Valor Del Dinero En El Tiempo

Finanzas Corporativas

CAPÍTULO IV VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

1. LÍNEAS DE TIEMPO 0



1

2

3

4

5

El período de tiempo 0 corresponde al día de hoy. El período de tiempo 1 corresponde al final de período 1 o inicio de período 2. El período de tiempo 2 corresponde al final de período 2 o inicio de período 3. Los períodos por lo general consisten en años, pero también se usan otros intervalos de tiempo como ser semianuales anuales, trimestres, meses e incluso días.



Los flujos de efectivos se colocan debajo del tiempo. El flujo de salida es un depósito, costo o cantidad pagada (tiene signo -) y el flujo de entrada es un ingreso (tiene signo +).



La tasa de interés se ubica arriba entre dos períodos.

0

5%

1

100%

2

- 100

?

2. VALOR FUTURO (FV) 

Definición: El FV es el monto al cual un flujo de efectivo o una serie de flujos de efectivo crecerán a lo largo de un período determinado de tiempo después de que se sujeten a un proceso de composición a una tasa de interés determinada. Para empezar hay que definir los siguientes términos: -



PV = Valor presente (o monto inicial) i = Tasa de interés pagada (también expresada como k) FVn = Valor futuro, o monto final después de n períodos. n = Número de períodos

Ejemplo:

0

5%

-100

1

2

3

FV1?

FV2?

FV3?

4

5 FV4?

FV5?

a) Se deposita 100 en la cuenta b) Primer año:

INT = PV x i = 100 x 0.05 = 5

1

FV1 = PV + INT = PV + PV x i = PV (1+ i) = 100 (1 + 0.05) = 105 c) Segundo año: FV2 = = = = = d) Tercer año:

FV1 + FV1 x i PV (1+ i) + PV (1+ i) x i PV (1+ i) [1+ i ] PV (1+ i)^2 100 (1 + 0.05)^2 = 110.25

FV3 = PV (1+ i)^3 = 100 (1 + 0.05)^3 = 115.76

FVn = PV (1 + i)^n

FVn = PV . FVi, n

Donde FVi, n = (1 + i)^n y es obtenida de una tabla

3. VALOR PRESENTE (PV) 

Definición: El PV es el valor que tendrían hoy un flujo de efectivos futuros o una serie de flujos de efectivos.



Ejemplo: -

Se tiene la oportunidad de comprar un valor de bajo riesgo que pagará $ 127.63 al final de 5 años. Por otro lado el banco está ofreciendo un 5% de interés sobre CD´s a 5 años (esta tasa se define como la tasa de costo de oportunidad).

0

5%

1

2

3

PV=?

4

5

127.63 FV5

PV = FV5 (1+ i)^5

=

127.63 = 100 (1+0.05)^5

Si la tasa de costo de oportunidad fuera superior al 5%, no convendría comprar este valor. PV = FVn (1 + i)^n

=

FVn ( 1 ) (1+ i)^n

PV = FVn

1 1+ i

^n

PV = FVn . PV i,n

2

4. RELACIÓN ENTRE FVi,n, PVi,n, n, TASA DE INTERÉS Y TIEMPO FV i,n 3

i=10%

FVi, n = (1 + i)^n

i= 5% 2

i= 0%

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Período

PV i,n

PVi,n = ( 1 ) (1+i)^n 1

i= 0%

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

i= 5% i=10% 110% Período

FVi,n = ( 1+ i )^n PVi, n = ( 1 ) (1+ i)^n PVi,n = ___1__ FV i,n

o

FVi,n = ___1__ PV i,n

5. CÁLCULO DEL TIEMPO Y LA TASA DE INTERÉS •

Interés:

0

i=?

1

-78. 35

2

3

4

5 100

FV 5 = PV . FV i, 5

3

100

•

= 78. 35 ( 1+ i )^5

==> Despejar i

Tiempo:

0

2

1

n-1

-78. 35

n

100

FV n 100

= PV . FV i, n = 78. 35 ( 1 + 0.05 )^n

ln (100 ) = ln ( 1 + 0.05 )^n 78. 35 = n ln ( 1 + 0.05 ) n

=

ln (100 / 78. 35) ln (1.05)

6. VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ( FVA) 

Definición de Anualidad: Es una serie de pagos de monto igual a intervalos fijos durante un número específico de períodos. A los pagos se les da como símbolo PMT y pueden ocurrir al inicio o al final de cada período. En este sentido: - Si los pagos ocurren al final de cada período se denomina anualidad ordinaria. - Si los pagos ocurren al inicio de cada período se denomina anualidad pagadera. Las anualidades ordinarias son más comunes en finanzas por esto siempre que se usa el término “anualidad” se refiere a anualidad ordinaria.



Anualidad Ordinaria:

0

5%

1

2

3

100

100

100 100 100x1.05 100x(1.05)^2

FVA

En general:

Σ = 315.25

= 100 (1+ i)^0 + 100 (1+ i)^1 + 100 (1+ i)^2 = 100 [(1+ i)^0 + (1+ i)^1 + (1+ i)^2] = 100 [1 + (1.05)^1 + (1.05)^2] = 315.25

FVA n = PMT (1+ i)^0 + PMT (1+ i)^1 +....... PMT (1+ i)^(n-1) n

= PMT

Σ

(1+ i)^(n-1)

t=1

= PMT FVAi,n De igual modo definimos el factor:

4

n

FVAi, n = Σ (1+ i)^(n-1) t=1

FVAi, n = (1+ i) - 1 i 

Anualidad Pagadera:

0

5%

100

1

2

100

100

3 105.00 110.25 115.76

Σ = 331.01

FVAn (an.pag.) = PMT (1+ i) + PMT (1+ i)^2 + PMT (1+ i)^3 ...... PMT (1+i)^n = PMT [(1+ i) + (1+ i)^2 + (1+ i)^3+....... (1+ i)^n] = PMT (1+i) [(1+ i)^0 + (1+ i)^1 + (1+ i)^2+....... (1+ i)^(n-1)] = PMT (1+i) FVAi,n = 315.25 x 1.05 = 331.01 FVAn (an.pag.) = PMT x (FVA i, n) x (1+ i) Los pagos ocurren de una manera más temprana y por lo tanto se gana una mayor cantidad por concepto de intereses.

7. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD 

Ordinarias:

0

5%

1

2

3

100

100

100

95.24 90.70 86.38 PVA3 = 272. 33

Donde PVA3 es el valor presente de una anualidad de 3 períodos PVAn = PMT (

1 ) + PMT ( 1 )^2 +........ PMT ( 1 1+ i 1+ i 1+ i

) ^n

n

5

= PMT ∑

(

1 )^t 1+ i = PMT [ 1 1 ] i i (1+ i)^n = PMT [ 1 - (1+ i)^(-n) ] i t=1

= PMT PVA i, n



Anualidades Pagaderas:

0 100.00

5%

1

2

100.00

100.00

3

95.24 90.70

PVA3(an.pag.) = 285.94

PVAn (an.pag.) = PMT + PMT (

1 ) + PMT ( 1 )^2 +...... PMT ( 1 1+ i 1+ i 1+ i = PMT [ 1 + ( 1 ) +..... ( 1 ) ] 1+ i 1+ i PVAn (an.pag.) = PMT . PVAi,n . (1 + i )

)^(n-1)

8. PERPETUIDADES 

Definición: Una corriente de pagos iguales que se espera continúe indefinidamente Valor presente de una perpetuidad = PV (perp) = PMT i



Ejemplo: Los “Consols” que eran bonos perpetuos emitidos por el gobierno británico para consolidar deudas pasadas. Actualmente se lo utiliza para denominar cualquier bono a perpetuidad.

9. PERÍODOS SEMIANUALES DE COMPOSICIÓN Y OTROS PERÍODOS DE MENOR AMPLITUD En todos los ejemplos se ha supuesto que el interés se compone una vez al año. Esto se conoce como composición anual (o interés compuesto anualmente). Pero supóngase que se paga una tasa anual pero que el interés se añade cada seis meses (composición semianual). 

Ejemplo: -

Composición anual

6

0

1

6%

2

3

- 100 -

? FV3 = 100 x FV6,3 = 119.10

Composición semianual

1

. 0

3%

1

2

2

3

4

3 5

6

- 100

? FV6 = 100 FV3, 6 = 100 (1.03) = 119.41

OJO: También se puede decir i = 6 % compuesto semianualmente

En toda economía del mundo se usan diferentes períodos de composición para distintos tipos de inversión. Si se desea comparar en forma adecuada un número de valores que incluya períodos de composición de naturaleza distinta, es necesario expresarlos sobre una base común. Esto requiere que se distinga entre tasas de interés nominales o cotizadas y tasas anuales efectivas. La Tasa Anual Efectiva (TAE) se define como aquella que produciría el mismo valor final futuro si se hubieran usado períodos de composición anuales. TASA ANUAL EFECTIVA = (1 + i nom)^m - 1 m Donde

i nom m

= Tasa de interés nominal anual (compuesta) = Número de períodos en un año

Para composiciones más frecuentes: *

FV n = PV (1+ i)^n = PV [1+ (1 + i nom)^m - 1]^n m FV n = PV [1 + i nom]^(mn) m

*

PV

=

FV n [1 + i nom ]^(mn) m

10. PERÍODOS FRACCIONABLES DE TIEMPO En todos los ejemplos que se ha visto hasta el momento se ha supuesto que los pagos ocurren al inicio o al final de los períodos pero no en alguna fecha dentro del período.

0

- 100

10 %

0.25

0.50

0.75

1.00

FV ?

FV a los 9 meses es FV 0.75 = PV (1+i)^0.75

7

= 100 (1+0.10)^0.75 FV 0.75 = 107. 41

=> No se puede usar tablas!

11. AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Una de las aplicaciones más importantes del interés compuesto incluye a aquellos préstamos que son liquidados en pagos parciales a través del tiempo. Si un pago debe ser reembolsado en montos periódicos se dice que es un préstamo amortizado. 

Ejemplo: Una empresa solicita $12.000 de préstamo y quiere reembolsar en 24 pagos durante los siguientes dos años. La tasa de interés mensual es de 1.5%. Existen dos métodos conocidos de amortizar un préstamo: el francés y el alemán. - Método de Amortización Francés

0

1.5%

+12000

PVA24 12.000 PMT

1

2

-PMT

- PMT

24 - PMT

= PMT PVA i, n = PMT PVA 1.5%, 24 = 1000 = 599.09 PVA1.5%,24

Programa de Amortización Francés MES Monto Pago Interés Inicial 1 2 3 1 12,000.00 599.09 180.00 2 11,580.91 599.09 173.71 3 11,155.54 599.09 167.33 4 10,723.78 599.09 160.86 5 10,285.55 599.09 154.28 6 9,840.74 599.09 147.61 7 9,389.26 599.09 140.84 8 8,931.01 599.09 133.97 9 8,465.89 599.09 126.99 10 7,993.79 599.09 119.91 11 7,514.60 599.09 112.72 12 7,028.23 599.09 105.42 13 6,534.57 599.09 98.02 14 6,033.50 599.09 90.50 15 5,524.91 599.09 82.87 16 5,008.70 599.09 75.13 17 4,484.74 599.09 67.27 18 3,952.92 599.09 59.29 19 3,413.12 599.09 51.20 20 2,865.23 599.09 42.98 21 2,309.12 599.09 34.64 22 1,744.67 599.09 26.17 23 1,171.75 599.09 17.58 24 590.24 599.09 8.85 TOTAL 2,378.14

Reembolso del Principal (4) = (2) - (3) 419.09 425.38 431.76 438.23 444.81 451.48 458.25 465.12 472.10 479.18 486.37 493.67 501.07 508.59 516.22 523.96 531.82 539.80 547.89 556.11 564.45 572.92 581.51 590.24 12,000.00

Saldo Restante del Principal (5) = (1) - (4) 11,580.91 11,155.54 10,723.78 10,285.55 9,840.74 9,389.26 8,931.01 8,465.89 7,993.79 7,514.60 7,028.23 6,534.57 6,033.50 5,524.91 5,008.70 4,484.74 3,952.92 3,413.12 2,865.23 2,309.12 1,744.67 1,171.75 590.24 0.00

8

- Método de Amortización Alemán Método de Amortización Alemán MES Monto Reembolso Inicial del Principal (1) (2) 1 12,000.00 500.00 2 11,500.00 500.00 3 11,000.00 500.00 4 10,500.00 500.00 5 10,000.00 500.00 6 9,500.00 500.00 7 9,000.00 500.00 8 8,500.00 500.00 9 8,000.00 500.00 10 7,500.00 500.00 11 7,000.00 500.00 12 6,500.00 500.00 13 6,000.00 500.00 14 5,500.00 500.00 15 5,000.00 500.00 16 4,500.00 500.00 17 4,000.00 500.00 18 3,500.00 500.00 19 3,000.00 500.00 20 2,500.00 500.00 21 2,000.00 500.00 22 1,500.00 500.00 23 1,000.00 500.00 24 500.00 500.00 TOTAL 12,000.00

Interés (3) 180.00 172.50 165.00 157.50 150.00 142.50 135.00 127.50 120.00 112.50 105.00 97.50 90.00 82.50 75.00 67.50 60.00 52.50 45.00 37.50 30.00 22.50 15.00 7.50 2,250.00

Pago (2) + (3) 680.00 672.50 665.00 657.50 650.00 642.50 635.00 627.50 620.00 612.50 605.00 597.50 590.00 582.50 575.00 567.50 560.00 552.50 545.00 537.50 530.00 522.50 515.00 507.50

Saldo Restante del Principal (1) - (2) 11,500.00 11,000.00 10,500.00 10,000.00 9,500.00 9,000.00 8,500.00 8,000.00 7,500.00 7,000.00 6,500.00 6,000.00 5,500.00 5,000.00 4,500.00 4,000.00 3,500.00 3,000.00 2,500.00 2,000.00 1,500.00 1,000.00 500.00 0.00

12. TASAS DE INTERÉS A) Tasa Nominal o Cotizada: La cotizada entre prestamistas y prestatarios y debe incluir el número de períodos de composición por año. B) Tasa Periódica: La tasa cargada o pagada en cada período. Puede ser una tasa por año, semestral, trimestral, etc. Tasa periódica = i per = i nom m

Cuando i nom es la tasa nominal anual.

C) Tasa Anual Efectiva: TAE = (1 + i nom )^m - 1 m D) TAE de Acumulación Diaria:

TAEacum.diaria = e^i = (2.71828)^i - 1 donde i está en números enteros

•

Ejemplo 1: Las Tarjetas de Crédito tienen i per = 1. 5 % mensual, aparentemente 18 % anual pero es falso puesto que esta compuesta mensualmente: TAE = (1 + 0.18) - 1 = 0.1956 12 = 19.56 %

i nom = 18%

9

•

Ejemplo 2: Calcular el total del monto principal e interés para depósitos mensuales de $ 250 durante 5 años con una tasa de interés anual de 6 % compuesto mensualmente. Calcular pagos al final de cada mes. i nominal = 6% i per. mensual = 6 = 0.5 % 12

0

0.5 %

1

2

250

250

3

12

60 250 FVA 60 = 17 442. 51

• -

Ejemplo 3: Calcular el total del monto principal requerido al 5. 5 % compuesto mensualmente para obtener un total de $20.000 en 20 años. i nominal = 5. 5 % i per. mensual = 5.5 = 0.4583 % 12

0

5. 5 / 12

1

2 240

PV = - 6674. 22 -

FV = 20000

TAE = (1 + 0. 55)^12 - 1 = 5.64 % 12 0 5. 64 % 1 2

20

PV = - 6675. 10 • -

FV = 20000

Ejemplo 4: Calcular la cantidad necesaria de tiempo para aumentar una inversión inicial de $ 5000 a un total de $10.000 con una tasa de interés anual de 5. 4 % compuesta mensualmente. i nominal = 5. 4 % i per. mensual = 5.4 = 0.45 % 12

0

i= 0.45 %

1

2

3

4

n -1

n

n en meses

10

PV = 5000

FV = 10000

FV = PV (1+ i)^n 10000 = 5000 (1+ 0. 0045)^n -

=> n = 155

TAE = ( 1 + 0. 054 )^12 - 1 = 5.536 % 12 1

n -1

n en años

PV = -5000

FV = 10000

FV = PV (1+ i)^n 10000 = 5000 (1+ 0. 05536)^n => n = 12.92

11