Volumen De Un Solido Usando Cascarones Cilindricos

VOLUMEN DE UN SOLIDO USANDO CASCARONES CILINDRICOS Laura Yineth Jula Vanegas Sergio Daniel Benitez Quiroga Daniel Mauricio Contreras Tique Daniel Rodriguez Marroquin Jefferson Sanchez Ducuara Wilson Alfonso Gutierrez Guateque 22 de Octubre del 2008

1.

Resumen

Queremos calcular el volumen de un solido de revoluci´ on utilizando el m´etodo de los cascarones cil´ındricos. Explicaremos un metodo general para un solido generado al girar un regi´ on limitada por una funci´ on integrable, definida en un intervalo [a, b], mayor que cero para todo x en este intervalo y las rectas x = a e y = b. Hacemos una partici´ on del intervalo [a, b], para luego construir n rectangulos de altura f (x∗i ) y una base de (xi − xi−1 ), posteriormente rotamos alrededor del eje y dichos rect´ angulos sumamos el volumen de cada uno de estos obteniendo una Suma de Riemann la cual ser´ a igual al volumen del solido.

2.

Introducci´ on

Generalmente para hallar el volumen de un solido de revoluci´on se utilizan tres metodos distintos, el primero se conoce como el metodo de discos y arandelas; el segundo de cascarones cil´ındricos y el tercero el metodo de secciones conocidas, a veces los cascarones cilindricos pueden funcionar mejor que las arandelas. En parte porque en la formula no hay que elevar la funcion al cuadrado, por tanto puede que el exponente dentro de la integral tenga un grado menor.

3. 3.1.

Marco Te´ orico

Definici´ on:

Un cascaron cil´ındrico es un cilindro de radio r1 de cuyo interior se ha extra´ıdo un cil´ındro de radio r2 con r2 < r1 , ambos con una altura h (Figura 1).

1

Figura 1. 3.2.

C´ alculo del volumen de un solido de revoluci´ on mediante el metodo de cascaron cil´ındrico:

En base a la Figura 1. podemos calcular el volumen de un cascaron cil´ındrico de la siguiente manera: - Sea V1 el volumen del cil´ındro exterior entonces: V1 = πr12 h - Sea V2 el volumen del cil´ındro interior se tiene que: V2 = πr22 h Por lo tanto el volumen V del cascaron cil´ındrico es: V = V1 − V2 = πr12 h − πr22 h
= πh r12 − r22 = πh (r1 + r2 ) (r1 − r2 ) (r1 + r2 ) (r1 − r2 ) = 2πh 2 - Sea r1 − r2 = ∆r (Espesor del cascaron)

Y sea

(r1 + r2 ) = rm (Radio Medio) 2 Entonces V = 2πhrm ∆r

(1)

Sea f una funci´ on integrable en [a, b] , 0 ≤ a < b y f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]. Se quiere determinar el volumen Vs del solido que se obtiene al rotar la region acotada por f (x), el eje x, y las rectas x = a y x = b.

2

Figura 2. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud ∆x (b − a) n

∆x =

(2)

Ahora sea x∗i el punto medio del intervalo [xi−1 , xi ] Consideremos los rect´ angulos de base (xi − xi−1 ) y altura f (x∗i ). Una Aproximaci´ on a Vs teniendo en cuenta los cascarones cilindricos que genera cada uno de los rect´ angulos al rotarlos respecto al eje y ; y por las ecuaciones (1) y (2), es: n X

Vi

Vi = 2πx∗i f (x∗i )∆xi

Donde

(3)

i=1

Veamos que cuanto mas grande sea n mejor ser´a la aproximaci´on al volumen del solido. Por lo tanto si hacemos tender n a infinito tendremos que: n X

Vi = Vs

(4)

i=1

Por lo tanto, de las ecuaciones (3) y (4) Vs = l´ım

n→∞

n X

2πx∗i f (x∗i )∆xi

i=1

Observemos que lo obtenido es una suma de Riemann. Luego Z Vs =

b

2πxf (x)dx

;

a

3

0≤a
4.

Ejercicios Resueltos

4.1. Rb Obtuvimos la f´ ormula V = a 2πxf (x)dx mediante cascarones c´ıl´ındricos, pero ahora podemos aplicar la integraci´ on por partes para deducir el m´etodo de rebanadas (discos), al menos cuando f es biun´ıvoca y por consiguiente, tiene una funci´ on inversa g. Con la figura 3. demuestre que: V = πb2 d − πa2 c −

Z

d

  π g(y)2 dy

c

x = g(y) ; y = f (x)

Figura 3. Sustituya y = f (x) y emplee la integraci´on por partes de la integral que resulte para desmostrar que: V = Rb 2πxf (x)dx a Demostraci´ on: Llamaremos R1 a la regi´ on delimitada por las rectas y = d, x = b, el eje x y el eje y, R2 a la regi´on delimitada por las rectas y = c, x = a, el eje x y el eje y, R3 a la regi´on delimitada por x = g(y), y = c, y = d y el eje y y R a la regi´ on delimitada por las rectas x = a, x = b, f (x) y el eje x.

4

Figura 4.1 Por lo tanto obtendremos los siguientes volumenes al rotarlos respecto al eje y. V1 = Volumen del cilindro que se obtiene al rotar la regi´on R1 V2 = Volumen del cilindro que se obtiene al rotar la regi´on R2 V3 = Volumen del solido que se obtiene al rotar la regi´on R3 V = Volumen del solido que se quiere calcular el cual se obtiene al rotar la regi´on R. De donde: V = V1 − V2 − V3

V1 = πb2 d ; V2 = πa2 c ; V3 =

Z

d

  π g(y)2 dy (Volumen obtenido por discos y arandelas)

c

Luego V = πb2 d − πa2 c −

d

Z

  π g(y)2 dy

c

Reemplazando y por f (x) V = πb2 d − πa2 c −

Z

b

0

πx2 f (x)dx

a 0

2

Si hacemos u = f (x) y v = πx tenemos que du = f (x)dx y dv = 2πxdx Aplicando la formula de integraci´ on por partes esto es: Z b  2 b 0 V = πx f (x) a − πx2 f (x)dx a

Z V =

b

2πxf (x)dx a

5

4.2. Hallar el volumen generado en la rotacion del area plana dada alrededor del eje indicado, aplicando el met´ odo de cascarones cil´ındricos. g(x) = x2 , f (x) = 4x − x2 ; Alrededor de la recta x = 5

Figura 4.2 La figura 4.2 representa el area de la region encerrada entre las graficas de las funciones f (x) = 4x − x2 , g(x) = x2 . Apartir de su grafica es posible determinar: i) Radio del cascaron (R) : Como el eje de rotaci´on es la recta x = 5 , entonces el radio o la distancia al eje de rotaci´ on esta dada por: R=5−x ii) Altura del cascaron (A) : Representa la diferencias entre f (x) y g(x) ; es decir: A = f (x) − g(x) = (4x − x2 ) − x2 = 4x − 2x2 iii) Grosor del cascaron: El ancho del segmento cuyo punto medio es “x”,se representa como dx. iv) Limites de integraci´ on: los puntos de corte de f (x) y g(x) se tienen respectivamente cuando x = 0 y x = 2.

6

Con esta informaci´ on y usando el metodo de cascarones cil´ındricos se obtiene que: Z Vs

b

2πRAdx

= a

Z Vs

=

2

2π(5 − x)(4x − 2x2 )dx  Z 2 3 2 (2x − 14x + 20x)dx 2π 0

=

0 4

x 14x3 − + 10x2 2 3   16 112 + + 40 = 2π 2 3   32 = 2π 3 π = 64 3 

=

2

2π

Vs = 64

0

π 3

4.3. Calcule el volumen del solido generado por la rotaci´on, alrededor del eje y, de la regi´on acotada por la curva x2/3 + y 2/3 = a2/3 .

Figura 4.3 Despejamos y de la ecuacion que describe la curva como sigue: 7

y 2/3

=

a2/3 − x2/3

y2

=

(a2/3 − x2/3 )3

y

=

(a2/3 − x2/3 )3/2

(5)

De la figura 4.3, y ya que la funci´ on y = f (x) no puede tomar valores en x m´as grandes que a porque no estar´ıa definida en los reales, tenemos que: i) Radio del cascaron : Como el eje de rotaci´on es el eje y , entonces el radio o la distancia al eje de rotaci´ on esta dada por: x ii) Altura del cascaron es :

(a2/3 − x2/3 )3/2

iii) Grosor del cascaron: El ancho del segmento cuyo punto medio es “x”,se representa como dx. iv) Limites de integraci´ on: Se tienen respectivamente cuando x = 0 y x = a. Con esta informaci´ on y usando el metodo de cascarones cil´ındricos se obtiene que: Z a Vs = 2πx(a2/3 − x2/3 )3/2 dx 0

  x 2/3 3/2 dx 2πx 1 − a 0 Z a   x 2/3 3/2 2aπ x 1− dx a 0

Z Vs

=

Vs

=

a

Haciendo:

u=1− (1 − u)3/2

 x 2/3

; u3/2 =

 1−

 x 2/3 3/2

a a −3 x 1/2 = ; a(1 − u)3/2 = x ; a (1 − u) du = dx a 2

Realizamos la integral indefinida: Z 2aπ

a(1 − u)3/2 u3/2

−3 1/2 a (1 − u) du 2 = −3a3 π = −3a3 π = −3a3 π 3

Z Z Z Z

= −3a π 3

= −3a π

8



2

u3/2 (1 − u) du
u3/2 1 − 2u + u2 du u3/2 − 2u5/2 + u7/2 du u3/2 − 2u5/2 + u7/2 du 2u5/2 4u7/2 2u9/2 − + 5 7 9

 +C

Volviendo a la variable x y tomando los limites de integraci´on se tiene que: Z

a

 x 1−

2aπ 0

 x 2/3 3/2 a

  2 1 − dx = −3a3 π 


5/2 x 2/3 a 5

 4 1− −


7/2 x 2/3 a 7

 2 1− +


9/2 a x 2/3 a  9

 0

= −3a3 π



−16 315



Vs = a3 π

5. 5.1.

16 105

16 105

Ejercicios Propuestos Deduzca, una integral para calcular el volumen del cuerpo generado al girar la region limitada por las curvas dadas en torno al eje especificado. y=

5.2.

= a3 π

1 ; y = 0 ; x = 2 ; en torno de x = 2 (1 + x2 )

Emplee cascarones cil´ındricos para calcular el volumen de los s´ olidos que se describen a continuaci´ on.

a) Una esfera de radio r. b) Un cono circular recto, con altura h y base de radio r.

5.3. √ En un s´ olido de forma esf´erica de 4 pulgadas de di´ametro se hace un orificio de 2 3 pulgadas de radio. Halle el volumen de la porci´ on hueca del s´ olido.

5.4. Una esfera con radio de 10 cm es cortada por dos planos paralelos en el mismo lado del centro de la esfera. La distancia del centro de la esfera a uno de los planos es 1cm y la distancia entre los dos planos es 6 cm. Calcule el volumen de la porci´ on s´ olida de la esfera entre los dos planos.

5.5. √ Un s´ olido de revoluci´ on se forma al hacer girar alrededor del eje y la regi´on delimitada por la curva y = 3 x, el eje x y la recta x = c(c > 0). Tome elementos rectangulares de ´area paralelos al eje de revoluci´on para determinar un valor de c que produzca un volumen de 12 unidades c´ ubicas.

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