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RACIOCÍNIO LÓGICO

Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural

Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online

LINGUAGEM FORMAL – SENTENÇAS, PROPOSIÇÕES SIMPLES, COMPOSTAS E LINGUAGEM NATURAL Lógica sentencial Sentença é a expressão de um pensamento completo. É composta por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito). Vejamos alguns exemplos de sentenças: a) O mundo precisa de paz. b) Os políticos não se preocupam com as reais necessidades do povo. c) Que dia você contribuirá com seus conhecimentos para ajudar o próximo? d) Que matéria mais agradável! e) Faça com os outros aquilo que gostaria que fizessem com você, seja caridoso. Elas são, respectivamente: a) Afirmativa; b) Negativa; c) Interrogativa; d) Exclamativa; e) Imperativa.

Atenção! É importante ressaltar que o pensamento será uma sentença quando possuir sentido completo, independentemente do seu tipo. Classificação das sentenças Sentenças abertas são aquelas em que não é possível determinar o sujeito. Uma forma mais simples de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser nem V (verdadeira) nem F (falsa). Observaremos que são chamadas de abertas porque não são passíveis de interpretação. Na lógica bivalente, que é o nosso caso, os pensamentos devem ser interpretados de duas formas, ou seja, podem ser valorados como verdadeiros ou falsos, conforme os princípios fundamentais da lógica proposicional. ANOTAÇÕES

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Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural

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Exemplo: Ela foi a mulher que demonstrou maior dedicação àquela família. Comentário sobre o exemplo: é possível entender a sentença. É uma sentença aberta porque o sujeito não é determinado (ela). Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F. Observe atentamente os exemplos abaixo e as considerações realizadas: a) “Aquele é juiz do TRT da 1ª Região” (Quem é ele?) → Sentença aberta. b) “x + 5 = 10”. (Quem é o x? É número? É objeto? O que é?) → Sentença aberta. c) “{x < R/ x > 2}”. (Qual o valor de x?) → Sentença aberta. d) “Que prova mais difícil!” → Frase exclamativa/sentença aberta.

Atenção! Frases exclamativas são consideradas sentenças abertas, pois expressam pensamentos subjetivos, dos quais não temos uma interpretação formal. e) “Você não vai tirar férias este ano de novo?” → Frase interrogativa/sentença aberta. f) “Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.” → Frase imperativa/sentença aberta. Frases interrogativas e imperativas são sentenças abertas.

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Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha.

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Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural II

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LINGUAGEM FORMAL – SENTENÇAS, PROPOSIÇÕES SIMPLES, COMPOSTAS E LINGUAGEM NATURAL II

Direto do concurso 1. Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: 1) Você sabe dividir? — Perguntou Ana. 2) Claro que sei! — Respondeu Mauro. 3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? — Perguntou Ana. 4) O resto é dois. — Respondeu Mauro, após fazer a conta. 5) Está errado! Você não sabe dividir. — Respondeu Ana. A partir das informações e do diálogo acima, julgue o item que se segue. 1) A frase (2) é uma proposição.

Comentário Proposição é o mesmo que sentença fechada. Claro que sei! — Respondeu Mauro. Frases interrogativas são sempre abertas. Frases imperativas também são abertas. No caso da questão, é dada a oportunidade de o candidato interpretar o conteúdo da informação. Veja a resolução da divisão que Ana apresentou a Mauro. 11000 1100 11 12111 3 R=0

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Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural II

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Percebe-se que o resto é zero, não dois. Logo, Ana tinha certeza do que perguntava. Mauro não sabia dividir. A informação que ele deu é falsa. Claro que sei! — Respondeu Mauro. → Frase exclamativa/sentença fechada. Sentenças fechadas Depois de entendermos o que são sentenças abertas, podemos, de uma forma excludente, entender o que são as sentenças fechadas. Bem, as sentenças fechadas se tratam de pensamentos completos, aos quais é possível determinar o sujeito. Exemplos: a) Marcelo foi aprovado no concurso para delegado de polícia. (O pensamento pode ser V ou F) b) O prefeito do Rio de Janeiro participou do esquema de corrupção. (O pensamento pode ser V ou F) As três leis do pensamento ou princípios fundamentais da lógica proposicional

ANOTAÇÕES

Os que definiram a Lógica como a ciência das leis do pensamento sustentaram, frequentemente, que existem exatamente três leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para que o pensar se desenvolva de maneira “correta”. Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente, os nomes de princípio de identidade, princípio de contradição (por vezes, princípio da não contradição) e princípio do terceiro excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a diferentes contextos. No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes: • O princípio de identidade afirma que, se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro;

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Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural II

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• O princípio da não contradição afirma que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso; • O princípio do terceiro excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. SENTENÇAS FECHADAS = PROPOSIÇÕES

Lógica proposicional Dá-se o nome de proposição a uma sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, aos quais se pode atribuir um valor lógico, ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso). Essa valoração também é chamada de valor lógico ou valor verdade.

No centro, estão as sentenças fechadas/proposições, que são valoradas. As frases interrogativas, imperativas e exclamativas são abertas. Mas há a exceção de que a exclamativa é aberta e pode, em certo momento, ser fechada, a depender do contexto. Uma questão que deixa claro a relação entre proposições e sentenças é a do concurso para o cargo de analista do SEBRAE, realizado pelo CESPE, em 2008. A banca apresentou a seguinte afirmativa: “A seguinte proposição ‘Ninguém ensina ninguém’ é um exemplo de sentença aberta.” ANOTAÇÕES

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Dica: proposição é sentença fechada. Não é preciso nem ler a frase, apenas o comando do enunciado. Logo, a questão é errada. Quantificadores lógicos: todo, algum, nenhum. Possuem função de transformar sentenças abertas em sentenças fechadas. GABARITO 1. C

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Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural III

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LINGUAGEM FORMAL – SENTENÇAS, PROPOSIÇÕES SIMPLES, COMPOSTAS E LINGUAGEM NATURAL III

Direto do concurso 1. (FCC/SFASP/AGENTE FISCAL DE RENDAS) Considere as seguintes frases: I – Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. II – (x+y) / 5 é um número inteiro. III – João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. É verdade que APENAS. a. I é uma sentença aberta. b. II é uma sentença aberta. c. I e II são sentenças abertas. d. I e III são sentenças abertas. e. II e III são sentenças abertas.

Comentário I – Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. (Quem é ele?) → Sentença aberta. II – (x+y) / 5 é um número inteiro. (Quem é x? Quem é y?) → Sentença aberta. III – João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000. (Pensamento pode ser V ou F) → Sentença fechada/proposição. 2. (UNB/CESPE/BANCO DO BRASIL S.A./2008) A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.

Comentário Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos? Trata-se de frase interrogativa. Não pode ser considerada uma proposição. Sentenças interrogativas são abertas. ANOTAÇÕES

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Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural III

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3. (2015/FUNIVERSA) Considerando que uma proposição corresponde a uma sentença bem definida, isto é, que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, excluindo-se qualquer outro julgamento, assinale a alternativa em que a sentença apresentada corresponde a uma proposição. a. Ele foi detido sem ter cometido crime algum? b. Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais. c. Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados. d. Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio. e. Houve fuga de presidiários, que tragédia!

Comentário a. Ele foi detido sem ter cometido crime algum? (Pergunta) → Sentença aberta. b. Aquela penitenciária não oferece segurança para o trabalho dos agentes prisionais. (Qual é o sujeito?) → Sentença aberta. c. Os agentes prisionais da penitenciária de Goiânia foram muito bem treinados. (Pode ser V ou F) → Proposição. d. Fique alerta a qualquer movimentação estranha no pátio do presídio. (Frase imperativa) → Sentença aberta. e. Houve fuga de presidiários, que tragédia! (Frase exclamativa) → Sentença aberta. Representação das proposições

ANOTAÇÕES

As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou minúsculas. p: O estado do Espírito Santo é produtor de Petróleo. q: O mundo precisa de paz. r: Renato é um aluno dedicado. Proposições simples ou básicas: são as proposições que expressam apenas um pensamento.

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Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural III

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Exemplos: a) Guarapari tem lindas praias. b) José passou no concurso. Proposições compostas: são as proposições que expressam mais de um pensamento. As proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Exemplo: José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias. Observe que há dois pensamentos na sentença acima.

Direto do concurso 1. (CESPE/PRODEST/TÉCNICO EM INFORMÁTICA/ADAPTADA) Considere a seguinte lista de frases e julgue o item. I – Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. II – Qual é o horário do filme? III – O Brasil é pentacampeão de futebol. IV – Que belas flores! V – Marlene não é atriz e Djanira é pintora. ( ) Nesta lista, há exatamente 4 proposições

Comentário I – Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. → Proposição simples. II – Qual é o horário do filme? → Sentença aberta. III – O Brasil é pentacampeão de futebol. → Proposição simples. IV – Que belas flores! → Sentença aberta. V – Marlene não é atriz e Djanira é pintora. → Proposição composta. 2. (UNB/CESPE/2008/STF/TÉCNICO JUDICIÁRIO) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. ANOTAÇÕES

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Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes. ( ) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. ( ) A segunda frase é uma proposição lógica simples. ( ) A terceira frase é uma proposição lógica composta.

Comentário Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. → São duas frases imperativas, sentenças abertas. A resposta branda acalma o coração irado. → Apenas uma ideia. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. → Apenas o sujeito é composto. A proposição é simples. O conectivo de conjunção é o “e”. 3. (STJ/CESPE/2008/ADAPTADA) A lógica formal representa as afirmações que os indivíduos fazem em linguagem do cotidiano para apresentar fatos e se comunicar. Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F) (embora não se exija que o julgador seja capaz de decidir qual é a alternativa válida). ( ) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. a. 12 é menor que 6. b. Para qual time você torce? c. x + 3 > 10. d. Existe vida após a morte.

Comentário

ANOTAÇÕES

a. 12 é menor que 6. → Proposição. b. Para qual time você torce? → Sentença aberta. c. x + 3 > 10. → Sentença aberta. d. Existe vida após a morte. → Proposição.

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4. (CESPE/2008) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira — V —, ou falsa — F —, mas não como ambas. Uma proposição é denominada simples quando não contém nenhuma outra proposição como parte de si mesma, e é denominada composta quando for formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. De acordo com as informações contidas no texto, julgue os itens a seguir. 1. A frase “Você sabe que horas são?” é uma proposição. 2. A frase “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”, não é considerada uma proposição composta.

Comentário “Você sabe que horas são?” → Frase interrogativa/sentença aberta. “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul.” → É considerada proposição composta. 5. (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” A expressão X + Y é positiva. O valor de 4 + 3=7 Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto?

Comentário “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” → Trata-se de paradoxo. É sentença aberta. A expressão X + Y é positiva. → Sentença aberta. O valor de 4 + 3 = 7 → Proposição. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. → Proposição. O que é isto? → Sentença aberta. ANOTAÇÕES

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GABARITO 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5.

c C c E E, C, E C E, E E

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LINGUAGEM FORMAL – SENTENÇAS, PROPOSIÇÕES SIMPLES, COMPOSTAS E LINGUAGEM NATURAL IV Continuando com os exercícios, sequência da aula anterior: 6. (CESPE) Na lista de frases a seguir, há exatamente 2 proposições. I – “Esta frase é falsa.” II – O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento do estado do Acre. III – Quantos são os conselheiros do TCE/AC?

Comentário I – “Esta frase é falsa.” → Há um paradoxo. Sentença aberta. II – O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento do estado do Acre. → Proposição. III – Quantos são os conselheiros do TCE/AC? → Sentença aberta. O professor apresenta uma questão, um verdadeiro desafio: 7. (VUNESP/POLÍCIA CIVIL/SP/2013) Em um reino distante, um homem cometeu um crime e foi condenado à forca. Para que a sentença fosse executada, o rei mandou que construíssem duas forcas e determinou que fossem denominadas de Forca da Verdade e Forca da Mentira. Além disso, ordenou que na hora da execução o prisioneiro deveria proferir uma sentença assertiva qualquer. Se a sentença fosse verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade. Se, por outro lado, a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. Assim, no momento da execução, foi solicitado que o prisioneiro proferisse a sua asserção. Ao fazer isso, o carrasco ficou completamente sem saber o que fazer e a execução foi cancelada! Assinale qual das alternativas representa a asserção que o prisioneiro teria proferido. ANOTAÇÕES

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a. “Está chovendo forte”. b. “O carrasco não vai me executar”. c. “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”. d. “Dois mais dois é igual a cinco”. e. “Serei enforcado na Forca da Mentira”.

Comentário a. “Está chovendo forte”. → A informação pode ser verdadeira ou falsa. b. “O carrasco não vai me executar”. → Esse pensamento pode ser falso. c. “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”. → Pensamento verdadeiro, nos preceitos da geometria. d. “Dois mais dois é igual a cinco”. → Informação falsa. e. “Serei enforcado na Forca da Mentira”. → Não é verdade nem mentira. Trata-se de sentença aberta.

Direto do concurso 1. (2016/CESPE/ADAPTADA) Considerando os símbolos normalmente usados para representar os conectivos lógicos, julgue o item seguinte, relativos a lógica proposicional e à lógica de argumentação. Nesse sentido, considere, ainda, que as proposições lógicas simples sejam representadas por letras maiúsculas. ( ) A sentença “A fiscalização federal é imprescindível para manter a qualidade tanto dos alimentos quanto dos medicamentos que a população consome” é uma proposição composta.

Comentário

ANOTAÇÕES

A fiscalização federal é imprescindível para manter a qualidade tanto dos alimentos quanto dos medicamentos que a população consome. Trata-se de proposição simples.

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Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural IV

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2. (2016/CESPE) Com relação a lógica proposicional, julgue o item subsequente. Na lógica proposicional, a oração “Antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro, que é não fumante” representa uma proposição composta.

Comentário Antônio fuma 10 cigarros por dia, logo a probabilidade de ele sofrer um infarto é três vezes maior que a de Pedro, que é não fumante. Há dois pensamentos. Trata-se de proposição composta. 3. (2016/CESPE) Julgue o item a seguir, relativos a raciocínio lógico e operações com conjuntos. A sentença “Bruna, acesse a Internet e verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos!” é uma proposição composta que pode ser escrita na forma p ∧ q (proposição composta).

Comentário Bruna, acesse a Internet e verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos! Não são duas proposições simples que formam uma proposição composta. A primeira frase é imperativa (Bruna, acesse a internet), e a segunda é exclamativa (verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos!) 4. (2015/CESPE) Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item a seguir a respeito de lógica proposicional. A sentença “A vida é curta e a morte é certa" pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ∧ Q (proposição composta), em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas.

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Comentário A vida é curta e a morte é certa. Trata-se de proposição composta. 5. (2015/CESPE) Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item a seguir a respeito de lógica proposicional. ( ) A sentença “Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania" pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ∧ Q ∧ R (proposição composta), em que P, Q e R são proposições adequadamente escolhidas.

Comentário Somente por meio da educação, o homem pode crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de cidadania. Só há um pensamento. Trata-se de proposição simples. 6. (2015/CESPE) A respeito de lógica proposicional, julgue o item subsequente. ( ) A proposição “No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram bebida alcoólica” é uma proposição simples.

Comentário No Brasil, 20% dos acidentes de trânsito ocorrem com indivíduos que consumiram bebida alcoólica. Há apenas um pensamento. Trata-se de proposição simples.

ANOTAÇÕES

7. (2014/CESPE) Julgue os itens que se seguem, relacionados à lógica proposicional.

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Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural IV

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( ) A sentença “A crença em uma justiça divina, imparcial, incorruptível e infalível é lenitivo para muitos que desconhecem os caminhos para a busca de seus direitos, assegurados na Constituição” é uma proposição lógica simples.

Comentário A crença em uma justiça divina, imparcial, incorruptível e infalível é lenitivo para muitos que desconhecem os caminhos para a busca de seus direitos, assegurados na Constituição. Há apenas um pensamento, apesar de sua extensão. Trata-se de proposição simples. 8. (2014/CESPE) Julgue os itens que se seguem, relacionados à lógica proposicional. ( ) A sentença “O sistema judiciário igualitário e imparcial promove o amplo direito de defesa do réu ao mesmo tempo que assegura uma atuação investigativa completa por parte da promotoria” é uma proposição lógica composta.

Comentário O sistema judiciário igualitário e imparcial promove o amplo direito de defesa do réu ao mesmo tempo que assegura uma atuação investigativa completa por parte da promotoria. O sujeito é composto, mas trata-se de proposição lógica simples. 9. (2014/CESPE) Considerando os conectivos lógicos usuais e que as letras maiúsculas representem proposições lógicas simples, julgue o item seguinte acerca da lógica proposicional. ( ) A sentença “Os candidatos aprovados e nomeados estarão subordinados ao Regime Jurídico Único dos Servidores Civis da União, das Autarquias e das Fundações Públicas Federais” é uma proposição lógica composta. ANOTAÇÕES

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Linguagem Formal – Sentenças, Proposições Simples, Compostas e Linguagem Natural IV

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Comentário Os candidatos aprovados e nomeados estarão subordinados ao Regime Jurídico Único dos Servidores Civis da União, das Autarquias e das Fundações Públicas Federais. Trata-se de proposição lógica simples. Apenas o sujeito é composto. 10. (2013/CESPE) Julgue os itens seguintes, relativos à lógica proposicional. A sentença “um ensino dedicado à formação de técnicos negligencia a formação de cientistas” constitui uma proposição simples.

Comentário Um ensino dedicado à formação de técnicos negligencia a formação de cientistas. Há um pensamento. Trata-se de proposição simples.

6. E 7. e 1. E 2. C 3. E 4. C 5. E 6. C 7. C 8. E 9. E 10. C

GABARITO

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade

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LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL – TABELA-VERDADE Nesta aula, serão abordados os seguintes assuntos: • Linguagem da lógica formal; • Construção e aplicações das tabelas-verdade dos operadores: conjunção, disjunção inclusiva, disjunção exclusiva, condicional, bicondicional e negação. As tabelas-verdade apresentam as possíveis interpretações para uma proposição simples ou composta, sabendo que, na lógica bivalente, as valorações possíveis, valores lógicos, que nós temos são: (V): verdade ou ( F): falso Linguagem da lógica formal? Você sabia que esse assunto tem sido explorado por lógicos e matemáticos desde os tempos de Aristóteles, mas tomou rumos fascinantes principalmente a partir dos escritos de Frege, no século XIX? Quando surgiram as primeiras linguagens formais (Frege, Peano, Russell, Carnap), o ponto de vista dos estudiosos era basicamente “realista” e “normativo”. OPERADORES OU CONECTIVOS LÓGICOS 1. Conjunção: “e, mas, tanto como” / símbolo ˄ Proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo "e". Exemplos: a) A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites. b) Tanto é falso que Lucas é brasileiro, como é falso que João é norte-americano. c) A vida é curta e a morte é certa. d) Não sou traficante, sou usuário. (O “mas” está subentendido) ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal –Tabela-Verdade

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2. Disjunção: “ou” / símbolo ˅ Disjunção inclusiva é uma proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou”. Exemplo: a) José é um aluno dedicado ou André não sabe lógica. 3. Disjunção exclusiva: “ou…ou…” ou símbolo ˅ Temos, agora, o nosso terceiro operador lógico, denominado de disjunção exclusiva. A proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou…ou…”. Exemplos: a) Ou o mordomo é o culpado ou a governanta é a culpada. b) Amo a minha Pátria ou sou um espião, mas não os dois. 4. Condicional: “se…, então…” / símbolo: → Esse é o principal dos operadores lógicos, em função da incidência em questões de concursos públicos e também pela sua complexidade. Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “se…, então…”/ “quando”, “aquele”, “como” etc. Exemplos: a) Se estudo bastante, então sou bem-sucedido. b) Quando estudo bastante, sou bem-sucedido. c) Aquele que estuda bastante, é bem-sucedido. d) Como estudo bastante, sou bem-sucedido. e) Quem estuda bastante é bem-sucedido. 5. Bicondicional: “se, e somente se” / símbolo: ↔

ANOTAÇÕES

O operador bicondicional será identificado pelo termo “se, e somente se”. A proposição composta é formada por duas proposições que estejam ligadas por esse conectivo.

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade

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Exemplos: a) Aladim beijou a princesa ontem se, e somente se, o dragão desaparecer amanhã. b) Todos os nossos atos têm causa se, somente se, não há atos livres. O “se, e somente se” pode ser substituído por “assim como”. 6. Negação ou modificador lógico símbolo: ¬ ou ~ Exemplos: a) P: José é um aluno dedicado. b) Q: José passou no concurso. c) ¬ P: José não é um aluno dedicado. / Não é verdade que José é um aluno dedicado. / É falso que José é um aluno dedicado. d) ¬ P ˄ Q: Não é verdade que José é um aluno dedicado e José passou no concurso. / É falso que José é um aluno dedicado e José passou no concurso.

Atenção! ¬ ou ~ → não, não é verdade que, é falso que.


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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade II

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LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL – TABELA-VERDADE II Hierarquia entre os operadores lógicos Os operadores são responsáveis por construir os pensamentos de maneira formal, então há uma hierarquia quanto à intensidade do operador, isto é, sua força. A “ordem de precedência” para os conectivos (traz o sentido principal da frase): • 1. Bicondicional (operador mais forte); • 2. Condicional; • 3. Conjunção e disjunção/disjunção exclusiva; • 4. Negação (operador mais fraco). Veja o exemplo: p: estudo q: sou dedicado r: passo no concurso p∧q→r Se estudo e sou dedicado, então passo no concurso. (p) ∧ (q → r) Estudo e, se sou dedicado, então passo no concurso. O conectivo mais “forte” é o bicondicional, e o mais “fraco” é a negação. Na linguagem da lógica formal, qual a importância dos parênteses e como utilizá-los? O uso desse recurso faz-se presente na simbolização das proposições, pois evita qualquer tipo de ambiguidade. Observe os exemplos a seguir: I. p → (r ∧ s). II. (p → r) ∧ s. III. r → ((p ∧ s) → q). IV. (r → p) ∧ (s → q). ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal –Tabela-Verdade II

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A proposição I é uma condicional, pois o conectivo principal é o →. I. p → (r ∧ s) ou p → r ∧ s A proposição II é uma conjunção, pois o conectivo principal é o ∧. Então, I e II não têm o mesmo significado, apesar de possuírem as mesmas proposições e os mesmos conectivos na mesma ordem. I. p → (r ∧ s). II. (p → r) ∧ s. O mesmo acontece com os exemplos III e IV. III. r → ((p ∧ s) → q). IV. (r → p) ∧ (s → q). Há casos em que os parênteses podem ser retirados para que simplifiquem as proposições colocadas, caso não apareça alguma ambiguidade. Porém, para que se possa retirar os parênteses, é preciso seguir algumas convenções, das quais as mais importantes são: a “ordem de precedência” para os conectivos é: ~ depois de ∧ depois de ∨ depois de → depois de ↔, essa ordem é crescente. Sendo assim, o elemento mais “fraco” é ~, e o mais “forte” é o ↔. Observe a proposição: r ∧ p ↔ s → q Portanto, essa proposição é bicondicional e jamais uma condicional ou uma conjunção. Mas, para que se converta o seu sentido numa condicional, os parênteses são obrigatórios.

Atenção!

ANOTAÇÕES

O conectivo condicional é o único que não possui a propriedade comutativa.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade II

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Observe: p: gosto de estudar q: passo no concurso “e”: “p ∧ q” e “q ∧ p” possuem o mesmo significado. “ou”: “p ˅ q” e “q ˅ p” possuem o mesmo significado. “ou...ou”: “p ˅ q” e “q ˅ p” possuem o mesmo significado. “se, e somente se”: “p ↔ q” e “q ↔ p” possuem o mesmo significado. Todos os exemplos acima podem comutar. Possuem a mesma propriedade comutativa. p→q ≠ q→p Nesse caso, não há o mesmo significado. Gosto de estudar → Passo no concurso (antecedente) (consequente) O único conectivo que possui os termos antecedente e consequente é o “se então”.


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ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Linguagem da Lógica Formal – Tabela–Verdade III

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L INGUAGEM DA LÓGICA FORMAL – TABELA-VERDADE III

Direto do concurso 1. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO/2015) A sentença “A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos” pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P→Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas.

Comentário A aprovação em um concurso é consequência de um planejamento adequado de estudos. P → Q (o Q é uma consequência de P) P = antecedente Q = consequente Essa proposição é simples ou composta? Simples. Trata-se de proposição simples. 2. (CESPE/STJ–2015) Designando por p e q as proposições “Mariana tem tempo suficiente para estudar” e “Mariana será aprovada nessa disciplina”, respectivamente, então a proposição “Mariana não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nesta disciplina” é equivalente a ¬p ^ ¬q.

Comentário Mariana não tem tempo suficiente para estudar ¬p e ∧ Não será aprovada nesta disciplina ¬q ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade III

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3. (CESPE/MEC TEMPORÁRIO 2015) A sentença “A vida é curta e a morte é certa” pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ^ Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas.

Comentário A vida é curta P e ∧ A morte é certa Q — Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais! — Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias. Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração de Mário. 4. (CESPE/SERPRO/2013) A declaração de Mário é equivalente a “Se o indivíduo trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias”.

Comentário A declaração de Mário é uma proposição. “Equivalente” é o mesmo que simbologia escrita. “Aquele” tem o mesmo significado de “se…, então…”.

ANOTAÇÕES

5. (CESPE/SERPRO/2013) “Se o indivíduo estiver sempre de férias, então ele trabalha com o que gosta” é uma proposição equivalente à declaração de Mário

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Linguagem da Lógica Formal – Tabela–Verdade III

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Comentário No comando: TG → SF Na questão: SF → TG Condicional é o único conectivo que não pode ser comutado. 6. (CESPE/SEBRAE/2008) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.

Comentário João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma. Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬, ∧ e→ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais. Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: P: Nesse país o direito é respeitado. Q: O país é próspero. R: O cidadão se sente seguro. S: Todos os trabalhadores têm emprego. Considere também que os símbolos “∨”, “∧”, “→” e “¬” representem os conectivos lógicos “ou”, “e”, “se …, então” e “não”, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 7. (CESPE/2008) A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente por P ∧ (¬R). ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade III

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Comentário P: Nesse país o direito é respeitado. Mas: ∧ R: O cidadão se sente seguro. ¬R: O cidadão não se sente seguro. P ∧ (¬R) 8. (CESPE/2008) A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada simbolicamente por Q → S.

Comentário Q: O país é próspero. Então: → S: Todos os trabalhadores têm emprego. Q→S 9. (CESPE/2008) A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma consequência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (Q∧ S) → P.

Comentário Q: O país é próspero. E: ∧ S: Todos os trabalhadores têm emprego.

ANOTAÇÕES

Trata-se de consequência. P → (Q∧ S)

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela–Verdade III

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GABARITO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

E C C C E C C C E


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ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela–Verdade IV

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LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL – TABELA-VERDADE IV Construindo as tabelas-verdade Partindo do pressuposto de que um pensamento pode ser ou verdadeiro ou falso, será apresentado, nesta aula, como construir as tabelas-verdade. O primeiro passo é saber quantas linhas há para cada tabela. Para isso, é preciso saber se há uma proposição simples ou composta. Em uma proposição composta, formada por n variáveis proposicionais, ou seja, “n” pensamentos simples, a tabela-verdade possuirá 2n linhas. A base é o número 2, por se tratar da lógica bivalente, e “n” significa o número de proposições simples. Nº de linhas = 2n(Proposições). Observe os casos a seguir. 1. Quantas linhas possui a tabela verdade da proposição P? P é uma proposição simples. 2n = 21 = 2 linhas P V F

2. Quantas linhas possui a tabela verdade da proposição composta P ˄ Q? 2n = 22 = 4 linhas P V V F F

Q V F V F

ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade IV

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3. Quantas linhas possui a tabela verdade da proposição composta (P ˄ Q) ˅ R? 2n = 23 = 8 linhas P V V V V F F F F

Q V V F F V V F F

R V F V F V F V F

4. Quantas linhas possui a tabela verdade da proposição composta (P ˄ Q) ˅ (R ˄ S)? 2n = 24 = 16 linhas P V V V V V V V V F F F F F F F F

Q V V V V F F F F V V V V F F F F

R V V F F V V F F V V F F V V F F

S V F V F V F V F V F V F V F V F

EXERCÍCIOS

ANOTAÇÕES

1. Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela–Verdade IV

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não, e, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos. Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte. 1. O número de valorações possíveis para (Q ˄ ¬R) → ¬ P é inferior a 9

Comentário Valorações possíveis = número de linhas. 2n = 23 = 8 linhas 8 linhas é inferior a 9. 2. (CESPE/TRT 5ª RG) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A→ B) ↔ (C → D) será superior a 15.

Comentário 2n = 24 = 16 linhas 16 linhas é superior a 15. Abaixo, tabela de símbolos utilizados na lógica matemática.

ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade IV

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Tabelas-verdade 1. Conjunção: “e, mas” / símbolo ˄ e:

X ∩

A A

A V V F F

B B

TABELA-VERDADE B V F V F

A˄B V F F F

Quando é V: pertence ao conjunto. Quando é F: não pertence ao conjunto. É possível comutar? A˄B B˄A Sim. Não muda nada. É como na Matemática: 2 x 3 = 6 / 3 x 2 = 6. Produz o mesmo resultado.

ANOTAÇÕES

A˄B ↔ B˄A

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela–Verdade IV

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GABARITO 1. C 2. C


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Linguagem da Lógica Formal – Tabela–Verdade V

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LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL – TABELA-VERDADE V Tabelas-verdade 1. Conjunção: “e, mas” / símbolo ˄

X

e:

∩

A

B

A

B

TABELA-VERDADE B V F V F

A V V F F

A˄B V F F F

2. Disjunção: “ou” / símbolo: ˅

+ não há algo comum

ou:

P

Q

U Há algo comum P

P V V F F

Q

TABELA-VERDADE Q V F V F

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P˅Q V V V F

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade V

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Pode comutar? P˅Q Q˅P Sim. É possível comutar. P˅Q ↔ Q˅P EXERCÍCIOS Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes. 1. (CESPE) ¬ P ˅ Q é verdadeira.

Comentário P: V Q: V R: V S: V ¬V˅V= F˅V=V 2. (CESPE) ¬ [(¬ P ˅ Q) ˅ (¬ R ˅ S)] é verdadeira.

Comentário

ANOTAÇÕES

P: V Q: V R: V S: V

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela–Verdade V

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¬ [(¬ V ˅ V) ˅ (¬ V ˅ V)] ¬ [(F ˅ V) ˅ (F ˅ V)] ¬ [V ˅ V] ¬ [V] = F 3. (CESPE) [P ˄ (Q ˅ S)] ˄ (¬ [(R ˄ Q) v (P ˄ S)]) é verdadeira.

Comentário P: V Q: V R: V S: V [V ˄ (V ˅ V)] ˄ (¬ [(V ˄ V) v (V ˄ V)]) [V ˄ V] ˄ (¬ [V v V]) V ˄ ¬ (V) V˄F=F 4. (CESPE) (P ˅ (¬ S)) ˄ (Q ˅ (¬ R)) é verdadeira.

Comentário P: V Q: V R: V S: V (V ˅ (¬ V)) ˄ (V ˅ (¬ V)) (V ˅ F) ˄ (V ˅ F) V˄V=V ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade V

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5. (FUNIVERSA/2008) Os valores lógicos – verdadeiro e falso – podem constituir uma álgebra própria, conhecida como álgebra booleana. As operações com esses valores podem ser representadas em tabelas-verdade, como exemplificado abaixo:

As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-verdade. Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. I – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A e B e C), são, respectivamente, falso, falso e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é falso. II – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão (A ou B ou C), são, respectivamente, falso, verdadeiro e falso, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro. III – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A e (B ou C)], são, respectivamente, falso, verdadeiro e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro. IV – Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [A ou (B e C)], são, respectivamente, verdadeiro, falso e falso, então o valor lógico dessa expressão é falso a. Todas as afirmativas estão erradas. b. Há apenas uma afirmativa certa. c. Há apenas duas afirmativas certas. d. Há apenas três afirmativas certas. e. Todas as afirmativas estão certas.

Comentário

ANOTAÇÕES

I – A ˄ B ˄ C; A: F B: F C: V

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela–Verdade V

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F˄F˄V F˄V=F II – A ˅ B ˅ C; A: F B: V C: F F˅V˅F V˅F=V III – (A ˄ (B ˅ C); A: F B: V C: V F ˄ (V ˅ V) F˄V=F IV – A ˅ (B ˄ C); A: V B: F C: F V ˅ (F ˄ F) V˅F=V

1. 2. 3. 4. 5.

C E E C c

GABARITO


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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade VI

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LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL – TABELA-VERDADE VI 6. (FUNDAÇÃO UNIVERSA) Pedro namora ou trabalha; lê ou não namora; rema ou não trabalha. Sabendo-se que Pedro não rema, é correto concluir que ele: a. trabalha e namora. b. não namora e lê. c. não lê e trabalha. d. não trabalha e não lê. e. lê e namora.

Comentário P1: N ˅ T P2: L ˅ ¬ N P3: R ˅ ¬ T P4: ¬ R Assumiremos que todas as proposições são verdadeiras e partiremos da proposição simples (P4): P1: N ˅ T = V P2: L ˅ ¬ N = V P3: R ˅ ¬ T = V P4: ¬ R = V → Conclui-se que R é falso. Na tabela do “ou” (disjunção), basta uma verdade para que a proposição seja verdadeira. P3: R ˅ ¬ T = V F ˅ V = V → Então T é falso. P1: N ˅ T = V V ˅ F = V → Logo ¬ N é falso. P2: L ˅ ¬ N = V V˅ F =V ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade VI

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Agora, para escolher a alternativa certa, observaremos os operadores lógicos em cada uma delas. Na tabela do “e” (conjunção), são necessárias duas verdades para que a proposição seja verdadeira. a. trabalha e namora. → T ^ N = F ^ V = F b. não namora e lê. → ¬ N ^ L = F ^ V = F c. não lê e trabalha. → ¬ L ^ T = F ^ F = F d. não trabalha e não lê. → ¬ T ^ ¬ L = V ^ F = F e. lê e namora. → L ^ N = V ^ V = V 7. (ESAF-2004) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, a. estudo e fumo b. não fumo e surfo c. não velejo e não fumo. d. estudo e não fumo e. fumo e surfo.

Comentário Assumiremos que todas as proposições são verdadeiras e partiremos da proposição simples (P4), até porque a questão já a indicou ser verdadeira: “ora, não velejo”: P1: S ˅ E = V P2: Fum ˅ ¬ S = V P3: Vel ˅ ¬ E = V P4: ¬ Vel = V → Conclui-se que Vel é falso. P3: Vel ˅ ¬ E = V F ˅ V = V → Conclui-se que E é falso.

ANOTAÇÕES

P1: S ˅ E = V V ˅ F = V → Conclui-se que ¬ S é falso.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade VI

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P2: Fum ˅ ¬ S = V V˅ F =V Na tabela do “e” (conjunção), são necessárias duas verdades para que a proposição seja verdadeira. a. estudo e fumo → E ^ Fum = F ^ V = F b. não fumo e surfo → ¬ Fum ^ S = F ^ V = F c. não velejo e não fumo. → ¬ Vel ^ ¬ Fum = V ^ F = F d. estudo e não fumo →E ^ ¬ Fum = F ^ F = F e. fumo e surfo. → Fum ^ S = V ^ V = V 03. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “ou… ou...” (˅)

Obs.: um ou outro, mas, não, os dois. ou... ou...

+ (p - q) u (q - p) p

q

Tabela-Verdade R

S

RvS

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

R

S

Propriedade comutativa (equivalentes): R ˅ S ↔ S ˅ R

ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade VI

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8. (ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio – sabe-se que ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a. Caio e José b. Caio e Adriano c. Adriano e Caio d. Adriano e José e. José e Adriano

Comentário Na disjunção exclusiva, a proposição será verdadeira se seus valores lógicos forem diferentes. Consideraremos as proposições verdadeiras e tomaremos a proposição simples “Adriano é o mais moço” como ponto de partida. P1: José é o mais velho ˅ Adriano é o mais moço = V → Então Adriano não é o mais velho. F V P2: Adriano é o mais velho ˅ Caio é o mais velho = V F V

6. e 7. e 8. b

GABARITO

ANOTAÇÕES


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Linguagem da Lógica Formal - Tabela-Verdade VII

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LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL – TABELA-VERDADE VII 9. (ESAF) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que 1) ou o gol é branco ou o fiesta é branco; 2) ou o gol é preto ou o corsa é azul; 3) ou o fiesta é azul ou o corsa é azul; 4) ou o corsa é preto ou o fiesta é preto. Portanto as cores do gol, corsa e do fiesta são respectivamente: a. Branco, preto, azul b. Preto, azul, branco c. Azul, branco, preto d. Preto, branco, azul e. Branco, azul preto

Comentário Consideram-se verdadeiras as proposições. Quando os valores lógicos forem diferentes, a proposição será verdadeira. Atribuiremos valores lógicos de modo a tornar as proposições verdadeiras, partindo da proposição 1. 1) Gb ˅ Fb V˅ F=V 2) Gp ˅ Ca F ˅ V=V 3) Fa ˅ Ca F˅V=V 4) Cp ˅ Fp F˅V=V Texto para a questão 10 Uma sequência de três proposições — I, II e III —, em que as duas primeiras — I e II — são hipóteses e verdadeiras, e a terceira — III — é verdadeira por consequência das duas hipóteses serem verdadeiras, constitui um raciocínio lógico correto. De acordo com essas informações e considerando o texto, julgue os itens que se seguem acerca de raciocínio lógico. ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal - Tabela-Verdade VII

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10. (CESPE) Considere a seguinte sequência de proposições: I – Ou Penha não é linda ou Penha vencerá o concurso. II – Penha não vencerá o concurso. III – Penha não é linda. Nessa situação, a sequência de proposições constitui um raciocínio lógico correto.

Comentário As proposições I e II são hipóteses e a proposição III é a conclusão. Portanto, devemos analisar se a conclusão é verdadeira se as proposições I e II também forem verdadeiras. Assim, temos: I ¬ Pl ˅ Pvc (V) ˅ (F) = V II ¬ Pvc = (V) III ¬ Pl (V) 11. (CESPE) Considere a seguinte sequência de proposições: I – Ou Josélia é ótima estagiária ou Josélia tem salário baixo. II – Josélia é ótima estagiária. III – Josélia tem salário baixo. Nessa situação, essa sequência constitui um raciocínio lógico correto.

Comentário Trata-se do mesmo raciocínio da questão anterior. Partindo da hipótese de que as proposições I e II são verdadeiras, verificaremos se a proposição III (conclusão) também é verdadeira.

ANOTAÇÕES

I JoE ˅ Jsb (V) ˅ (F) = V II JoE (V) III Jsb (F)

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Linguagem da Lógica Formal - Tabela-Verdade VII

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A verdade das proposições I e II não garante a verdade da terceira, não sendo, portanto, um raciocínio lógico correto. 04. CONDICIONAL: “Se..., Então...” símbolo (→) “Se A, então B” equivale dizer que A está contido em B; observe: Tabela-Verdade A

B

A→B

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

A

B

não existe

A proposição condicional não tem a propriedade comutativa, porque, se trocarmos A e B de posição (linhas 2 e 3 da tabela), os valores lógicos serão diferentes.

O pulo do gato A proposição condicional somente será falsa caso a primeira seja verdadeira e a segunda, falsa; para melhor memorização: V → F (Vera Fischer)

Atenção!

P. ex: Se José é um aluno dedicado, então ele passa no concurso. • José ser um aluno dedicado é condição suficiente para ele passar no concurso.

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Linguagem da Lógica Formal - Tabela-Verdade VII

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• José passar no concurso é condição necessária para José ser um aluno dedicado. GABARITO 9. e 10. C 11. E

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Linguagem da Lógica Formal - Tabela-Verdade VIII

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LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL – TABELA-VERDADE VIII 1. (CESPE/STF-2008) Caso as colunas em branco na tabela abaixo sejam corretamente preenchidas, a última coluna dessa tabela corresponderá à expressão [P ^ (¬Q)] ˅ [Q→P]. P V V F F

Q V F V F

¬Q

P ^ (¬Q)

Q→P

V V F V

Resolução Calcula-se o número de linhas por 2n, em que n é o número de proposições simples: 2n = 22 = 4 P V V F F

Q V F V F

¬Q F V F V

P ^ (¬ Q) F V F F

Q→P V V F V

[P ^ (¬Q)] ˅ [Q→P] V V F V

• P ^ (¬ Q): interseção da 1ª e 3ª colunas • Q→P: interseção da 1ª e 2ª colunas, mas a leitura deve ser feita do Q para o P. • [P ^ (¬Q)] → [Q→P]: interseção da 4ª e 5ª colunas 2. (CESPE/STF-2008) A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (P ^ R) → Q. P V V V V F F F F

Q V V F F V V F F

R V F V F V F V F

P^R

V V F V F V F V

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Linguagem da Lógica Formal - Tabela-Verdade VIII

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Resolução Número de linhas: 2n = 23 = 8 P V V V V F F F F

Q V V F F V V F F

R V F V F V F V F

P^R V F V F F F F F

(P ^ R) → Q V V F V V V V V

• P ^ R: interseção da 1ª e 3ª colunas • P ^ R→Q: interseção da 2ª e 4ª colunas, mas a leitura deve ser feita do P ^ R para o Q. • [P ^ (¬Q)] → [Q→P]: interseção da 4ª e 5ª colunas 3. (CESPE/STF-2008) A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (¬P) ˅ (Q → R). P V V V V F F F F

Q V V F F V V F F

R V F V F V F V F

¬P

Q→R

V F V V V V V V

Resolução Número de linhas: 2n = 23 = 8 P V V V V F F F F

Q V V F F V V F F

R V F V F V F V F

¬P F F F F V V V V

Q→R V F V V V F V V

• Q ^ R: interseção da 2ª e 3ª colunas • (¬P) ˅ (Q → R): interseção da 4ª e 5ª colunas

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(¬P) ˅ (Q → R) V F V V V V V V

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Linguagem da Lógica Formal - Tabela-Verdade VIII

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4. (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta, logo: a. O jardim é florido e o gato mia. b. O jardim é florido e o gato não mia. c. O jardim não é florido e o gato mia. d. O jardim não é florido e o gato não mia. e. Se o passarinho canta então o gato não mia.

Resolução Consideraremos todas as proposições verdadeiras. Partiremos da proposição simples “o passarinho canta”, que a questão considerou verdadeira. • P1: ¬ JF → GM = V V V • P2: JF → ¬ PC = V F F • P3: PC = V Passemos a analisar os operadores lógicos constantes das alternativas: a) O jardim é florido e o gato mia = F ^ V = F b) O jardim é florido e o gato não mia = F ^ F = F c) O jardim não é florido e o gato mia =V ^ V = V d) O jardim não é florido e o gato não mia =V ^ F = F e) Se o passarinho canta então o gato não mia = V → F = F 5. (ESAF) Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz. Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo. Se o rei fica no castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, a rainha não briga com o rei. Logo: a. o rei não fica no castelo e o anão não foge do tigre. b. o rei fica no castelo e o tigre é feroz. c. o rei não fica no castelo e o tigre é feroz. d. o tigre é feroz e o anão foge do tigre. e. o tigre não é feroz e o anão foge do tigre. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Linguagem da Lógica Formal - Tabela-Verdade VIII

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Resolução Consideraremos todas as proposições verdadeiras. Partiremos da proposição simples P4 “a rainha não briga com o rei”, que a questão considerou verdadeira. • P1: Aft → Tf = V F→F • P2: Tf →Rfc = V F →F • P3: Rfc →Rbr = V F →F • P4: ¬ Rbr = V Passemos a analisar os operadores lógicos constantes das alternativas: a) o rei não fica no castelo e o anão não foge do tigre = V ^ V = V b) o rei fica no castelo e o tigre é feroz = F ^ F = F c) o rei não fica no castelo e o tigre é feroz = V ^ F = F d) o tigre é feroz e o anão foge do tigre = F ^ F = F e) o tigre não é feroz e o anão foge do tigre = V ^ F = F

ANOTAÇÕES

6. (VUNESP/POLÍCIA CIVIL-SP/2013) André tem um conjunto de cartas. Cada carta tem apenas um número em uma das faces e a foto de apenas um animal na outra. André dispôs quatro cartas sobre a mesa com as seguintes faces expostas: cisne, gato, número 7 e número 10, como se mostra:

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Linguagem da Lógica Formal - Tabela-Verdade VIII

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André disse: “Se na face de uma carta há número par, então no verso há um animal mamífero”. Para verificar se a afirmação de André está correta, é a. suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e C. b. suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e C. c. suficiente que se verifiquem os versos das cartas A e D. d. suficiente que se verifiquem os versos das cartas B e D. e. necessário que se verifiquem os versos das quatro cartas.

Resolução Nº par →mamífero Cartas

André disse: Nº par →mamífero

V

A

V/F → F

V/F

B

V/F →V

V

C

F →V/F

V

D

V → V/F

V/F

A: é necessário virar a carta A, porque a afirmação pode ser verdadeira ou falsa, dependendo se o número for par ou ímpar. B: independentemente de o número ser par, a afirmação de André será verdadeira. C: independentemente de ser um mamífero, a afirmação de André será verdadeira. D: é necessário virar a carta A, pois a afirmação pode ser verdadeira ou falsa, dependendo se houver um mamífero no verso da carta.

ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal - Tabela-Verdade VIII

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GABARITO 1. 2. 3. 4. 5. 6.

C E C c a c

ANOTAÇÕES


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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade IX

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LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL – TABELA-VERDADE IX 1. (CESPE/PRF/2008) Em um posto de fiscalização da PRF, cinco veículos foram abordados por estarem com alguns caracteres das placas de identificação cobertos por uma tinta que não permitia o reconhecimento, como ilustradas abaixo, em que as interrogações indicam os caracteres ilegíveis.

Os policiais que fizeram a abordagem receberam a seguinte informação: se todas as três letras forem vogais, então o número, formado por quatro algarismos, é par. Para verificar se essa informação está correta, os policiais deverão retirar a tinta das placas a. I, II e V. b. I, III e IV. c. I, III e V. d. II, III e IV. e. II, IV e V

Comentário Placas I II III IV V

Afirmação: 3 vogais →par V → V/F F→V V/F → V/F V/F → V V/F → F

V V/F V V/F V F/V

• É necessário remover a tinta da placa I, III e V porque a afirmação pode ser verdadeira ou falsa, se o número for par ou ímpar. ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade IX

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• Nas placas II e IV, independentemente de haver consoantes ou vogais, a afirmação será verdadeira. 05. BICONDICIONAL: “se, e somente se” (↔) (A → B) ^ (B → A) = A ↔ B A

B

U

B

A

A=B

=

Como os conjuntos são iguais, o valor lógico de uma bicondicional será verdadeiro quando seus valores lógicos forem iguais. A V V F F

B V F V F

A↔B V F F V

A=B

Atenção! • Cabe a propriedade comutativa, pois, se invertermos os valores lógicos de A e B, o resultado será o mesmo. • Na bicondicional, A é condição suficiente e necessária para B.

Direto do concurso

ANOTAÇÕES

2. (ESAF) O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade IX

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I – Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? II – Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem? III – Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã? O lógico da corte então diz, acertadamente, que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são: a. não, sim, não. b. não, não, sim. c. sim, sim, sim. d. não, sim, sim e. sim, não, sim.

Resolução Dragão desaparecerá ↔ Aladim beijou a princesa I

V↔F

F

II

V↔V

V

III

V↔F

F

I. Como a afirmação do mago é falsa, os valores lógicos serão diferentes. Portanto, não se pode concluir que Aladim beijou a princesa ontem. Resposta: não II. A afirmação do mago é verdadeira, então, os valores lógicos serão iguais. Como o dragão desaparecerá amanhã, Aladim beijou a princesa ontem. Resposta: sim III. A afirmação do mago é falsa, então, os valores lógicos serão diferentes. Como Aladim não beijou a princesa ontem, o dragão desaparecerá amanhã. Resposta: sim

ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade IX

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GABARITO 1. c 2. d

ANOTAÇÕES


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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade X

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LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL – TABELA-VERDADE X 2. (ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio, a. João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. b. João não está feliz, e Maria Sorri, e Daniela não abraça Paulo. c. João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. d. João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo. e. João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

Resolução

Partiremos da proposição simples P4, que a questão considerou verdadeira: P1: Ms →Jf F→F=V P2: Jf → DaP F→F=V P3: DaP ↔ SaS F↔F=V P4: ¬ SaS = V

ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade X

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3. (ESAF/TÉCNICO) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta, a. Beto não bebe ou Ana não chora. b. Denise dança e Beto não bebe. c. Denise não dança ou Ana não chora. d. nem Beto bebe nem Denise dança. e. Beto bebe e Ana chora.

Resolução Partiremos da proposição simples P4, que a questão considerou verdadeira: P1: Cc →Bb V→V=V P2: Bb → Dd V→V=V P3: Dd ↔ Ac V↔V=V P4: Cc = V Agora, analisaremos os conectivos das alternativas: a. Beto não bebe ou Ana não chora. ¬ Bb ˅ ¬ Ac = F ˅ F = F b. Denise dança e Beto não bebe. Dd ^ ¬ Bb = V ^ F = F c. Denise não dança ou Ana não chora.¬ Dd ˅ ¬ Ac = F ˅ F = F d. nem Beto bebe nem Denise dança. ¬ BB ^ ¬ Dd = F ^ F = F

Obs.: nem = “e não”

ANOTAÇÕES

e. Beto bebe e Ana chora. Bb ^ Ac = V ^ V = V

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade X

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06. NEGAÇÃO: “não” símbolo: ~ / ¬ Também pode ser indicada pelas seguintes expressões: “não é verdade que”, é falso que P V F

¬P F V

Texto para as questões 1 e 2 Nos termos da Lei n.º 8.666/1993, “É dispensável a realização de nova licitação quando não aparecerem interessados em licitação anterior e esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração”. Considerando apenas os aspectos atinentes à lógica e que ele seja cumprido se, e somente se, a proposição nele contida – proposição P – for verdadeira, julgue os itens seguintes. 1. (CESPE/MPU/2013) O gestor que dispensar a realização de nova licitação pelo simples fato de não ter aparecido interessado em licitação anterior descumprirá a referida lei.

Resolução D = É dispensável a realização de nova licitação ¬ I = não aparecerem interessados em licitação anterior ¬ R = esta não puder ser repetida sem prejuízo para a administração Proposição: D quando ¬ I ^ ¬ R P: (¬ I ^ ¬ R) → D De acordo com o comando da questão, temos: ANOTAÇÕES

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade X

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(¬ I ^ ¬ R) → D V ^ V/F → V Independentemente do valor lógico de ¬ R, a proposição será verdadeira, tendo o gestor, cumprido a lei. 2. (CESPE/MPU/2013) Supondo-se que a proposição P e as proposições “A licitação anterior não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” e “É dispensável a realização de nova licitação” sejam verdadeiras, é correto concluir que também será verdadeira a proposição “Não apareceram interessados em licitação anterior”.

Resolução P: (¬ I ^ ¬ R) → D ?^ V →V Independentemente do valor lógico de ¬ I, a proposição será verdadeira; para constatar, a consideraremos falsa: P: (¬ I ^ ¬ R) → D F^ V →V F →V=V Texto para a questão 3 — Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais! — Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias.

ANOTAÇÕES

Considerando o diálogo acima, julgue o item seguinte, tendo como referência a declaração de Mário.

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Linguagem da Lógica Formal – Tabela-Verdade X

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3. (CESPE/SERPRO/2013) Se as proposições “João trabalha com o que gosta” e “João não está sempre de férias” forem verdadeiras, então a declaração de Mário, quando aplicada a João, será falsa.

Resolução Declaração de Mário: aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias = Se Tg, então Sf. Tg → Sf. De acordo com o item: Tg = V ¬ Sf = V → assim, Sf é falso Agora, aplicaremos os valores lógicos atribuídos pelo item na proposição: Tg → Sf V →F=F

1. d 2. e 1. E 2. E 3. C

GABARITO


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ANOTAÇÕES

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Tautologia, Contingência e Contradição

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TAUTOLOGIA, CONTINGÊNCIA E CONTRADIÇÃO TAUTOLOGIA Trata-se de uma proposição composta, formada por duas ou mais proposições, que sempre será verdadeira, independentemente da verdade de seus termos. Na filosofia e em outras áreas das ciências humanas, um argumento é tautológico quando se explica por ele próprio, às vezes, de forma redundante ou falaciosa; por exemplo: "o mar é azul porque reflete a cor do céu e o céu é azul por causa do mar". Da mesma forma, um sistema é caracterizado como tautológico quando não apresenta saídas à sua própria lógica interna; por exemplo: exige-se curso universitário de um trabalhador para que ele seja empregado, mas ele precisa ter um emprego para custear as despesas do curso universitário. A proposição (A → B) ↔ (~A v B) é uma tautologia.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (RESOLUÇÃO DE FORMA CONVENCIONAL) 1. (CESPE/2008) Se A e B são proposições, então a proposição A v B ↔ (¬A) ^ (¬B) é uma tautologia.

Resolução A V V F F

B V F V F

¬A F F V V

¬B F V F V

AvB V V V F

¬A ^ ¬B F F F V

A v B ↔ (¬A) ^ (¬B) F F F F

ANOTAÇÕES

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Tautologia, Contingência e Contradição

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2. (CESPE/PMDF/2009) A proposição (A ^ B) → (A v B) é uma tautologia.

Resolução A V V F F

B V F V F

A^B V F F F

AvB V V V F

(A ^ B) → (A v B) V V V V

3. (CESPE/DEPEN/2013) A proposição [(P ^ Q) → R] v R é uma tautologia, ou seja, ela é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de P, Q e R.

Resolução P V V V V F F F F

Q V V F F V V F F

R V F V F V F V F

P^Q V V F F F F F F

P^Q→R V F V V V V V V

[(P ^ Q) → R] v R V F V V V V V V

DESAFIO (CESPE/UnB) A proposição [(P → Q) ^ (Q → R)] → (P → R) é uma tautologia.

Resolução C

∪

C

C

[(P → Q) ^ (Q → R)] → (P → R) R P

2

Q

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Tautologia, Contingência e Contradição

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO (resolução de forma prática) 1. (CESPE/2008) Se A e B são proposições, então a proposição A v B ↔ (¬A) ^ (¬B) é uma tautologia.

Resolução Uma proposição é a negação da outra. A proposição bicondicional será verdadeira se seus valores lógicos forem iguais, o que não é o caso da questão.

A v B ↔ (¬A) ^ (¬B) V↔F=F F↔V=F 2. (CESPE/PMDF/2009) A proposição (A ^ B) → (A v B) é uma tautologia.

Resolução A dica é considerar a proposição como falsa, porque, somente em uma circunstância, a proposição condicional será falsa: antecedente verdadeiro e consequente falso. (A ^ B) → (A v B) V→ F = F Para a proposição A ^ B ser verdadeira, ambos os valores lógicos devem também devem ser verdadeiros. Como A e B são verdadeiros, a proposição A v B também será verdadeira, visto que basta uma verdade para que a disjunção também o seja. Portanto, a proposição (A ^ B) → (A v B) será verdadeira. ANOTAÇÕES

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Tautologia, Contingência e Contradição

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3. (CESPE/DEPEN/2013) A proposição [(P ^ Q) → R] v R é uma tautologia, ou seja, ela é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de P, Q e R.

Resolução A dica é novamente considerar a proposição como falsa, porque, somente em uma circunstância, a disjunção será falsa: antecedente e consequente falsos. [(P ^ Q) → R] v R = F F vF=F Para a proposição P ^ Q → R ser falsa, os valores lógicos de P e Q devem ser verdadeiros, uma vez que R é falso. Como antecedente (P ^ Q → R) e consequente (R) são falsos, a proposição composta também será falsa, visto que essa é a condição para que a disjunção seja falsa. Portanto, a proposição [(P ^ Q) → R] v R pode ser falsa quando P e Q forem verdadeiros e R, falso. DESAFIO (CESPE/UnB) A proposição [(P → Q) ^ (Q → R)] → (P → R) é uma tautologia.

Resolução A dica é considerar a proposição como falsa, porque, somente em uma circunstância, a proposição condicional será falsa: antecedente verdadeiro e consequente falso. [(P → Q) ^ (Q → R)] → (P → R) = F V → F =F

ANOTAÇÕES

• A conjunção [(P → Q) ^ (Q → R)] será verdadeira quando antecedente (P → Q) e consequente (Q→R) forem verdadeiros.

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Tautologia, Contingência e Contradição

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• A condicional (P → R) será falsa quando P for verdadeiro e R for falso. • Para a condicional (P → Q) ser verdadeira, Q deve ser verdadeiro, visto que P também é. • Para a condicional (Q → R) ser verdadeira, sendo R falso, Q deveria, necessariamente, ser falso, o que não acontece. Portanto, não é possível considerar a proposição [(P → Q) ^ (Q → R)] → (P → R) falsa. v

v

V F → R) =F [(P → Q) ^ (Q → R)] → (P v

v

F

V

F

F

CONTRADIÇÃO Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contradição (ou contraválida) se ela for sempre falsa, independentemente da verdade de seus termos.

EXEMPLO: Uma proposição é uma contradição quando for sempre falsa. Verifique se a proposição composta P ^ ~P é uma contradição. P

¬P

P^¬P

V

F

F

F

V

F

ANOTAÇÕES

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Tautologia, Contingência e Contradição

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CONTINGÊNCIA Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição. Ao construir a tabela-verdade de uma proposição composta, verificaremos se a proposição é uma tautologia (só resultados V) ou uma contradição (só resultados F); por exceção, será uma contingência. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas.

EXEMPLO: 1. (2016/IADES) Em relação à proposição (p ↔ q) ∧ (p → q), assinale a alternativa correta. a. É uma tautologia. b. É uma contingência. c. É uma contradição. d. A tabela verdade que a representa é formada por oito linhas. e. É uma proposição composta formada a partir de três proposições simples.

Resolução

ANOTAÇÕES

(p ↔ q) ∧ (p → q) V ∧V = V F∧F = F F∧V = F V∧V = V

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Tautologia, Contingência e Contradição

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2. (2016/CESPE) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo: P: Cometeu o crime A. Q: Cometeu o crime B. R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado. S: Poderá optar pelo pagamento de fiança. Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era inafiançável. Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue: A sentença (P→Q)↔[(~Q)→(~P)] será sempre verdadeira, independentemente das valorações de P e Q como verdadeiras ou falsas.

Resolução (P→Q)↔[(~Q)→(~P)] As proposições (P→Q) e [(~Q)→(~P)] são equivalentes, visto que: P→Q = ~Q → ~P A bicondicional será verdadeira quando seus valores lógicos forem iguais, portanto: (P→Q)↔[(~Q)→(~P)] V↔V = V F↔F = V ANOTAÇÕES

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Tautologia, Contingência e Contradição

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P V V F F

Q V F V F

~P F F V V

~Q F V F V

P→Q V F V V

~Q → ~P V F V V

(P→Q)↔[(~Q)→(~P)] V V V V

GABARITO Forma convencional 1. E 2. C 3. E Desafio: C Forma prática 1. E 2. C 3. E Desafio: C 1. b 2. C

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Negação de Proposições Compostas

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NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS • Proposições compostas são formadas por dois ou mais pensamentos e possuem operadores lógicos. • Duas proposições compostas serão uma a negação da outra quando formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas verdade contrários (opostos). Principais negações

• Exemplo: ‘gosto de português e de matemática’. A negação é ‘não gosto de português ou não gosto de matemática’. A fundamentação teórica é que essas duas preposições são formadas pelos mesmos pensamentos simples, mas os resultados de suas tabelas-verdade são apostos. • Exemplo: ‘gosto de português ou de matemática’. A negação é ‘não gosto de português e não gosto de matemática’. ANOTAÇÕES

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Negação de Proposições Compostas

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Obs.: ‘e não’ é equivalente a ‘nem’. • A negação da condicional é ‘manter o primeiro e negar o segundo termo’. Exemplo: ‘se gosto de português, então gosto de matemática’. A negação é ‘gosto de português e não gosto de matemática’. • A negação do A ↔ B também pode ser A v B. • A bicondicional é a condicional que vai e volta, podendo ser representada também como (A → B) Λ (B → A). Logo, sua negação será (A Λ ¬B) V (B Λ ¬A). Exemplos

• A negação de P ↔ Q também pode ser P v Q. Assim, ‘eu te darei um carro, se e somente se eu ficar rico’ tem como negação ‘ou eu te darei um carro ou ficarei rico’. Negação de uma sentença Negação

X>A

X
X
X rel="nofollow">A

X=A

X≠A

ANOTAÇÕES

Afirmação

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Negação de Proposições Compostas

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• Resumo: Negação de proposições compostas Negação de sentenças

Afirmação pΛq pVq p→q p↔q X>7 X<7 X=7

Negação ¬p V ¬q ¬p Λ ¬q p Λ ¬q pVq X<7 X>7 X≠7

O pulo do gato Quando se deparar com o comando de negar uma proposição simples (sujeito + predicado), você deve negar a ação do sujeito, e não o predicado. Assim, a negação da proposição simples ‘acredito que estou certo’ é ‘não acredito que estou certo’.


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Negação de Proposições Compostas II

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NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS II 1. (ANPAD) A negação da proposição “A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo, mas não jogou bem” é: a. A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo e não jogou bem. b. A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo ou não jogou bem. c. A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo, mas jogou bem. d. A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo ou jogou bem. e. A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo e não jogou bem.

Resolução • ‘mas’ dá ideia de ‘e’. • A negação da frase é “A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo ou jogou bem”. 2. (MINISTÉRIO DA AGRICULTURA) A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete” é: a. Me caso e não compro sorvete. b. Não me caso ou não compro sorvete. c. Não me caso e não compro sorvete. d. Não me caso ou compro sorvete. e. Se me casar, então não compro sorvete.

Resolução • Negação de ‘me caso’ é ‘não me caso’. • ‘ou’ vira ‘e’. • Negação de ‘compro sorvete’ é ‘não compro sorvete’. 3. (ESAF) A negação da afirmação condicional “se Ana viajar, Paulo vai viajar” é: ANOTAÇÕES

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Negação de Proposições Compostas II

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a. Ana não está viajando e Paulo vai viajar. b. se Ana não viajar, Paulo vai viajar. c. Ana está viajando e Paulo não vai viajar. d. Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. e. se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.

Resolução Negação da condicional: mantém o primeiro e nega o segundo (mantém o antecedente e nega o consequente). Assim, a negação da frase é: Ana está viajando e Paulo não vai viajar. 4. A negação de “O gato mia e o rato chia” é: a. O gato não mia e o rato não chia. b. O gato mia ou o rato chia. c. O gato não mia ou o rato não chia. d. O gato e o rato não miam nem chiam. e. O gato chia e o rato mia.

Resolução • ‘e’ vira ‘ou’. • Negação de ‘gato mia’ é ‘gato não mia’. E a negação de ‘rato chia’ é ‘rato não chia’.

ANOTAÇÕES

5. A negação de “Hoje é segunda feira e amanhã não choverá” é: a. Hoje não e segunda feira e amanhã choverá. b. Hoje não é segunda feira ou amanhã choverá. c. Hoje não é segunda feira, então amanhã choverá. d. Hoje não é segunda feira nem amanhã choverá. e. Hoje é segunda feira ou amanhã não choverá.

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Negação de Proposições Compostas II

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Resolução • ‘e’ vira ‘ou’. • Negação de ‘Hoje é segunda feira’ é ‘Hoje não é segunda feira’. E a negação de ‘amanhã não choverá’ é ‘amanhã choverá’. 6. (ESAF/AFC) Ao resolver um problema de matemática, Ana chegou à conclusão de que: x = a e x = p, ou x = e. Contudo, sentindo-se insegura para concluir em definitivo a resposta do problema, Ana telefona para Beatriz, que lhe dá a seguinte informação: x ≠ e. Assim, Ana corretamente conclui que: a. x ≠ a ou x ≠ e b. x = a e x = p c. x = a ou x = p d. x = a e x ≠ p e. x ≠ a e x ≠ p

Resolução • Sentença apresentada na questão: (x = a ∧ x = p) v (x = e). • ‘x ≠ e’ é uma verdade. Assim, ‘x = e’ é falso. Logo, (x = a ∧ x = p) v (x = e) será verdade por causa do ‘ou’, assim como (x = a ∧ x = p) também é verdade. 7. (ESAF/APO) Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente, então, do ponto de vista lógico, Paulo pode afirmar corretamente que: a. X ≠ B e Y ≠ D b. X = B ou Y ≠ D c. X ≠ B ou Y ≠ D d. se X ≠ B, então Y ≠ D e. se X ≠ B, então Y = D ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Negação de Proposições Compostas II

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Resolução • Sentença apresentada na questão: X = B ∧ Y = D. • Por se tratar de uma pessoa mentirosa, a sentença deve ser negada pois será uma verdade. Logo, X ≠ B v Y ≠ D. 8. (ESAF/AFC) As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem dos valores assumidos pelas variáveis X, Y, Z, W e Q: i) X < Y e X > Z; ii) X < W e W < Y se e somente se Y > Z; iii) Q ≠ W se e somente se Y = X. Logo: a. Y > W e Y = X b. Q < Y e Q > Z c. X = Q d. W < Y e W = Z e. Y = Q e Y > W

Resolução • Sentenças apresentadas na questão: I – X < Y ∧ X > Z II – X < W ∧ W < Y ↔ Y > Z III – Q ≠ W ↔ Y = X • Para X < Y ∧ X > Z ser verdade, é necessário que seus dois termos sejam verdadeiros. Assim, se X < Y for verdade, Y = X é falso. Portanto, para uma sentença de ‘se e somente’ ser verdade (caso da proposição III), os dois termos devem ser ou verdadeiros ou falsos. V

V

I – 4X < Y ∧ X > Z V

Verdade V

II – (X < W ∧ W < Y) ↔ Y > Z F

F

III – Q ≠ W ↔ Y = X

Verdade Verdade

ANOTAÇÕES

• Levando em consideração os valores numéricos:

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Negação de Proposições Compostas II

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9. (CESPE/POLÍCIA CIVIL-CE/2012) O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue o item a seguir. A negação de P4 é logicamente equivalente à proposição “O policial teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, mas não tem informações precisas ao tomar decisões”.

Resolução • Sentença de P4: (TA ∧ ES) → IP. Sendo TA = treinamento adequado, ES = dedicação aos estudos, IP = informações precisas. • O conectivo ‘→’ é mais forte que ‘∧’. Logo, você deve focar na condicional, e sua negação é feita mantendo o antecedente e negando o consequente. Assim, (TA ∧ ES) ∧ ¬ IP. 10. (CESPE/2008) Com relação à lógica formal, julgue o item subsequente. A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.

Resolução A negação de 2 + 5 = 9 é 2 + 5 ≠ 9. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Negação de Proposições Compostas II

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11. (ANATEL/2012) “P1: A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes superior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos.” Com base na proposição acima, julgue o item subsecutivo. A negação de P1 é corretamente expressa por “A quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por ligações é quatro vezes inferior à quantidade de interrupções nas chamadas realizadas de aparelhos cadastrados em planos tarifados por minutos”.

Resolução A negação do ‘maior’ é ‘menor ou igual’. No caso, a negação do ‘superior’ seria ‘inferior ou igual’. 12. (CESPE/MPU/2013) Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a seguinte colocação: “Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar”. Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção exclusiva, julgue o item seguinte. A negação da colocação do jornalista é equivalente a “Cai o ministro da Fazenda se, e somente se, cai o dólar”.

Resolução ‘Se e somente se’ é a negação de ‘ou...ou’ – e vice-versa.

ANOTAÇÕES

13. (2017/FCC) A frase que corresponde à negação lógica da afirmação: Se o número de docinhos encomendados não foi o suficiente, então a festa não acabou bem, é a. Se o número de docinhos encomendados foi o suficiente, então a festa acabou bem.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Negação de Proposições Compostas II

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b. O número de docinhos encomendados não foi o suficiente e a festa acabou bem. c. Se a festa não acabou bem, então o número de docinhos encomendados não foi o suficiente. d. Se a festa acabou bem, então o número de docinhos encomendados foi o suficiente. e. O número de docinhos encomendados foi o suficiente e a festa não acabou bem.

Resolução Negação da condicional: mantém o antecedente e nega o consequente. Assim, ‘o número de docinhos encomendados não foi o suficiente e a festa acabou bem’ é a negação da proposição. GABARITO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

d c c c b b c

8. 9. 10. 11. 12. 13.

b E E E C b


�Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha.

ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Equivalências Lógicas

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EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS Proposições logicamente equivalentes Duas proposições são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são idênticos. Símbolo de equivalência: ⇔ Veja o exemplo abaixo: A→B⇔¬A∨B O que é igual é equivalente, mas nem tudo que é equivalente é igual. Observe: 6 2 = 15 5 As duas frações acima são iguais? As duas frações são equivalentes (multiplicam por três). A→B⇔¬A∨B V V F = F V V V V Lei distributiva a) A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Equivalências Lógicas

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Exemplificando com a matemática: 2 x (3 + 4) = (2 x 3) + (2 x 4) 2x7=6+8 14 = 14 Produziu o mesmo resultado. Na lógica, segue o mesmo raciocínio: A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) Basta observar a coluna acima.

Atenção! A lei distributiva possui suas proposições com os conectivos “e” e “ou”. b) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) A V V V V F F F F

B V V F F V V F F

C V F V F V F V F

B∧C V F F F V F F F

A ∨ (B ∧ C) V V V V V F F F

A∨B V V V V V V F F

Veja: A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) Lei condicional

ANOTAÇÕES

Essa é a lei principal.

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A∨C V V V V V F V F

(A ∨ B) ∧ (A ∨ C) V V V V V F F F

RACIOCÍNIO LÓGICO

Equivalências Lógicas

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(A → B ⇔ ~ A ∨ B) [nega o primeiro e mantém o segundo] (A → B ⇔ ~ B → ~ A) [essa é a contrapositiva]

A→B ¬B→¬A ¬A∨B

Direto do concurso 1. (ESAF/TÉCNICO/2006) Uma sentença logicamente equivalente a “Se Ana é bela, então Carina é feia” é: a. Se Ana não é bela, então Carina não é feia. b. Ana é bela ou Carina não é feia. c. Se Carina é feia, Ana é bela. d. Ana é bela ou Carina é feia. e. Se Carina não é feia, então Ana não é bela. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Equivalências Lógicas

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Comentário Se Ana é bela, então Carina é feia. AB → CF ¬ CF → ¬ AB ¬ AB ∨ CF Se Carina não é feia, então Ana não é bela. Foi utilizada a contrapositiva: ¬ CF → ¬ AB 2. (CESPE) As proposições A → B e (~ B) → (~ A) têm a mesma tabela verdade.

Comentário Sim, pois são equivalentes. Trata-se de contra-positiva. 3. (ESAF) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a. se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b. se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. c. se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d. se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e. se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

Comentário Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista. A→B

ANOTAÇÕES

¬B→¬A ¬A∨B

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Equivalências Lógicas

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Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. Foi negado o primeiro e mantido o segundo. GABARITO 1. e 2. C 3. a


Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Equivalências Lógicas II

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EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS II Lei da dupla negação Veja: ~ (~ A) ⇔ A Demonstração: ~ (~ A) ⇔ A A V F

~A F V

~ (~ A) V F

Lei de Morgan Observe: ~ (A ∧ B) ⇔ (~ A) ∨ (~ B) / ~ (A ∨ B) ⇔ (~ A) ∧ (~ B) Demonstração: ~ (A ∧ B) ⇔ (~ A) ∨ (~ B)

Demonstração: ~ (A ∨ B) ⇔ (~ A) ∧ (~ B)

ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Equivalências Lógicas II

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Direto do concurso 1. (ESAF/AFC) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a. Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b. Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c. Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d. se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e. e. se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

Comentário Pedro é pobre e Alberto é alto. ¬ (Pp ∧ Aa) ¬ Pp ∨ ¬ Aa Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. 2. (ESAF) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente a afirmação: a. É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. b. Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está não está em Paris”. c. Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris”. d. Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris”.

Comentário Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris. ¬ (Pr → Pp) ⇔ Pr ∧ ¬Pp F V F F

F V F F

Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris”. 2

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Equivalências Lógicas II

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Lei bicondicional Veja: [(A → B) ∧ (B → A)] ⇔ [A ↔ B] Demonstração: [(A → B) ∧ (B → A)] ⇔ [A ↔ B]

Lei comutativa Como já visto ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conectivos conjuntivo, disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comutativa, isto é, ao trocarmos a ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade permanecem idênticos. Com relação ao conectivo condicional não ocorre o mesmo, uma vez que os resultados de suas tabelas-verdade não serão os mesmos. Resumindo, o conectivo não possui a propriedade comutativa.

Direto do concurso 1. (FCC/TRF) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo, ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Equivalências Lógicas II

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a. alguns atos não têm causa se não há atos livres. b. todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. c. todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. d. todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres. e. alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.

Comentário Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa. (AC → ¬ AL) ∧ (¬ AL → AC) ⇔ AC ↔ ¬ AL [(A → B) ∧ (B → A)] ⇔ [A ↔ B] 2. (CESPE) Considere a seguinte proposição: “Se Antônio resolver corretamente esta prova, então ele passará no concurso”. Nessa situação, é correto concluir que “Se Antônio não resolver corretamente esta prova, então ele não passará no concurso”.

Comentário Se Antônio resolver corretamente esta prova, então ele passará no concurso. ARC → APC ⇔ ¬ ARC → ¬ APC Não basta apenas negar.

ANOTAÇÕES

3. (CESPE) Considere a seguinte proposição: “Alice não foi ao cinema ou Bernardo foi jogar futebol”. Dessa proposição, é correto concluir que “Se Bernardo não foi jogar futebol, então Alice não foi ao cinema”.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Equivalências Lógicas II

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Comentário Alice não foi ao cinema ou Bernardo foi jogar futebol. ¬A∨B⇔A→B ¬ B → ¬ A (CESPE concluiu isso) São idênticos.

1. 2. 1. 2. 3.

a d c E C

GABARITO


Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha.

ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO Equivalências Lógicas III Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online

EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS III TREINAMENTO 1. (INEP/2007) Admita verdadeira a declaração: “se A é C, então B não é C”. Conclui-se corretamente que a. se B é C, então A não é C. b. se B é C, então A é C. c. se B não é C, então A não é C. d. se B não é C, então A é C. e. se A não é C, então B é C.

Resolução • Há na questão uma condicional. • Com o “Conclui-se corretamente que”, o examinador requer que se faça uma equivalência lógica. • A contrapositiva é B é C → A não é C. 2. (CESRANRIO) Considere verdadeira a declaração: “Se alguém é brasileiro, então não desiste nunca”. Com base na declaração, é correto concluir que: a. se alguém desiste, então não é brasileiro. b. se alguém não desiste nunca, então é brasileiro. c. se alguém não desiste nunca, então não é brasileiro. d. se alguém não é brasileiro, então desiste. e. se alguém não é brasileiro, então não desiste nunca

Resolução • Há uma proposição condicional. • Para fazer a equivalência de “se… então”, é necessário trocar e negar. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO Equivalências Lógicas III Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online

3. (CESPE/PRF/2012) A proposição “Se estou há 7 anos na faculdade e não tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades, então não tenho um mínimo de maturidade” é equivalente a “Se eu tenho um mínimo de maturidade, então não estou há 7 anos na faculdade e tenho capacidade para assumir minhas responsabilidades”.

Resolução • A simbologia é: (7F ^ ¬ R) → ¬ M • A equivalência correta é: v

M → (¬ 7F ^ R) F2 – se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião; 4. (CESPE/PCES/2010) A proposição F2 é logicamente equivalente à proposição “Se o dinheiro não ficou com Gavião, então não havia um caixa eletrônico em frente ao banco”.

Resolução • F2 é uma proposição condicional. • Contrapositiva: O consequente se torna o antecedente negado e o antecedente vira o consequente negado.

ANOTAÇÕES

— Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais! — Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias. Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração de Mário. 5. (CESPE/SERPRO/2013) A declaração de Mário é equivalente a “Se o indivíduo trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias”.

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RACIOCÍNIO LÓGICO Equivalências Lógicas III Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online

Resolução • Frases interrogativas e exclamativas são sentenças abertas. • O “aquele” pode ser substituído por “se… então”. • Essa questão não requer uma equivalência lógica. 6. (CESPE/SERPRO/2013) “Se o indivíduo estiver sempre de férias, então ele trabalha com o que gosta” é uma proposição equivalente à declaração de Mário.

Resolução • Simbologia: SF → TG • A proposição não é equivalente, pois o “se… então” não possui a propriedade comutativa. Considere a proposição P a seguir. P: Se não condenarmos a corrupção por ser imoral ou não a condenarmos por corroer a legitimidade da democracia, a condenaremos por motivos econômicos. Tendo como referência a proposição apresentada, julgue os itens seguintes. 7. (CESPE/TCDF/2014) A proposição P é logicamente equivalente à proposição “Se não condenarmos a corrupção por motivos econômicos, a condenaremos por ser imoral e por corroer a legitimidade da democracia”.

Resolução • Se aparecer apenas o “se”, o “então” estará implícito. • Simbologia da proposição P: P = (¬ CI v ¬ CD) → CE ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO Equivalências Lógicas III Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online

• Simbologia da proposição apresentada no item: ¬ CE → (CI ^ CD) • As proposições são equivalentes. 8. (CESPE/TCDF/2014) A proposição P é logicamente equivalente à proposição “Condenaremos a corrupção por ser imoral ou por corroer a legitimidade da democracia ou por motivos econômicos”.

Resolução • Passando do “se… então” para o “ou”: nega o primeiro e mantém o segundo. • Simbologia da proposição P: P = (¬ CI v ¬ CD) → CE • Simbologia da proposição apresentada no item: (CI v CD) v CE • As proposições não são equivales pois o “ou” deveria ser um “e”. ^

(CI v CD) v CE P1: Se as ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da estrutura social, então tal empresário merece receber a gratidão da sociedade. 9. (CESPE/TCDF/ANALISTA/2014) A proposição P1 é logicamente equivalente à proposição “Se um empresário não mereceu receber a gratidão da sociedade, então as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura social”.

Resolução

ANOTAÇÕES

É necessário fazer a contrapositiva: troca e nega.

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RACIOCÍNIO LÓGICO Equivalências Lógicas III Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online

10. (2016/IBFC) A frase “O atleta venceu a corrida ou a prova foi cancelada” de acordo com a lógica proposicional é equivalente à frase: a. Se o atleta não venceu a corrida, então a prova foi cancelada b. Se o atleta venceu a corrida, então a prova foi cancelada c. Se o atleta venceu a corrida, então a prova não foi cancelada d. Se o atleta não venceu a corrida, então a prova não foi cancelada e. Se a prova não foi cancelada, então o atleta não venceu a corrida

Resolução • Passando do “ou” para o “se… então”: A→B↔¬AvB 11. (2016/IF) Dizer que “Se Paulo vai correr, então ele vai cair” é equivalente a: a. Se Paulo não vai cair, então ele não vai correr. b. Paulo vai cair e correr. c. Se Paulo não vai correr, então ele não vai cair. d. Paulo vai correr ou cair. e. Se Paulo vai cair, então ele vai correr.

Resolução É necessário trocar e negar. 12. (2016/FCC) Do ponto de vista da lógica, a proposição “se tem OAB, então é advogado” é equivalente à a. tem OAB ou é advogado. b. se não tem OAB, então não é advogado. c. se não é advogado, então não tem OAB. d. é advogado e não tem OAB. e. se é advogado, então tem OAB. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO Equivalências Lógicas III Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online

Resolução É necessário trocar e negar. APROFUNDAMENTO • O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que: Se n for um número natural diferente de 1, então n pode ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

Direto do concurso Julgue se cada um dos itens subsequentes reescreve, de modo correto e equivalente, o enunciado acima. 13. (CESPE/SENADO) É condição suficiente que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

Resolução Faltou colocar que n também precisa ser diferente de 1. 14. (CESPE/SENADO) É condição necessária que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

Resolução

ANOTAÇÕES

A condição é suficiente e também faltou colocar que n precisa ser um número diferente de 1.

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RACIOCÍNIO LÓGICO Equivalências Lógicas III Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online

15. (CESPE/SENADO) Se n não possuir decomposição como um produto de fatores primos, que seja única, a menos da ordem dos fatores, então n não é um número natural diferente de 1.

Resolução Foi feita a contrapositiva. 16. (CESPE/SENADO) Ou n não é um número natural diferente de 1, ou n tem uma decomposição como um produto de fatores primos, que é única, a menos da ordem dos fatores.

Resolução Nessa questão, o “ou… ou” foi considerado a mesma coisa que o “ou”. 17. (CESPE/SENADO) n é um número natural diferente de 1 se puder ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

Resolução Não é equivalente, pois foi feita uma comutação. DESAFIO O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o p o l i c i a l toma decisões ruins. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO Equivalências Lógicas III Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online

P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue o item a seguir. 18. (Polícia Civil-CE/2012) A proposição formada pela conjunção de P1 e P2 é logicamente equivalente à proposição “Se se deixa dominar pela emoção ou não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins”.

Resolução O desafio será comentado em outro material.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.

a a E C C E C E C a a c E E C C E

GABARITO


�Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha.

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Interferência e Deduções Lógicas – Argumentações Lógicas

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INFERÊNCIAS E DEDUÇÕES LÓGICAS – ARGUMENTAÇÕES LÓGICAS Lógica de argumentação: compreensão do processo lógico que a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. Inferência lógica e lógica de argumentação É uma operação mental pela qual extraímos uma nova proposição denominada conclusão (tese), de proposições já conhecidas, denominadas premissas (hipóteses). P1: Proposição -Premissa (Hipótese) P2: Proposição -Premissa (Hipótese) P3: Proposição -Premissa (Hipótese) P4: Proposição -Premissa (Hipótese) P5: Proposição -Premissa (Hipótese) Pn: Proposição -Premissa (Hipótese) C: Proposição -Conclusão (Tese) Inferência lógica – dedutiva Deduzir: parte-se de um pensamento geral para o pensamento particular. Exemplo: P1: Todo cachorro é verde. P2: Tudo que é verde é vegetal. C: Todo cachorro é vegetal. Perceba que a conclusão é fruto exclusivo daquilo que existe. Não foi além do que as premissas forneceram. Termos que anunciam uma conclusão: ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Interferência e Deduções Lógicas – Argumentações Lógicas

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• • • •

Logo; Assim; Portanto; Então.

Direto do concurso 1. (CESPE/2008) Considere como verdadeira a seguinte proposição (hipótese): “Joana mora em Guarapari ou Joana nasceu em Iconha.” Então concluir que a proposição “Joana mora em Guarapari” é verdadeira constitui um raciocínio lógico correto

Comentário P1: JMG ∨ JNI = V C: JMG (V/F) A conclusão pode ser tanto verdadeira quanto falsa. Logo, não constitui um raciocínio lógico correto. 2. (CESPE/2008) Se a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha e no estado do Espírito Santo são produzidas orquídeas” for considerada verdadeira por hipótese, então a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha” tem de ser considerada verdadeira, isto é, o raciocínio lógico formado por essas duas proposições é correto.

Comentário P1: ¬ VI ∧ ESorq = V C: ¬ VI = V

ANOTAÇÕES

Saiu de um pensamento verdadeiro para outro pensamento também verdadeiro. Logo, o raciocínio lógico é correto.

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Interferência e Deduções Lógicas – Argumentações Lógicas

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3. (CESPE/2008) Considere que as proposições listadas abaixo sejam todas V. I – Se Clara não é policial, então João não é analista de sistemas. II – Se Lucas não é policial, então Elias é contador. III – Clara é policial. Supondo que cada pessoa citada tenha somente uma profissão, então está correto concluir que a proposição “João é contador” é verdadeira.

Comentário P1: ¬ CP → ¬ JAS = V P2: ¬ LP → ECO = V P3: CP = V C: JC Abaixo, o que cada afirmação é em vermelho (V = verdadeiro / F = falso): P1: ¬ CP (F) → ¬ JAS = V P2: ¬ LP → ECO = V P3: CP = V O professor destaca que é necessário se atentar ao enunciado da questão, que especifica que cada pessoa citada tem somente uma profissão. P1: ¬ CP (F) → ¬ JAS = V P2: ¬ LP (V) → ECO (V) = V P3: CP = V C: JC (F) Ernesto é contador, então João não pode ser contador.

ANOTAÇÕES

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Interferência e Deduções Lógicas – Argumentações Lógicas

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4. (ESAF/AFC/2006) Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é artista e Daniela não fuma, Pode-se, então, concluir corretamente que: a. Ana não é artista e Carlos não é compositor. b. Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa. c. Mauro gosta de música e Daniela não fuma. d. Ana não é artista e Mauro gosta de música. e. Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa.

Comentário P1: AA ∨ CC = V P2: MM → ¬ FF = V P3: ¬ FF → ¬ CC = V P4: ¬ AA ∧ ¬ DF = V Abaixo, o que cada afirmação é em vermelho (V = verdadeiro / F = falso): P1: AA (F) ∨ CC (V) = V P2: MM (F) → ¬ FF (F) = V P3: ¬ FF (F) → ¬ CC (F) = V P4: ¬ AA (V) ∧ ¬ DF (V) = V Analisando as alternativas:

ANOTAÇÕES

a. Ana não é artista (V) e Carlos não é compositor (F). = F b. Carlos é compositor (V) e Flávia é fotógrafa (V). = V

4

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Interferência e Deduções Lógicas – Argumentações Lógicas

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GABARITO 1. 2. 3. 4.

E C E b


Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha.

ANOTAÇÕES

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5

RACIOCÍNIO LÓGICO

Inferências Lógicas – Lógica de Argumentação

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INFERÊNCIAS LÓGICAS – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO Lógica de Argumentação Compreensão do processo lógico que a partir de um conjunto de hipóteses conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.

Direto do concurso 5. (ESAF/AFC) Ou lógica é fácil, ou Arthur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Arthur gosta de Lógica, então: a. Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. b. Lógica é fácil e Geografia é difícil. c. Lógica é fácil e Geografia é fácil. d. Lógica é difícil e Geografia é difícil. e. Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

Resolução • Premissas: P1: LF v ¬AGL P2: ¬GD → LD P3: AGL • Deduzir é sair do geral para o particular – de premissas verdadeiras para chegar numa conclusão verdadeira. Assim: V

F

P1: LF v ¬AGL F

F

P2: ¬GD → LD P3: AGL

Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro ANOTAÇÕES

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1

RACIOCÍNIO LÓGICO

Inferências Lógicas – Lógica de Argumentação

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• A negação de ‘fácil’ pode ser ‘difícil’. O mesmo não acontece, por exemplo, com os termos ‘pobre’ e ‘rico’, que um não é a negação do outro. • ‘Geografia não é difícil’ é falso, logo ela é difícil. Lógica é difícil. Assim na letra ‘a’, a sentença é falsa. • Na letra ‘b’, ‘Lógica é fácil’ é verdadeiro. ‘Geografia é difícil’ também é verdadeiro. Assim, a sentença é verdadeira. 6. (ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje eu passeio. Portanto, hoje: a. vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor. b. não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor. c. vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor. d. não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor. e. vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.

Resolução • Premissas: P1: ¬VC → (¬P Λ D) P2: CH → (¬P Λ D) P3: (¬C Λ P) → ¬VC P4: (¬CH Λ D) → ¬P P5: P • Partindo da ideia de que todas são verdadeiras: F

F

F

F

Verdadeiro

ANOTAÇÕES

¬VC → (¬P Λ D)

2

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Inferências Lógicas – Lógica de Argumentação

Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online F F

F

F

CH → (¬P Λ D)

Verdadeiro

F F

V

F

F

F

(¬C Λ P) → ¬VC

Verdadeiro

F

V

(¬CH Λ D) → ¬P P

Verdadeiro Verdadeiro

• Parta da premissa de que P é verdadeiro. • Em uma condicional, se o consequente é verdadeiro, seu antecedente também será. 7. (ESAF/2007) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: a. Maria é magra e Bernardo não é barrigudo. b. Bernardo é barrigudo ou César é careca. c. César é careca e Maria é magra. d. Maria não é magra e Bernardo é barrigudo. e. Lúcia é linda e César é careca.

Resolução • Premissas: P1: MM V BB P2: LL → ¬CC P3: BB → CC P4: LL • Partindo da ideia de que todas são verdadeiras: ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Inferências Lógicas – Lógica de Argumentação

Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online V

F

V

V

F

F

MM v BB

Verdadeiro

LL → ¬CC

Verdadeiro

BB → CC

Verdadeiro

LL

Verdadeiro

8. (CESPE/PCCE/2012) O exercício da atividade policial exige preparo técnico adequado ao enfrentamento de situações de conflito e, ainda, conhecimento das leis vigentes, incluindo interpretação e forma de aplicação dessas leis nos casos concretos. Sabendo disso, considere como verdadeiras as proposições seguintes. P1: Se se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P2: Se não tem informações precisas ao tomar decisões, então o policial toma decisões ruins. P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões. P4: Se teve treinamento adequado e se dedicou nos estudos, então o policial tem informações precisas ao tomar decisões. Com base nessas proposições, julgue os itens a seguir. A partir das proposições P2 e P4, é correto inferir que “O policial que tenha tido treinamento adequado e tenha se dedicado nos estudos não toma decisões ruins” é uma proposição verdadeira.

Resolução • Premissas: F

V

Verdadeiro

ANOTAÇÕES

P2: ¬IP → DR

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Inferências Lógicas – Lógica de Argumentação

Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online V V

V

V

P4: (TA Λ ES) → IP V

V

V

F

C: (TA Λ ES) → ¬DR

Verdadeiro Falsa

• Para questões assertivas (como as do CESPE), é melhor tentar provar que a afirmação do item pode ser falsa.

5. 6. 7. 8.

b c a E

GABARITO


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ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação II

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INFERÊNCIAS LÓGICAS – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO II 2. (CESPE/PCCE/2012) “P3: Se está em situação de estresse e não teve treinamento adequado, o policial se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões.” Da proposição P3 é correto concluir que também será verdadeira a proposição “O policial que tenha tido treinamento adequado não se deixa dominar pela emoção ao tomar decisões, mesmo estando em situações de estresse”.

Resolução • Premissa: P1: (E Λ ¬TA) → DE C: (TA Λ E) → DE • O período ‘mesmo estando em situações de estresse’ complementa ‘o policial que tenha tido treinamento adequado’. • Para questões assertivas (como as do CESPE), é melhor tentar provar que a afirmação (conclusão) do item pode ser falsa. F

V

F

F

(E Λ ¬TA) → DE

Verdadeiro

F V

F

F

(TA Λ E) → DE

Falso

3. (CESPE/PCES/2010) Para descobrir qual dos assaltantes — Gavião ou Falcão — ficou com o dinheiro roubado de uma agência bancária, o delegado constatou os seguintes fatos: F1 – se Gavião e Falcão saíram da cidade, então o dinheiro não ficou com Gavião; F2 – se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião; F3 – Gavião e Falcão saíram da cidade; F4 – havia um caixa eletrônico em ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação II

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frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião. Considerando que as proposições F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue os itens subsequentes, com base nas regras de dedução. A proposição “O dinheiro foi entregue à mulher de Gavião” é verdadeira.

Resolução • Premissas: P1: GFSC → ¬DG P2: CXB → DG P3: GFSC P4: CXB V DMG C: DMG • Para questões assertivas (como as do CESPE), é melhor tentar provar que a afirmação (conclusão) do item pode ser falsa. F

F

GFSC → ¬DG V

Verdadeiro

V

CXB → DG GFSC V

Verdadeiro Verdadeiro

F

CXB V DMG DMG

Verdadeiro Falso

• Foi encontrada uma mesma proposição (GFSC) sendo verdadeira e falsa – e isso não é logicamente aceitável. Logo, a conclusão (O dinheiro foi entregue à mulher de Gavião) é verdadeira.

ANOTAÇÕES

4. (CESPE/SERPRO/2013) Um ex-síndico formulou as seguintes proposições:

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Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação II

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–– Se o síndico troca de carro ou reforma seu apartamento, dizem que ele usou dinheiro do condomínio em benefício próprio. (P1) –– Se dizem que o síndico usou dinheiro do condomínio em benefício próprio, ele fica com fama de desonesto. (P2) –– Logo, se você quiser manter sua fama de honesto, não queira ser síndico. (P3) Com referência às proposições P1, P2 e P3 acima, julgue os itens a seguir. A partir das premissas P1 e P2, é correto concluir que a proposição “Se o síndico ficou com fama de desonesto, então ele trocou de carro” é verdadeira.

Resolução • Premissas: P1: (TC V RA) → DC P2: DC → DE C: DE → TC • Para questões assertivas (como as do CESPE), é melhor tentar provar que a afirmação (conclusão) do item pode ser falsa. F

(TC V RA) → DC V

DC → DE V

Verdadeiro Verdadeiro

F

DE → TC

Falso

• Observe que na segunda premissa DC pode ser tanto verdade quanto falso. Portanto, faça a análise levando em consideração as duas possibilidades. Assim, se DC for verdade: V F

V

(TC V RA) → DC

Verdadeiro ANOTAÇÕES

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Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação II

Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online V

V

DC → DE

Verdadeiro

Assim, se DC for falso: F

F

F

(TC V RA) → DC F

V

DC → DE

Verdadeiro Verdadeiro

• Dessa forma: tanto DC sendo verdade ou falso, a conclusão será contrária à apresentada na questão.

2. E 3. E 4. E

GABARITO

ANOTAÇÕES


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Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação III

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INFERÊNCIAS LÓGICAS – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO III 5. (CESPE/BACEN/2013) Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras. I – Se o dólar subir, as exportações aumentarão ou as importações diminuirão. II – Se as exportações aumentarem e as importações diminuírem, a inflação aumentará. III – Se o BACEN aumentar a taxa de juros, a inflação diminuirá. Com base apenas nessas proposições, julgue o item a seguir. Se o BACEN aumentar a taxa de juros, então as exportações não aumentarão ou as importações não diminuirão.

Resolução • Premissas: I – DS → (EA V ID) II – (EA Λ ID) → InA III – BAJ → InD C: BAJ → (¬EA V ¬ID) • Para questões assertivas (como as do CESPE), é melhor tentar provar que a afirmação (conclusão) do item pode ser falsa. DS → (EA V ID) F

V

Verdadeiro

F

V

(EA Λ ID) → InA V

V

BAJ → InD V

Verdadeiro Verdadeiro

F F

F

BAJ → (¬EA V ¬ID)

Falso

• Se diminuir a inflação é verdade, aumentar é mentira. ANOTAÇÕES

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Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação III

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• Observe a premissa: F

V

V

F

(EA Λ ID) → InA

Verdadeiro

–– Verdade e verdade não pode ser falso. Assim, conclui-se que a conclusão da questão é correta. 6. (CESPE/BACEN/2013) Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras. I – Se o dólar subir, as exportações aumentarão ou as importações diminuirão. II – Se as exportações aumentarem e as importações diminuírem, a inflação aumentará. III – Se o BACEN aumentar a taxa de juros, a inflação diminuirá. Com base apenas nessas proposições, julgue o item a seguir. Se o dólar subir, então a inflação diminuirá.

Resolução • Premissas: I – DS → (EA V ID) II – (EA Λ ID) → InA III – BAJ → InD C: DS → InD • Para questões assertivas (como as do CESPE), é melhor tentar provar que a afirmação (conclusão) do item pode ser falsa. V

V

DS → (EA V ID) V

V

(EA Λ ID) → InA V

F

Verdadeiro Verdadeiro

ANOTAÇÕES

BAJ → InD

Verdadeiro

2

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Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação III

Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online V

F

DS → InD

Falso

• Observe a premissa: F ou V

F ou V

(EA Λ ID) → InA

Verdadeiro

–– Como não se pode afirmar a veracidade das proposições, logo conclui-se que a conclusão da questão é correta. • Segundo o entendimento da banca, o contrário de ‘aumentar juros’ é ‘diminuir juros’ – assim, o gabarito seria errado. Já o professor entende que o juros pode aumentar, diminuir ou ficar constante. 7. (CESPE/BACEN/2013) Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras. I – Se o dólar subir, as exportações aumentarão ou as importações diminuirão. II – Se as exportações aumentarem e as importações diminuírem, a inflação aumentará. III – Se o BACEN aumentar a taxa de juros, a inflação diminuirá. Com base apenas nessas proposições, julgue o item a seguir. Suponha que o aumento da taxa de juros diminua o consumo, e o decréscimo do consumo diminua as importações. Nessa situação, é possível que juros e exportações aumentem na mesma época.

Resolução • Pemissas: I – DS → (EA V ID) II – (EA Λ ID) → InA III – BAJ → InD ANOTAÇÕES

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Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação III

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• Para questões assertivas (como as do CESPE), é melhor tentar provar que a afirmação (conclusão) do item pode ser falsa. V

DS → (EA V ID) F

F

V

F

(EA Λ ID) → InA V

V

BAJ → InD

Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro

• Conclui-se que os juros aumentarão e as exportações, não.

5. C 6. C 7. E

GABARITO

ANOTAÇÕES


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Inferências Lógicas – Lógica de Argumentação IV

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INFERÊNCIAS LÓGICAS – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO IV • Lógica de argumentação: compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, às conclusões determinadas. • No argumento, já se têm as premissas juntamente com a conclusão. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO A lógica formal, também chamada de lógica simbólica, preocupa-se, basicamente, com a estrutura do raciocínio. Os conceitos são rigorosamente definidos, e as sentenças são transformadas em notações simbólicas precisas, compactas e não ambíguas. Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições (P1, P2, P3,… Pn), chamadas premissas ou hipóteses, a uma proposição C, chamada conclusão ou tese do argumento. • Estrutura do argumento:



Obs.: pode-se primeiro apresentar a conclusão e depois demonstrar as premissas. SILOGISMO Quando temos um argumento formado por três proposições, sendo duas premissas e uma conclusão, trata-se de um silogismo. P1: premissa P2: premissa C: conclusão ANOTAÇÕES

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Inferências Lógicas – Lógica de Argumentação IV

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SILOGISMO CATEGÓRICO É denominado categórico quando composto por três proposições categóricas ou singulares, e as três proposições categóricas devem conter ao todo duas premissas e uma conclusão distinta dessas premissas. Termo médio é o termo que se repete nas duas premissas, mas não aparece na conclusão. • Exemplo: –– Todo cachorro é aquático. –– Todo aquático é vertebrado. –– Logo, todo cachorro é vertebrado. –– Nesse caso, o termo médio é “aquático”.

C

A

V

REGRAS DO SILOGISMO

ANOTAÇÕES

A validade de um silogismo depende do respeito às regras de estruturação que permitem verificar a correção ou incorreção do silogismo. • Das premissas: 1) Todo silogismo contém somente três termos: maior, médio e menor. 2) Os termos da conclusão não podem ter extensão maior que os termos das premissas (dedução). 3) O termo médio não pode entrar na conclusão. 4) O termo médio deve ser universal (todo) ao menos uma vez. • Da conclusão:

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Inferências Lógicas – Lógica de Argumentação IV

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1) De duas premissas negativas nada se conclui. 2) De duas premissas afirmativas não pode haver conclusão negativa. 3) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. 4) De duas premissas particulares nada se conclui.

VALIDADE DE UM ARGUMENTO Um argumento será válido, legítimo ou bem construído quando a conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Assim, a conclusão não pode ir além das premissas. Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, a conclusão, necessariamente, será verdadeira. Isso porque a conclusão é fruto das premissas. Os argumentos são dedutivos. Assim, há as premissas, as quais têm sentido geral, e a conclusão, que tem sentido particular. A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão.

Atenção! Pode-se ter certeza de que um argumento é válido quando se parte de premissas verdadeiras e se chega a uma conclusão também verdadeira. No entanto, existem outros casos em que o argumento pode ser válido sem seguir esse raciocínio. MODELOS • Argumento I: P1: P 2: P 3: . . . P n:

Premissas

C: y Tese www.grancursosonline.com.br

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• Argumento II: C: y Tese P1: P 2: P 3: Premissas . . P n: • Termos que anunciam premissas (posteriormente haverá uma premissa): porque e pois. • Termos que anunciam conclusões (posteriormente haverá uma conclusão): logo, assim, portanto e então.

Atenção! A análise do argumento deve ser feita das premissas para a tese, mesmo que se inicie com a conclusão. EXEMPLOS

ANOTAÇÕES

1. (CESPE) Assinale a opção que apresenta um argumento válido. a. Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas mas não me alimentei bem. b. Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje fez frio. Logo, estamos em junho. c. Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segunda-feira não será feriado. d. Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu.

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Inferências Lógicas – Lógica de Argumentação IV

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Resolução O argumento é válido quando as premissas são verdadeiras e a conclusão também. a. – Se estudo, obtenho boas notas: P1: E → BN. – Se me alimento bem, me sinto disposto: P2: AB → SD. – Ontem estudei e não me senti disposto: P3: E ^ ¬SD. – Logo (anuncia conclusão) obterei boas notas: C: BN ^ ¬AB. – Para saber se o argumento é válido: V

V

P1: E → BN = V F

F

P2: AB → SD = V V

V

P3: E ∧ ¬SD = V C: BN ∧ ¬AB V ∧ V = V


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Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação V

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INFERÊNCIAS LÓGICAS – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO V Lógica de Argumentação Compreensão do processo lógico que a partir de um conjunto de hipóteses conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. Exemplos: Verifique se o argumento é válido: b) Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje fez frio. Logo, estamos em junho. P1: (CH Λ Ju) → Fr P2: CH Λ Fr C: Ju Parta de premissas verdadeiras. V ou F

V

V ou F

V

(CH Λ Ju) → Fr V

V

CH Λ Fr

Verdade Verdade

V ou F

Ju

Ou seja, a verdade das premissas não garantiu a verdade da conclusão. Argumento inválido. c) Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segunda-feira não fará será feriado. ANOTAÇÕES

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Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação V

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P1: CH V SF P2: ¬CH C: ¬SF Parta de premissas verdadeiras. F

V

CH V SF ¬CH

Verdade Verdade

F

¬SF A verdade das premissas levou a uma conclusão falsa. Argumento inválido. d) Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu. P1: CH → AV P2: AV C: CH Parta de premissas verdadeiras. V ou F

V

CH → AV V

AV

Verdade Verdade

V ou F

CH

ANOTAÇÕES

Ou seja, a verdade das premissas não garantiu a verdade da conclusão. Argumento inválido.

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Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação V

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Obs.: para saber se um argumento é válido, parta de premissas verdadeiras, pois isso obriga a conclusão a também ser válida.

Direto do concurso 2. (VUNESP/PC-SP/ESCRIVÃO DE POLÍCIA/2014) Um argumento é considerado válido quando sua conclusão se segue logicamente das premissas. Mas um argumento pode ser logicamente válido e, mesmo assim, dar origem a uma conclusão comprovadamente falsa. Isso ocorre porque a. a conclusão do argumento não decorre das premissas. b. a premissa maior do argumento é sempre verdadeira. c. todas as premissas do argumento são verdadeiras. d. a premissa menor do argumento é sempre falsa. e. pelo menos uma premissa do argumento é falsa.

Resolução • A tabela abaixo resume as possíveis situações de um argumento:

• Na tabela, considere hipóteses como premissas e tese como conclusão. • Argumento decorre de premissas. • Pelo menos uma premissa do argumento é falsa e leva a uma conclusão falsa.

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Interferências Lógicas – Lógica de Argumentação V

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3. (CESPE) Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. a. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira. b. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido. c. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.

Resolução • Pode haver um argumento válido em que a conclusão é verdadeira ou falsa, e nem todas as premissas são não verdadeiras. • Ver tabela na questão 2.

2. e 3. E, E, E

GABARITO

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Inferências e Deduções Lógicas de Argumentação

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INFERÊNCIAS E DEDUÇÕES LÓGICAS DE ARGUMENTAÇÃO ARGUMENTO DEDUTIVO Um argumento será dedutivo quando sua conclusão traz apenas informações obtidas das premissas, ainda que implícitas. É um argumento de conclusão não ampliativa. Para um argumento dedutivo válido, caso se tenham premissas verdadeiras, a conclusão será necessariamente verdadeira. Geralmente os argumentos dedutivos são estéreis, uma vez que eles não apresentam nenhum conhecimento novo. A conclusão já está contida nas premissas. A conclusão nunca vai além das premissas. Mesmo que a ciência não faça tanto uso da dedução em suas descobertas, exceto a matemática, ela continua sendo o modelo de rigor dentro da lógica. Sai de premissas gerais para conclusão particular. ARGUMENTO INDUTIVO Um argumento é dito indutivo quando sua conclusão traz mais informações que as premissas fornecem. É um argumento de conclusão ampliativa. É o mais usado pelas ciências. Por meio dos argumentos indutivos é que as ciências descobrem as leis gerais da natureza. O argumento indutivo geralmente parte de dados da experiência e desses dados chega a enunciados universais. Sai de premissas particulares para conclusão geral. Além disso, todas as conjecturas que a ciência faz têm por base a indução. Com base em dados particulares do presente as ciências fazem as conjecturas do futuro. “Os argumentos indutivos, ao contrário do que sucede com os dedutivos, levam a conclusões cujo conteúdo excede os das premissas. E esse traço característico da indução que torna os argumentos indispensáveis para a fundamentação de uma significativa porção dos nossos conhecimentos”. (SALMON, 1969, p. 76) ANOTAÇÕES

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Inferências e Deduções Lógicas de Argumentação

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O grande problema da indução é que ela é probabilística. Não há a necessidade como na dedução. Como vimos na dedução, a conclusão decorre necessariamente das premissas. Já na indução isso é impossível, uma vez que ela enumera casos particulares e por probabilidade ela infere uma verdade universal. A conclusão da indução tem apenas a probabilidade de ser verdadeira.

Direto do concurso 1. (CESPE) No Brasil, os pobres têm mais poder que os ricos. Isso ocorre porque o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece, e, no Brasil, existem mais pobres que ricos. Com relação ao argumento anterior, julgue os itens seguintes. a. A afirmativa “No Brasil, os pobres têm mais poder que os ricos”, é uma premissa. b. A oração “no Brasil, existem mais pobres que ricos” é a conclusão do texto. c. O trecho “o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece” é uma hipótese. d. O argumento apresentado no texto é um exemplo de argumento indutivo.

Comentário Lembre-se: a conclusão pode vir antes das premissas. Termos como ‘porque’ e ‘pois’ anunciam as premissas. “No Brasil, os pobres têm mais poder que os ricos” é a conclusão. Termos como ‘assim’, ‘logo’ e ‘portanto’ anunciam a conclusão. ‘no Brasil, existem mais pobres que ricos’ é uma premissa. “o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece” é uma hipótese (premissa). • Na indução, a conclusão vai além do que as premissas fornecem. No caso dessa questão, a conclusão não tem sentido ampliativo, logo se trata de um argumento dedutivo.

ANOTAÇÕES

• • • • • •

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Inferências e Deduções Lógicas de Argumentação

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2. (TCDF/2014/CESPE) Considere as proposições P1, P2, P3 e P4, apresentadas a seguir: P1: Se as ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da estrutura social, então tal empresário merece receber a gratidão da sociedade. P2: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, então ocorre um escândalo no mundo empresarial. P3: Se ocorre um escândalo no mundo empresarial, as ações do empresário contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura social. P4: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, ele merece receber a gratidão da sociedade. Tendo como referência essas proposições, julgue o item seguinte. O argumento que tem como premissas as proposições P1, P2 e P3 e como conclusão a proposição P4 é válido.

Resolução Para questões assertivas (como as do CESPE), é melhor tentar provar que a afirmação (conclusão) do item pode ser falsa (argumento inválido). Premissas: P1: AEC → EGS P2: AAA → EME P3: EME → AEC P4 (conclusão): AAA → EGS F

F

F

F

F

F

V

F

AEC → EGS AAA → EME EME → AEC AAA → EGS

Verdade Verdade Verdade Falsa

Observe que a mesma proposição (AAA) não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Logo, a partir dessa contradição, conclui-se que o argumento apresentado pela questão é válido.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Inferências e Deduções Lógicas de Argumentação

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3. (POLICIAL/CÂMARA LEGISLATIVA/2014) P1: Não perco meu voto. P2: Se eu votar no candidato X, ele não for eleito e ele não me der um agrado antes da eleição, perderei meu voto. P3: Se eu votar no candidato X, ele for eleito e eu não for atingido por uma benfeitoria que ele faça depois de eleito, perderei meu voto. P4: Eu voto no candidato X. C: O candidato X me dará um agrado antes da eleição ou serei atingido por uma benfeitoria que ele fizer depois de eleito. A partir das proposições de P1 a P4 e da proposição C apresentadas acima, julgue o item seguinte, que se refere à lógica sentencial. O argumento cujas premissas sejam as proposições P1, P2, P3 e P4 e cuja conclusão seja a proposição C será válido.

Resolução Para questões assertivas (como as do CESPE), é melhor tentar provar que a afirmação (conclusão) do item pode ser falsa (argumento inválido). Premissas: P1: ¬PV P2: (VX Λ ¬E Λ ¬AG) → PV P3: (VX Λ E Λ ¬B) → PV P4: VX C: AG V B ¬PV

Verdadeiro

F

V

F

V

F

(VX Λ ¬E Λ ¬AG) → PV

Verdadeiro

F

V

F

V

F

(VX Λ E Λ ¬B) → PV VX F

Verdadeiro

Verdadeiro F

Falso

ANOTAÇÕES

AG V B

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Inferências e Deduções Lógicas de Argumentação

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Observe que as proposições (EF) e (¬EF) apresentam-se como verdadeiras. Logo, a partir dessa contradição, conclui-se que o argumento apresentado pela questão é válido.

1. d 2. C 3. C

GABARITO


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ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos

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DIAGRAMAS LÓGICOS • Diagramas lógicos: linguagem natural, simbologia, inferências, deduções e negações. • Como surgiram os diagramas lógicos:



Obs.: as proposições categóricas não são interpretadas por tabela-verdade, e sim por diagramas lógicos. Apenas quando há os conectivos lógicos aplica-se a tabela-verdade.

• Haverá duas relações para que sejam formadas as quatro proposições. • Cada proposição é formada por uma quantidade e uma qualidade: ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos

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Todo

quantidade

qualidade

Universal

Afirmativo

muito

Particular Algum pouco

Negativo

AéB

AñéB

• Assim, as quatro proposições categóricas são: –– Todo A é B. –– Todo A não é B. –– Algum A é B. –– Algum A não é B. • Para cada uma das proposições, há os respectivos diagramas lógicos. PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS

• As vogais apresentadas no quadro acima (A, E, I, O) são chamadas de vogais de quantificação e representam as proposições.

ANOTAÇÕES

1. Universal afirmativo: Todo A é B.

2

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos

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• Diagrama: B A

• Simbologia: Ax

A(x) → B (x)



Obs.: não possui a propriedade comutativa, isto é, Todo A é B jamais pode ser igual a Todo B é A. 2. Particular afirmativo: Algum A é B.

O pulo do gato As bancas podem usar “existe”, “alguém”, “ao menos um” e “pelo menos um” para representar “algum”. • Diagrama: A

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B

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos

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• Simbologia: x A(x) ∧ B (x)

E



Obs.: possui a propriedade comutativa.

ANOTAÇÕES


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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos II

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DIAGRAMAS LÓGICOS II 3. Universal negativo: Nenhum A é B ou Todo A não é B.

• A interseção não tem nenhum elemento em comum. Logo, o diagrama é o seguinte:

O pulo do gato As bancas podem apresentar o termo “nenhum” das seguintes formas: “não existe”, “ninguém” e “não há”. • Simbologia de Nenhum A é B: • Simbologia de Todo A não é B:

Obs.: pode comutar, pois Nenhum A é B é o mesmo que Nenhum B é A. 4. Particular negativo: Algum A não é B.

ANOTAÇÕES

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1

RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos II

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• Diagrama:

• Simbologia:

Obs.: não pode comutar, pois, considerando o exemplo a seguir:

Pode-se dizer que Algum A não é B (letras “c” e “d”), mas não se pode dizer que Algum B não é A, pois todos os elementos de B também estão em A. Assim, mesmo tendo elementos nos dois conjuntos, não se pode garantir que dizer Algum A não é B é o mesmo que Algum B não é A. TREINAMENTO – LINGUAGEM (SIMBOLOGIA)

ANOTAÇÕES

1. Considere-se que U seja o conjunto de todos os alunos, P(x) seja a propriedade “x é aluno dedicado”, Q(x) seja a propriedade “x tem disposição para estudar” e R(x) “x passa em concurso público”. • Assim:

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos II

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U: todos os alunos –– Subconjuntos ou propriedades: P(x): x é aluno dedicado Q(x): x tem disposição para estudar R(x): x passa em concurso público Desse modo, escreva na linguagem da lógica formal, ou seja, simbolicamente e represente por diagramas lógicos: a. Todo aluno dedicado passa em concurso público. • Simbologia: • Diagrama:

b. Alguns alunos que têm disposição para estudar não são dedicados. • Simbologia: • Diagrama:

c. Nenhum aluno dedicado é disposto para estudar.

ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos II

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• Simbologia: • Diagrama:

d. Todo aluno que tem disposição para estudar não passa em concurso público. • Simbologia: • Diagrama:

e. Existem alunos que passam em concurso público que são dedicados. • Simbologia:

ANOTAÇÕES

• Diagrama:

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos II

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f. Todos os alunos que são dedicados e têm disposição para estudar passam em concurso público. • Simbologia: • Diagrama:


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ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos III

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DIAGRAMAS LÓGICOS III

Direto do concurso 1. (CESPE/2008) Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma ∀x P(x), lida como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou F. A partir das definições anteriores, julgue os itens a seguir. a. Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade.” I – ∀x (se Q(x) então P(x)). II – ∀x (P(x) ou Q(x)). III – ∀x (se P(x) então Q(x)).

Resolução U: funcionários do INSS P(x): x é funcionário do INSS Q(x): x tem mais de 35 anos de idade • Simbologia de “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade.”: I – “se então” não comuta. II – “ou” não tem relação com a questão. • Somente a forma (iii) simboliza a proposição.

ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos III

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b. Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “x é funcionário do INSS”, então é falsa a sentença ∀xP(x).

Resolução U: todos os funcionários públicos P(x): x é funcionário do INSS

Obs.: se uma sentença pode ser interpretada, ele é chamada de proposição. • A proposição ∀xP(x) significa: Qualquer funcionário público é funcionário do INSS. Logo, é falsa. QUESTÃO EXTRA • Julgue: A proposição composta [∀xA(x) → ∃xA(x)] é uma tautologia. • Resolução: –– x = todo –– ∃x = algum –– A(x) = x é um policial honesto –– Sabe-se que tautologia é uma proposição composta que é sempre verdade. –– A primeira proposição ∀xA(x) pode ser verdadeira ou falsa. –– Se ∀xA(x) é verdadeira, infere-se que ∃xA(x) é verdadeira. –– Se ∀xA(x) é falsa, ∃xA(x) pode ser verdadeira ou falsa. –– No entanto, o resultado da proposição será sempre verdadeiro:

ANOTAÇÕES

• Logo, a proposição composta é uma tautologia.

2

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos III

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Direto do concurso 2. (CESPE/2008) Julgue os itens. a. Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” e que D(x) seja a propriedade “x é desempregada”. Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempregada” fica corretamente simbolizada por ¬∃x(M(x)^D(x)).

Resolução A simbologia de Nenhum A é B é a seguinte: ¬∃x(A(x)^V(x)). b. A proposição “Não existem mulheres que ganham menos que os homens” pode ser corretamente simbolizada na forma ∃x (M(x) → G(x)).

Resolução O correto seria ¬∃(M(x) → G(x)). c. Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição (∀x)(x ∈ R)(∃y) (y ∈ R)(x + y = x) é valorada como V.

Resolução • Reescrevendo o que a questão diz: • A proposição é verdadeira, pois o y é 0 (elemento neutro da adição).

1. a. E b. C 2. a. C b. E c. C

GABARITO


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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos IV

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DIAGRAMAS LÓGICOS IV INFERÊNCIAS E DEDUÇÕES COM DIAGRAMAS LÓGICOS

Direto do concurso 1. (CESPE/2008) Considere as seguintes proposições: I – Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança. II – Joaquina não tem garantido o direito de herança. III – Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte. Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que a. Joaquina não é cidadã brasileira. b. Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros. c. Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.

Resolução • Considerando que I, II e III sejam representados por: P1, P2 e P3:

O pulo do gato Quando se tratar de um elemento, “Joaquina”, por exemplo, é necessário colocá-lo por último. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos IV

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• Como Joaquina não tem direito de herança:

ANOTAÇÕES

• Julgando cada item: a. Joaquina realmente não é uma cidadã brasileira:

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos IV

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b. Pode haver elementos que têm direito de herança, mas não são brasileiros (não pode comutar):

c. Joaquina pode ser de muita sorte ou não.

2. Todo cristão é monoteísta. Algum cristão é luterano, logo: a. todo monoteísta é luterano. b. algum luterano é monoteísta. c. algum luterano não é cristão. d. nenhum monoteísta é cristão. e. nenhum luterano é monoteísta.

Resolução • Como há a presença de quantificadores, é necessário fazer os diagramas: ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos IV

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• O “logo” indica que virá uma conclusão, a qual só pode ser sobre algo que se tem certeza. Nessa situação, só se pode ter certeza de que pelo menos um cristão é luterano, podendo-se inferir que ao menos um luterano é monoteísta:

3. (CESGRANRIO/2008) Se todo A é B e algum C é A, então a. Algum C é B. b. Algum C não é B. c. Algum B não é C. d. Todo C é B. e. Todo B é C.

Resolução

ANOTAÇÕES

• Ao menos um C é A. Então, pelo menos um C é B:

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos IV

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4. (FCC) Todas as estrelas são dotadas de luz própria. Nenhum planeta brilha com luz própria. Logo, a. todos os planetas são estrelas. b. nenhum planeta é estrela. c. todas as estrelas são planetas. d. todos os planetas são planetas. e. todas as estrelas são estrelas.

Resolução • Diagramas:

a. Não há como algum planeta ser estrela, pois os conjuntos estão separados. c. A conclusão precisa ser fruto de premissas conhecidas. d. Não é resultado de premissas existentes. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos IV

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Extra. (2014/VUNESP/PC-SP/ESCRIVÃO DE POLÍCIA) Considerando a premissa maior “Nenhum inseto tem coluna vertebral” e a premissa menor “Todas as moscas são insetos”, a conclusão correta do silogismo válido é: a. “Nenhum inseto é mosca”. b. “Alguns insetos não são moscas” c. “Nenhuma mosca tem coluna vertebral”. d. “Alguns insetos têm coluna vertebral”. e. “Algumas moscas são insetos”.



Resolução • Silogismo é um argumento válido. • Diagramas:

• Pode haver um inseto que seja mosca. • Pode-se dizer, com certeza, apenas que nenhuma mosca tem coluna vertebral, pois foram utilizadas as duas premissas.

ANOTAÇÕES

5. (2015/VUNESP) Se todo estudante de uma disciplina A é também e studante de uma disciplina B e todo estudante de uma disciplina C não é estudante da disciplina B, então é verdade que a. algum estudante da disciplina A é estudante da disciplina C. b. algum estudante da disciplina B é estudante da disciplina C. c. nenhum estudante da disciplina A é estudante da disciplina C. d. nenhum estudante da disciplina B é estudante da disciplina A. e. nenhum estudante da disciplina A é estudante da disciplina B.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos IV

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Resolução • Diagramas:

6. (2016/FUNCAB) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras: “Algum maranhense é pescador.” “Todo maranhense é trabalhador.” Assim pode-se afirmar, do ponto de vista lógico, que: a. Algum maranhense pescador não é trabalhador b. Algum maranhense não pescar não é trabalhador c. Todo maranhense trabalhador é pescador d. Algum maranhense trabalhador é pescador xx e. Todo maranhense pescador não é trabalhador.

Resolução • Diagramas:

• Assim, pelo menos um elemento que é pescador também é maranhense, sendo também trabalhador. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos IV

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7. (TTN) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que: a. algum A não é G. b. algum A é G. c. nenhum A é G. d. algum G é A. e. nenhum G é A.

Resolução • Diagramas:

• O G está pontilhado porque há a certeza de que nenhum G é R, mas não se sabe qual a relação entre A e G. • Existe um A que, por ser R, não é G. Então, algum A não é G. 8. Nenhum M é K. Alguns R são K, logo: a. nenhum R é M. b. todo R é M. c. algum R não é M. d. algum R é M. e. todo R não é M.

Resolução • Diagramas:

• Existe um R que, por ser K, não é M. Logo, algum R não é M.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos IV

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1. a. C 1. b. E 1. c. E 2. b 3. a 4. b Extra. c 5. c 6. d 7. a 8. c

GABARITO


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ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos V

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DIAGRAMAS LÓGICOS V NEGAÇÕES DOS QUANTIFICADORES LÓGICOS



Obs.: as vogais “a”, “e”, “i” e “o” representam as proposições. • Quando se quer a negação das proposições categóricas, nega-se as duas relações, isto é, o que é universal passa a ser particular; e o que afirma passa a negar: AFIRMAÇÃO Todo A é B

NEGAÇÃO Algum A não é B (Nem todo A é B)

Algum A é B

Todo A não é B (Nenhum A é B)



Obs.: nega-se quantidade e qualidade.

Direto do concurso 1. (2016/INSTITUTO AOCP) A negação de “Todos os alunos vão gabaritar a prova de matemática” é a. “Todos os alunos não vão gabaritar a prova de matemática”. b. “Nenhum aluno vai gabaritar a prova de matemática”. c. “Existe apenas um aluno que não vai gabaritar a prova de matemática”. d. “Existe apenas um aluno que vai gabaritar a prova de matemática”. e. “Existem alunos que não vão gabaritar a prova de matemática”. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos V

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Resolução • “Todo” se torna “algum”. • “Vão gabaritar” se torna “não vão gabaritar”. • “Algum” dá ideia de “pelo menos um”. 2. (2016/INSTITUTO AOCP) A negação de “Todas as pessoas gostam de ler livros de aventura” é a. “Existem pessoas que não gostam de ler livros de aventura”. b. “Nenhuma pessoa gosta de ler livros de aventura”. c. “Todas as pessoas não gostam de ler livros de aventura”. d. “Existe apenas uma pessoa que não gosta de ler livros de aventura”. e. “Existe apenas uma pessoa que gosta de ler livros de aventura”.

Resolução • “Todo” se torna “algum”. • “Gostam de ler” se torna “não gostam de ler”. 3. (ANPAD) Negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta esta escola” é: a. todas as pessoas lentas em aprender frequentam esta escola. b. todas as pessoas lentas em aprender não frequentam esta escola. c. algumas pessoas lentas em aprender frequentam esta escola. d. algumas pessoas lentas em aprender não frequentam esta escola. e. nenhuma pessoa lenta em aprender frequenta esta escola.

Resolução

ANOTAÇÕES

• “Nenhum” se torna “algum”. • Nenhum A é B é o mesmo que Todo A não é B. Por isso, a negação não apresenta a palavra “não”:

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos V

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Nenhum A é B

Algum A é B

Todo A não é B

4. (FUNCAB/2013) Marque a alternativa que contém a negação da proposição “Todos os peixes dos oceanos são saborosos”. a. Alguns peixes dos oceanos são saborosos. b. Existem peixes dos oceanos que não são saborosos. c. Existem peixes dos oceanos que são saborosos. d. Nenhum peixe dos oceanos não é saboroso. e. Os peixes dos oceanos são mamíferos.

Resolução • “Todo” se torna “algum”. • “São saborosos” se torna “não são saborosos”. 5. (ESAF) Se não é verdade que “alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, portanto é verdade que: a. todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. b. nenhuma professora universitária dá aulas interessantes. c. nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária. d. nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. e. todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias.

Resolução • “Algum” se torna “todo”. • “Não dá aulas interessantes” se torna “dá aulas interessantes”. 6. (2017/IBADE/PC-AC) Falar que é verdade que “para todo policial, se o policial é civil e se o policial é investigador, então o policial está em ação” é logiANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos V

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camente equivalente a falar que não é verdade que: a. alguém que não é um civil investigador está em ação. b. existe um civil investigador que não está em ação. c. alguns civis investigadores estão em ação d. alguns civis que não são investigadores estão em ação. e. nenhum civil investigador não está em ação.

Resolução • Simbologia: ^ • A = Policial civil e policial investigador. B = Policial em ação. • É o mesmo que dizer que Todo A é B, cuja negação é Algum A não é B. 7. (2017/VUNESP) “Existe um lugar em que não há poluição” é uma negação lógica da afirmação: a. Em todo lugar, não há poluição. b. Em alguns lugares, há poluição. c. Em todo lugar, há poluição. d. Em alguns lugares, pode não haver poluição. e. Em alguns lugares, não há poluição.

Resolução A negação é Todo A é B.

ANOTAÇÕES

8. (2017/ VUNESP) Sabendo que é verdadeira a afirmação “Todos os alunos de Fulano foram aprovados no concurso”, então é necessariamente verdade: a. Fulano foi aprovado no concurso. b. Se Elvis foi aprovado no concurso, então ele é aluno de Fulano. c. Se Roberto não é aluno de Fulano, então ele não foi aprovado no concurso.

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos V

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d. Fulano não foi aprovado no concurso. e. Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não é aluno de Fulano.

Resolução • Diagrama:

a. Os alunos de Fulano que foram aprovados, não Fulano. b. Elvis pode ou não ser aluno de Fulano. c. Roberto pode ter sido aprovado mesmo não sendo aluno de Fulano. d. A questão se refere aos alunos de Fulano. 9. (CESPE) Julgue os itens que segue 1) A negação da proposição “Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos” pode ser assim redigida: “Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos.”

Resolução A negação de Algum A é B pode ser Nenhum A é B, pois este é o mesmo que Todo A não é B. 2) A negação da proposição “As palavras mascaram-se” pode ser corretamente expressa pela proposição “Nenhuma palavra se mascara”.

Resolução A negação correta é “Alguma palavra não se mascara”. ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Diagramas Lógicos V

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10. (CESPE) Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.” Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição. 1) A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. 2) “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima.

1. e 2. a 3. c 4. b 5. a 6. b 7. c 8. e 9. 1. C 2. E 10. 1. C 2. C

GABARITO

ANOTAÇÕES


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