0,8159 – 0,1841 = 0,6318

1. Sebaran Peluang Normal-z Jawab : Rata–rata μ = 200 ml ; simpangan baku σ =10 ml. c. 187sampai 207 ml = P(186,5 < x < 207,5) x– μ 186,5 – 200 z1 = = = – 1,35 σ 10 x– μ z2 =

207,5 – 200 =

σ

= 0,75 10

P(186,5 < x < 207,5) = P(–1,35 < z < 0,75) = P(z < 0,75) – P(z < –1,35) = 0,7734 – 0,0401 = 0,7333

1. Sebaran Peluang Normal-z Jawab : Rata–rata μ = 200 ml ; simpangan baku σ =10 ml. d. Jika ada 10.000 gelas, volume lebih dari 224 ml P(x > 224 ml) = 1 – P( x < 224) x– μ 224 – 200 z = = = 2,24 σ 10 P( x > 224) = 1 – P(x < 224) = 1 – P(z < 2,24) = 1 – 0,9875 = 0,0125 Jumlah gelas = 10.000 (0,0125) = 125 gelas

2.2 Sebaran Peluang Kontinyu 1. Sebaran Peluang Normal - z 2. Sebaran Peluang t - student 3. Sebaran Peluang F 4. Sebaran Peluang X2 (Kai-Kuadrat)