Zinskurvenmodelle Und Ihre Anwendung

Zinskurvenmodelle und ihre Anwendung - Interest Rate Models ( Einfaktor Modelle) Grundkenntnisse der Bewertung Aufbau eines Gitters - Anwendungen in der Zinsderivatewelt a) CAP-FLOOR b) SWAPTIONS c) BONDS - Konkrete

Realisierung

a) Lognormale Zins-Modelle (BDT, BK) b) Normale Zins-Modelle (HL, HW) Interest Rate Models

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Bewertung von Zinsderivaten - Es gibt verschiedene Verfahren um stochastische Variablen (i.e. der zukünftige Zinssatz) zu simulieren a) Binomial- und Trinomialbäume b) Finite Differenzen (Diskretisieurung der SDE) c) Monte Carlo Simulation (Mehrfaktormodelle z.B. HJM, BGM) Im folgenden beschränken wir uns auf Binomialbäume und Trinomialbäume Ziel: Bewertung von Standard Zinsderivaten Erweiterung um Bermudan Style Optionen Interest Rate Models

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Bewertung von Zinsderivaten Für das Verständnis ist es vorteilhaft sich den Aufbau eines Aktiengitters in Erinnerung zu rufen. Die Unterschiede sind im wesentlichen folgender Natur: a) Die Gittervariable in einem Zinsbaum ist im wesentlichen die ∆t periodische Rate b) Zinsbäume arbeiten im wesentlichen wie Aktienbäume, ausser dass sich die Diskontierungsfaktoren von Knoten zu Knoten ändern.

Übung 1: Bewerte eine amerikanischen Call und Put Option S = 50, X = 50, r=0,1 σ=0,4 Laufzeit = 5 Monate n = 10 Benutze EXCEL Interest Rate Models

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Risikoneutrales Pricing Interest rate

p

r 1− p

Asset price

ru

p

c

rd

1-p

∆t

cu cd

∆t

Ist der risikofreie Zinssatz für die Periode [0, ∆t]. Somit ist eine ∆t -periodische rate und 1€, der heute investiert wird nach einer r∆t Periode € e wert sein. Interest Rate Models

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Die risikoneutraleWahrscheinlichkeit für eine Aufwärtsbewegung ist p. Die fundamentale Gleichung für die riskoneutrale Bewertung ist dann:

[

]

c = E e− r∆t c∆t = e− r∆t [ pcu + (1 − p)cd ]

(1)

Mit anderen Worten: Der Wert des Derivates zum Zeitpunkt 0 eines zufälligen Auszahlungsprofils ist der abdiskontierte erwartete Wert.

Interest Rate Models

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Numerierung der Zustände im Gitter 3 2 1

1 0

0

-1

-1 -2 -3

Interest Rate Models

0

∆t

2∆t

0

1

2

t

3 Seite 6

index Dr. Ingo Schneider

Diskontierungsberechnung ruu Bu

ru

rud

r

1

Bud

B(0)

rd

Bd

rdd

0

∆t

2∆t

0

1

2

Interest Rate Models

1

Buu

1

Bdd

1 t

3

index

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0

∆t

2∆t

0

1

2

3

index

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Sei ein Zinsgitter gegeben, wie bestimmt man die Diskontierungsfunktion? Die Anfangsdiskontierungsfaktoren sind gegeben als Bi , i = 1,..., n Schritt 1: Nutze 1 Schritt Gitter zur Berechnung von B1 Schritt 2: Nutze 2 Schritt Gitter zur Berechnung von B2 Schritt 3: Nutze 3 Schritt Gitter zur Berechnung von B3 D.h. Man läuft vorwärts und rückwärts, d.h. das kostet Zeit. Aber es geht schneller:

Interest Rate Models

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Vorwärts-Induktion quu

ruu

qu

ru rud

r

qud

1

qd

rd

qdd

rdd 0

∆t

2∆t

0

1

2

Interest Rate Models

t

3

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0

∆t

2∆t

0

1

2

t

3

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Sei qx der Preis zum Zeitpunkt 0 der 1€ im Zustand x auszahlt. Man nennt dies den Zustandspreis oder auch Arrow-Debreu Preis. Der Preis eines Zero Bondes mit Laufzeit 2 ist dann über die Zustände definiert als B2 = quu + qud + qdd p = 0,5

Die Wahrscheinlichkeit ist konstant. Somit können die Zustände mit den folgenden Schritten berechnet werden: Schritt 1: Schritt 2:

qu = pe− r∆t , qd = (1 − p)e− r∆t

B1

qud = (1 − p)e− ru ∆t qu + pe− rd ∆t qd , quu = pe−rd ∆t qu , qdd = (1 − p)e−rd ∆t qd

Schritt 3:

B2

quuu = pe− ruu∆t quu , qddd = (1 − p)e− rdd ∆t qdd , quud = (1 − p)e−ruu∆t quu + pe−rud ∆t qud qudd = (1 − p)e−rud ∆t qud + pe−rdd ∆t qdd

Interest Rate Models

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B3 Dr. Ingo Schneider

Beispiel für Vorwärts-Induktion

0,0926

12 %

0,2067

11 % 10 %

0,4570

10 % 9%

9% 8%

1,00 8%

0,2835 0,4177

0,4570

0,2892 0,2109

7%

0,0983

6%

0

∆t

2∆t

0

1

2

Interest Rate Models

t

3 Seite 11

0

∆t

2∆t

0

1

2

t

3 Dr. Ingo Schneider

Bewertung von Europäischen Derivaten cuuu

quu

ruu ru

cuud rud

r

qu

rd

qud

1

qd

c udd

qdd

rdd cddd

0

Interest Rate Models

∆t

2∆t

3∆t = T

Seite 12

0

∆t

2∆t

3∆t = T

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Sei c der Preis zum Zeitpunkt 0 der cx im Zustand x zum Zeitpunkt T auszahlt. Wie bestimmt man den Wert von c ? Man benutzt das Rückwärtsrechenschema und berechnet Z.B. cuu = e− ruu ∆t [ pcuuu + (1 − p)cuud ],

u.s.w. D.h. man erhält den Wert zum Zeitpunkt 0 über diese rekursive Berechnung. Alternativ und wesentlich eleganter ist es den Wert über die Zustandspreise direkt zu berechnen, c=

cx qx . x

Interest Rate Models

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Bewertung von Zinsderivaten Die liquidesten Instrumente sind Caps/Floors und Swaptions: Der einfachste Baustein ist ein FRA: FRA mit Tenor τ (=0,25 oder 0,5 Jahre) FRA = (F-X) τ, Payoff ist zum Zeitpunkt T = t+ τ F = Index für die Periode ,X = Strike Die Foward Rate für die Periode von i bis i+1 zum Zeitpunkt 0 ist: Pi −1 Pi +1 F= τ Interest Rate Models

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Bewertung von Zinsderivaten Der Barwert des FRA‘s ist dann: NPV ( FRA) = ( F − X )τ Pi +1 æ Pi ö −1 ç P = ç i +1 − X τ Pi +1 ç τ ç è = Pi − (1 + Xτ ) Pi +1

d.h. FRA ist eine Linearkombination von Diskontierungsfaktoren, und diese Diskontierungsfaktoren werden exakt im Modell abgebildet. (siehe Vorwärtsinduktion). Dieses Argument gilt auch für Swaps, da Swap eine Summe von FRA‘s darstellt. Interest Rate Models

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Bewertung von Zinsderivaten Wenn man von Optionen auf FRA‘s spricht, dann unterscheidet man a) zwischen Portfolios von Optionen auf FRA‘s (CAP/FLOOR) b) Optionen auf Portfolios von FRA‘s (Swaption)

Interest Rate Models

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Äquivalenz zwischen Caps und Puts auf Zero-Bonds Betrachte ein Caplet für die Periode [i∆t,(i+1) ∆t] mit Strike X. Der Wert des Caplets zum Zeitpunkt i∆t ist dann, wenn der LIBOR L ist: ∆t MAX [L − X ,0] 1 + L∆t é1 + L∆t 1 + X∆t ù = MAX ê − ,0ú 1 + L ∆ t 1 + L ∆ t ë 1 é 1 ù = 1 + X∆t ⋅ MAX ê − ,0 ë1 + X∆t 1 + L∆t

D.h. Caplet ist äquivalent zu (1+X∆t) puts auf einen einperiodischen Zero-Bond mit strike 1/(1+ X∆t), der zum Zeitpunkt i∆t endet. Oder. Caplet ist äquivalent zu einer Option, die in einen 1 periodischen Swap führt. Interest Rate Models

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Bewertung eines Caplets im Gitter Luuu quu

Luu Lu

Luud Lud

L

qu

Ld

qud

1

qd

L udd

qdd

Ldd Lddd

0

Interest Rate Models

∆t

2∆t

3∆t = T

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0

∆t

2∆t

3∆t = T

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Falls man kontinuierliche Zinsen vewendet hat ist nun eine kleine Unformung in einfache Zinsen notwendig, die im Gitter als L bezeichnet sind. e−r∆t =

1 1 + L∆t

L=

(

)

1 r∆t e −1 ∆t

Betrachte nun ein Caplet für die Periode [2∆t ,3∆t ], mit Strike X . Wenn der Zinssatz im Gitter zu diesem Zeitpunkt L ist , dann ist die Zahlung die zum späteren Zeitpunkt 2∆t geleistet wird. Max[L − X ,0]∆t Der Wert zum Zeitpunkt 2∆t ist ∆t Max[L − X ,0] 1 + L∆t

Der Wert des Caplet zum Zeitpunkt 0 ist dann einfach x

Interest Rate Models

∆t Max[L( x) − X ,0]qx 1 + L( x)∆t Seite 19

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Äquivalenz zwischen Swaptions und Optionen auf Kupon-Bonds Betrachte eine 1 jährige Option, die dazu berechtigt in einen n jährigen Zahler-Swap (zahle fix und empfange float) mit Strike X (Principal = 1) einzutreten. Zum Zeitpunkt 1 ist der Swap PV(float)-PV(fix) wert. Unter der Annahme, dass der Nominalbetrag am Ende des Swaps ausgetauscht wird, gilt PV(float) = 1; PV ( fix) =

n +1 i =2

Pi (1) X + Pn+1 = P(1)

d.h. PV(fix) ist der Wert eines n-jährigen Bonds mit Kupon X. Somit ist der Auszahlungsbetrag der Option MAX[1-P(1),0] und somit äquivalent einer Put Option mit Strike 1auf einen Bond mit Kupon X. Interest Rate Models

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Bewertung einer Europäischen Swaption im Gitter

Puuu =1 + C

Luuu Puu

Luu Lu

Pu

Luud

Pud

Lud L

Pudd =1 + C

Pd

Ld

L udd

Pdd

Ldd

Pddd =1 + C

Lddd

0

Interest Rate Models

∆t

2∆t

Puud =1 + C

3∆t = T

Seite 21

0

∆t

2∆t

3∆t = T

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Was ist der Wert ein einjährigen Option, die es erlaubt nach Ablauf in einen zweijährigen Zahler- mit Strike X Swap einzutreten? Swap-Preis in einem Jahr:

Su = Max[1− Pu ,0], Sd = Max[1− Pd ,0]

Somit erhält man für die Zahler Swaption zum Zeitpunkt 0: Sxqx = e−r∆t ( pSu + (1− p)Sd ).

S= xat1

Die Kupon Bondpreise sind :

Puu = e−ruu∆t (1+ C) + C,Pud = e−rud∆t (1+ C) + C, Pdd = e−rdd∆t (1+ C) + C; Pu = e−ru∆t ( pPuu + (1− p)Pud ) Pd = e−rd ∆t ( pPud + (1− p)Pdd )

Interest Rate Models

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Bewertung im Gitter Bisher haben wir nur gezeigt, wie Derivate im Baum (Gitter) berechnet werden. Nun wollen wir uns dem Problem zum Aufbau eines Gitters zuwenden. Die Bäume bzw. Gitter sollen folgende wünschenswerte Eigenschaften besitzen: a) Kalibrierung von Markt-Instrumenten - Rekonstruiere die Zinskurve - Rekonstruiere die Volatilitätskurve - Rekonstruiere die Preise von Derivaten - Rekonstruiere die Anfangskorrelation b) Nicht Negative Zinsen c) Analytische Berechnungen Interest Rate Models

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Black-Derman-Toy (BDT)-Modell - Rekonstruiert die Anfangskurve - Rekonstruiert die Anfangsvolatilitätskurve - Die Zinskurve (short rate) ist Lognormal d.h. die Volatilität wird ausgedrückt als Prozentsatz des Zinssatzes (relatives Mass wie in der Black-Scholes Welt- nicht absolut). - Zinsen sind positiv - Ist ein Einfaktor Markov Modell für dem Zinsprozess BDT Modell

dr = Θ(t)dt +σ (t)dz r

Die Funktionen θ(t) und σ(t) werden numerisch bestimmt, durch die Baumkonstruktion. Im folgenden beschränken wir uns auf konstante Volatilitäten, d.h. σ ist konstant. Interest Rate Models

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Black-Derman-Toy Grundlagen ru

3

2 2 2

ru

ru 2 0.5

rud rd

r

Interest Rate Models

2∆t

r2 d 22

0.5

rd

r1 = r + α1

rd

∆t

r3d3

r1d1

rd 2

0

r2

0.5

r 0.5

r3u3

r1u1

ru

ru

r2 = r + α 2

3

0

3∆t

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r3u33

∆t

2∆t

r3d33

r3 = r + α 3 3∆t

Dr. Ingo Schneider

BDT-Modell Schritte für die Berechnung: a) Starte mit multiplikativen (lognormalen) Gitter b) Adjustiere zu jedem Zeitpunkt i∆t mit αi das Gitter so, dass die Anfangskurve reproduziert wird. Die Median rate ist dann zum Zeitpunkt i∆t : ri = r + α i c) Setze die Volatilitätsparameter ui , di (ui di = 1) zum Zeitpunkt i∆t um die Anfangsvolatilitätskurve zu reproduzieren. Somit ist der BDT Baum vollständig spezifiziert.

Interest Rate Models

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Dr. Ingo Schneider

Black-Derman-Toy Grundlagen 2 2 2

ru

2 2 2

rd

0.5

r1 = r + α1 r2 = r + α 2

∆t

0.5

r3d3

r1d1

Interest Rate Models

0.5

r2

0.5

0

A

r3u3

r1u1 r

r3u33

2∆t

r3d33

r3 = r + α 3

B

1 E[ X ] = ( A + B) 2 1 Var[ X ] = ( A − B) 2 4 1 σ [ X ] = ( A − B) 2

3∆t

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BDT-Modell Wie spezifiziert man die Volatilitätsparameter ? Setze d = 1 / u , aber wie ist dann u zu wählen? Wir wollen das gilt:

Var(ln(r∆t )) = σ 2 ∆t

Var(ln(r∆t )) =

1 (ln(r1u) − ln(r1d ))2 = ln(u)2 4

Somit

u = eσ Interest Rate Models

∆t

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Black-Derman-Toy Vorwärtsinduktion 2 2 2

ru

r2

0.5

r3d3

r1d1

r2 d 22

0.5

r1 = r + α1 r2 = r + α 2

0

Interest Rate Models

1 −r∆t 1 −r∆t qu = e , qd = e 2 2 qu + qd = e−r∆t

r3u3

r1u1 r

r3u33

∆t

2∆t

r3d33

r3 = r + α 3 3∆t

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1 quu = e−r1u∆t qu 2 1 −r1u∆t 1 −r1d∆t qud = e qu + e qd 2 2 1 qdd = e−r1d∆t qd 2 quu + qud + qdd = e−r1u∆t qu + e−r1d∆t qd

Dr. Ingo Schneider

BDT-Modell Nun wähle ri −1 und fitte die Anfangsbondpreise Bi ,i =1,2,K, n − r∆t 1 Schritt 1: B1 = qu + qd = e Somit r = ln(B1 ) ∆t qu , qd sind spezifiziert.

Schritt 2:

und

B2 = quu + qud + qdd = e− r1u∆t qu + e− r1d∆t qd Numerische Lösung ergibt den Wert für r1 und quu , qúd , qdd sind spezifiziert (1 Dim Newton-Raphson)

Schritt 3:

B3 = quuu + quud + qudd + qddd =e

Interest Rate Models

−r2u 2 ∆t

quu + e

−r2 ∆t

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qud + e

−r2 d 2 ∆t

qdd

etc. Dr. Ingo Schneider

Ho-Lee (HL)-Modell - Rekonstruiert die Anfangskurve - Rekonstruiert die Anfangsvolatilitätskurve - Die Zinskurve (short rate) ist Normal (Gauss) d.h. die Volatilität wird ausgedrückt als absolutes Mass - Zinsen können negativ werden - Ist ein Einfaktor Markov Modell für dem Zinsprozess Ho-Lee Modell

dr = Θ(t)dt +σ (t)dz

Die Funktionen θ(t) und σ(t) werden numerisch bestimmt, durch die Baumkonstruktion. Im folgenden beschränken wir uns ebenfalls auf konstante Volatilitäten, d.h. σ ist konstant. Interest Rate Models

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Ho-Lee Grundlagen r2 + 2u

r2

0.5

r1 + d

r2 + 2d

0.5

r1 = r + α1 r2 = r + α 2

0

Interest Rate Models

∆t

A 0.5

r3 + u

r1 + u r

r3 + 3u

2∆t

0.5

r3 + d

r3 + 3d r3 = r + α 3

B

1 E[ X ] = ( A + B) 2 1 Var[ X ] = ( A − B) 2 4 1 σ [ X ] = ( A − B) 2

3∆t

Seite 32

Dr. Ingo Schneider

HL-Modell Wie spezifiziert man die Volatilitätsparameter Setze d = −u , aber wie ist dann u zu wählen? Wir wollen das gilt:

Var(ln(r∆t )) = σ 2 ∆t

1 2 Var(r∆t ) = ((r1 + u) − (r1 + d )) = u 2 4 Somit

u = σ ∆t , d = −u Interest Rate Models

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Dr. Ingo Schneider

Ho-Lee Vorwärtsinduktion r2 + 2u

r2

0.5

r1 + d

r2 + 2d

0.5

r1 = r + α1 r2 = r + α 2

0

Interest Rate Models

∆t

1 −r∆t 1 −r∆t qu = e , qd = e 2 2 qu + qd = e−r∆t

r3 + u

r1 + u r

r3 + 3u

2∆t

r3 + d r3 + 3d r3 = r + α 3 3∆t

Seite 34

1 quu = e−( r +1 u ) ∆t qu 2 1 −( r1 +u ) ∆t 1 −( r1 +d ) ∆t qud = e qu + e qd 2 2 1 qdd = e−( r1 + d ) ∆t qd 2 quu + qud + qdd = e−( r1 +u ) ∆t qu + e−( r1 +d ) ∆t qd

Dr. Ingo Schneider

HL-Modell Nun wähle ri −1 und fitte die Anfangsbondpreise Bi ,i =1,2,K, n − r∆t 1 Schritt 1: B1 = qu + qd = e Somit r = ln(B1 ) ∆t qu , qd sind spezifiziert.

und

Schritt 2: B2 = quu + qud + qdd = e−( r1 +u ) ∆t qu + e−( r1 +d ) ∆t qd Analytische Lösung ergibt den Wert für

ln(e−u∆t qu + e−d∆t qd ) − ln B2 r1 = ∆t

Interest Rate Models

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etc.

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Black-Derman-Toy mit zeitabhängiger Volatilität 2 2 2

ru

r2 d 22

0.5

r1 = r + α1 r2 = r + α 2

Interest Rate Models

∆t

0.5

r3d3

r1d1

0

Bi (0)

r2

0.5

2∆t

Bi (u )

0.5

r3u3

r1u1 r

r3u33

0

Bi (d ) ∆t

Bi (0) = e− yi (0)i∆t

r3d33

Bi (u) = e− yi (u )(i −1) ∆t

r3 = r + α 3

Bi (d ) = e− yi ( d )(i −1) ∆t

3∆t

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Black-Derman-Toy mit zeitabhängiger Volatilität yi (u )

0.5

yi (0) yi (d )

0.5 0

1 æ yi (u) ö σ [ln( yi (∆t ))] = lnçç 2 è yi (d )

∆t

Eingabe: a) Zinskurve y1 (0), y2 (0),K, yn (0) . Ist gleichbedeutend mit − y ( 0) i∆t der Spezifizierung der Diskontierungsfunktion Bi (0) = e i b) Volatilitätskurve σ 2 (0),σ 3 (0),K, σ n (0) , wobei gilt: σ (ln( yi (∆t )) = σ i (0) ∆t und im Gitter wie folgt definiert:

1 æ yi (u) ö σ (ln( yi (∆t )) = lnçç 2 è yi (d ) Interest Rate Models

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Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Zinsgitter

Zustandspreise von u

r2u22

qu (u) = 1

r1u1

r2

0.5

r

r1d1 0.5

0

Interest Rate Models

∆t

0.5

r2 d 22

quu (u)

qud (u)

0.5

0

2∆t

Seite 38

∆t

2∆t

Dr. Ingo Schneider

Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Zinsgitter

Zustandspreise von d

r2u22

r1u1

r2

0.5

r

r1d1 0.5

0

Interest Rate Models

∆t

qud (d )

0.5

qd (d ) = 1 r2 d 22

qdd (d )

0.5

0

2∆t

Seite 39

∆t

2∆t

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Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Spezifizieren von B1 (0), B2 (0),K, Bn (0) und von σ 2 (0),σ 3 (0),K, σ n (0) entspricht der Bestimmung von r und Bi (u), Bi (d ), i =1,K, n

B1 (0) bestimmt r

mit

B1 (0) = e− r∆t

B1 (0) und σ i (0) bestimmen Bi (u), Bi (d )

1 −r∆t Bi (0) = e (Bi (u) + Bi (d )) 2 æ y (u) ö 1 σ i (0) = lnçç i 2 ∆t è yi (d ) Somit: Wähle ri ,ui so, daß Bi +1 (u), Bi +1 (d ), i =1,K, n − 1 übereinstimmen: Interest Rate Models

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Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Algorithmus: 1. Schritt: Finde r1 ,u1 einstimmen

, so daß B2 (0),σ 2 (0) mit den Marktwerten über-

Speziell: r1 ,u1 sind über B2 (u), B2 (d ) über die u und d-Zustandspreise wie folgt gegegben:

1 1 quu (u) = e−r1u1∆t , qud (u) = e−r1u1∆t 2 2 1 1 qud (d ) = e−r1d1∆t , qdd (d ) = e−r1d1∆t 2 2 B2 (u) = quu (u) + qud (u), B2 (d ) = qud (d ) + qdd (d )

Interest Rate Models

Seite 41

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Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Dann bestimmen die Preise zum Zeitpunkt 2 die erforderlichen Schritte

1 −r∆t B2 (0) = e (B2 (u) + B2 (d )) 2 æ y (u) ö 1 σ 2 (0) = lnçç 2 2 ∆t è y2 (d ) D.h. : Bestimmung von r1 ,u1 bedeutet ein nicht-lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten zu lösen. 2 Dim Newton-Raphson.

Interest Rate Models

Seite 42

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Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters 2. Schritt: Finde r2 ,u2 einstimmen

, so daß B3 (0),σ 2 (0) mit den Marktwerten über-

Speziell: r2 ,u2 sind über B3 (u), B3 (d ) über die u und d-Zustandspreise wie folgt gegegben:

B3 (u) = quuu (u) + quud (u)+ qudd (u) B3 (d ) = quud (d ) + qudd (d )+ qddd (d ) Die Zustandspreise werden wieder durch die Vorwärtsinduktion bestimmt. Dann bestimmen die Preise zum Zeitpunkt 3 den Schritt:

æ y3 (u) ö 1 −r∆t 1 lnçç B3 (0) = e (B3 (u) + B3 (d )), σ 3 (0) = 2 2 ∆t è y3 (d )

Löse wiederrum durch 2 Dim Newton-Raphson und bestimme r2 ,u2 Interest Rate Models

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Bemerkungen: 1) Optionen im Fixed Income Bereich bestehen mehrheitlich aus Caps/Floors und Swaptions. 2) Händler sind es gewohnt implizierte Volatilitäten zu quotieren, welche auf dem Black Modell basieren (lognormale Zinsen). 3) Die Bewertungen für amerikanische - oder Bermuda Optionen wird meistens in einem Binomialmodell vorgenommen. 4) Das Black Derman Toy Modell basiert auf lognormalen Zinsen und ist in diesem Sinne ähnlich zu den Anwendungen im Black Modell Interest Rate Models

Seite 44

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Bemerkungen: 5) Das BDT Modell kommt in 3 Ausprägungen vor a) konstante Volatiltät für alle Laufzeiten und Kalibrierung der Zinsen b) Volakurve (stückweise linear im Zeitintervall) und Kalibrierung der Zinsen c) Volakurve und Kalibrierung sowohl der Zinsen als auch der Volatilitäten (führt in der Regel zu nicht-stationären Verhalten der Volatilitäten in der Zukunft), (siehe Jamshidian Artikel). In der Praxis werden hauptsächlich Typ b) bzw. Typ a) verwendet

Interest Rate Models

Seite 45

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Analytische Bewertung für Caps Gängige Marktpraxis ist es Caps/Floors und Swaptions mittels analytischer Funktionen zu berechnen. Bezeichne mit P(t,T) den Wert zum Zeitpunkt t für eine Nullkuponanleihe mit Laufzeit T. Fernerτsei F(t,T,τ) der Wert zum Zeitpunkt t für den τ periodischen LIBOR forward vom Zeitpunkt T bis zum Zeitpunkt T+ τ. Ein Caplet ist eine Option auf diesen LIBOR Forward. Zum Zeitpunkt 0 (=heute) ist der Wert des Caplets mit Laufzeit T, Auszahlungszeitpunkt T+ τ und Strike X:

c(0, T , T + τ ) = P(0, T + τ )[F (0, T ,τ ) N (d1 ) − XN (d 2 )]τ

Interest Rate Models

Seite 46

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Analytische Bewertung für Caps Wobei der Fowardzins

ö æ P(0, T ) çç −1 τP(0, T + τ ) è F (0, T ,τ ) = τ und

æ F (0, T , T + τ ) ö lnç + 0,5σ 2T X d1 = è σ T d 2 = d1 − σ T

mit σ als Volatilität der logarithmischen Änderungen der Fowards. Interest Rate Models

Seite 47

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Analytische Bewertung für Swaptions Als Underlying fungieren in der Regel sogenannte Foward Starting Swaps Ist eine Vereinbarung in einen Swap in n Perioden in der Zukunft einzutreten. Der Wert des Forwardswapsatzes (als Kupon) ist derjenige, der die fixe- und variable Seite des Swaps äquivalent macht. Sei Ts der Startzeitpunkt des Swaps und Te der Endzeitpunkt; dann ist der Forwardsatz zum Zeitpunkt 0 F(0, Ts,Te) mit τ als Tenor (viertel, halbö æ jährlich etc) des Swaps.

ç 1 ç P(0, Ts) − P(0, Te) F (0, Ts, Te)= ç 1/τ ⋅Te τ P(0, Ts + τj ) çç è j =1

Interest Rate Models

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Analytische Bewertung für Swaptions Den Nenner bezeichnet man auch als Annuität A(0,Ts,Te). Man unterscheidet zwei Arten von Swaptions: a) Payer: Das Recht in einen Swap einzutreten bei dem der Swapsatz X gezahlt wird. Entspricht einer Call Option auf einen fixen Zinssatz (Oder: Einer Put Option auf einer Kupon Anleihe) b) Receiver: Das Recht in einen Swap einzutreten, bei dem der fixe Swapsatz X empfangen wird. Entspricht einer Put Option auf einen fixen Zinssatz (Oder: Einer Call Option auf eine Kupon Anleihe) Der fixierte Swapsatz ist der Strike der Option Interest Rate Models

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Analytische Bewertung für Swaptions Der Wert einer Payeroption zum Zeitpunkt t =0 mit Laufzeit Ts, Strike X ti = Ts + iτ . und Swaplaufzeit Te ( Die fixen Zahlungen im Swap sind Jeder Cashflow entspricht dem Auszahlungsprofil einer Calloption).

1 c p (0, Ts, Ts) = A(0, Ts, Te)[F (0, Ts, Te) N (d1 ) − XN (d 2 )] τ mit

æ F (0, Ts, Te) ö lnç + 0,5σ 2Ts X è d1 = σ Ts d 2 = d1 − σ Ts

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Bewertung von Bermuda Swaptions Bermuda Swaptionen sind Optionen bei denen zum jeweiligen Kuponzeitpunkt ein Ausübungsrecht hinzukommt. Gegenüber Standard-Optionen sind Bermuda Optionen nicht als einzelne Produkte handelbar, sondern nur im Packet mit dem Basisinstrument Swap (bzw. Anleihe). Die entscheidende Beziehung ist nun das z.B. eine jährlich kündbare Anleihe aus folgender Beziehung hergeleitet werden kann (enspricht einer intrinsischen Call Option auf die Anleihe). Wert der Option = Wert der Kupon-Anleihe - Wert der kündbaren Anleihe Der Wert der Kupon-Anleihe ist einfach zu berechnen. Man startet am Ende des Gitters und fügt zum Nominalbetrag den Kupon hinzu. Beim rekursiven Rückwärtsrechnen wird mit dem periodischen Zinssatz abdiskontiert und wenn in dieser Periode ein Kupon fällig wird, dieser entsprechend dazu addiert. Interest Rate Models

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Bewertung von Bermuda Swaptions Bezeichne mit P(i,j); i= 0,...n, j = -i bis i den Wert der Anleihe am jeweiligen Knoten und C(i) den Kupon, dann kann man die rekursive Gleichung wie folgt schreiben:

P(i, j )=

1 0,5(P(i + 1, j + 1) + P(i + 1, j − 1)) + Ci (1 + r (i, j ))

Im folgenden betrachten wir eine jährlich kündbare Anleihe. ( Es handelt sich um eine Receiver Bermuda Swaption). Die Laufzeit ist 4 Jahre, die Kurve ist flach und beträgt 6 %, die Volakurve ist ebenfalls flach und sei 15 %, die Zeischritte seien mit ∆ t = 1; der Kupon ist 6,25 % .

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Die Anleihe mit 6,25 % Kupon, Nominal = 100

106,25

103,58 103,20 104,52 100,87

106,25

105,74 106,90

109,32

106,25

107,41 109,78

106,25

108,68

∆t=1

0 Interest Rate Models

106,25 1

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Bewertung von Bermuda Swaptions Für die Berechnung der kündbaren Anleihe gilt nun am jeweils möglichen Kündigungszeitpunkt die Bedingung:

é ù 1 P(i, j )= MIN ê 0,5(P(i + 1, j + 1) + P(i + 1, j −1));100 + Ci ë (1 + r (i, j )) D.h: Ist der abdiskontierte Wert grösser als 100, dann kündigt der Verkäufer der Anleihe und zahlt nur den Betrag von 100 aus. Dann kommt der Kupon hinzu und man wendet das rekursive Verfahren bis zum Zeitpunkt 0 an. Der Wert der kündbaren Anleihe ist 99,28 und somit ist der Wert der Bermuda Receiver Swaption 100,87-99,28 =1,59 Die entsprechende Bermuda Payer Swaption ist 0,871 Interest Rate Models

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Wert der kündbaren Anleihe

106,25

103,58 103,20 104,21

106,25

105,74 106,25

99,28

106,25

106,25

106,25 106,25

106,25

106,25

∆t=1

0 Interest Rate Models

106,25 1

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ÜBUNG 2: Aufgaben: Benutze EXCEL sheet BDTueb1a.xls Gegeben sei folgende Zinskurve: τ = 0,5 mit 10 % für alle Laufzeiten und ebenfalls 10 % für alle Laufzeiten: (siehe Jamshidian paper) a) Kalibriere das Gitter mit EXCEL Solver (Siehe Median des Papers) b) Berechne eine europäische Put Option, Optionslaufzeit 2 Jahre und Anleihelaufzeit 4 Jahre, Kupon 8,5 %. Wie nennt man diese Option? c) Berechne diese Option mittels der analytischen Formel d) Bewerte eine Bermuda Payer Swaption mit Laufzeit 4 Jahre τ = 0,5 6 % curve und 20,12 % Vola ( siehe Andersen Paper) Interest Rate Models

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ÜBUNG 3: Aufgaben: Benutze EXEL sheet BDTueb1b.xls Gegeben sei folgende Zinskurve: τ = 0,5 mit folgenden Perioden Periode (j) 1 2 3 4 5 6

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Zinskurve Volkurve 0,04989 0,125 0,05129 0,150 0,05209 0,165 0,05294 0,170 0,05362 0,175 0,05420

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1) Kalibriere das Gitter mit dem EXEL Solver 2) Berechne einen 2 jährigen CAP (X=5,5 %) a) mittels der analytischen Funktion b) mittels des Gitters Hinweis: Es handelt sich hier um kontinuierliche Raten 3) Berechne eine 1 X 2 jährige ATM Payer Swaption a) mittels der analytischen Funktion (vola = 15,55 %) b) mittels des Gitters 4) Berechne einen 5 jährigen jährlich kündbaren Bond Kupon 5,5 % = BERMUDA OPTION

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Literatur: - Hull, J.,: Options, Futures, and other Derivatives, 4th edition, Prentice Hall, 2000 - Jamshidian, F.,:“Forward induction and construction of yield curve diffusion models,“, Journal of Fixed Income, June, 1991, 62-74 - Jarrow, R.,:“Modelling Fixed Income Securities and Interest Rate Options“,McGraw-Hill, 1996

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