Vrai Faux-dm

Pour le mardi 16 juin 2009

DEVOIR DE MATHEMATIQUES N°17.

Exercice 1 : bouillon de culture & culture de Bouillon. Les questions 1), 2), 3), 4) et 5) sont indépendantes (heureusement !) mais pas la 6) (hélas, trois fois hélas !). 1)

a) Définir au sens physique un champ de vecteur. abysse) Etudier, puis tracer sur un même graphique les courbes paramétrées : α) x(t) = 2.9 + 2 sin(t), y(t) = -4 + 2 cos(t) sin(t), pour t
[0, 2 π ]. β) x(t) = 4 + 1 / 2 (6 cos(t) - cos(6 t)), y(t) = 4 + 1 / 2 (6 sin(t) - sin(6 t)), pour t
[0, 2 π ]. γ) x(t) = 4 + 2 cos(t), y(t) = 4 + 2 sin(t), pour t
[0, 2 π ]. δ) x(t) = 2.8 + t / 4, y(t) = -2 + 2 t, pour t
[-1.32, 1.32] ε) x(t) =3.4 + t / 4, y(t) = -(2.05) + 2 t, pour t
[-1.32, 1.32]. b) Déduire de l'aspect de ces courbes le rapport entre a) et abysse). Conclure.

2)

Donner la zoologie de S2009.

3)

Le coefficient de ressemblance de deux mots est noté τ = 

 

∑        ∑     



∑         ∑     

a) Calculer le coefficient de ressemblance des mots « surjective » et « subjective ». b) En déduire le nombre d'élèves qui ont confondu les deux mots dans leur dernière copie de français. 4)

Tracer la courbe paramétrée par : x(t) = sin3(t) et y(t) = cos(t) – cos4(t). Que peut-on en conclure ?

5)

Selon un grand philosophe de Lakanal, que fait un professeur ?

6)

Ce résultat est il en accord avec celui de la 4) et de la 1)b) ?

Exercice 2 : un problème de Mat' Sup. A) Dénombrement.

B) Topologie.

1 : noir 2 : marron 3 : rouge

4 : jaune 5 : vert 6 : bleu

PROBLEME : d'après ENS-Aignan 2009. Les parties A), B), C), D) et E) sont dépendantes (mais de quoi ?). A) Préliminaire. Soit E un espace de Banach complémenté dans son bidual. Soit (Zn)n
ℕ* une suite croissante de sous-espaces fermés de E uniformément complémentée dans la fermeture Z de la réunion des sous-espaces Zn. Ouh ! Ca décrasse ! 1) 2) 3)

Montrer que Z est pseudocomplémenté dans E
La suite (Zn)n
ℕ* est uniformément pseudocomplémenté dans E. En déduire que ∀ n ≥ 3, an + bn = cn n’admet pas de solution entière. Démontrer la conjecture de Syracuse et de Goldbach.

B) Etude d'une classe. Soit E un espace vectoriel de dimension 2009. On définit une classe C comme une partie non vide de ℝ. On y associe l’ensemble des élèves E !" #$E , " ∈ C, " ' 0) et l’ensemble des professeurs P !" #$E , " ∈ C, " + 0). Enfin, C est idéale
C = ℝ. 1) 2) 3)

Montrer que la classe idéale est un ℝ-e.v.e. S'intéresser à l'endomorphisme qui à un élève, fait correspondre son professeur préféré. Qu'en déduire ? Vérifier la pertinence de ce résultat à l’aide de l’exercice 1. Qu’en est-il de l’homogénéité ?

C) Propriétés d'un élève. 1) 2) 3)

Montrer que le copain d'un élève est un élève. Le copain d’un professeur est il un professeur ? Qui est l’adjoint d’un élève ? La réciproque est elle vraie ? On assimile la classe à un espace affine dont les élèves sont des droites. Que dire d'une gerbe d'élève à Noël ?

D) Atrocités. 1) 2) 3)

Ecrire une procédure MAPLE qui prend en entrée le nombre d'élèves manquants dans la classe, et qui renvoie le nom du prochain élève en retard qui rentrera dans la classe. Exprimer le nombre de fois qu’un élève se trompe au cours d’un changement de variable dans une intégrale en fonction du nombre de fois qu’un professeur s’exclame « gare aux bornes ! » au cours de l’année. Trouver une réponse à la question 3).

E) Correction de copies. Dans cette partie, card(E ) = 49 et C sera notée MPSI. Chaque élève de MPSI rend 10 DS et 16 DM par an. Chaque DM est constitué de 5 copies doubles, chaque DS de 6 copies doubles, où une copie double est constituée de quatre pages. On suppose que leur professeur préféré passe au moins une minute pour lire chaque page. 1) 2)

3)

Montrer que la MPSI comporte un majorant. De qui s’agit-il ? a) α) Calculer combien de pages a rendu chaque élève de MPSI en une année. gros β) En déduire le nombre total de pages rendues par l'ensemble des élèves à leur professeur préféré en une année. b) En déduire le temps, en minutes, passé par ce pauvre homme à corriger toutes les copies. Trouver une stratégie de correction efficace si l’on tient compte de la tendance à copier sur le majorant de certains élèves.

AVIS A TOUS : IL RESTE DE LA PLACE

BONNES VACANCES !