Varianza-muestral

1. ALGUNAS DEFINICIONES BÁSICOS Para dar comienzo al módulo virtual relacionado con la distribución de muestreo de la media aritmética ( x ), a continuación se presentan las definiciones básicas que a juicio del tutor son pilar fundamental para abordar el curso. Población. Es la totalidad de los elementos los cuales contienen las características de interés Muestra. Es un subconjunto de observaciones que se seleccionan de una población y que tienen las características de interés. Elemento. Es la unidad por la cual se solicita información o que son medidas. El elemento depende del objetivo que persiga el estudio Unidad de muestreo. Corresponde al elemento o los elementos disponibles en la población susceptibles de ser seleccionados en alguna etapa del proceso de muestreo. Unidades de enumeración. También conocidos como conglomerados, se utilizan cuando no es factible muestrear las unidades de enumeración directamente. Conglomerado. Es un conjunto de unidades que se encuentran físicamente cerca. Población estadística. Es un conjunto de mediciones sobre todos los elementos del universo resultando en lo que se conoce como poblaciones multivariadas Marco muestral. Es un listado de todas las unidades de muestreo disponibles para su selección en una etapa del muestreo. ESTADÍSTICO: es cualquier función de las observaciones de una muestra. Desde otro punto de vista son valores que describen las características de una muestra, estos valores son variables pues dependen de las fluctuaciones de la muestra. Entre los estadísticos más conocidos se tienen: la media muestral x la varianza muestral s 2 la desviación estándar muestral la proporción muestral P.

s

Estos estadísticos tienen amplio uso en los procesos de muestreo cuando el interés es sacar conclusiones en poblaciones con base en la información de muestras. PARÁMETRO: Es un valor constante que describe las características propias de una población estadística, Generalmente los parámetros en estadística se denotan con letras griegas como la media poblacional µ y la desviación estándar poblacional σ .

UN ESTIMADOR: Es una regla o método que dice como calcular la estimación de un parámetro basándose en la información de una muestra, generalmente se expresa como una fórmula. Por UNA ESTIMACIÓN: Es un valor particular de un parámetro obtenido de los valores de una muestra. Para mostrar la relación entre estadístico, parámetro y estimador en los procesos inferenciales se presenta el siguiente cuadro: Cuadro 1. ESTADÍSTICO Media muestral

PARÁMETRO Media poblacional

n

x =

∑X i =1

N

i

n

Varianza muestral n

S2 =

∑ i =1

(X j − X )

S=

∑ i =1

n

N

N

σ2 =

2

ˆ = µ

∑ i =1

N

N

∑

n −1

i =1

i =1

( X i − µ )2 N

i

n

Varianza poblacional estimada

( X j − µ )2

Desviación estándar

σ=

∑X

i =1

2

n −1

(Xi − X )

µ=

∑ Xi

Varianza poblacional

Desviación estándar muestral n

ESTIMADOR Media poblacional estimada

n

∑

σˆ 2 =

i =1

( X j − X )2 n −1

Desviación estándar poblacional estimada n

σˆ =

∑ i =1

(X i − X )2 n −1

3. CONCEPTOS PRELIMINARES DE MUESTREO En investigación científica muchas de las veces es imposible hacer un estudio exhaustivo de los elementos de la población o lo que se conoce como un estudio poblacional o censo, para este caso, se hace necesario valerse de las técnicas de muestreo para tomar sólo una parte la cual debe ser representativa de la población de estudio. En este punto vale aclarar que el objetivo del curso no corresponde a realizar diseños de muestreo para investigación científica sino en conocer la distribución que sigue la media muestral siendo necesario conocer algunos tópicos iniciales de muestreo. 3.1 MUESTREO PROBABILISTICO Para enmarcarlo en este tipo de muestreo debe cumplir con las siguientes condiciones  

Se puede definir el conjunto de muestras posibles Conocer para cada una de las muestras posibles la probabilidad

 

El procedimiento seleccionado debe dar a cada elemento de la población una probabilidad diferente de cero La selección debe ser aleatoria

3.2 MUESTREO NO PROBABILISTICO Es aquel muestreo que no cumple con las condiciones citadas del muestreo aleatorio. Se vale del conocimiento y la opinión personal para identificar los elementos de la población que se van a incluir en la muestra. Son de este tipo: (Muestreo por conveniencia, por juicios, por prorrateo) Cuando se hace muestreo probabilístico se tienen 3 casos que son los siguientes MUESTRAS ORDENADAS CON REPETICIÓN Si se tiene una población de tamaño N y se quiere tomar una muestra de tamaño n. El número de muestras ordenadas con repetición de N elementos tomados de a n esta dado por:

Nn N: Número de elementos distintos disponibles en la población n: Número de elementos escogidos en la muestra MUESTRAS ORDENADAS SIN REPETICIÓN) Si se tiene una población de tamaño N y se quiere tomar una muestra de tamaño n. El número de muestras ordenadas sin repetición de N elementos tomados de a n esta dado por: N

P

n

=

N! . Cuando ( N − n )!

N = n , entonces

N

P

N

= N!

.

P

El término N n se lee N permutado n y se relaciona con el número de permutaciones u ordenaciones que se pueden hacer de N elementos tomados de a n. El símbolo N ! se lee N factorial y esta representado por el producto de los enteros positivos desde N hasta 1.

N ! = ( N )( N −1)( N − 2)( N − 3)... ( N − N )

Se asume que 0! = 1 Ejemplo: el resultado de cuatro factorial es.

4! = ( 4)(3)(2)(1)(0! ) 4! = 24 MUESTRAS NO ORDENADAS SIN REPETICIÓN Si se tiene una población de tamaño N y se quiere tomar una muestra de tamaño n. El número de muestras no ordenadas si repetición de N elementos tomados de a n esta dado por:

N

El término

N

C

n

C

n

=

N! ( N − n )! (n! )

se lee N combinado n y se relaciona con el número de combinaciones o

muestras no ordenas sin repetición que se pueden obtener de N elementos de la población tomados de a n. Visto de otra forma es el número de diferentes agrupaciones de N objetos tomados de a n que pueden ocurrir sin tener en cuenta el orden. Ilustración: para mostrar de forma simple los resultados para cada uno de los casos mencionados anteriormente se presenta el siguiente ejemplo. Ejemplo 1. Suponga que se tiene el conjunto S=(A, B, C, D) una población de N=4 elementos. Si el interés es tomar una muestra de tamaño 2 de esa población se tienen los siguientes resultados. a) Muestras ordenadas con repetición Elemento de la población (A, B, C, D) Tamaño de la población N=4 Tamaño de la muestra n = 2 Número de muestras posibles ordenadas con repetición

N n = 42 = 16

Muestras posibles AA AB AC AD

BA BB BC BD

CA CB CC CD

DA DB DC DD

b) Muestras ordenadas sin repetición) Elemento de la población (A, B, C, D) Tamaño de la población N=4 Tamaño de la muestra que se quiere tomar n = 2 Número de muestras posibles ordenadas sin repetición

P

N

n

P

4

=

2

=

N! 4! = ( N − n )! (4 − 2)!

=

4! ( 4 − 2)!

( 4)(3)(2)(1) (2)(1)

= 12 Muestras posibles AB AC AD

BA BC BD

CA CB CD

DA DB DC

c) Muestras no ordenadas sin repetición En la literatura estadística es conocido también como muestreo sin reposición Elemento de la población (A, B, C, D) Tamaño de la población N=4 Tamaño de la muestra que se quiere tomar n = 2 Número de muestras posibles no ordenadas sin repetición

N

C

N

n

C

=

n

N! ( N − n )!(n!) .

=

=

4! ( 4 − 2)! (2! )

( 4)(3)(2)(1) 24 = =6 (2)(1)(2)(1) 4

Muestras posibles cuyas parejas se muestran como sigue AB AC AD

BC BD CD

Note que a diferencia del muestreo ordenado sin repetición, si ya fue elegida la muestra AB no puede ser elegida la muestra BA.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UN ESTADÍSTICO MUESTRAL: Es la distribución de valores de un estadístico muestral obtenido este como una variable aleatoria. De manera más concretamente, corresponde a la distribución de todas las muestras que pueden ser escogidas siguiendo un esquema de muestreo determinado. Para saber la distribución que sigue la media muestral de manera fácil nos valemos del siguiente ejemplo. Ejemplo 2. Suponga que se tiene el conjunto S=(2, 4, 6, 8) una población de N=4 elementos y se quiere tomar una muestra de tamaño 2 de esa población. Cálculo de parámetros Tomando los 4 elementos que tiene la población para calcular la media poblacional se tiene lo siguiente. 1 2 3 4 i 2 4 6 8 xi MEDIA POBLACIONAL 4

µ= µ=

∑ Xi i =1

4

2+4+6+8 =5 4

VARIANZA POBLACIONAL N

σ2 =

∑ i =1

N 4

σ2 =

( X j − µ )2

∑ i =1

( X j − µ )2 4

(2 − 5) 2 + (4 − 5) 2 + (6 − 5) 2 + (8 − 5) 2 σ = 4 2

σ2 =

9 + 1+ 1+ 9 =5 4

Es sólo una coincidencia que la media poblacional sea igual a la varianza poblacional( µ

=σ 2)

Desviación estándar poblacional

σ = 5 = 2,236067978 En resumen: media poblacional µ = 5 , varianza poblacional σ 2 = 5 , desviación estándar poblacional σ = 2.236067978

Cálculo de los estadísticos Los estadísticos se calculan a partir de los datos de las muestras que para esta ilustración se toman con repetición. Como se conoce, los elementos de la población son (2, 4, 6, 8) El número de muestras posibles con repetición de tamaño 2 que se pueden tomar de los 4 elementos de la población son.

N n = 42 = 16

muestras posibles

Las 16 muestras que pueden resultar al tomar muestras de tamaño 2 de una población de 4 elementos se muestran en la siguiente tabla. Tabla 1. Descripción de las muestras posibles Numero de muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Promedio(

Muestra (2,2) (2,4) (2,6) (2,8) (4,2) (4,4) (4,6) (4,6) (6,2) (6,4) (6,6) (6,8) (8,2) (8,4) (8,6) (8,8)

xi )

2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8

Hay que observar que x i es una variable aleatoria que puede tomar 16 posibles valores, por tanto, la media de dichas medias muestrales es: 16

xi =

∑x i =1

16

i

xi =

2 +3 + 4 +5 +3 + 4 +5 +6 + 4 +5 +6 +7 +5 +6 +7 +8 16

Para estar en concordancia con la notación estadística en adelante se hace µ tanto,

x

= xi

. Por lo

µx = 5

La media muestral

µx

también se puede obtener a partir del concepto de valor esperado de la

siguiente forma A partir de la tabla 1 se construye una tabla de probabilidad para

xi

Tabla 2. Tabla de frecuencias y probabilidades para x i I 1 2 3 4 5 6 7 Total

ni

xi 2 3 4 5 6 7 8

p( xi ) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 1

1 2 3 4 3 2 1 16

Al calcular el valor esperado de x i es decir E ( x i ) 7

∑( x )( p( x ) i

E ( xi ) =

i

i =1

7

E ( x i ) = ( 2)(1 / 16) + (3)(2 / 16) + (4)(3 / 16) + (5)(4 / 16) + (6)(3 / 16) + (7)(2 / 16) + (8)(1 / 16) E ( x i ) = ( 2 / 16) + (6 / 16) + (12 / 16) + ( 20 / 16) + (18 / 16) + (14 / 16) + (8 / 16)

E ( x i ) =80 / 16 E ( x i ) =5 De los anteriores resultados si puede concluir que al tomar una muestra se espera que la media de dicha muestra sea igual a la media poblacional,

µx = µ .

Como se puede ver

µx = 5 , al igual que µ = 5 CÁLCULO DE LA VARIANZA MUESTRAL Tomando los valores de x i que resultan en la tabla 1 se puede calcular la varianza muestral que para efectos de notación estadística se simbolizará como n

σ x2 =

∑ i =1

( X j − µx ) 2

σ x2

, Por cálculos anteriores

n −1 16

σ x2 =

∑

µx = 5

( X j − 5) 2

i =1

16

(2 − 5) 2 + (3 − 5) 2 + (4 − 5) 2 + (5 − 5) 2 + (3 − 5) 2 + (4 − 5) 2 + (5 − 5) 2 + (6 − 5) 2 + (4 − 5) 2 + (5 − 5) 2 + (6 − 5) 2 + (7 − 5) + (5 − 5) 2 + (6 − 5) 2 + (7 − 5) 2 + (8 − 5) 2 σx = 16 2

σ x2 =

9 + 4 + 1+ 0 + 4 + 1+ 0 + 1+ 1+ 0 + 1+ 4 + 0 + 1+ 4 + 9 16

σ x2 =

40 16

σ x2 = 2.5 Obsérvese que la varianza muestral es diferente de la varianza poblacional

σ x2 ≠ σ 2 2,5 ≠ 5

Pero en la práctica para conocer la varianza muestral sólo basta con tener conocimiento de cómo es la varianza poblacional y hacer 2 2 x

σ =

σ

n

Es decir, la varianza muestral es igual a la varianza poblacional dividida entre el tamaño de la muestra. En este sentido se tiene que

σ x2 =

5 2

σ x2 = 2.5

VARIANZA DE LA MEDIA MUESTRAL EN POBLACIONES FINITAS Cuando el muestreo se hace en poblaciones finitas o el muestreo es sin repetición visto anteriormente, la varianza de la media muestral se obtiene mediante la formula

σ 2  N − n σ =  n  N − 1  2 x

, el término

 N − n  N − 1 

se llama factor de corrección por finitud

Ejemplo 2. Suponga que se tiene el conjunto S=(2, 4, 6, 8) una población de N=4 elementos y se quiere tomar una muestra de tamaño 2 sin repetición de esa población. El número de muestras de tamaño 2 sin repetición de 4 elementos de la población estará dada por.

N

C

n

N

=

N! ( N − n )!(n!) .

C

n

=

4! ( 4 − 2)! (2! )

= 6 muestras sin repetición Tabla 3. Descripción de las muestras posibles de tamaño 2 sin repetición Numero de muestra 1 2 3 4 5 6

Promedio(

Muestra (2,4) (2,6) (2,8) (4,6) (4,8) (6,8)

xi )

3 4 5 5 6 7

Igual que en el ejemplo 2, al realizar los cálculos usted puede obtener que La media poblacional

µ =5

La varianza publacional es

σ2 =5

Tomando los datos de la tabla 3, la madia muestral esta dada por

La media muestral

µx = 5

La varianza muestral esta dada por n

σx = 2

∑ i =1

n 6

σ x2 =

σx

2

( X j − µx ) 2

∑

( X j − 5) 2

i =1

n

(3 − 5) 2 + (4 − 5) 2 + (5 − 5) 2 + (5 − 5) 2 + (6 − 5) 2 + (7 − 5) 2 = 6

σx = 2

4 + 1 + 0 + 0 + 1 + 4 10 = = 1,66667 6 6

La varianza muestral es igual a 1,66667 Pero en la práctica si se conoce la varianza poblacional bastaría con hacer

σ 2  N − n σ =  n  N − 1  2 x

5  4 − 2 σ x2 =  2  4 − 1 

σx2 =1,66667 En muestreo se utiliza el factor de corrección si la relación

n > 0.05 N En adelante para no utilizar con el factor de corrección se trabajará sobre poblaciones infinitas