Www.referat.ro-problema Armoniei38a6bac

PROBLEMA ARMONIEI FORMELOR GEOMETRICE sau DESPRE POLIEDRE REGULATE - Drept să-ţi spun vremea asta mă sâcâie, i-am zis prietenului meu Teodor Solonar, îndată după ce ne-am dat bineţele de dimineaţă. Când s-a pomenit ploaie pe 18 ianuarie? Cum să mergem la Repedea? Dedesubt gheaţa nu-i topită, deasupra toarnă cu găleata…şi dacă n-ar fi duminecă. Să mergem cu autobuzul pâna la Motel fără să facem un pic de plinbare n-are nici un chichirez! Ce ne facem acum? - De asta te plângi? A râs prietenul meu. De câte ori mă aflu într-o asemenea situaţie, mi-aduc aminte că Rainer Maria Rilke spunea cam aşa: dacă viaţa ta de toate zilele ţi se pare săracă, tu singur porţi vina fiindcă nu eşti destul de poet ca să-i smulgi bogăţia! - Cred şi eu că lui Rilke i-a venit uşor să formuleze o sentinţă ca asta, după ce-a stat atâta vreme în preajma lui Rodin, desfătându-şi ochii cu formele armonioase create de marele sculptor… forme pe care modesta mea locuinţă nu-şi poate permite să le adăpostească! - Teribil! Aproape că m-ai convins dacă nu mi-ar fi zâmbit şugubăţ, chair de aici, de pe masa ta de lucru, comoara ce ascunde nici mai mult nici puţin decât a cincea parte din armonia universală! - Greu să-şi dezleg şarada, fiindcă pe masa mea, în afară de acest cub de sare, cu feţele oleacă zbârcite de vreme, nu văd nimic care să-ţi fi atras atenţia! - Dar tocmai la el mă refer! Nu-ţi spune nimic? - Ba da! E o amintire pe care o am de la părinţii mei. În 1926 s-au dus şi ei la Slănic-Moldova şi, vizitând Salinele din Tg. Ocna, l-au cumpărat de acolo. Îl păstrez nu de frumuseţe, ci fiindcă-mi ţine de urât atunci când gândurile lunecă spre trecut. Dar de la armonia mea interioară, pe care admit că mi-o transmit uneori amintirile, şi până la o cincime din cea universală, oricât de încrezut ţi-aş apărea! - Nu m-am gândit deloc la amintirile tale personale, legate de cristalul acesta de sare, ci la armonia ce se degajă din forma lui; însă mi se pare că degeaba bat eu şaua să priceapă iapa! Ar fi mai bine să o iau de-a dreptul. - Ia stai! În clipa asta mi-a fulgerat ceva prin minte: cub… o cincime… nu cumva băteai în corpurile platonice? - Da, mă gândeam la cele 5 poliedre regulate, dar nu-s de acord cu numirea folosită de tine. - De ce? Oare nu-i Platon acela care a scris pentru prima oară despre ele în acel vestit dialog “Timaeus”? - Desigur, aşa-i. Platon a fost puternic impresionat de faptul că elevul lui preferat, Teetet, matemetician plin de talent, care a studiat îndeaproape lucrurile lui Timeus din Locra, i-a arătat cum se construiesc poliedrele regulate şi, pe deasupra,

că în spaţiu nu pot exista mai mult decât cinci corpuri de acest fel. De aceea a şi scris despre aceste lucruri care au surprins aşa de mult pe grecii de atunci şi de mai târziu, căci ei nu puteau crede că ar putea exista o atare deosebire între geometria plană şi cea din spaţiu… - Drept să-ţi spun că şi pe mine mă surprinde această afirmaţie! Ştiu că în plan este posibil să construieşti un număr nelimitat de poligoane regulate; de exemplu, pornind de la un poligon regulat oarecare, poţi să-i dublezi numărul laturilor, oricât pofteşti; de ce, atunci, în spaţiu să nu existe decât cinci regulate? - Asta-i altă gâscă în ceea traistă! Eu ţin să accentuez că Platon nu are nici o contrubuţie originală în studiul lor ca astfel să i se lege numele de poliedrele regulate. Mai degrabă ele ar putea fi numite “corpuri pitagoreice” fiindcă Timeus a fost un cunoscut pitagoreician din veacul al VI-lea î.e.n. - Mi-ai mai spus şi altă dată că lui Platon nu i se datorează nici o descoperire matematică importantă şi acum, din nou, te răzvrăteşti că în antichitate aceste corpuri purtau numele lui Platon. Dar crezi că puţin lucru însemna faptul că el discuta, adică prezenta şi atrăgea atenţia, celor doritori de studiu, asupra poliedrelor? Consideri că mică a fost contribuţia lui la răspândirea şi popularizarea matematicienilor? Să nu-ţi închipui că pe atunci era altfel decât este acum! Păstrând, bineînţeles proporţiile, află că nu toţi filozofii şi grecii se ocupau de geometrie. Deşi grecii au fost prin excelenţă geometri. Uite, zilele trecute, m-am întâlnit cu un bun prieten de-al meu, un medic excebat, cu lucrări valoroase în domeniul lui care m-a întrebat dacă nu pot să-i spun ce este un poliedru regulat, fiindcă întâlnise termenul în nu ştiu ce lucrare de-a lui. Mi-a mărturisit omul că ştie că prisma este un poliedru, dar poliedru regulat e prea mult pentru el! - În definitiv, problema nu-i chiar aşa de simplă şi merită să fie discutată! - Sunt de acord cu tine ca să o reluăm mai târziu. Prin acest exemplu doream să-ţi arăt că aşa trebuie să fi fost şi pe vremea lui Platon. O spune şi el însuşi, destul de limpede, în Republica: “O, Socrate, ar fi fost normal ca de la dimensiunia a doua să se treacă la cea de-a treia, adică la corpurile cu înălţime, dar se pare că aceste studii nu s-au dezvoltat încă… şi acum sunt într-o stare atât de ridicolă că, până ce Statul nu va ajuta la progresul lor, ar fi mai bine să se treacă de la geometria plană direct la astronomie!” Cred că e limpede! De aceea mă întreb dacă Teetet nu s-a apucat să-l studieze pe Timeus chiar la sugestia lui Platon? Mai mult, fiind de părere că numai adevărurile matematice puteau răspunde problemelor puse de filozofie – pentru că Platon situa obiectele matematice între lucrurile senzoriale şi ideile pure – el a acceptat şi şi-a însuşit corespondenţa mistică stabilită de Timaeus dintre cele 5 poliedre regulate şi cele patru elemente primordiale, la care adăuga, drept al cincilea element, chintesanţa sau eterul. Lăsând însă deoparte latura filozofică, crezi că puţin îi datorează Euclid lui Platon? Şi mai ales cu geometria în spaţiu, unde, după câte ştiu eu, multe dintre teoremele redate de el sunt ale lui Teetet? Poate că de aceea cei din antichitate, cunoscând aceste fapte mai îndeaproape, au legat poliedrele regulate de numele lui Platon, ca un omagiu pentru interesul ce l-a arătat geometriei! De altfel, de abia mai târziu, după ce Platon a

atras atenţia asupra acestor corpuri remarcabile, s-au găsit şi alţii care să scrie despre ele ori să atribuie descoperirea lor lui Pitagora sau pitagoricienilor! - Nu te contrazic. Cu aceste scrieri de mai târziu a început istoria matematicienilor. De pildă Proclus, care a trăit prin veacul al V-lea al e.n., aşadar la o distanţă de vreo 1000 de ani de Platon, afirma că Pitagora a descoperit asocierea figurilor cosmice – aşa numea el poliedrele regulate. - Aş vrea să precizez acuma această asociere, iar dacă am s-o greşesc, te rog mă îndreaptă. Pământul corespundea cubului, focul tetraedrului, aerul octaedrului, apa isoedrului şi în fine chintesenţa, sfera însăşi a universului, corespundea dodecaedrului. - Perfect. - Nu-i chiar aşa de perfect, după cum îţi închipui tu, fiindcă îmi sunt necesare multe explicaţii, ca cele ce ţi-am înşirat pe de rost să aibă pentru mine un înţeles deplin. - Bine, dar ştii tot aşa de precis ca şi mine că noi nu mai putem prinde înţelesul filozofic al acestor corespondenţe, datorită formaţiei noastre actuale! Noi avem altă cultură, altă viziune a lucrurilor şi nu ne mai putem transpune în mentalitatea care era conformă cu cultura şi civilizaţia de acum 2500 de ani! - Nu m-am referit la aceasta, ci la lucruri mult mai prozaice. Află că şi pentru mine, ca şi pentru prietenul meu, cu doctoratul în medicină, se potriveşte foarte bine observaţia lui Platon cu privire la cunoştinţele geometriei în spaţiu! - Multe aş fi crezut, dar una ca asta nu! Atunci hai, copăcel-copăcel, să precizăm mai întâi că orice corp mărginit de feţe plane se numeşte poliedru. - Asta ştiu. Ştiu şi că feţele poliedrului sunt poligoane şi că termenul poliedru este compus din poli = multe şi hecra = faţă plană. Mai ştiu că muchia poliedrului este linia de intersecţie dintre două feţe, că aceste două feţe formează un unghi diedru al poliedrului şi că vârful poliedrului este punctul în care se întâlnesc mai multe feţe ale lui, cel puţin trei. E de ajuns? - Nu. Întâi un unghi poliedru (figura 32). Este figura compusă din vârful T, muchiile Ta, Tb, Tc, Td, Te, … în număr de n > 3 care formează la rândul lor unghiurile plane aTb, bTc, cTd, … precum şi unghiurile diedre aTbc, bTcd,… Un unghi poliedru are cel puţin 3 feţe. În figură, unghiul T este pentaedru, iar unghiurile a, b, c, d şi e sunt toate triedre. Toate aceste unghiuri poliedre pe care le vezi în această figură se numesc şi convexe pentru că nici unul dintre ele nu este străbătut de vreunul din planele care-l formează. T

e a

d b

c

Figura 32 - La fel ca şi în cazul poligoanelor convexe! - Şi tot cam la fel sunt şi următoarele două teoreme pe care am să ţi le spun fără să ţi le demonstrez: 1) Într-un unghi poliedru, un unghi plan este mai mic decât suma este mai mică decât 4 unghiuri drepte. 2) Suma unghiurilor plane ale unui unghi poliedru convex este mai mică decât 4 unghiuri drepte. - Dacă prima teoremă îmi este, intuitiv, evidentă, la a doua pot să-ţi schiţez o demonstraţia “la minut”. Iat-o: iau o foaie de hârtie şi, dintr-un punct T pe care îl consider a fi vârful unghiului poliedru (figura 33), duc o serie de semidrepte. f e a T b

d

c Figura 33 Acestea vor forma muchiile unghiului poliedru numai dacă tai şi îndepărtez unul dintre unghiurile plane desenate pe hârtie, de pildă unghiul aTb iar apoi lipesc muchia aT cu bT. Ori, în acest caz, e de la sine îmţeles că suma unghiurilor rămase nu mai are 4 unghiuri drepte, fiind atât de mare este suma tuturor unghiurilor din jurul unui punct T din plan. - Atunci nu-mi mai rămâne decât să introduc noţiunea de regularitate şi să-ţi definesc întâi unghiul poliedru regulat, ca fiind convex şi având unghiurile plane şi cele diedre egale între ele, iar apoi, poliedrul regulat: acela care are atât feţele poliedre cât şi unghiurile poliedre regulare şi egale între ele. - Credeam că în această definiţie, care nu-mi prea pare bine cunoscută până acum, am să dibui răspunsul la întrebarea despre numărul aşa de mic de poliedre regulate, dar văd că m-am înşelat! Definiţia care mi-ai dat-o despre poligoanele regulate corespunde exact cu aceea a poligoanelor plane regulate fiindcă şi ele sunt convexe, au laturi egale (în cazul poliedrelor apar feţe poligoane regulate) şi unghiuri egale (iar, în cazul poliedrelor, e normal să se introducă unghiuri polidre regulate). Atunci, de ce se pot forma o infinitate de poligoane regulate şi numai 5 poliedre regulate? - Platon a înţeles de ce, fiindcă Teetet stabilise demonstraţia şi a arătat-o. Dar, mai înainte, tot el l-a iniţiat şi în taina de a construi. Euclid redă aceste descoperiri în cartea a XIII-a a “Elementelor” sale. El duce chiar şi mai departe descoperiri ale lui Teetet, arătând cum se pot înscrie toate cele cinci poligoane în aceeaşi sferă şi termină lucrarea sa prin demonstraţia care arată că nu pot exista alte corpuri regulate în afară de aceste cinci.

- Acum te rog să faci şi tu, pentru prietenul tău, ceea ce a făcut Teetet pentru dascălul său. - Este imposibil, căci Teetet a creat demonstraţia! Rolul meu este mult mai umil, eu am să-ţi redau doar Scolia lui Euclid. După cât mi-aduc aminte, sună cam aşa: “Spun că, în afară de cele cinci figuri despre care am discutat, nu se mai poate construi nici o alta, mărginită de poligoane echilaterale şi echiunghiulare, egale între ele. Căci nu se poate construi un unghi poliedru din două tringhiuri şi nici din alte două figuri plane. Dar cu trei unghiutri se poate construi vârful piramidei, cu patru triunghiuri al octaedrului, cu cinci acela al icosaedrului. Însă cu şase triunghiuri echilaterale, reunite într-un punct nu se va forma un unghi poliedru, căci unchiul triunghiului echilateral fiind de 60 de grade şase vor fi egale cu 360 de grade, adică cu patru unghiuri drepte, ceea ce nu se poate. Din aceeaşi cauză un unghi poliedru nu se va putea construi cu mai mult decât şase dintre aceste unghiuri plane. La cub, în furul unui vârf sunt trei pătrate şi patru pătrate nu pot forma un unghi poliedru căci intervin din nou patru unghiuri drepte. Cât despre pentagoanele echilaterale şi echiunghiulare, trei formează vârful dodecaedrului, iar patru dau o sumă mai mare decât patru unghiuri drepte, deci nu pot forma un unghi poliedru. Cu alte poligoane regulate, din aceeaşi cauză nu se mai poate construi nu unghi poliedrel. Aşadar, în afară de cele cinci figuri menţionate, nu se mai poate construi o alta mărginită de poligoane echilaterale şi echiunghiulare, ceea ce a fost demonstrat!” - Ce simplă şi frumoasă demonstraţie. Plină de vrajă, ca o melodie, căci în loc să-şi facă loc numai în minte s-a cuibărit şi în inimă! Mi se pare că o cunosc de mult, deşi sunt sigur că n-am mai auzit-o nuciodată. N-ai vrea să ne jucăm pe rând cu fiecare dintre aceste poliedre? Să le desenăm, astfel am admira şi noi, alături de Platon, acea lege de economie la care pare că se supune realitatea spaţială care l-a şi condus să găsească în poliedrele regulate o imagine a ceea ce considera el că sunt “elementele primordiale” ale Universului.

TETRAEDRU

CUB

OCTAEDRU

DODECAEDRU

ICOSAEDRU

Poliedru Tetraedru Cubul Octaedru Dodecaedru Isoaedru

vârfuri 4 (triedre) 8 (triedre) 6 (tetraedre) 20 (triedre) 12 (pentaedre)

feţe

muchii

4 (triunghiuri) 6 (pătrate) 8 (triunghiuri) 12 (pentrgoane) 20 (triunghiuri)

6 12 12 30 30

Powered by http://www.referat.ro/ cel mai tare site cu referate

REFERAT Problema armoniei formelor geometrice din istoria matematicii

Lugojan Mădălina Adela Clasa a VIII-a A Bibliografie: “Adoua carte cu probleme celebre”, prof.dr. docent Florica T Câmpan Lyceum, Editura Albatros 1972