Volumen 1

UNIDAD N º 6: Volumen (1ª parte)

De manera intuitiva, el volumen de un objeto es el espacio que él ocupa.

El procedimiento a seguir para medir el volumen de un objeto dependerá del estado en que se encuentre: gaseoso, líquido o sólido. En el caso de nubes gaseosas el volumen varía considerablemente según la temperatura y presión; también depende de si está o no contenido en un recipiente y, si lo está, adoptará la forma y el tamaño de dicho recipiente. Si la masa gaseosa está disuelta en la atmósfera, es difícil precisar qué se entiende por volumen. Para medir el volumen de un líquido, se emplean diversos recipientes graduados, dependiendo de la exactitud con la que se desee conocer dicho volumen Algunos sólidos tienen formas sencillas y su volumen puede calcularse en base a la geometría clásica. Por ejemplo, el volumen de un sólido puede calcularse aplicando conocimiento que proviene de la geometría. Midiendo sus dimensiones, y aplicando una fórmula adecuada, podemos determinar su volumen. Así, el volumen de un paralelepípedo recto se determina midiendo las tres aristas concurrentes a un vértice y multiplicándolas; el cubo es un caso especial de paralelepípedo en el que todas sus aristas son iguales y su volumen se obtiene elevando a tres su arista.

En general, existen procedimientos similares para obtener el volumen de otros cuerpos como los prismas y las pirámides. Estos cuerpos geométricos tienen una característica que los agrupa: el volumen de los paralelepípedos, los prismas y los cilindros, (sean ellos rectos u oblicuos), se obtiene multiplicando la medida de su área basal por la medida de su altura y en el caso de las pirámides y conos, (también rectos u oblicuos) su volumen es igual a un tercio del producto entre la medida del área basal y su altura.

4 π r3 La esfera es un caso especial cuyo volumen es 3 . Si un sólido tiene una forma a la que NO es posible aplicar alguna fórmula conocida, se pueden aplicar otros procedimientos como el principio de CAVALIERI o el DESPLAZAMIENTO DE AGUA provocado por un cuerpo al sumergirlo en un recipiente con agua. El volumen de un cuerpo es un número que indica la cantidad de espacio que él ocupa. Este número se acompaña por una unidad de medida pertinente que permite dimensionar el volumen medido.

Volumen del cubo unidad = 1 cm3

El Volumen en cuerpos poliédricos1 regulares El volumen de un cuerpo regular es un número que se obtiene comparando el volumen del cuerpo con la unidad. Consideraremos a la unidad como un cubo de arista uno y por definición su volumen será 1. Entonces, la medida del volumen de un cuerpo será igual al número de cubos unitarios que contenga. Por ejemplo, considerando el cubo unidad que se indica en la figura, el cuerpo adjunto está formado por 25 cubos unidad. Podemos afirmar entonces que el cuerpo del ejemplo tiene 25 unidades de volumen .

Unidades de medida del Volumen Las unidades de volumen son estandarizaciones que permiten dimensionar el número que indica el volumen. Como unidad base, se considera a un cubo cuya arista mide un centímetro o un metro, un kilómetro, etc. Por definición su volumen tendrá el valor 1, acompañado de la unidad de su arista elevada a tres. Por ejemplo, en la figura siguiente, el volumen del cubo mide un centímetro cúbico y se abrevia por 1 cm3 .

Las unidades de medida de volumen más utilizadas son:

1 Los cuerpos poliédricos son aquellos que están limitados sólo por caras planas.

V = a3

Arista del cubo unidad

Unidad de Volumen asociada

1 Milímetro 1 Centímetro 1 Decímetro 1 Metro 1 Decámetro 1 Hectómetro 1 Kilómetro

Milímetro cúbico Centímetro cúbico Decímetro cúbico Metro cúbico Decámetro cúbico Hectómetro cúbico Kilómetro cúbico

Abreviatura de volumen mm3 cm3 dm3 m3 Dm3 Hm3 Km3

Si la unidad de volumen del cubo unidad es el centímetro cúbico, entonces todos los volúmenes obtenidos a partir de él estarán en centímetros cúbicos. Se sigue la misma analogía si el cubo unidad tiene otra unidad de volumen. Medición del volumen de algunos cuerpos simples con dos caras paralelas Volumen de un Cubo Un CUBO es cuerpo formado por seis caras cuadradas y en cada vértice convergen 3 aristas mutuamente perpendiculares. El volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada a tres, como muestra la siguiente figura: Si la arista del cubo adjunto mide 3 cm entonces su volumen se obtiene elevando a tres su arista: Vcubo = ( 3 cm ) 3 = 33 cm3 = 27 cm3 Por lo tanto, si la arista de un cubo mide

a, entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

NOTA: El volumen a · a · a = a3 de un CUBO se puede también definir como el producto del área de la cara basal a · a por la altura a, es decir V = a · a · a= (a · a ) · a = a2 · a = a3



Volumen de un paralelepípedo recto

Un PARALELEPÍPEDO es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas (caras basales) y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras laterales son perpendiculares a la altura del cuerpo entonces es le denomina PARALELEPÍPEDO RECTO sino es un PARALELEPÍPEDO OBLICUO.

V = a ·b·c

El volumen del paralelepípedo recto se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes a un vértice. Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen del mismo se obtiene multiplicando 2 · 3 · 6: Vparalelepípedo = (2 cm · 3 cm · 6 cm ) = 36 cm3 Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

NOTA: El volumen a · b · c de un PARALELEPÍPEDO RECTO se puede también definir como el producto del área de la cara basal a · b por la altura c, es decir V = (a · b ) · c = a · b · c Para estudiar el volumen de los PARALELEPÍPEDOS OBLICUOS, ver el documento Volumen_oblicuos.rtf.



Volumen de un cilindro recto

Un CILINDRO RECTO, de base circular, es un cuerpo formado por dos caras circulares paralelas, como base, cuyos centros pertenecen a un segmento de recta perpendicular a ambos círculos, y por una superficie que las rodea por su borde, como muestra la figura adjunta. El volumen de un CILINDRO RECTO de base circular de radio r y altura h se obtiene multiplicando el área de la circunferencia basal por la altura h. Sabemos que el área de un círculo de radio r es: Acírculo = π · r2 El volumen del cilindro cuya base es el círculo descrito anteriormente se obtiene multiplicando el área de dicho círculo por la altura del cilindro, es decir:

o sea:

Vcilindro = Acírculo · h

V = π · r2 · h

NOTA: El volumen π · r2 · h de un cilindro recto de base circular (con radio r) y altura h también se puede definir como el producto del área de la cara basal π · r2 por la altura h, es decir, V = (π · r2) · h = π · r2 · h Para estudiar el volumen Volumen_oblicuos.rtf.

de

los

CILINDROS

OBLICUOS,

ver

el

documento

Podemos resumir el cálculo del volumen de paralelepípedos y cilindros en el siguiente esquema:

Base Poligonal (Triángular, Cuadrada, Rectángular, etc.)

Recto Base NO poligonal (Circular o curva en general) Cilindros y prismas (dos caras base)

Base Poligonal

Su volumen se obtiene multiplicando el área de la base por la altura

(Triángular, Cuadrada, Rectángular, etc.)

Oblicuo Base NO poligonal (Circular o curva en general)

Medición del volumen de algunos cuerpos simples con sólo una cara de base



Las pirámides

Una pirámide es un poliedro formado por un polígono, llamado base, y por caras laterales triangulares con un vértice común llamado vértice de la pirámide. Dependiendo del número de lados del polígono base (o equivalentemente del número de caras laterales) se clasifican en pirámides triangulares, cuadrangulares, etc. Volumen de una Pirámide recta de base cuadrada Una PIRÁMIDE RECTA DE BASE CUADRADA es aquella cuya base es un cuadrado de lado a y en la que el segmento bajado desde el vértice de la pirámide es perpendicular al plano de su base. Además, la longitud h de ese segmento se llama altura de la pirámide. Ver figura adjunta: El volumen de la pirámide recta de base cuadrada se obtiene dividiendo por tres al producto entre su área basal a2 y su altura h, es decir:

Vpirámide 

a2 ⋅ h = 3

Volumen de conos rectos

La figura siguiente muestra un cono recto de radio basal h. La base del cono es un círculo, cuya área es:

r y altura

π · r2 · h V = 3 Acírculo =

π · r2

El volumen del CONO RECTO corresponde a la tercera parte del producto entre el área de su base y su altura, es decir:

Para estudiar el volumen de los CONOS OBLICUOS, ver el documento Volumen 2.rtf. Podemos resumir el cálculo del volumen de pirámides y conos en el siguiente esquema:

Base Poligonal (Triángular, Cuadrada, Rectángular, etc.)

Recto Base NO poligonal (Circular o curva en general) Conos y pirámides (un cara plana)

Base Poligonal (Triángular, Cuadrada, Rectángular, etc.)

Oblicuo Base NO poligonal

Su volumen es equivalente a un tercio del volumen de un cilindro de la misma base y misma altura, es decir, 1/3 por el área de la base y por la altura.

(Circular o curva en general)

Medición del volumen de la esfera El volumen de una esfera de radio r se obtiene a través de la fórmula:

4 V = ⋅π ⋅ r 3 3 Arquímides ideó un método simple para determinar el volumen de la esfera. Imaginó una semiesfera, un cono y un cilindro juntos. Supuso que la esfera tenía radio R y tanto el cono como el cilindro con el mismo radio basal R. También supuso que las alturas del cono y el cilindro medían R como muestra la siguiente figura:

De estas figuras, son conocidos los volúmenes: Del cilindro: radio R y altura R, o sea Del cono: radio R y altura R, o sea

π ·R2·R = π ·R3

(π ·R2·R )/3 = (π ·R3)/3

Luego cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y a una distancia d de la parte superior de las figuras. Luego se preguntó cómo serían las secciones determinados por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro:



La sección del cilindro

En el cilindro la sección que determina el plano es claramente un círculo de radio R y su área es:

Asección del cilindro = π ⋅ R 2 

La sección en la semiesfera

En la semiesfera, la sección circular que determina el plano que corta a la semiesfera, tiene un radio r (menor a R ) que depende de la distancia d. La siguiente figura muestra la situación:

El área del círculo de radio r, es:

Asección de la semiesfera = π ⋅ r 2 Además, usando el Teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulo de lados que:

R , d y r se cumple

R2 = r2 + d 2 

La sección en el cono

El cono que consideró Arquímides, tiene altura y radio basal R, por lo tanto el triángulo formado por dicho radio basal, la altura y la pared del cono es rectángulo e isósceles. Por semejanza de triángulos, el circulo que determina el plano que corta al cono tiene radio d. La siguiente figura lo muestra:

En el cono, la sección que determina el plano, es un círculo de radio d y su área es:

Asección del cono = π ⋅ d 2 

Juntando las fórmulas

Hasta ahora sabemos que:

Área de la sección del cilindro = π ⋅ R 2

pero de la semiesfera obtuvimos que:

R2 = r2 + d 2 Si en el área del cilindro reemplazamos

R2 por r2 + d2 entonces tendremos que:

Área del sección del cilindro = π ⋅ R 2

(

= π ⋅ r2 + d2

)

=π ⋅r +π ⋅d2 2

= Área de la sección de la semiesfera + Área de la sección del cono

es decir, la suma de las áreas de las secciones del cono y la semiesfera es igual al área de la sección del cilindro. Esto ocurre para cualquier valor de d, por lo tanto, si consideramos las secciones (que forma el plano al cortar las figuras) como rebanadas finas, para cada trío de rebanadas tendríamos que: Rebanada del cilindro = Rebanada de la semiesfera + Rebanada del cono 

El volumen de la esfera

De la relación anterior podríamos suponer entonces que: Volumen del cilindro = Volumen de la semiesfera + Volumen del cono

y si reemplazamos en esta relación las fórmulas conocidas del volumen del cono y el cilindro, entonces es posible determinar el volumen de la semiesfera:

π ·R 3 = Volumen de la semiesfera ·

π ·R 3 3

Despejando,

Volumen de la semiesfera =

2π ·R 3 3

por lo tanto, el volumen de la ESFERA es el doble del de la semiesfera:

Volumen de la ESFERA =

4π ·R 3 3

El método de Arquímedes para encontrar el volumen de la esfera es simple e ingenioso. Arquímedes quedó tan maravillado con él, que dispuso grabar en su tumba esta figura, en recuerdo de su idea:

Clasificación de los cuerpos Se puede observar del diagrama que a partir de esta clasificación existen básicamente tres formas de calcular su volumen: el de los cilindros, el de las pirámides y el de la esfera.

Medición del volumen en cuerpos no regulares 

Por desplazamiento de líquido

Cuando un sólido no tiene una forma geométrica que permita determinar por cálculo su volumen, se mide éste directamente. El procedimiento se le atribuye a ARQUÍMEDES, un sabio griego del siglo III antes de Cristo. Supongamos que se desea saber el volumen de una piedra pequeña. Por lo general las piedras tienen una forma muy irregular, por lo que es muy difícil calcular su volumen comparándolo con un cubo unidad. En estos casos se calcula su volumen por desplazamiento de agua. En un recipiente graduado vertemos un líquido y, a continuación, sumergimos en él el sólido cuyo volumen deseamos conocer. El aumento de nivel del líquido nos permitirá, por sustracción, determinar el volumen del sólido. Normalmente el líquido empleado será agua, pero si el sólido se disuelve en ella (por ejemplo la sal o el azúcar) usaremos otro líquido que no disuelva al sólido. El siguiente diagrama muestra un objeto irregular y un recipiente con 9 centímetros cúbicos de agua. La cantidad de agua debe ser la suficiente para que el objeto pueda ser sumergido en ella. Se introduce el objeto en el recipiente y se mide el desplazamiento de agua que provocó: Al introducir el objeto al recipiente el agua subió su nivel marcando un volumen de 11 cm 3. Antes de introducirlo el volumen del agua marcaba 9 cm 3 por lo que la diferencia de volumen se debe al objeto.

El volumen del objeto se obtiene restando el volumen del agua, con el objeto, menos el volumen del agua sin el objeto: V = 11 cm 3

−

9 cm 3

=

2 cm 3

Por lo tanto el objeto tiene un volumen de 2 cm 3 Este método es bastante sencillo, pero es útil sólo para objetos pequeños que no absorben el líquido en el que son sumergidos. No es posible usarlo para medir el volumen de una pirámide Egipcia, por ejemplo.



Por el Principio de Cavalieri

Otra manera de conocer el volumen de un sólido cuando no tiene una forma geométrica que permita calcular su volumen a través de las fórmulas vistas es usando el PRINCIPIO DE CAVALIERI. Veamos un ejemplo que visualiza este principio. Usando tres montoncitos de 15 fichas (monedas de $10 u objetos similares, todos iguales) y una cinta de cartulina cuyo ancho sea mayor que el diámetro de las fichas, ordena las fichas en 3 pilas de modo que sólo una sea recta y las otras dos sean oblicuas o sinuosas y a continuación pasa la cinta entre las fichas a la misma altura en las tres pilas.

Notarás que las áreas de las fichas que tocan la cinta son iguales para las tres pilas y si pasas la cinta a cualquier otra altura, las áreas de las fichas siguen siendo iguales. El PRINCIPIO DE CAVALIERI asegura que si esto ocurre para cualquier altura entonces las tres pilas tienen el mismo volumen.