Distribucion

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UN ESTADÍSTICO MUESTRAL Es la distribución de valores de un estadístico muestral obtenido este como una variable aleatoria. De manera más concretamente, corresponde a la distribución de todas las muestras que pueden ser escogidas siguiendo un esquema de muestreo determinado. Para saber la distribución que sigue la media muestral de manera fácil nos valemos del siguiente ejemplo. Ejemplo 2. Suponga que se tiene el conjunto S=(2, 4, 6, 8) una población de N=4 elementos y se quiere tomar una muestra de tamaño 2 de esa población. Cálculo de parámetros Tomando los 4 elementos que tiene la población para calcular la media poblacional se tiene lo siguiente. 1 2 3 i 2 4 6 x i

4



Media poblacional



 Xi i 1

4

2468 5 4

Varianza poblacional N

2 

 (X i 1

j

N 4

2 

 ) 2

 (X i 1

j

 ) 2

4 (2  5)  (4  5)  (6  5) 2  (8  5) 2 2   4 9 11 9 2  5 4 2

2

Es sólo una coincidencia que la media poblacional sea igual a la varianza poblacional(    ) 2

Desviación estándar poblacional

  5  2,236067978

4 8

En resumen: media poblacional   5 , varianza poblacional estándar poblacional 

 2  5 , desviación

 2.236067978

Cálculo de los estadísticos Los estadísticos se calculan a partir de los datos de las muestras que para esta ilustración se toman con repetición. Como se conoce, los elementos de la población son (2, 4, 6, 8) El número de muestras posibles con repetición de tamaño 2 que se pueden tomar de los 4 elementos de la población son.

N n  42 = 16

muestras posibles

Las 16 muestras que pueden resultar al tomar muestras de tamaño 2 de una población de 4 elementos se muestran en la siguiente tabla. Tabla 1. Descripción de las muestras posibles Numero de muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Promedio( 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8

Muestra (2,2) (2,4) (2,6) (2,8) (4,2) (4,4) (4,6) (4,6) (6,2) (6,4) (6,6) (6,8) (8,2) (8,4) (8,6) (8,8)

xi)

Hay que observar que x i es una variable aleatoria que puede tomar 16 posibles valores, por tanto, la media de dichas medias muestrales es: 16

xi 



i 1

16

xi

xi 

23 453 456 45675678 16

Para estar en concordancia con la notación estadística en adelante se hace  x

 xi

. Por lo tanto,

x  5 La media muestral  x también se puede obtener a partir del concepto de valor esperado de la siguiente forma A partir de la tabla 1 se construye una tabla de probabilidad para Tabla 2. Tabla de frecuencias y probabilidades para x I 1 2 3 4 5 6 7 Total

ni

xi 2 3 4 5 6 7 8

Al calcular el valor esperado de x

i

i

p(xi) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 1

1 2 3 4 3 2 1 16 i

x

es decir E ( x i ) 7

E (xi) 



( x i )( p ( x i )

i 1

7

E ( x i )  ( 2 )(1 / 16 )  ( 3 )( 2 / 16 )  ( 4 )( 3 / 16 )  ( 5 )( 4 / 16 )  ( 6 )( 3 / 16 )  ( 7 )( 2 / 16 )  ( 8 )(1 / 16 )

E ( x i )  ( 2 / 16 )  ( 6 / 16 )  (12 / 16 )  ( 20 / 16 )  (18 / 16 )  (14 / 16 )  ( 8 / 16 )

E ( x i )  80 / 16 E (xi)  5 De los anteriores resultados si puede concluir que al tomar una muestra se espera que la media de dicha muestra sea igual a la media poblacional,

x   .

Como se puede ver

 x  5 , al igual que   5

Cálculo de la varianza muestral Tomando los valores de x i que resultan en la tabla 1 se puede calcular la varianza muestral que para efectos de notación estadística se simbolizará como

 x2 n

 x2 

 i 1

( X j   x )2 , Por cálculos anteriores

n 1

16

 x2  x2 



x  5

( X j  5) 2

i 1

16

(25)2 (35)2 (45)2 (55)2 (35)2 (45)2 (55)2 (65)2 (45)2 (55)2 (65)2 (75) (55)2 (65)2 (75)2 (85)2 16

 x2 

9  4 1 0  4 1 0 11 0 1 4  0 1 4  9 16

 x2 

40 16

 x2  2.5 Obsérvese que la varianza muestral es diferente de la varianza poblacional

 x2   2 2 ,5  5

Pero en la práctica para conocer la varianza muestral sólo basta con tener conocimiento de cómo es la varianza poblacional y hacer

2  x2  n

Es decir, la varianza muestral es igual a la varianza poblacional dividida entre el tamaño de la muestra. En este sentido se tiene que

 x2 

5 2

 x2  2 .5