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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE ZACATECAS “FRANCISCO GARCÍA SALINAS”

UNIDAD ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS

“La noción de proporcionalidad directa a través de la regla de tres. Un estudio con alumnos de primero de secundaria”

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA PRESENTA:

Ma. Guadalupe Cabral Rosales ASESORA:

M. en C. Nancy Janeth Calvillo Guevara Zacatecas, Zacatecas, 25 de junio de 2013

Quiero agradecer a la Universidad Autónoma de Zacatecas, en su Unidad Académica de Matemáticas, por darme la oportunidad de cursar esta maestría. A mi asesora M. en C. Nancy Janeth Calvillo Guevara, por su apoyo y sus consejos, no solo como maestra sino también como amiga, por su compañía y seguimiento en el desarrollo de este trabajo. A mis sinodales: Dra. Leticia Sosa Guerrero, M. en M. E. Placido Hernández Sánchez, M. en M. Elvira Borjón Robles y MATI Mónica del Rocío Torres Ibarra, por sus observaciones y aportaciones para la mejora de este trabajo. A mis maestros, por sus enseñanzas y a mis compañeros, por los comentarios y opiniones expuestos durante las clases, recogidos de su trabajo en el aula en distintos subsistemas educativos. A las maestras Judith y Elvira, por confiar en mí dándome la oportunidad de concluir con la maestría.

“El presente trabajo de investigación va dedicado a mis hijas ya que gracias a ellas, a su apoyo, a su bondad y amor, hoy en día soy lo que soy y puedo decir que he concluido con mis estudios de maestría. Gracias por estar siempre conmigo en mis alegrías y en mis tristezas, ustedes son mi motor para seguir adelante y cada día ser mejor persona. Y a mis padres por sus consejos y por inculcarme los valores tales como el respeto, la fortaleza,

la constancia, la lucha y la dedicación”

Resumen…………….…………………………………………...…………………………………………………………... 1

Capítulo I. Contextualización de la Secuencia……………………………............................. 2 1.1 La noción de proporcionalidad directa a través de la regla de tres en el

2

programa de Secundaria ………………….………………………………………………………….. 1.2 La

problemática

en

el

estudio

de

la

proporcionalidad 7

directa…………………………………………………………………………………………………………. 1.3 La importancia de la proporcionalidad directa en la educación secundaria…………………………………………………………………………………………………… 1.4 La importancia matemática de la proporcionalidad directa………………………

7 8

1.5 La contribución de la situación didáctica para el aprendizaje de los estudiantes………………………………………………………………………………………………….

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Capítulo II. Fundamentación teórica………………………………………………………... 12 2.1 Fundamentos matemáticos…………………………………………………………………………

12

2.1.1 Razón……………………………………………………………………………………..................

13

2.1.2 Proporción…………………………………………………………………………………………..

14

2.2 Fundamentos didácticos……………………………………………………………………………..

19

Capítulo III. Ingeniería didáctica como metodología………………………………... 27 3.1 La ingeniería didáctica como metodología de investigación……………………… 3.2 Concepción de la situación didáctica para el estudio de la

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proporcionalidad directa a través de la regla de tres…………………………..........

30

3.3 Análisis a-priori de la situación didáctica para el estudio de la proporcionalidad directa a través de la regla de tres …………………………

32

3.3.1 Las variables didácticas de los problemas ………………………………………. 32 3.3.2 Posibles formulaciones de los alumnos ……………………………………………. 34 3.3.3 Variables macro didácticas………………………………………………….................

37

3.3.3.1 Primer momento. Situaciones de acción-formulación…………………………

37

3.3.3.2 Segundo momento. Situación de validación……………………………………….

37

3.3.3.3 Tercer momento. Situación de institucionalización…………………………….

38

3.4 Experimentación………………………………………………………………………………………

39

3.4.1 La experimentación de la situación didáctica para el estudio de la proporcionalidad directa a través de la regla de tres………………………………..

39

Capítulo IV. Análisis a posteriori y Validación………………………………………….

42

4.1 Fase de análisis a-posteriori………………………………………………………………………

43

4.1.1 La Situación de Acción……………………………………………………………………….

44

4.1.2 La Situación de Formulación……………………………………………………………..

45

4.1.2.1 Problema 1…………………………………………………………………………………

46

4.1.2.2 Problema 2…………………………………………………………………………………

47

4.1.2.3 Problema 3…………………………………………………………………………………

50

4.1.2.4 Dificultades al intentar resolver el problema……………………………

53

4.1.3 La Situación de Validación………………………………………………………………

56

4.1.4 Situación de Institucionalización………………………………………………………

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4.2 Fase de Validación…………………………………………………………………………………….

67

4.2.1 Situación de Acción…………………………………………………………………………

67

4.2.2 Situación Formulación……………………………………………………………………..

68

4.2.3 Situación de validación……………………………………………………………………..

69

4.2.4 Situación de institucionalización………………………………………………………

70 72

Referencias……………………………………………………………………………………………..

75 76

Anexo A. Plan de clase……………………………………………………………………………..

78

Anexo B. Transcripción de la sesión de trabajo……………………………………….

84

Anexo C. Respuestas a los problemas…………………………………………………….

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El presente trabajo surge a partir de la experiencia como profesora de secundaria, donde se observa que algunos de los alumnos de la escuela “Ramón López Velarde” de Jerez, Zac. no toman en cuenta el método de la regla de tres o lo utilizan de forma inadecuada para resolver problemas de proporcionalidad directa. A partir de la problemática detectada, se ha elegido una situación didáctica para desarrollarla en el aula, dicha propuesta está diseñada con base la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau, utilizando la metodología de la Ingeniería de Didáctica de Michele Artigue. En la situación didáctica llamada “Análisis de la regla de tres” se proponen tres problemas de proporcionalidad directa, cuya finalidad es analizar las respuestas de los estudiantes, con relación a procedimientos de uso de la regla de tres. Dicha secuencia se aplicó con un grupo de 17 alumnos de primero de secundaria de la escuela “Ramón López Velarde”. Los principales resultados apuntan a que los alumnos restructuraron el conocimiento que tenían sobre la proporcionalidad directa por medio de la apropiación de nuevas técnicas para resolver problemas de este tipo. Con esto se percibe que el alumno aprende a ser más reflexivo, crítico, analítico y capaz de tomar decisiones cuando se enfrenta a una situación problema.

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El presente documento es producto de un trabajo de investigación para obtener el grado de maestría en la Maestría en Matemática Educativa de la Unidad Académica de Matemáticas. En él se hace un análisis de cómo estudiantes del primer grado de la Escuela Secundaria “Ramón López Velarde” del municipio de Jerez, Zac. desarrollan competencias a partir de la resolución de problemas de proporcionalidad directa mediante el uso de la regla de tres. En el campo matemático existe una preocupación de educadores, investigadores y gestores de la educación por investigar las dificultades a la que se enfrentan los estudiantes cuando intentan usar las ideas matemáticas en los problemas que emergen de sus propios contextos; este trabajo contiene el análisis de la regla de tres en problemas de proporcionalidad directa, pues es un tema que se requiere para resolver problemas de la vida cotidiana, desde la elaboración de una receta de cocina, hasta para saber la ganancia mensual en una caja de ahorro. En el desarrollo de este capítulo se menciona cómo se sugiere abordar el tema de proporcionalidad en el Programa de estudio 2011 - Guía para el Maestro Secundaria Matemáticas, principalmente en el eje temático: Manejo de la Información. 1.3 La noción de proporcionalidad directa a través de la regla de tres en el programa de Secundaria

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En este apartado describiremos cómo se sugiere abordar la noción de proporcionalidad en el Programa de estudio 2011 / Guía para el Maestro Secundaria / Matemáticas. En los últimos años conforme se van dando las transformaciones en el mundo, la sociedad también va cambiando y las necesidades e intereses de hombres y mujeres son diferentes conforme transcurren los tiempos. El impacto de la tecnología, las ciencias y los medios de comunicación son factores que han generado grandes renovaciones en muchos aspectos sociales y sobre todo en la educación, por lo que cada vez son más altas las exigencias en la formación educativa del individuo, a lo que la Secretaría de Educación Pública (SEP) se ha visto en la necesidad de realizar cambios en los planes y programas de la educación, con el objetivo de formar personas más competentes en su vida diaria. En el transcurso de los años el sistema educativo mexicano se ha visto en la necesidad de reformarse de manera profunda, para enfrentar el reto de atender una demanda creciente, pues la sociedad reclama que la educación prepare a los estudiantes para estar al nivel del desarrollo mundial. Además se requiere responder a los avances del mundo social del siglo XXI en que la información tiene un cambio constante, tanto que lo que uno aprende un día puede ser modificado al día siguiente, esto de manera necesaria requiere un cambio en el sistema educativo. Así, la educación debe de cambiar y orientarse a la construcción de una capacidad: aprender a aprender a lo largo de la vida, lo que se traduce en aprender a ser, aprender a conocer, aprender a pensar, aprender a hacer, aprender a vivir juntos y aprender a vivir en

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el entorno natural que nos rodea (Silvestre, Ponte, 2011). Por esto, la idea de nuevos planes y programas diseñados por competencias.

La Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) concluye su generalización en el ciclo escolar: 2011-2012, en este mismo periodo comenzamos una nueva fase de consolidación. Como toda reforma, se ha transitado de un periodo de innovación y prueba a otro de consolidación y mejora continua. En esta fase se introducen en los programas de estudio estándares curriculares y aprendizajes esperados, los cuales implicarán nuevos retos y desafíos para el profesorado (México, 2011a). Los estándares curriculares de Matemáticas comprenden los aprendizajes que el alumno debe de aprender durante los cuatro periodos escolares, para llevarlos a los niveles más altos de alfabetización de matemáticas. Se organiza en cuatro ejes temáticos: -

Sentido numérico y pensamiento algebraico

-

Forma, espacio y medida

-

Manejo de la información

-

Actitudes hacia el estudio de las matemática

La proporcionalidad es un tema que se aborda en los cuatro ejes temáticos; sin embargo, es en el de Manejo de la información, donde se presenta como tema

“la

Proporcionalidad”. Por este motivo, es que nos enfocaremos en este eje temático, el cual se subdivide en tres temas: Proporcionalidad y funciones, Nociones de probabilidad y

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Análisis de la representación de datos. El estándar curricular sobre la proporcionalidad es: Resolver problemas vinculados a la proporcionalidad directa, inversa o múltiple, como porcentaje, escalas, interés simple o compuesto (México, 2011a). En los Planes y Programas de Estudio 2011, en la disciplina de las matemáticas se enfoca en el campo de formación Pensamiento Matemático, con el objetivo de entender entornos sociales, resolver problemas y fomentar el interés por las Matemáticas a lo largo de la vida. Dentro de la organización de la asignatura, el uso de la noción de proporcionalidad es visto en los tres años de la educación secundaria, en cada uno de los ejes temáticos. Esta noción se utiliza incluso para discutir y construir lo que no es proporcional. Dependiendo del eje en el que se trabaje dicha noción, así como de la situación problema y el contexto donde se le requiere como herramienta matemática, puede usarse para calcular una constante de proporcionalidad, un valor faltante o una razón de cambio constante (México, 2011a). La elección de la situación problemática requiere de una planificación que permita a los estudiantes construir un aprendizaje, manejar estrategias, habilidades y dificultades, entre otras cuestiones. En el programa de estudios (México, 2011a) se sugiere que las situaciones deben ser problemas relacionados con la vida real, con un lenguaje cotidiano que le permita al estudiante realizar interpretaciones personales, que puedan incluir conocimientos matemáticos relacionados con el aprendizaje esperado.

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Además dentro de la situación se debe considerar un contexto en el que la herramienta matemática sea insuficiente para explicar y resolver un problema. Respecto a la proporcionalidad: Una vez construida su noción y dominadas las técnicas de cálculo de valor faltante, el cálculo de razón de proporcionalidad, regla de tres, etc., es necesario confrontarse con aquellos procesos que no son proporcionales, ya sea para profundizar en la comprensión de las mismas, como también, para generar oportunidades de introducir nuevos problemas (México, 2011a, p. 80) Como ya señalamos, la noción de proporcionalidad se encuentra en los tres ejes temáticos, dentro de los temas y sus contenidos. En el programa se proponen elementos que orientan su enseñanza, a saber: tipos de problemas, situaciones contextuales, lenguaje y herramientas matemáticas entre otros. También se indica que se reconocerá el desarrollo del pensamiento proporcional en el estudiante, cuando éste identifique en un primer momento, una relación entre cantidades. La situación de aprendizaje y la intervención de la o el profesor, deberían confrontarlo con un conflicto para que reconozca que también hay proporcionalidad en una relación.

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Para validar las relaciones se proyecta como necesario plantear a la y el estudiante actividades que favorezcan la identificación del cómo se relacionan, con el objetivo de caracterizar formalmente la proporcionalidad y el uso de técnicas como la regla de tres (México, 2011a). Los supuestos básicos que se sugieren para abordar esta noción, son acorde a lo que plantea la teoría de situaciones didácticas para lograr un aprendizaje en las y los estudiantes. 1.2 La problemática en el estudio de la proporcionalidad directa Por otro lado, una de las dificultades al estudiar este tema es que el alumno utilice las operaciones aditivas en lugar de multiplicativas. Así como lo menciona Ralderas y Block () en su investigación “La Enseñanza de la Noción de Proporcionalidad en la Educación Secundaria: Conocimiento de Maestros”. Diversos estudios cognitivos (Inhelden y Piaget, 1955; Hart, 1988, Noelting, 1981 citados en Mochón, 2012) y didácticos (Vergnaud, 1988; Block, 2001; Ramírez, 2004; Mendoza, 2007 citados en Mochón, 2012) han mostrado la existencia de dificultades para resolver problemas de proporcionalidad y han dejado ver que estas dificultades, en particular el utilizar estrategias aditivas en lugar de multiplicativas, además otros relacionan los datos erróneamente. 1.3 La importancia de la proporcionalidad directa en la educación secundaria Con el nuevo plan de estudio de las matemáticas 2011 que nos marca que la enseñanza de esta disciplina sea con base en la resolución de problemas, donde el alumno ponga en juego su razonamiento, comprensión, conocimientos previos, argumentaciones y 7

estrategias para resolver dichas situaciones y así construir un nuevo conocimiento o restructurarlo el que ya tiene para llegar a ser un ser humano competente ante la vida. Si los profesores nos dedicamos a enseñar definiciones y proponer ejercicios para que los alumnos los resuelvan, él se estará enfrentando a una dificultad muy grande, pues no tendrá elementos para la resolución de problemas, en particular, en este trabajo, problemas de proporcionalidad utilizando el método de la regla de tres. En el Plan y programa de matemáticas de educación secundaria (2011) se propone un análisis de la regla de tres ya que los alumnos al acomodar los resultados erróneamente sus resultados son incorrectos y, si los alumnos no se dan cuenta de sus errores, los seguirán arrastrado hasta la universidad, pues los problemas de proporcionalidad directa se siguen trabajando en carreas de Ingeniería, Economía, Enfermería.

1.4 La importancia matemática de la proporcionalidad directa Es muy importante que los estudiantes puedan trabajar con soltura problemas de proporcionalidad directa, ya que el enfoque matemático del Programa de estudio de matemáticas (México, 2011a) nos dice que el alumno debe aprender por medio de situaciones problemáticas que despierten su interés y lo inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver problemas y a formular argumentos que validen los resultados. La noción de proporcionalidad tiene importancia no solo en el dominio de las actividades matemáticas de la educación básica, sino también en numerosas aplicaciones de la ciencia y la técnica, por ejemplo en Física 8

(permite estudiar y explicar la relaciones entre magnitudes), en Química (se aplica al equilibrar las mezclas), en Geografía (se utiliza en el control de ciertas situaciones a estudiar, utilizando escalas) (Ruiz, 2006, p. 236) 1.5 La contribución de la situación didáctica para el aprendizaje de los estudiantes Se pretende que al trabajar con la situación didáctica que se propone para el aprendizaje de la proporcionalidad directa a través de la regla de tres, los estudiantes a partir de un análisis o una reflexión construyan su conocimiento. Esto les permitirá quedarse con ese conocimiento para aplicarlo en situaciones futuras que se le pudieran presentar en el transcurso de su vida estudiantil o cotidiana, no se trata de aprender con procedimientos memorizados, que como se sabe, conforme pasa el tiempo, es posible que se les olvide, la situación didáctica tiene el objetivo de que ése conocimiento construido o modificado se le quede para siempre al alumno. Los aprendizajes esperados en el tema de proporcionalidad y funciones son: Resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, en los que la razón interna o externa es un número fraccionario. (México, 2011a, p. 35)

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Además, la intención didáctica de la situación didáctica que se eligió es: “que los alumnos identifiquen la pertinencia de aplicar la regla de tres en la resolución de problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante””. El que los alumnos se apropien de este conocimiento es importante ya que será un técnica más que él utilizará para la resolución de problemas de proporcionalidad, además como lo marca el campo formativo del pensamiento matemático en secundaria el alumno debe ser capaz de buscar y argumentar para validar procedimientos y resultados, encontrar diferentes formas de resolver problemas y manejar técnicas de manera eficiente para la resolución de situaciones problema. En esta investigación se espera que los alumnos se apropien del conocimiento a partir de la resolución de problemas de proporcionalidad directa, mediante el uso de sus conocimientos previos, la búsqueda y formulación de diferentes formas de resolverlos. Así como también que los alumnos identifiquen la pertinencia de aplicar la regla de tres en la resolución de problemas de proporcionalidad directa de tipo “valor faltante”. Otra de las expectativas sería que los alumnos se apropiaran o restructuraran el manejo del método de la regla de tres de manera razonable, además de una profunda reflexión acerca de la práctica docente con la finalidad de mejorar en ella. En este capítulo se ha descrito la problemática entorno al estudio de la proporcionalidad directa a través de la regla de tres, referida al manejo mecánico de ésta. También se describe que este tema es utilizado en diversos contextos, desde la vida cotidiana hasta en

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otras áreas científicas como la química y la física. Para finalizar se presentó la finalidad de la situación didáctica que se eligió como ayuda para el estudio de este tema.

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En este capítulo se abordan dos aspectos primordiales para la realización de esta investigación: Fundamentos Matemáticos y Fundamentos didácticos. En los Fundamentos Matemáticos se describen los conceptos matemáticos necesarios que el alumno necesita para la resolución de problemas de proporcionalidad directa. Además, éstos le sirven de referencia al profesor para llegar a la institucionalización del saber. En los Fundamentos didácticos se describe un modelo de aprendizaje a través de la Teoría de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau (1998), la cual se basa en que el alumno produzca

los

conocimientos

matemáticos

para

establecer

nuevas

relaciones,

transformarlas y reorganizarlas así como validar la norma y procedimientos. Así, se explica el proceso de aprendizaje a través de las situaciones de acción, formulación, validación e institucionalización pues esto nos permitirá organizar, analizar y validar la secuencia didáctica elegida. 2.1 Fundamentos matemáticos Los elementos que se describen en esta sección son la razón y proporción, proporcionalidad directa, constante de proporcionalidad y el procedimiento de la regla de tres. Estos elementos son importantes para comprender el concepto de proporcionalidad directa e inversa.

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La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles, es uno de los conceptos matemáticos muy utilizado dentro de la vida común en distintos sentidos, es manejado de forma intuitiva o de uso cotidiano. La proporcionalidad puede ser directa o inversa pero en esta investigación nos enfocaremos a la proporcionalidad directa. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales si se mantiene entre ellas una constante de proporcionalidad, es decir, si a un valor m1 de la primera magnitud le corresponde un valor m2 de la segunda magnitud, se puede comprobar que el cociente o razón entre estos dos valores es siempre constante y ese valor constante se le llama constante o razón de proporcionalidad. (Jiménez, s.f., p. 84) Además, para comprender el concepto de proporcionalidad, directa e inversa se debe comenzar por entender qué es una razón.

2.1.1 Razón

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Razón. Cuando comparamos dos cantidades éstas forman una razón, es decir nos estamos refiriendo al cociente (el resultado de una división) entre ellas. (Jiménez, s.f., p. 82)

Esto es:

Razón entre dos números a y b es el cociente entre:

y se lee “a es a b”.

Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que: Y la razón entre los números 0.15 y 0.3 es: (Profesor en línea, s.f. )

Además, una razón indica el número de veces que una cantidad es mayor que otra. 2.1.2 Proporción Cuando comparamos dos razones entre sí, para observar cómo se comportan entre ellas, hablamos de una igualdad entre dos razones, es decir, una proporción numérica. Entonces: Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d. Es decir: Y se lee “a es a b como c es a d”. (Jiménez, s.f., p. 82) Por ejemplo: Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20. 14

Es decir: Hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c

En la proporción y b se llaman medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios. (Profesor en línea, s.f. ) Así, en la proporción anterior:

Se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40. En general esto es:

Figura 1. Proporcionalidad

El concepto de proporción se comprende como una relación entre números o magnitudes, y esa relación se da en dos sentidos: aumentar o disminuir, o en su defecto una de las magnitudes subir la otra baja y viceversa. El primer caso se refiere a magnitudes directamente proporcional y en el segundo son magnitudes inversamente proporcionales. 15

Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Por ejemplo: Dos magnitudes cuyas cantidades se corresponden con una tabla así: Tabla 1. Magnitudes directamente proporcionales Magnitud 1ª (x)

A

B

c

...

Magnitud 2ª (y)

a'

b'

c'

...

Son directamente proporcionales si se verifica que a'/a = b'/b = c'/c = ... = k siendo k la razón de proporcionalidad, esto es: la constante de proporcionalidad directa (k) se calcula la dividir una cantidad cualquiera de la 2a magnitud entre la correspondiente de la 1a .

Todo lo anterior sobre las proporciones nos accede a introducirnos a utilizar dos métodos para resolver problema de proporcionalidad directa los cuales son: método de reducción a la unidad y método de la regla de tres que puede ser directa, inversa y compuesta.

En esta investigación solo nos enfocaremos al método de la regla de tres simple directa como un instrumento más para resolver problemas de proporcionalidad directa ya que en muchos problemas de la vida real intervienen dos magnitudes directamente proporcionales. Conociendo tres cantidades nos piden calcular un cuarto dato.

En la regla de tres se pueden llevar los siguientes pasos, según el Libro digital de matemáticas, para 1° ESO1 (cide@d):

Comprobar que las dos magnitudes son directamente proporcionales. 1

En España, ESO se refiere a la Escuela Secundaria Obligatoria.

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Separar en dos columnas las magnitudes. Escribir el dato. Escribir la pregunta. Escribir la proporción y hallar el cuarto proporcional. Generalmente sería: Ver que las dos magnitudes son directamente proporcionales. Se escribe: Mag.1

Mag. 2

Dato:

a

----> b

Pregunta:

c

----> x

Se calcula:

x= c·b/a (Jiménez, s.f., p. 90)

En el programa de estudio 2011 sugiere en el eje temático Manejo de la Información tema Proporcionalidades y Funciones, bloque cuatro en el subtema: Análisis de la regla de tres empleando valores enteros y fraccionarios y en el Plan de estudio 2011 de educación básica, (2011, p. 50) plantea: El nivel de secundaria atiende el tránsito del razonamiento intuitivo al deductivo, y de la búsqueda de información al análisis de los recursos que se utilizan para presentarla. A lo largo de la educación Básica se busca que los alumnos sean responsables de construir nuevos conocimientos a partir de sus saberes previos, lo que implica: • Formular y validar conjeturas. • Plantearse nuevas preguntas. • Comunicar, analizar e interpretar procedimientos de resolución. 17

• Buscar argumentos para validar procedimientos y resultados. • encontrar diferentes formas de resolver los problemas. • Manejar técnicas de manera eficiente (México, 2011b, p. 42) Para abordar el tema de proporcionalidad es necesario tener conocimiento de cada uno de los aspectos mencionados en esta sección, ya que para llegar al análisis de la regla de tres el alumno en sus conocimientos debe contar con el conocimiento de razón, proporción, propiedad fundamental de la proporción y con lo que es proporcionalidad directa para así comprender el método de la regla de tres de manera analítica y no mecánica.

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2.2 Fundamentos didácticos El sustento teórico de esta investigación radica en la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) puesto que ésta nos permite validar propuestas para el aprendizaje. En lo que sigue haremos la descripción de sus principales conceptos. Existen problemas en el salón de clase para hacer que los alumnos construyan un conocimiento a partir de la resolución de problemas, debido a que ellos están acostumbrados a que el maestro les diga como contestar o que deben hacer, no les gusta pensar ni plantear alguna solución probable, así como también les cuesta trabajo argumentar sus respuestas, expresar lo que piensan y realizar algún análisis. Por tal motivo se eligió a la TSD para esta investigación, pues a partir de ésta se crea un proceso de aprendizaje de las matemáticas, donde el alumno construye su propio conocimiento a partir del cuestionamiento: tomando en cuenta sus saberes previos, reflexionando sobre procedimientos, confrontando soluciones, validando soluciones y por último institucionalizando conceptos, esto ocasiona que el alumno adquiera herramientas y actitudes funcionales y flexibles para el éxito de la vida cotidiana. La TSD fue desarrollada por Guy Brousseau (1998) y surgió a partir de los años setenta por la preocupación de descubrir e interpretar los fenómenos y procesos ligado a la adquisición y trasmisión de conocimientos. Brousseau (1998) tiene como hipótesis que los conocimientos no surgen de manera espontánea y que por lo tanto las situaciones y los medios es lo que hace que un individuo aprenda.

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Esta teoría se trata “De la enseñanza, que busca las condiciones para una génesis artificial de los conocimientos matemáticos, bajo la hipótesis de que los mismos no se construyen de manera espontánea.” (Panizza, s.f.). La TSD se basa en el pensamiento constructivista, al igual que el enfoque de las Matemáticas en el Programa de Estudio 2011. Ésta nos propone que para que el alumno construya y adquiera el conocimiento, debe hacerlo a través de la resolución de situaciones problemáticas. Ésta es un instrumento que permite la construcción y comprensión de los conceptos matemáticos a partir de una situación problema. Pero ¿qué es una situación problema? Según Mesa (1998, p. 9, en Rúa, J, 2008): “una situación problema es un espacio de interrogantes frente a los cuales el sujeto está convocado a responder. En el campo de las matemáticas, una situación problema se interpreta como un espacio pedagógico que posibilita tanto la conceptualización como la simbolización y la aplicación comprensiva de algoritmos, para plantear y resolver problemas de tipo matemático”. Esto es, la secuencia didáctica con la que el alumno trabaja responde a ciertas situaciones problema, en las cuales él pone en práctica sus conocimientos previos, la simbolización matemática y las estrategias a utilizar, por medio de la cual desarrolla competencias matemáticas2.

2

Competencias matemáticas: habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral. (ESO, s.f.)

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En la TSD las variables didácticas juegan un rol de primordial importancia, pues son elementos de la situación didáctica que pueden ser modificarlos por el profesor, el cambio de variable permitirá modificar el grado de dificultad del problema, provocando que el alumno busque nuevas estrategias que lo lleven al saber matemático deseado (Cerda, s.f.). Así, las variables didácticas son los elemento que al modificarlos producen una adaptación y aprendizaje, la edad del alumno y sus conocimientos previos son una parte muy importante para la modificación de variables debido a que deben de ser adecuadas en tiempo y forma del conocimiento del adolescente. Ejemplos de variables didácticas son: los números que aparecen dentro del problema, así como también el contexto del problema, pues al modificarlas cambia la jerarquía de estrategias, entonces, se podrá caracterizar una situación problema dependiendo de los conocimientos previos de los alumnos, ya que un mismo problema puede ser utilizado para estudiantes de diferentes edades, simplemente modificando las variables didácticas de éste. Por otro lado, es necesario definir ¿qué es una situación didáctica? En un primer acercamiento se puede considerar que una situación didáctica es construida intencionalmente con el fin de hacer adquirir a los alumnos un saber determinado. Brousseau (1982b, citado por Gálvez, 1994, p. 39), la define de esta manera: Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o explícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado 21

por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución. Entonces, una situación didáctica se refiere al momento en que el profesor tiene la intención de enseñar algo, donde intervienen el alumno, el maestro, el saber y el medio. En la situación didáctica, un aspecto de relevancia es el momento de la enseñanza, cuya finalidad es que alguien aprenda algo. Además de situaciones didácticas, en la enseñanza también encontramos situaciones adidácticas, que son definidas así por Brousseau (1986, en Panizza, s.f., 4). El término de situación a-didáctica designa toda situación que, por una parte no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de los conocimientos o del saber que se pretende y que, por la otra, sanciona las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin intervención del maestro en lo concerniente al saber que se pone en juego. La situación a-didáctica es cuando el alumno pone en juego sus conocimientos y habilidades para tratar de resolver una situación problemática proporcionada por el profesor sin la intervención directa de éste, de manera que el estudiante pueda generar hipótesis, argumentos y conjeturas, ubicando al alumno en una situación semejante a un ambiente de trabajo científico, con el propósito de construir un conocimiento. 2.2.1 Modelo de Situaciones didácticas y a-didácticas

22

La TSD para modelizar el proceso del aprendizaje propone un modelo que contiene cuatro diferentes tipos de situaciones que son: situación de acción, situación de formulación, situación de validación y situación institucionalización. Como nos daremos cuenta, las primeras tres corresponden a situaciones a-didácticas y la última de ellas es una situación didáctica. En lo que sigue, realizaremos la descripción de cada una de ellas. “La situación de acción: Consiste en que los alumnos individualmente entiendan el problema, formulen hipótesis y tomen decisiones acerca de cómo solucionar el problema, utilizando sus conocimientos previos para construir un saber” (Chavarría, 2006). Por ejemplo cuando se les plantea a los estudiantes la siguiente pregunta: ¿Cuánto cuestan 8 kilos de manzanas si 11 kilos cuestan $14.30 pesos?, los alumnos utilizarán su razonamiento, conocimientos y habilidades para encontrar el costo de los 8 kilos de manzanas. Esta situación no la podemos observar automáticamente, sino que la acción que realiza el estudiante es un proceso mental, pues individualmente realiza los procesos necesarios para comprender el problema. En este momento de acción también se da la devolución de parte del maestro al alumno, por medio de alguna pregunta donde el alumno produce sus conocimientos o los modifica como respuesta a las exigencias del medio y no al deseo del docente. Según Brousseau (1994, p. 67) en la devolución: “no basta “comunicar” un problema a un alumno para que ese problema se convierta en su problema y se sienta el único responsable de resolverlo. Tampoco basta que el alumno acepte esa responsabilidad 23

para que el problema que resuelva sea un problema “universal”, libre de presupuestos subjetivos. Denominamos “devolución” a la actividad mediante la cual el docente intenta alcanzar ambos resultados”. En la devolución el alumno debe de leer la situación didáctica por deseo personal y no porque el maestro se lo indique, es responsabilidad de este de buscar una solución que satisfaga el problema por méritos propios y solo guiado por el maestro. Por ejemplo cuando el alumno le dice al maestro ¿cómo le hago para resolverlo, no le entiendo?, el maestro debe de contestarle de tal manera que lo haga pensar y buscar una estrategia. La situación de formulación: Es donde los alumnos se comunican y comparten experiencias para la posible solución del problema (Chavarria, 2006). Por ejemplo cuando los alumnos trasmiten mensajes a sus compañeros, sobre algunas estrategias para resolver el problema del costo de los 8 kilos de manzanas, estableciendo entre ellos varias formas para hacerlo, llegando a acuerdos sobre los procedimientos que utilizaron, esto ayudará al alumno a ser más reflexivo en sus estrategias. En este momento es importante que todos los alumnos participen comunicando sus ideas e interactuando con el medio didáctico. La situación de formulación comienza cuando el mismo estudiante propone una manera de resolver el problema, pues está formulando una posible solución. La situación de validación: en esta situación se pone a juicio el producto obtenido por un alumno, es decir se valida el trabajo realizado y se discute con el profesor y alumnos si el procedimiento es correcto (Chavarría, 2006). Por ejemplo, el alumno explica el procedimiento que eligieron en su equipo, argumentando el porqué de sus estrategias y 24

su razonamiento. Los resultados son sometidos a juicio por el grupo, que es capaz de aceptar, pedir pruebas o rechazar. La situación de institucionalización es el cierre de una situación didáctica, es aquí donde el estudiante mediante una o varias sesiones de trabajo ha estado resolviendo problemas que les han permitido construir conocimiento. Es aquí donde el docente retoma lo realizado durante el desarrollo de la situación problemática, para formalizar el conocimiento tal y como es, dándole el nombre convencional y dándoles nuevas herramientas de conocimiento a los alumnos. Por ejemplo cuando el o la profesora presenta “la regla de tres”, donde se hace la relación de las magnitudes y se les brinda a los alumnos la representación simbólica de las operaciones

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Situación Didáctica

Situación de Institucionalización

Situación a-didáctica

Situación de Acción

Situación de Formulación

Situación de Validación

Figura 2. Elementos de la TSD que se retoman en la investigación

En este capítulo se han abordado los elementos teóricos del concepto matemático “proporcionalidad directa” a través de la regla de tres. Además, se presentan los fundamentos de la teoría de situaciones didácticas de Brousseau ya que al analizarla podemos notar que el modelo que propone para lograr aprendizaje es aquel que se maneja en el plan de estudios de la nueva reforma educativa (México, 2011a).

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La metodología que se sigue en esta investigación está sustentada en la “ingeniería didáctica” de Michelle Artigue. En esta sección se presentan la descripción de las fases de concepción, análisis a priori y experimentación, que se retoman de la metodología para la realización de este trabajo. 3.1 La ingeniería didáctica como metodología de investigación La ingeniería didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas francesa, a principios de los años ochenta, como una metodología para las realizaciones tecnólogas de los descubrimientos de la teoría de Situaciones Didácticas y de la Transposición Didáctica. Se le denominó con este término a un trabajo didáctico por la forma muy similar al trabajo de un ingeniero al realizar un proyecto. Según Artigue (1998, p.33): “Para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientos científicos de su dominio y acepta someterse a un control de tipo científico. Sin embargo, al mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho más complejos que los depurados por la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prácticamente, con todos los medios disponibles, problemas de los que la ciencia no quiere o no puede hacerse cargo.”

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Además, la ingeniería didáctica tiene como función ser una metodología de investigación y como producción de situaciones de enseñanza y aprendizaje, como menciona Douady (1995, p. 241): “El término ingeniería didáctica designa un conjunto de secuencias de clase concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo de forma coherente por un profesor-ingeniero para efectuar un proyecto de aprendizaje de un contenido matemático dado para un grupo concreto de alumnos. A lo largo de los intercambios entre el profesor y los alumnos, el proyecto evoluciona bajo las reacciones de los alumnos en función de las decisiones y elecciones del profesor. Así, la ingeniería didáctica es, al mismo tiempo, un producto, resultante de un análisis a priori, y un proceso, resultante de una adaptación de la puesta en funcionamiento de un producto acorde con las condiciones dinámicas de una clase.” La ingeniería didáctica tiene como objetivo designar secuencias de clase concebidas, organizadas y articuladas por un profesor-ingeniero, con el fin de construir un conocimiento matemático apoyándose en la teoría de situaciones didácticas, En la cual su proceso de experimentación se lleva a cabo mediante cuatro fases: A. Primera fase: Análisis preliminares. B. Segunda fase: Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas. C. Tercera fase: Experimentación. D. Cuarta fase: Análisis a posteriori y validación 28

En la fase del análisis-preliminar se realiza un análisis similar al diagnóstico de la situación en cuanto a la manera en que es abordado cierto tema, así como los efectos de esa forma de hacerlo. En esta fase se hacen las consideraciones de índole epistemológico, cognitivo y didáctico. Se advierte que en esta investigación no se llevarán a cabo, pues el interés de este trabajo no es el diseño de una situación didáctica, sino la experimentación de alguna situación didáctica que ya estuviera diseñada. Según Michel Artigue en la fase de la concepción el investigador toma la decisión sobre las variables de comando las cuales son variables macro-didácticas y micro-didácticas. Las define como: Las variables macro-didácticas o globales, concernientes a la organización global de la ingeniería. Y las variables micro-didácticas o locales, concernientes a la organización local de la ingeniería, es decir, la organización de una secuencia o de una fase. Tanto la una como la otra pueden ser variables globales o dependientes del contenido didáctico a enseñar y se diferencian, unas son variables asociadas con el problema y la otras asociadas con la organizaci0on y la gestión del medio (Brousseau, 1986, en Artigue, 1995). Dentro de esta misma fase de concepción se da el proceso de validación por medio del análisis a-priori de la situación didáctica de la ingeniería. El objetivo del análisis a-priori según Michel Artigue (1995, p. 53) es:

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“Determinar en

qué

las

selecciones

hechas

permite

controlar los

comportamientos de los estudiantes y su significado. Por lo anterior, este análisis se basa en un conjunto de hipótesis. La validación de estas hipótesis está, en principio, indirectamente en juego en la confrontación que se lleva a cabo en la cuarta fase entre el análisis a priori y el análisis a posteriori”

3.2 Concepción de la situación didáctica para el estudio de la proporcionalidad directa a través de la regla de tres La situación didáctica está comprendida por dos sesiones, cada sesión consta de tres situaciones problema, en esta investigación se eligió la siguiente situación didáctica (Anexo A), tomada de los Planes de Clase que propone la RIEB para trabajarlos en el aula, debido a que la RIEB propone que se enseñe el conocimiento matemático mediante situaciones problemáticas donde el alumno haga uso de sus conocimientos previos que le permitirán, restaurar algo que ya saben, ya sea para modificarlo, ampliarlo, rechazarlo o para volver a aplicarlo en una nueva situación. Desde nuestro punto de vista esta situación didáctica cumple con el objetivo de la TSD y con el enfoque matemático de la Reforma Educativa, ya que en ella se busca que el alumno utilice la regla de tres de manera razonada y no memorización o mecanización en problemas de proporcionalidad.

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La secuencia didáctica estará divida en dos sesiones, cada una de ellas comprende tres problemas, a continuación presentamos los problemas para cada sesión. Sesión 1 1. Sabiendo que un 1 kg de pastel cuesta $ 75.50, ¿cuánto debe pagar Rodrigo por un pastel cuyo peso en báscula fue de 2.7 Kg? 2. A precio de mayoreo, 5 latas de fruta en almíbar cuestan $210. ¿Cuál será el costo de 14 latas? 3. María ahorró en el mes de mayo un total de $ 13 900 en una caja de ahorro. Al término del mes le dieron como ganancia $ 319.70 por los intereses generados. Si Carlos ahorró $15 750 en la misma caja durante el mismo mes, ¿cuánto debe recibir de ganancia? Sesión 2. En esta sección será de ejercitación donde los alumnos pondrán en práctica el método de la regla de tres para resolver los siguientes problemas. 1. Miguel acostumbra correr en maratones. Si mantiene una velocidad constante y en los primeros 12 minutos recorre 2.53 km, ¿cuánto tardará en llegar a la meta? La distancia exacta del maratón es de 42.195 km. 2. En un supermercado, un paquete de carne de 820 gramos cuesta $69.70, ¿cuánto debe pesar otro paquete del mismo tipo de carne que tiene marcado un precio de $155.55?

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3. Con un bote de pintura de un galón (3.785 l) se alcanzó a pintar una superficie de 12.25 m2, si la pared completa mide 22.66 m2, ¿cuántos litros de pintura se requieren para pintarla toda? En el problema dos se realizaron cambios de variables didácticas la cual fue en la pregunta que planteaba el problema ¿Cuál será el costo de 15 latas? se cambió por 14 latas con el objetivo de que los alumnos buscaran resolver el problema con valor unitario o regla de tres, ya que si se dejaba como estaba la variable didáctica, ellos rápidamente verían que solo se debería de multiplicar por tres, porque es fácil ver que el 15 es un número triple de 5. 3.3 Análisis a-priori de la situación didáctica para el estudio de la proporcionalidad directa a través de la regla de tres En esta sección se explicitan las variables didácticas y macro-didácticas que están presentes en cada situación didáctica: Recuérdese que el término variable didáctica se refiere a los elementos del problema que pueden ser modificados por el maestro con el fin de buscar que el alumno cambie su estrategia para logar el saber matemático deseado. 3.3.1 Las variables didácticas de los problemas -

Primera Sección: Problema 1. Lo que cuesta el 1 kg de pastel 75.5 y el peso del segundo pastel 2.7 32

Problema 2. La cantidad de latas 5 y lo que cuestas las 5 latas $210, así como también las 14 latas, aquí en este problema fácil resolverlo porque las variables didácticas son números enteros. Problema 3. La cantidad que ahorro María en el mes 13 900, lo que le dieron de interés $319.70 y lo que Carlos ahorro 15 750, aquí el que la variable didáctica sea un numero decimal, al estudiante se le dificultara resolverlo porque no fácilmente se ve la proporcionalidad que tiene las cantidades. -

Segunda Sección Problema 1. Lo que recorre en 12 minutos 2.53 km y la distancia exacta del maratón 42.195 km. Problema 2. Lo que cuestan 820 gramos cuesta $69.70 y el precio de $155.55 lo que cuesta el otro tipo de carne. Problema 3. 3.785 litros pintura que se ocupó en 12.25 m2, 22. 66 m2 superficie total de la pared.

En los tres problemas las variables didácticas son números decimales para que el alumno se vea obligado a utilizar la regla de tres para poderlos resolver, pues si se dejaran como números enteros la estrategia que seguirían sería la del valor unitario o el factor constante. 3.3.2 Posibles formulaciones de los alumnos En la primera sección serían: -

Primer problema

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En el primer problema al ser una situación muy sencilla es muy probable que los alumnos no tengan dificultad para resolverlo ya que nada más es realizar la multiplicación Solución 1

75.5 x 2.7 15285 1510 203.85 -

Segundo problema En el segundo problema utilizaran el valor unitario de cuánto cuesta una lata y después multiplicar por el número de latas. Como son números enteros, se espera que la solución que predomine sea la del valor unitario. Solución 1 210 ÷ 5 = 42 42 × 15 210 42___ 630

-

Tercer problema

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En el tercer problema es muy probable que los alumnos continúen con el mismo procedimiento de buscar el valor unitario, debido a que es el procedimiento que ha venido utilizando en los dos problemas anteriores, ya que no es evidente ni sencillo resolverlo duplicando cantidades, aplicando un factor constante o utilizando el valor unitario, se verán en la necesidad de utilizar otro procedimiento. Solución 1 13900 ÷ 319.70 = 43.47826086… 15750 × 43.47826086… = 677250 En esta solución el alumno se fijara que el resultado no es algo verídico ya que es muy alta la ganancia que le darían a Carlos, por lo que buscara otra estrategia. Solución 2 En esta solución el alumno busca el valor unitario lo que le dan por cada peso que es la cantidad de $0.023, para encontrarlo primero divide 319.70 entre 13900 y el resultado lo multiplicara por 15750. Pero en ningún momento utiliza la relación de cantidades para utilizar la regla de tres. 319.70 ÷ 13900 = 0. 023 15750 × 0.023 = 362.25 Solución 3 Se espera que los alumnos utilicen la relación de las cantidades de 13900 es a 319.70 como 15750 es a x. 13 900

319 .7

15 750

x 35

Para después utilizar la regla de tres que a diferencia del valor unitario permio se multiplica 319.70 por 15900 y después se divide ente 13900 esto justifica el funcionamiento de la regla de tres y la validez de la siguiente fórmula

x

(15 750 )( 319 .7) = 362.25 13 900

También se espera que el alumno por medio de la igualdad de razón verifique que su resultado este correcto. Esto es:

En la segunda sección solo es de ejercitación, se espera que los alumnos utilicen únicamente la regla de tres como un método para resolver problemas de proporcionalidad, en este momento se verá si el maestro logró el objetivo esperado mediante el desarrollo de la primera situación problema. Después de hacer un análisis de la situación didáctica y observar cómo se comportan las variables didácticas se tomó la decisión de que en el problema dos de la primera sesión cambiar la variable de 15 latas por 14 ya que si se dejaba de tal manera el alumno solo multiplicaría 210 por 3 debido a que se daría cuanta que el 15 es un múltiplo de 5 esto lo llevaría a cabo sin hacer un razonamiento de que 3 es un factor constante entre las cantidades donde si una aumenta el doble la otra aumentara de igual manera ya que son

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cantidades proporcionales y con el número 14 obligaría al alumno a buscar el valor unitario o a utilizar la regla de tres. 3.3.3 Variables macro didácticas. La forma de llevar a cabo la situación didáctica elegida, será de la siguiente manera: 3.3.3.1 Primer momento. Situaciones de acción-formulación. o Se les notificará a los estudiantes que serán grabados para llevar a cabo una investigación sobre el razonamiento matemático que usan al resolver los tres problemas que se les entregará en una hoja de máquina ya impresos. o Se les pedirá a los jóvenes que hagan equipos de 3 alumnos y se les darán las indicaciones requeridas. Los alumno leerán y se espera acepten resolver los problemas. Se les pedirá argumenten todo lo que escriben, busquen la forma de resolver el problema sin importa si la respuesta es incorrecta, en este momento daré un tiempo de 25 minutos esperando que la mayoría llegue a una respuesta correcta en los tres problemas. 3.3.3.2 Segundo momento. Situación de validación. o Se continuará con la puesta en común, donde un representantes de los equipos expondrán los diferentes procedimientos utilizados durante la búsqueda de la respuesta correcta de los problemas, en este momento los alumnos mediante una serie de argumentos buscarán que su respuesta sea validada por el grupo, así como también con el trabajo realizado donde el

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alumno puso en juego sus conocimientos previos y sus habilidades y así logre restructurar o construir un nuevo conocimiento. 3.3.3.3 Tercer momento. Situación de institucionalización. o Después de la validación de las estrategias utilizadas para resolver los problemas y elegir el procedimiento más adecuado, más económico, que se espera sea “la regla de tres”, mediante un razonamiento matemático y no mecánicamente. Esto llevará a la institucionalización de la regla de tres como un método para resolver problemas de proporcionalidad. Se espera lograr que los alumnos identifiquen la pertinencia de aplicar la regla de tres en la resolución de problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” y llevar a cabo las cuatro situaciones didácticas ya que por diversas situaciones se pudiera quedar inconclusa la aplicación, entre las cuales se encuentran: -

La más importante el factor tiempo ya que las clase son de 45 minutos.

-

La maestra de ciencias (que es la que da la clase antes de la de matemáticas) tome 5 minutos extra de su tiempo.

-

Que el toque de cambio de clase no lo den en tiempo y forma, sino antes.

El plan de llevar a cabo la situación didáctica, toma en cuenta de los Planes y Programas de Estudio 2011 de Matemáticas de primer grado de educación secundaria basada en la Teoría de Situaciones Didácticas de Guy Brousseau, la cual da importancia a la enseñanza, reflexión y análisis de las matemáticas a partir de la resolución de problemas. 3.4 Experimentación

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La tercera fase de la ingeniería didáctica es la experimentación, que aunque Artigue (1994) no plasma alguna caracterización específica, cuando presenta al análisis a-posteriori rescatamos varios elementos que se consideran importantes para la experimentación: observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, producciones de los estudiantes, entre otras: A esta fase sigue una de análisis a posteriori que se basa en el conjunto de datos recogidos a lo largo de la experimentación, a saber, las observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, al igual que las producciones de los estudiantes en clase o fuera de ella. Estos datos se completan con frecuencia con otros obtenidos de la utilización de metodologías externas, como cuestionarios, entrevistas individuales o en pequeños grupos, aplicadas en distintos momentos de la enseñanza o durante su transcurso. (Artigue, 1995, p. 56)

3.4.1 La experimentación de la situación didáctica para el estudio de la proporcionalidad directa a través de la regla de tres Esta investigación se llevó a cabo en un grupo de 22 alumnos de primer año de la Escuela Secundaria “Ramón López Velarde” ubicada en la localidad de Jerez, Zacatecas, El grupo está conformado por 9 niñas y 13 niños, donde la mayoría son alumnos que se interesan por buscar construir su conocimiento mediante el uso de sus conocimientos previos y sin que el maestro le diga cómo, buscan el apoyo del maestro solo para guiarlos por el camino correcto, o cuando por medio de una formulación no encontraron una estrategia para 39

resolverlo, cabe mencionar que eso se da en la mayoría de las niñas y en alguno niños, pero en otro caso también existen alumnos que no tiene interés por aprender o quieren que el maestro les diga cómo hacer las cosas. La situación didáctica se trabajó en quipos de tres y uno de cuatro alumnos, los equipos fueron formados de tal manera que en cada equipo estuviera una niña o niño fungiera como guía para resolver el problema y lograra que todos participaran en la búsqueda de una estrategia matemática para buscar una solución al problema. Esta actividad se llevó a cabo en un horario de 45 minutos, de los cuales para las primeras situaciones de la TSD que son la de acción y formulación se tomaron 30 minutos y el resto para la validación e institucionalización, pero una sesión no fue suficiente para llevar a cabo las cuatro situaciones, porque el tiempo restante del módulo de matemáticas es de 45 minutos. Por lo tanto, no se concluyó en la primera sesión, sino hasta la siguiente. Es importante mencionar que los alumnos no se encuentran ajenos al uso de la regla de tres simple ya que en su vida de estudio a nivel primaria tuvieron contacto con este modelo matemático como una herramienta para resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa. Debido a que en este momento el grupo se encuentra en la fase final de los temas que marca el programa de estudio de matemáticas 2011, y el tema de análisis de la regla de tres no se había abordado, se optó por aplicar esta situación problema para que permitiera abordar dicho tema.

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De manera muy específica se ha descrito cómo se llevará a cabo la secuencia didáctica con apoyo de la Ingeniería Didáctica, se han mencionado el desarrollo de las tres primeras etapas de la Ingeniería Didáctica y vemos cómo efectivamente se va construyendo un mecanismo de aprendizaje apoyado en esta metodología y en la teoría de las situaciones didácticas.

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El análisis a posteriori y la validación son una etapa más de la ingeniería didáctica. El primero nos permite ver cómo piensan los alumnos y qué tanto saben de cierto tema, y el segundo nos permitirá verificar si lo supuesto por el investigador es correcto ante las estrategias presentadas por cada uno de los estudiantes evaluados. Así, la validación sirve para definir si la situación didáctica es funcional o no, nos permite hacer una reflexión para modificar algunos aspectos de la secuencia si es necesario. A la fase de experimentación le sigue una de análisis a posteriori que se basa en el conjunto de datos recogidos a lo largo de la experimentación, a saber, las observaciones realizadas de las secuencias de enseñanza, al igual que las producciones de los estudiantes en clase o fuera de ella (Artigue, 1995). Y, como ya lo habíamos indicado, en la confrontación de los dos análisis, el a priori y a posteriori, se fundamenta en esencia la validación de las hipótesis formuladas en la investigación Esta fase, nos menciona Michel Artigue (1995, p. 57), es una confrontación del análisis a priori con el análisis a posteriori, esto es, lo que se esperaba de los alumno y lo que ellos plantearon. Con respecto a este trabajo de investigación se analizará cuál fue la estrategia del alumno para resolver los problemas y ver si alguna de las sugerencias de la maestra para

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resolverlos fue acertada, y con esto validar si la situación didáctica es apropiada para construir el conocimiento matemático deseado. En la cuarta fase se realiza un análisis de confrontación de lo supuesto en el análisis a – priori con el análisis a-posteriori. 4.1 Fase de análisis a-posteriori La primera sesión se inició a las 9:00 en un día normal de clases en el plantel, los alumnos están tranquilos y con buena disposición para trabajar. Antes de comenzar con la sesión se les explicó a los alumnos que se les iba a grabar para un trabajo de investigación, por lo que se les pedía que ellos se comportaran de la misma manera que siempre, se debe mencionar que los estudiantes no se intimidaron por la presencia de la cámara y su comportamiento fue de lo más normal. Así pues, se les dio las instrucciones de cómo se trabajaría, se les indicó que se les daría una hoja donde estaban tres problemas y que en equipos de tres alumnos buscaran la mejor estrategia para resolverlo sin importar si el resultado es correcto. Cabe señalar que para la realización de este análisis se ha optado por cambiar los nombres originales de los estudiantes, a fin de salvaguardar la identidad de los estudiantes. 1

Maestra

Haber muchachos vamos a trabajar de la siguiente manera: les voy a dar una hoja con tres problemas, léanlos, traten de comprenderlos y busquen una estrategia para resolverlos, me interesa mucho que justifiquen su respuesta, que anoten todo lo que piensan y como lo 43

piensan.

En la puesta en escena se trató de analizar la manera de actuar de los alumnos. Debido a que ya se había hecho un análisis de las posibles soluciones, se trató de solo participar como guía, para que los alumnos manifestaran sus razonamientos a través de sus opiniones, se les llevo paso a paso por cada una de las situaciones didácticas que se plantearon con base en la TDS. 4.1.1 La Situación de Acción En esta secuencia el alumno pone en práctica sus habilidades matemáticas, interpreta, analiza y establece qué tipo de estrategias va a elaborar. En cuanto se les entregó la hoja con los problemas, los alumnos comenzaron a ponerse en situación de acción-formulación, inmediatamente buscaron interactuar con el medio que se les proponía, haciendo uso de su análisis y sus habilidades para buscar una solución mediante la reflexión y el razonamiento matemático, es aquí donde podemos decir que se inicia la devolución, debido a que los estudiante aceptan resolver los problemas. Como podemos ver en el registro (2-3), durante esta puesta en acción la preocupación de los alumnos fue: 2

As

Maestra podemos usar calculadora para comprobar

3

M

Sí, pero solo para comprobar, quiero todas las operaciones en la hoja.

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Se debe mencionar que la maestra dejó un momento solos a los alumnos para atender a una pareja de padres. El comportamiento de los estudiantes fue el más adecuando ya que sin la presencia de la maestra continuaron con el trabajo a realizar, al incorporarse ésta con ellos, inmediatamente comenzó a realizar un recorrido por los grupos con la finalidad de ver si realmente la devolución se había dado; es decir, que estuvieran realizando el problema por méritos propios y no porque la profesora se los pidiera. Al respecto se percató de que sin el apoyo de ella la mayoría de los equipos ya tenían contestados el primer y segundo problema y los que todavía no, estaban por concluir. Se observó que la cámara no fue un factor que intimidara a los alumnos. 4.1.2 La Situación de Formulación En esta situación los alumnos comienzan a comunicar sus ideas, a compartir sus experiencias adquiridas durante su desarrollo educativo de manera grupal, ya que desde un principio se les indicó que se trabajaría en equipo. En el diálogo del registro (4-5) notamos cómo entre los equipos comenzaron a resolver los problemas: 4

A1

Según yo, lo que tenemos que hacer es ver ¿cuánto es un gramo?

5

A2

SÍ, así es.

Los alumnos a través de expresar sus ideas comienzan a formular modificando el lenguaje que usan habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que debe de comunicar, esto se identificó en sus hojas de trabajo. En las siguientes figuras podemos notar las estrategias puestas en marcha por algunos de los grupos:

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4.1.2.1 Problema 1. En este problema se encontraron dos estrategias muy parecidas, en ambas los alumnos utilizaron la división para encontrar la cantidad más pequeña del precio con respecto a los kilos. a. Estrategia buscando el valor unitario. Los equipos de David, Gloria y Emely utilizaron esta estrategia. En la Figura 3 podemos ver cómo el equipo de David muestra una estrategia donde utilizaron la razón proporcional para buscar equivalencias de 100g y 2g por medio de una división y multiplicación para después con una suma encontrar la respuesta a lo que equivalen 2.7 kg.

Figura 3 Respuesta de David en el problema uno

En la Figura 4 podemos observar que la estrategia del equipo al que pertenece Gloria, es muy parecida a la de David, donde utilizan también la razón proporcional, por medio de una división buscan la equivalencia a 100 g. y 500 g. Después con sumas iteradas encuentran cuánto equivale 2 kg y 200 g., para después concluir por medio de una suma a qué equivalen 700 g. y así obtener cuánto es 2.7 kg.

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Figura 4 Respuesta de Gloria del problema uno

Todos los equipos que utilizaron este método lograron con éxito obtener el resultado correcto del problema. b. Estrategia uso del método del Valor Unitario. El equipo de Alehli y Jesús utilizaron esta estrategia, la cual consistía en tan solo hacer una multiplicación, debido a que el valor unitario a lo que equivale el pastel en el problema ya estaba planteado. En esta Figura 5 se muestra cómo el equipo de Alehli utiliza la estrategia planteada en el análisis a-priori, que es el uso del método del valor unitario, debido a que bastaba con tan solo multiplicar a lo que equivale la unidad del pastel por los 2.7 kg.

Figura 5. Repuesta de Alehli problema uno

Esta estrategia así como la anterior, también fue exitosa y menos laboriosa, ya que con tan solo una operación se obtuvo el resultado. 4.1.2.2 Problema 2 En el problema dos se encontraron tres estrategias, pero la mayoría de los alumnos utilizaron la estrategia propuesta en el análisis a priori: sacar el valor unitario y

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multiplicarlo por la cantidad que se busca. Se considera que esto se da porque en el problema no intervienen variables didácticas de número fraccionado sino solo entero y para los alumnos es más fácil manejarlos. a. Método Valor Unitario. Esta fue una estrategia prevista en el análisis a-priori, donde la mayoría de los equipos la utilizaron debido a que los valores son números enteros los alumnos rápidamente identifican que podían buscar por medio de una división a lo que equivale una lata, para después multiplicar por las latas que se quieren.

Figura 6 Estrategia planteada por el equipo de Gabriela

Cuatro equipos platearon esta estrategia: el de Valeria, Dannia, Jesús y Jorge. Todos realizaron bien el procedimiento logrando con éxito el resultado. b. Aproximaciones y Valor unitario. Esta estrategia solo fue utiliza por el equipo de Emely. La formulación del equipo de Emely consiste en primero sumar dos veces 210 y esto les da lo de 10 latas pero se dan cuenta que les faltaría, por lo que vuelven a sumar 210 tres veces que sería lo de 15 latas, luego se dan cuenta que se pasa por una, por lo que utilizan el valor unitario para restárselo a las 15 latas y así obtener lo de las 14 latas, todo lo 48

realizan mediante la suma iterada división y resta. Algo particular que se pudo observar de este equipo es que ni en el problema uno y dos utilizan la multiplicación.

Figura 7 Respuesta del equipo de Emely

Esta estrategia es exitosa debido a que su razonamiento matemático es adecuado llevándolos al resultado correcto, aunque sea más tardado pues tienen que hacer sumas, restas, divisiones a diferencia de la estrategia anterior en la que con una división y multiplicación llegaban al resultado. c. Valor unitario, aproximación a la regla de tres. El equipo de Laura y Carmen fue el que utilizó esta estrategia. Este equipo utiliza dos procedimientos, uno de ellos no lo concluyen, solo lo escriben, el primero es el de encontrar el valor unitario: a lo que equivale el costo de una lata y luego multiplicarla por las 14 latas que se preguntaban.

Figura 8 Respuesta del equipo de Carmen

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Como se puede interpretar en la Figura 8, se encuentra planteado un segundo método, en él acomodan los datos en una tabla como para utilizar la regla de tres, en un lado escriben latas y en el otro costo, posteriormente hacen una relación de 5 es a 210, como 14 es a x, pero en ningún momento se tiene el registro de que hayan realizado el producto cruzado, pues no se ve que ese planteamiento haya sido utilizado para encontrar la respuesta. Como se esperaba en el análisis a priori de la secuencia, fue que en el problema tres tendrían más dificultad para resolverlo y que buscarían hacerlo con el mismo procedimiento que venían utilizando en los problemas anteriores, visto está en los registros de las hojas de trabajo, las cuales nos arrojan tanto soluciones correctas como erróneas. 4.1.2.3 Problema 3. En este problema se encontraron siete estrategias de solución, tres fueron adecuadas y correctas, para el resto su procedimiento fue inadecuado e incorrecto, consideramos que fue el hecho de que las cantidades fueron más grandes y se encontraba entre ellas un numero decimal. a. Porcentaje y regla de tres En este procedimiento los estudiantes buscan a lo que equivale la ganancia en porcentaje del monto total para así obtener lo que le dan a Carlos por lo que ahorra, se observa que el procedimiento de la regla de tres es utilizado en este proceso aunque no lo realizan de manera formal. Muestra de ello es lo que plantea el equipo de Alehli.

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Figura 9 Respuesta del equipo de Alehli

Solo el equipo de Alehli y Gloria utilizaron este procedimiento y con éxito ya que su planteamiento fue adecuado obteniendo así el resultado correcto. b. Valor unitario Esta estrategia es considerada en el análisis a-priori, la de buscar el valor unitario para después multiplicarlo por el monto ahorrado por Carlos, este procedimiento fue utilizado en los tres problemas como se tenía previsto. Como se observa en la Figura 10, el equipo de David divide 319.70 entre 13900, pues quiere obtener cuánto le dan de ganancia por un peso, luego multiplica esta ganancia por el monto que ahorró Carlos. Solo el equipo de David realizo este procedimiento buscar el valor unitario.

51

Figura 10 Respuesta del equipo de David

c. Regla de Tres En este procedimiento se observan solo las razones de proporcionalidad planteadas para hacer uso de la regla de tres como una estrategia para resolver el problema buscando porcentaje. Solo el equipo de Laura planteó esta estrategia.

Figura 11 Respuesta del equipo de Laura

Pero es aquí donde se muestra que, para efectos del análisis de esta investigación, el uso de la calculadora no fue conveniente porque aun cuando la maestra les indicara que solo era para comprobar los resultados, los alumnos no tomaron en cuenta esa indicación: por ejemplo, Joaquín, Jorge, Valeria, Gabriela, Isaac, David, Dannia y Gerardo solo plantearon la operación, suponemos que realizaron la operación cruzada y dividieron entre el tercer valor para obtener el valor desconocido, pues sí llegaron a la respuesta correcta, pero no podemos asegurarlo. d. ¿Cuántas veces cabe la ganancia en el monto? En este procedimiento al igual que en los anteriores las operaciones solo están planteadas con los resultados; esto es una muestra más de cómo afecto el uso de la calculadora, el análisis. La estrategia a utilizar es buscar cuántas veces cabe la ganancia en el monto total 52

de María, para después dividir el monto total entre el número de veces de la ganancia y así obtener la ganancia de Carlos pero no es un número exacto.

Figura 12 Respuesta del equipo de Joaquín

El equipo de Valeria, Joaquín y Gabriela utilizaron esta estrategia donde el resultado no es un número exacto y eso llevo a este equipo a la conclusión de que no podía ser un número que tenía decimales infinitos, debido a que lo que se estaba manejando era una ganancia en una caja de ahorro. Cabe señalar que esta estrategia de dividir dos veces no los lleva al resultado que se busca. 4.1.2.4 Dificultades al intentar resolver el problema El planteamiento de Jorge nos muestra que para él buscar una estrategia adecuada es algo complicado, en la Figura 13 se observa que no pudo plantear una estrategia adecuada: resta los número en juego, los divide, los multiplica, pero no da una respuesta, tal vez porque los resultados que obtenía no se parecían a la ganancia de María, eran números o muy chiquitos o muy grandes.

53

Figura 13 Respuesta de Jorge

Aquí vemos cómo las variables didácticas juegan un papel importante, es decir el que se planteara un número decimal y números enteros grandes en el problema le dificultó al alumno resolver correctamente la situación problema. En la respuesta de Jesús él escribió: “Lo que hice fue dividir lo que ahorró María por la ganancia y fue 13,900 entre 319.70 y me salió 4, entonces multipliqué los 4 por lo que tuvo de ganancia María y salió 1260.80 y eso entre 4 y la ganancia de Carlos fue de 393.75”.

Figura 14 Respuesta de Jesús

54

El alumno explica su procedimiento, pero se observa que lo que escribe no coincide con lo que argumenta matemáticamente, primero cuando indica que divide y le sale cuatro, en su operación se observa que el resultado de dicha división es 43.47… pero él decide cambiar ese resultado por 4. Pareciera que él está buscando el valor unitario, pero invierte divisor y dividendo. Posteriormente divide otro número involucrado en el problema por 4, dando como respuesta el resultado de esta división. La formulación de Elson no tiene relación con el problema porque la cantidad que él considera no se encuentra en la situación didáctica.

Figura 15 Respuesta de Elson

Al revisar las formulaciones de los estudiantes podemos observar que fueron más aciertos que dificultades, en el problema uno y dos ningún alumno tuvo dificultades para resolverlos, pero ya en el problema tres de 17 alumnos, para 6 su estrategia fue inadecuada, se encontraron con dificultades para plantear una estrategia que resolviera el problema. Para entrar a la situación de validación la maestra después de un lapso de 35 minutos hace un recorrido por todos los equipos con el fin de ver si la mayoría ya había terminado de encontrar la solución de los tres problemas y continuar.

55

4.1.3 La Situación de Validación En esta situación los alumnos deben explicar sus afirmaciones, las cuales son sometidas a consideración por todo el grupo para ser aceptadas, rechazadas o reformuladas. Para esto la maestra invitó al equipo 2 a mostrar la estrategia que eligieron para el problema 1. En este diálogo (registro 22-34) vemos cómo los alumnos estaban validando las estrategias que sus compañeros planteaban, porque se dan cuenta que su compañera Gabriela se equivocó en el resultado y discuten dicho resultado, hasta tener una respuesta adecuada a lo que se preguntaba. 22 M

Le ponen atención a Gabriela.

23 Gabriela Un kilo de pastel cuesta 75.5 entonces saque …, bueno un pastel cuesta 75.5 y puede estar dividido en 10, fue lo que yo hice dividí 75.5 entre 10 y me dio 7.50 lo multiplique por 7 para sacar el .7 24 As

Es 7.55

25 Gabriela ¡Ah! Saque 7.55 esa es una parte de los.. Gabriela se queda pensando unos momentos… 26 As

Es lo que vale 100 grs

27 Gabriela ¡Cómo! 28 As

Es lo que vale 100 grs

29 Gabriela ¡Ah sí!, es lo que vale 100 grs una parte del pastel, entonces eso por 7 nos da 52.50 y luego lo que vale un pastel por 2 y nos da 151 más los 52.5 nos da esto. 56

30 Dania

¡No, no! es 203.85

31 David

Si, tienes 203.5 porque te equivocaste en la división

32 Gabriela ¡Aaah!, si es Cierto. La respuesta de Gabriela de que si se daba cuenta de su error no era congruente con su expresión de la cara de duda… 33

Dirigiéndose a Dania dice: M

Pase a corregirlo. La alumna Dania pasó al pizarrón y argumentó donde había estado el error de Gabriela.

34 Dannia

La división está bien, aquí es 7.55 por 7 y luego… Dania observa la última operación y dice ¡no entiendo! pero era porque Gabriela en la última multiplicación de 75.5 por 2, ahí mismo le sumo lo que obtuvo de los 7grs a lo que Dania especifico con una flecha. Ah ya, esto es de los 2 kilos y se le suman 52. 85

También podemos observar que la alumna Valeria, quien se da cuenta que solo necesitó multiplicar, no puede argumentar por qué solo multiplica (registro 35-39). 35 M

¿Alguien tiene algún otro procedimiento? Valeria, que era compañera de Gabriela, reformula su estrategia (que era errónea):

36 Valeria

Maestra, me estoy dando cuenta que no necesitamos sacar cuánto equivale 100 g, con tan solo multiplicar 75.5 y ya.

57

37 M

Pasa al pizarrón Valeria a explicarlo. La alumna Valeria pasó al pizarrón y multiplicó lo que había indicado. ¿Alguna pregunta a Valeria?

38 As

¿Por qué solo multiplicas por 2.7?

39 V

Porque si se sabe que 1 kilo vale 75.5 solo se multiplica por 2.5.

En la evidencia de las producciones de los alumnos vemos cómo se fueron relacionando con la secuencia planteada, dónde hicieron uso de su inteligencia, conocimientos generados y experiencias anteriores, para asimilar el planteamiento del problema y lograr resolverlo. La maestra cuando Valeria le responde al alumno, no explica el por qué nada más multiplica, solo se concreta a preguntar ¿Lo entendiste David? y con la respuesta da validado el procedimiento y resultado. En el segundo problema la maestra se da cuenta que para los alumnos fue más fácil para resolverlo ya que las variables didácticas son números enteros. 40

M

¿Quién pasa a mostrarnos su procedimiento del segundo problema?

41

Jesús

Yo maestra.

42

M

Pásele.

43

Jesús

Nosotros solo dividimos 210 entre 5 para saber a cuánto equivale una lata y lo que nos salió lo multiplicamos por 15 latas y así nos dio 675 pesos.

44

M

¿Están de acuerdo con su compañero? 58

45

As

Sí maestra.

46

M

¿Alguien tiene otro procedimiento?

47

As

No maestra.

Al igual que en el primer problema la validación se da por parte de los alumnos ya que la maestra pregunta ¿está de acuerdo con su compañero? ¿Alguna duda? Y con la respuesta de los alumnos se da la validación del segundo problema. Por razones de falta de tiempo la maestra ya no pudo continuar con la validación del tercer problema y pido a los muchachos le entregaran la hoja de trabajo y continuarían en la siguiente sesión. La maestra al iniciar la segunda sesión les indicó la forma de trabajar de ese día, primero que les regresaría sus hojas de trabajo, retomarían lo que se había hecho en la clase pasada y después les daría 5 minutos para que volvieran analizar qué hicieron en el problema tres para después que alguien pasara al pizarrón a explicar su respuesta. En este problemas se dieron varias estrategias de solución y solo pasaron los alumnos que voluntariamente accedieron a hacerlo, el resto del grupo validó si las estrategias eran correctas o incorrectas (Registro 49 – 59). 49

M

¿Quién pasa a explicar su respuesta?

50

Alehli

Yo maestra.

51

M

Pásale Alehli

59

52

Alehli

Bueno, lo que hicimos fue que si de los 13,900 le dieron 319.70, buscar cuánto porcentaje es 319.70, que fue lo que le dio la caja del total que ella ahorro.

53

As

Es el 2.3

54

Alehli

Sí, es 2.3%, porque solo multiplicas 319.70 por 100 y lo que sale se divide entre el monto que es 13,900, después multiplicamos 13,900 por 0.023 para comprobar que sí está correcto el porcentaje. Después multiplicamos 15,750 por 0.023 y nos da cuánto le dan de ganancia a Carlos.

55

David

Yo tengo una duda, ¿Por qué multiplicas 13,900 por 0.023?

56

Alehli

Solo es para comprobar que sí está correcto el porcentaje, ya que al hacerlo da la ganancia que le dieron a María.

57

M

¿Alguien tiene otro procedimiento?

58

Valeria

Yo maestra, aunque con el resultado que da Alehli creo que el mío está mal.

59

M

Está bien, pase a explicarlo y entre todos vemos si está bien o mal.

En este diálogo vemos como Alehli explica su procedimiento y David le pregunta sus dudas a la vez que Valeria valida la estrategia de Alehli y considera que la de ella es incorrecta. En el (registro 57-60) vemos como Valeria valida su estrategia y se da cuenta que no es la adecuada.

60

57

M

¿Alguien tiene otro procedimiento?

58

Valeria

Yo maestra, aunque con el resultado que da Alehli creo que el mío esta mal.

59

M

Está bien, pase a explicarlo y entre todos vemos si está bien o mal.

60

Valeria

Nosotros dividimos el monto entre la ganancia y el resultado que nos da es un número que tiende a ser infinito en los decimales, por lo que lo redondeamos a 43.47, y esto es cuántas veces cabe el 319.70 entre los 13,900 y luego dividimos el monto de lo que ahorró Carlos entre los 43.47, a lo que nos dio como resultado 362.31... y pues comparando con el resultado que sacó Alehli que fue 362.23

vemos que hay una

diferencia, la caja está dando de más y esto puede ocasionar un pérdida, como dijo la maestra. Valeria se da cuenta que su procedimiento no es el adecuando cuando ve el resultado de Alehli y recordando lo que la maestra le dice (en el registro 6-17) que se da durante la formulación dentro del equipo. 6

A3

Maestra, ¿está bien?

7

M

A ver, ¿qué hicieron?

8

A3

Lo que hicimos fue dividir el monto entre los intereses y lo que me salió que fue 43.47, a los 15,700 lo dividimos entre 43.47 para que me dieran los intereses y más o menos es así.

9

M

A ver, ¿pero el 43.47 es cerrado?

61

10

A3

No, le faltan muchos decimales, por eso lo dejamos en 43.47

11

M

Pero ¿si lo dejan así les dará el resultado exacto?

12

A4

No, será aproximado

13

M

Y ustedes ¿qué piensan? ¿Debe ser exacto o aproximado?

14

A3

Exacto, entonces le dejamos todos los decimales y el resultado sería 346.38220222…

15

M

¿Ya sería exacto ahí?

16

A3

¡Pero si ya le pusimos todos los decimales!

17

M

Tomen en cuenta que si la calculadora tuviera una pantalla más grande les agregaría más decimales. Ahora, si lo redondean, le están quitando o dando poquito de más y consideren que es una caja de dinero, por lo que tiene que dar la cantidad exacta que le corresponde a la persona. Haber díganme: ¿Cómo la caja de ahorro les dará esa cantidad con todos los decimales?

En este registro notamos que la maestra se dio cuenta que la estrategia elegida no les daría la respuesta que se buscaba; sin embargo, notamos que el argumento que les da, aunque es cierto, no es el adecuado para dejar de lado la estrategia. Después que la maestra pasa a todos los alumnos que decidieron explicar su procedimiento ante el grupo. Decide iniciar la institucionalización del método de la regla de tres y hacer un análisis de cómo acomodar los datos y verificar si la respuesta es correcta. A lo que la maestra les dice a los alumnos.

62

66

M

Son similares pero Alehli obtuvo porcentaje y David lo que le dan por cada peso. La maestra pregunta ¿Ay algún otro procedimiento diferente? Al ver que ya no ay ninguna respuesta dice: Ahora vamos a vero otro procedimiento que es muy adecuado para usar en este tipo de problemas, se llama Regla de Tres.

En este momento la maestra decide pasar a la situación de institucionalización pero al mencionar Regla de Tres una alumna dice: 67

Carmen

Maestra yo lo hice utilizando la regla de tres.

68

M

Muy bien haber pasa a exponer tu procedimiento.

Por lo que se continúa en la validación del procedimiento de Carmen. Carmen pasó al pizarrón y plateo su estrategia. 69

Carmen

¡Es que le dieron! y escribe en el pizarrón sin decir nada: 13,900

319.7

Después de 45 segundos dice: -Se supone que éste es el 100%- y señala el 13,900 - Entonces hee, éste por éste salió - señala 319.70 y el 100% , y comienza a escribir 319.70 y se dirige a sus compañeras de equipo y pregunta ¿Cuánto da? 70

AE.

Es lo que no, espérate…

63

71

Carmen

Carmen borra los 319.70 y duda por un momento sobre qué hacer, después continua escribiendo: 13900 = 2.3 319.70

Y dice: 319.70 es el 2.3% de y escribe

13,900 100%

319.7

15,750

2.3 %

100%

2.3%

Y dice señalando el espacio vacío de arriba del 2.3, falta éste y duda un poco y continua diciendo: éste por éste entre éste señalando 15,750, 2.3 y 100% y comienza a a hacer las operaciones en el pizarrón y después escribe: 13,900 100%

319.7

15,750

362.25

2.3 %

100%

2.3%

Y finaliza diciendo: y esto es el resultado Señalando 362.25.

64

Analizando la actitud de Carmen durante la puesta en común, la maestra observó que Carmen dudaba en cómo acomodar los datos y si lo que decía era correcto, ya que volteó algunas veces con sus compañeras para verificar si estaba bien. Cuando Carmen dice – éste por éste entre éste – se puede decir que Carmen utiliza el método de la regla de tres, pero de una forma mecánica, no analítica, no argumentó sobre el porque era así, aunque se considera que a la maestra le faltó preguntarle a Carmen ¿Por qué multiplicas y divides? y con esto verificar que efectivamente la utilizaba de manera mecánica. 4.1.4 Situación de Institucionalización En esta situación el maestro presenta lo que el alumno requiere saber con relación al objeto matemático que se está estudiando, se le explica y verifica que haya comprendido el concepto matemático del que el alumno se apropia. Cuando la maestra les dice cuál es el método de la regla de tres se da el siguiente diálogo: 73

M

Si tenemos cuatro valores A, B, C y X donde A, B y C se conocen y X se desconoce, además A y B se relacionan directamente , así como C y X también: Entonces

=

Por lo que

=

=

La ecuación

resulta de despejar a X de la igualdad de

razones. 65

En el fragmento 73 del registro se observa que la maestra comenzó la institucionalización de la regla de tres mostrando la relación de proporcionalidad directa entre cuatro cantidades, con una de ellas desconocida, así es como se planteó la ecuación que llevará a la regla de tres simple. 74

As

Maestra y si queremos otro valor como por ejemplo A

75

M

Ah, pues se plantea de la siguiente manera: X es a B como C es a D, por lo que la igualdad queda =

Y la ecuación nos queda:

Esta ecuación no es otra cosa que multiplicar los extremos y se divide entre el valor conocido.

76

As

Ah, sí maestra ya entendimos.

Después de la institucionalización la maestra para comprobar que los alumnos se hayan apropiado de la reflexión que se hizo del método de la regla de tres y considerando que las dudas que tenían sobre ella pudieran quedar aclaradas, continuó con la segunda situación didáctica que es la de resolver otros tres problemas de la misma forma que los anteriores. En el registro 79 se observa cómo la maestra continúa con la segunda situación didáctica.

66

79

M

Les voy a dar otra hoja donde están tres problemas para que los resuelvan, tienen 20 minutos.

Sin embargo, el tiempo para de esta investigación ya no se hizo el análisis de cada una de las situaciones a-didácticas y didácticas de la Teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau, solamente se puede decir que de 17 alumnos que realizaron la primea situación problemática en la segunda situación didáctica solo 10 utilizaron y plantearon correctamente el procedimiento del método, 2 acomodaron los datos mal y su resultado fue incorrecto y 5 solo contestaron un problema pero de forma incorrecta. 4.3 Fase de Validación En este momento surgen las confrontaciones entre los dos análisis a priori y a posteriori. Permitiendo la aparición de distorsiones, dice Michel Artigue (1995, p, 57): Éstas están lejos de ser siempre analizadas en términos de validación; esto es, no se busca en las hipótesis formuladas aquello que las distorsiones constatadas invalidan. Con frecuencia, los autores se limitan a proponer modificaciones de ingeniería que pretenden reducirlas, sin comprometerse en realidad con un proceso de validación. La situación didáctica se planeaba realizar en la escuela secundaria general “Ramón López Velarde” de Jerez, Zacatecas, en un grupo de primer año con 20 alumnos, pero el día de la experimentación solo asistieron 17, y como se tenía planteado se llevó a cabo en dos sesiones una de 00:45 minutos y la otra de 00:90 minutos. 4.2.1 Situación de Acción 67

Se esperaba que los alumnos aceptaran por sí solos resolver el problema sin la ayuda del maestro y se considera que la maestra lo logró, ya que la mayoría de los alumnos entendió las indicaciones de la maestra para trabajar. También se considera que se dio la devolución ya que la maestra no tuvo que estar insistiendo en que trabajaran, solos comenzaron a interactuar con los problemas, leyéndolos y razonando hacia una estrategia para proponérsela a sus compañeros de equipo. Se esperaba que los dos primeros problemas fueran resueltos por los alumnos rápidamente y de una forma fácil y los resultados de la fase de formulación nos muestra que efectivamente no fue complicado para ellos. Considero que las variables didácticas estuvieron bien y que el cambio de variable didáctica en el problema dos fue el adecuado porque permitió al alumno utilizar más de sus conocimientos previos. 4.2.2 Situación Formulación La formulación que se esperaba en el primer problema era solo una multiplicación, porque en el problema no es necesario buscar el valor unitario debido a que ya lo están dando como dato, se esperaba que todos o la mayoría se fuera por este método, pero el resultado fue, que fueron pocos los que la utilizaron, solo 12. La mayoría buscó la equivalencia de 100grs, 500grs y 2 kilos como una nueva estrategia, se considera que los alumnos dentro de sus conocimientos previos adquiridos en la primaria, 68

el uso del método de valor unitario transformando ese valor a la más pequeña cantidad (en este caso 100grs) lo tienen muy arraigado ya que fue el método que más predominó en los tres problemas, incluso en este problema 1 un equipo intentó sacar la equivalencia para un gramo. En el problema dos, como era de esperarse, el método de valor unitario fue el que más predominó entre los grupos y también el que fuera un problema fácil de resolver se prestaba a que rápido lo resolvieran, debido a que los valores de las variables didácticas solo números pequeños y enteros se les facilitó buscar la estrategia a seguir. En el problema tres era obvio que al ser un problema con cantidades más grandes y números decimales, los alumnos tuvieran dificultades para resolverlo, pues se tardaron un poco más de tiempo y surgieron más estrategias que resolvieron bien y mal el problema. Vemos que de todas las estrategias que la maestra - investigadora plantea, los alumnos las utilizaron, pero también surgieron nuevas: las de encontrar la equivalencia de 100grs, 500grs y 2 kg, y la de usar la regla de tres para encontrar porcentaje y por medio de éste obtener el resultado. 4.2.3 Situación de validación En esta situación los alumnos pasaron al pizarrón al plantear sus respuestas y a formular otras si era necesario, se buscó que fueran pasando conforme su disponibilidad para trabajar y exponer sus estrategias en el pizarrón. Como se esperaba, los alumnos y sobre todo las niñas mostraron una actitud muy entusiasta para pasar al pizarrón, al igual que la mayoría de los alumnos estaban 69

interesados en validar si los procedimientos que ellas utilizaban eran los correctos, en todos los problemas los alumnos validaron si las respuestas y procedimientos eran correctos, la maestra solo se concretaba en preguntan ¿si están de acuerdo? o ¿tenían dudas? Durante la situación de validación los alumnos validaron cada uno de los procedimientos surgidos en los tres problemas, en el problema uno, los alumnos validaron el procedimiento de Valeria (el de sólo realizar una multiplicación) como el más efectivo por no tener tanto procedimiento al igual que el de David en el problema tres (encontrar el valor unitario). 4.2.4 Situación de institucionalización En la institucionalización se esperaba que los alumnos institucionalizaran el método de la regla de tres. En un equipo sí se llegó a utilizar la regla de tres, pero la estudiante que la planteo no pudo institucionalizarla de manera adecuada ya que la realizó de manera mecanizada, entonces la maestra tuvo que institucionalizar el método Al respecto se considera que a la maestra le faltó cuestionar a la alumna sobre el funcionamiento de su estrategia, para de ahí poder hacer un análisis sobre el acomodo de los datos con el fin de que los alumnos aprendieran que si el acomodo no es el adecuado el resultado será incorrecto, ella solo institucionalizó el por qué se realiza el producto cruzado. Se considera que a la profesora le hizo falta institucionalizar las diferentes formas de acomodo de los datos, así como las limitantes del uso de esta regla.

70

En este capítulo se abordó el análisis de la puesta en práctica de la situación didáctica “análisis de la regla de tres”. Para ello se retoman las fases de análisis a-posteriori y validación de una ingeniería didáctica. En general, estos elementos metodológicos nos permiten concluir que la puesta en marcha fue exitosa, en el sentido de que llevó a los alumnos a considerar la regla de tres como una herramienta más para resolver problemas del tipo proporcionalidad directa.

71

De manera muy breve en este capítulo enunciamos algunas ideas que después de esta investigación se han de considerar para el trabajo en la enseñanza de la proporcionalidad directa con el uso de la regla de tres con alumnos de primero de secundaria. El planteamiento de la situación problema permitió que el alumno construyera su conocimiento, pues la secuencia de las situaciones de acción, formulación y validación de procedimientos es una vía de análisis y reflexión de estrategias de solución. Además, la interacción con otras ideas, así como reformular procedimientos le permitió ir construyendo poco a poco su propio aprendizaje. Mediante este análisis se observa que los alumnos lograron el objetivo de aprender mediante la resolución de problemas y conocieran el método de la regla de tres como un mecanismo más para resolver problemas de proporcionalidad directa. Los alumnos de primero de secundaria pueden resolver problemas de proporcionalidad utilizado diferentes técnicas pero algunas son utilizadas de manera mecánica y no reflexiva, al respecto, con la situación didáctica se logró que algunos alumnos se apropiaran del método de la regla de tres de manera reflexiva como una herramienta más para resolver problemas de este tipo. Después de hacer el análisis de cada una de las estrategias nos percatamos que no es muy conveniente el uso de la calculadora para este tipo de investigación ya que aunque al alumno se le diga que solo sea para cotejar que sus resultados sean correctos, él hace uso 72

omiso a la indicación y solo plantea las operaciones o muestra un resultado que solo podemos imaginar que hicieron, más no que fue así. Para hacer más rica esta situación didáctica sería conveniente en un segundo momento anexarle un problema que no se pueda resolver con el método de la regla de tres, con la finalidad de que los alumnos aprendan a distinguir cuáles problemas pueden ser resueltos por dicho método y cuáles no. Cabe señalar que el trabajo que la profesora llevó a cabo siguiendo la teoría de las situaciones didácticas concuerda con lo que propone la nueva Reforma Educativa la cual propone que el alumno construya su conocimiento y desarrolle competencias. Los alumnos se han apropiado y en unos casos restructurado su conocimiento sobre el uso de la regla de tres a partir de la resolución de problemas activando sus conocimientos previos. En la situación didáctica se analizó, confrontó y validó diversos procedimientos, manifestando sus ideas, definiéndolas, replanteando procedimientos, todo esto dio como resultado la apropiación del uso de técnicas de manera eficiente, así como diferentes formas de resolver un problema. Durante el desarrollo de la secuencia se notó que los alumnos no se resistieron a llevarla a cabo de esta forma, debido a que la maestra en sus clases diarias trabaja con los planes de clase que propone dicha reforma educativa, por lo que a la maestra se le facilitó el trabajo. De aquí que se sugiera tomar como metodología usual en el salón de clases el trabajo en equipos así como la puesta en común de sus resultados, de esta manera

73

consideramos que los alumnos van aceptando su responsabilidad como aprendices y constructores de su conocimiento. De manera general podemos decir que la profesora se sintió satisfecha con el trabajo elaborado, ya que con el análisis que se realizó de cada situación, ella se da cuenta tanto de sus dificultades para llevar a cabo este trabajo, como de sus aciertos, esto permitiéndole hacer una restructuración de la forma en la que realiza su práctica docente. Esta experiencia de análisis sobre la práctica docente es gratificante y satisfactoria, deja un aprendizaje y experiencia que hace madurar la formación profesional. Esta investigación permitió unir la teoría con la práctica, adquirir experiencia y conocimiento sobre la forma en que los alumnos construyen o restructuran un conocimiento, además de analizar, reflexionar, evaluar y reformular la práctica docente. En esta investigación se ha comprendido que como docente es necesario diseñar o elegir situaciones didácticas que tomen en cuenta los conocimientos previos, intereses, necesidades de los alumnos y los propósitos que se quiere lograr en los procesos de trabajo escolar.

74

Artigue, M. (1995). Ingeniería Didáctica. En: M. Artigue, Ingeniería Didáctica en educación matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. México: Iberoamérica, pp. 33-59.

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75

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de

junio

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Silvestre, I. y Ponte, J. (2011). Una experiencia de enseñanza dirigida al desarrollo del razonamiento proporcional, Revista Educación y Pedagogía, 23 (59).

76

77

Plan de clase (1/2) Escuela: ____________________________ Fecha: _________________________ Profesor (a): ________________________________________________________ Curso: Matemáticas 7

Eje temático: MI

Contenido:

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen la pertinencia de aplicar la regla de tres en la resolución de problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”.

Consigna. Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas utilizando el procedimiento que consideren más eficiente: 4. Sabiendo que un 1 kg de pastel cuesta $ 75.50, ¿cuánto debe pagar Rodrigo por un pastel cuyo peso en báscula fue de 2.7 Kg?

5. A precio de mayoreo, 5 latas de fruta en almíbar cuestan $210. ¿Cuál será el costo de 15 latas?

6. María ahorró en el mes de mayo un total de $ 13 900 en una caja de ahorro. Al término del mes le dieron como ganancia $ 319.70 por los intereses generados. Si Carlos ahorró $15 750 en la misma caja durante el mismo mes, ¿cuánto debe recibir de ganancia?

Consideraciones previas:

78

Es importante que en la confrontación, además de analizar los procedimientos empleados, los alumnos argumenten el uso de los mismos. Para el caso del problema 1, se espera que utilicen el valor unitario (dado en el problema). Basta con multiplicar $75.50 (costo de un kilogramo de pastel) por 2.7, que es el número de kilogramos, para encontrar el costo total del pastel. Es probable y deseable que en el segundo problema los estudiantes identifiquen que el número de latas de fruta se triplica, por lo que para encontrar el costo de las 15 latas, basta triplicar el costo de 5 de ellas ($210 X 3 = $630). El tercer problema se incluye en este plan con la intención de que los estudiantes tengan la necesidad de buscar otro procedimiento, independientemente a los que ya conocen, ya que no es evidente ni sencillo resolverlo duplicando cantidades, aplicando un factor constante o utilizando el valor unitario, entre otros. Si en esa búsqueda, a ningún equipo se le ocurre algún procedimiento semejante a la regla de tres, el profesor podrá utilizarla para resolver el problema. Es fundamental que se analice detalladamente el funcionamiento de este procedimiento. Dos formas de justificar el funcionamiento de la regla de tres son las siguientes: Su vinculación con el valor unitario. Los datos del problema pueden representarse así: 13 900

319 .7

15 750

x

Una forma de obtener el valor de x es calcular el interés que le corresponde a cada peso, dividiendo 319.7 entre 13 900 y posteriormente, multiplicar el resultado por 15 750, cantidad de pesos que le corresponde al segundo capital. La diferencia con la regla de tres es que primero se hace la multiplicación de 319.7 por 15 750 y después dividir el resultado entre 13 900. La anterior equivalencia justifica el funcionamiento de la regla de tres y la validez de la siguiente fórmula: x

(15 750 )( 319 .7) 13 900

Utilizando la igualdad de dos razones. a c , se cumple que b d ad bc , y que para obtener un valor desconocido de esta igualdad, éste se encuentra dividiendo el producto cruzado conocido entre el tercer valor conocido. Lo anterior da sustento a la regla de tres.

Los alumnos saben que en una igualdad de razones de la forma

79

Una vez que los alumnos hagan esta reflexión, es conveniente proponerles analizar diferentes formas de acomodar los datos del tercer problema y deducir las que son correctas. Algunas formas son las siguientes:

a. b.

en donde

=362.25

en donde

=362.25

en donde

=684782.6

c. d.

En los dos primeros planteamientos, aunque la posición de las magnitudes en la proporción no es la misma, pero si la correcta, nos da el mismo resultado, esto es debido a que dentro de estas operaciones está implícito el valor unitario (

), que representa la

ganancia obtenida en la caja de ahorro, por cada peso ahorrado, siendo este el principio por el cual funciona la regla de tres. En el tercer caso lo que se está obteniendo es la ganancia por ahorrar $13 900, suponiendo que por $15 750 se gana $319.70, lo cual es erróneo. En el cuarto caso lo que se está obteniendo es la ganancia por ahorrar $15 750, suponiendo que por $319.70 se gana $13 900, lo cual no es cierto. Por lo anterior, puede advertirse que los valores correspondientes (capital e intereses) deben estar alineados, horizontal o verticalmente.

Observaciones posteriores: 1.

¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 80

_________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ____________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ____________________________________________________ 3.

Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

81

Plan de clase (2/2) Escuela: ______________________________________ Fecha: ____________ Profesor (a): _____________________________________________________ Curso: Matemáticas 7

Eje temático: MI

Contenido: Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el procedimiento experto llamado “regla de tres” para resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si consideran necesario, utilicen su calculadora. 1. Miguel acostumbra correr en maratones. Si mantiene una velocidad constante y en los primeros 12 minutos recorre 2.53 km, ¿cuánto tardará en llegar a la meta? La distancia exacta del maratón es de 42.195 km.

2. En un supermercado, un paquete de carne de 820 gramos cuesta $69.70, ¿cuánto debe pesar otro paquete del mismo tipo de carne que tiene marcado un precio de $155.55?

3. Con un bote de pintura de un galón (3.785 l) se alcanzó a pintar una superficie de 12.25 m2, si la pared completa mide 22.66 m2, ¿cuántos litros de pintura se requieren para pintarla toda?

82

Consideraciones previas: Aunque no se descartan otros procedimientos, los problemas planteados en este plan, por los valores utilizados, es pertinente resolverlos mediante el uso de la regla de tres. En la puesta en común es importante analizar detalladamente los procedimientos empleados e identificar la eficiencia de cada uno, si no aparece la regla de tres, proponerla e identificar las ventajas de su uso. Al utilizar la regla de tres es fundamental que los datos se relacionen correctamente. Así, un modelo adecuado para el primer problema es el siguiente: 2.53 kilómetros 42 .195 kilómetros

12 minutos x minutos

De donde: x

(42 .195 kilómetros )(12 minutos ) 2.53 kilómetros

x

200.13 minutos

Es oportuno solicitar a los estudiantes que conviertan el resultado (200.13 minutos) en una expresión que contenga horas, minutos y segundos. Tener precaución porque es probable que algunos estudiantes consideren que 200.13 minutos equivalen a 3 horas con 20 minutos más 13 minutos, o lo que es lo mismo 3 horas con 33 minutos, lo cual es falso, ya que 0.13 minutos es equivalente 7.8 segundos.

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ____________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ____________________________________________________ 83

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

84

La experimentación de la sesión 1 estuvo divida en tres módulos. La primera clase estuvo comprendida por un módulo. En ella se llevaron a cabo las situaciones de acción formulación y la validación del primer y segundo problema. La segunda clase estuvo comprendida por dos módulos los cuales iniciaron a las 8:15 a 9:45 en ella se retomó lo visto en la sesión anterior y se continuo con la validación del tercer problema e institucionalización del método de la regla de tres. Registro de clase de la sesión 1. Módulo 1.

La primera sesión se inició a las 9:00 de la mañana, en un día normal de clases en la Escuela Secundaria General Ramón López Velarde. Los alumnos están tranquilos y con buena disposición para trabajar. Antes de comenzar con la sesión se les explicó a los alumnos que se les iba a grabar para un trabajo de investigación, por lo que se les pedía que ellos se comportaran de la misma manera que siempre. Se debe mencionar que los estudiantes no se intimidaron por la presencia de la cámara y su comportamiento fue de lo más normal. Así pues, se les dio las instrucciones de cómo se trabajaría, se les indicó que se les daría una hoja donde estaban tres problemas y que en equipos de tres alumnos buscaran la mejor estrategia para resolverlos sin importar si el resultado es correcto. Simbología: M: Maestra As: Alumnos, grupo en general 1

M

2 3

As M

Haber muchachos vamos a trabajar de la siguiente manera: les voy a dar una hoja con tres problemas, léanlos, traten de comprenderlos y busquen una estrategia para resolverlos, me interesa mucho que justifiquen su respuesta, que anoten todo lo que piensan y cómo lo piensan. Júntense en sus equipos, tendrán 20 minutos para resolverlos. Maestra podemos usar calculadora para comprobar Sí, pero solo para comprobar, quiero todas las operaciones en la hoja.

En ese momento la maestra tuvo que dejar solos a los alumnos, debido a que llegó una pareja de papás a preguntar por su hijo, se atendieron en un lapso de 5 minutos. Esto no fue motivo por el cual los alumnos no trabajaran, se hicieron responsables de buscar la respuesta correcta sin la presencia del maestro, cada equipo empezó con la Secuencia de Acción-Formulación, ya que 85

comenzaron a leer y analizar los problemas para sugerir un procedimiento para encontrar la solución, así lo muestra el siguiente registro del Equipo 1.

4 5

A1 A2

Según yo, lo que tenemos que hacer es ver ¿cuánto es un gramo? SÍ, así es.

Se observa que en el primer problema y en el segundo no tuvieron dificultades para contestarlos, ya que cuando la maestra se integró al grupo algunos equipos ya los tenían contestados. Cuando el equipo 2 termina de resolver los tres problemas se genera el siguiente diálogo:

6 7 8

A3 M A3

9 10 11 12 13 14

M A3 M A4 M A3

15 16 17

M A3 M

18 19 20 21

A3 M A2 M

Maestra, ¿está bien? A ver, ¿qué hicieron? Lo que hicimos fue dividir el monto entre los intereses y lo que me salió que fue 43.47, a los 15,700 lo dividimos entre 43.47 para que me dieran los intereses y más o menos es así. A ver, ¿pero el 43.47 es cerrado? No, le faltan muchos decimales, por eso lo dejamos en 43.47 Pero ¿si lo dejan así les dará el resultado exacto? No, será aproximado Y ustedes ¿qué piensan? ¿Debe ser exacto o aproximado? Exacto, entonces le dejamos todos los decimales y el resultado sería 346.38220222… ¿Ya sería exacto ahí? ¡Pero si ya le pusimos todos los decimales! Tomen en cuenta que si la calculadora tuviera una pantalla más grande les agregaría más decimales. Ahora, si lo redondean, le están quitando o dando poquito de más y consideren que es una caja de dinero, por lo que tiene que dar la cantidad exacta que le corresponde a la persona. Haber díganme: ¿Cómo la caja de ahorro les dará esa cantidad con todos los decimales? ¿Entonces maestra? busquen otro procedimiento Pero ¿cuál? Analicen nuevamente el problema.

En la puesta en común que es la situación de validación, después de considerar que la mayoría ya había contestado las tres situaciones problemas, la maestra invitó al equipo 2 a mostrar la estrategia que eligieron para el problema 1, pues fue el que terminó primero de resolver los problemas. Así se estableció el siguiente diálogo:

22 M

Le ponen atención a Gabriela.

86

23 G

24 As 25 G 26 27 28 29

As G As G

30 Dania 31 David 32 G

33 M

34 Dania

35 M

36 Valeria 37 M

38 As 39 V

Un kilo de pastel cuesta 75.5 entonces saque …, bueno un pastel cuesta 75.5 y puede estar dividido en 10, fue lo que yo hice dividí 75.5 entre 10 y me dio 7.50 lo multiplique por 7 para sacar el .7 Es 7.55 ¡Ah! Saque 7.55 esa es una parte de los.. Gabriela se queda pensando unos momentos… Es lo que vale 100 grs ¡Cómo! Es lo que vale 100 grs ¡Ah sí!, es lo que vale 100 grs una parte del pastel, entonces eso por 7 nos da 52.50 y luego lo que vale un pastel por 2 y nos da 151 más los 52.5 nos da esto. ¡No, no! es 203.85 Si, tienes 203.5 porque te equivocaste en la división ¡Aaah!, si es Cierto. La respuesta de Gabriela de que si se daba cuenta de su error no era congruente con su expresión de la cara de duda… Dirigiéndose a Dania dice: Pase a corregirlo. La alumna Dania pasó al pizarrón y argumentó donde había estado el error de Gabriela. La división está bien, aquí es 7.55 por 7 y luego… Dania observa la última operación y dice ¡no entiendo! pero era porque Gabriela en la última multiplicación de 75.5 por 2, ahí mismo le sumo lo que obtuvo de los 7grs a lo que Dania especifico con una flecha. Ah ya, esto es de los 2 kilos y se le suman 52. 85 ¿Alguien tiene algún otro procedimiento? Valeria, que era compañera de Gabriela, reformula su estrategia (que era errónea): Maestra, me estoy dando cuenta que no necesitamos sacar cuánto equivale 100 g, con tan solo multiplicar 75.5 y ya. Pasa al pizarrón Valeria a explicarlo. La alumna Valeria pasó al pizarrón y multiplicó lo que había indicado. ¿Alguna pregunta a Valeria? ¿Por qué solo multiplicas por 2.7? Porque si se sabe que 1 kilo vale 75.5 solo se multiplica por 2.5.

Siguiendo con la situación de validación, para el segundo problema la maestra invitó al grupo en general a mostrar la estrategia que eligieron.

40 41

M Jesús

¿Quién pasa a mostrarnos su procedimiento del segundo problema? Yo maestra. 87

42 43

M Jesús

44 45 46 47

M As M As

Pásele. Nosotros solo dividimos 210 entre 5 para saber a cuánto equivale una lata y lo que nos salió lo multiplicamos por 15 latas y así nos dio 675 pesos. ¿Están de acuerdo con su compañero? Sí maestra. ¿Alguien tiene otro procedimiento? No maestra.

88

Parte dos de la sesión 1. Esta sesión se inició en un día normal a las 8:15 a 9:45 donde se utilizaron dos módulos seguidos de clase, esto se le ayudo a la maestra a terminar la situación didáctica. Les dio las intrusiones de como continuarían con el trabajo…

48

M

Recordemos qué procedimientos vimos en los dos primeros problemas, y después les doy 5 minutos para que analicen qué estrategia utilizaron en el tercer problema, para que después alguien pase al pizarrón a explicarlo.

La maestra después de dar las explicaciones escribió en el pizarrón los métodos plateados por los alumnos en la sesión anterior, con la ayuda de los estudiantes que le iban diciendo cuales eran. Después de su explicación dio los 5 minutos para que los alumnos analizaran su procedimiento y continuar con la validación del problema tres.

49 50 51 52

M Alehli M Alehli

53 54

As Alehli

55 56

David Alehli

57 58

M Valeria

59 60

M Valeria

¿Quién pasa a explicar su respuesta? Yo maestra. Pásale Alehli Bueno, lo que hicimos fue que si de los 13,900 le dieron 319.70, buscar cuánto porcentaje es 319.70, que fue lo que le dio la caja del total que ella ahorro. Es el 2.3 Si, es 2.3%, porque solo multiplicas 319.70 por 100 y lo que sale se divide entre el monto que es 13,900, después multiplicamos 13,900 por 0.023 para comprobar que sí esta correcto el porcentaje. Después multiplicamos 15,750 por 0.023 y nos da cuánto le dan de ganancia a Carlos. Yo tengo una duda, ¿Por qué multiplicas 13,900 por 0.023? Solo es para comprobar que sí esta correcto el porcentaje, ya que al hacerlo da la ganancia que le dieron a María. ¿Alguien tiene otro procedimiento? Yo maestra, aunque con el resultado que da Alehli creo que el mío esta mal. Está bien, pase a explicarlo y entre todos vemos si está bien o mal. Nosotros dividimos el monto entre la ganancia y el resultado que nos da es un número que tiende a ser infinito en los decimales, por lo que lo redondeamos a 43.47, y esto es cuántas veces cabe el 319.70 entre los 13,900 y luego dividimos el monto de lo que ahorró Carlos entre los 43.47, a lo que nos dio como resultado 362.31... y pues comparando con el resultado que sacó Alehli que fue 362.23 vemos que hay una 89

61 62 63

David M David

64 65 66

As David M

67 68 69

Carmen M Carmen

diferencia, la caja está dando de más y esto puede ocasionar un pérdida, como dijo la maestra. Maestra, yo tengo otro procedimiento que sí es exacta la cantidad pasa a explicarlo Lo que hicimos nosotros nada más fue dividir lo que le daban de ganancia entre la cantidad que tenían ahorrada, nos salió lo que le daban por cada peso que es 0.023, después multiplicamos la cantidad de 15,750 por lo que cuesta cada peso y nos dio como resultado 362.25 parecido a lo que hizo Alehli Sí, pero son menos procedimientos. Son similares pero Alehli obtuvo porcentaje y David lo que le dan por cada peso. ¡Bueno! Ahora vamos a ver otro procedimiento diferente a los que ustedes platearon en el pizarrón, que es muy usado en la vida cotidiana como por ejemplo cuando vamos hacer una receta de concina, y es llamada la regla de tres… Maestra yo lo hice utilizando la regla de tres. Muy bien haber pasa a exponer tu procedimiento. ¡Es que le dieron! y comienza a escribe en el pizarrón sin decir nada: 13,900 319.7 Después 45 segundos dice: -Se supone que este es el 100%- y señala el 13,900 - Entonces hee, este por este salió - señala 319.70 y el 100% , y comienza a escribiré 319.70 y se dirige a sus compañeras de quipo y pregunta ¿Cuánto da?

70

AE.

Es lo que no, espérate

71

Carmen

Carmen borra los 319.70 y duda por un momento que hacer, después continua escribiendo. 13900 = 2.3 319.70 Y dice: 319.70 es el 2.3% de y escribe 13,900 100%

319.7 2.3 %

15,750 100%

2.3%

Y dice: Señalando el espacio vacío de arriba del 2.3, falta este y duda un poco y continua diciendo este por este entre este señalando 15,750, 2.3 y 100% y comienza a hacer las operaciones en el pizarrón y después escribe: 90

13,900 100%

319.7 2.3 %

15,750 100%

362.25 2.3%

Y finaliza diciendo: y esto es el resultado.

Cuando Carmen explicó el procedimiento de la regla de tres, se observó que dudó al plantearla ya que le preguntaba a su compañera como era, tenía la idea de cómo realizar el procedimiento, pero en el acomodo de los datos no estaba muy segura. Para institucionalizar la maestra solo retoma la clase cuando Carmen termina de explicar y la maestra dice.

72

M

Bueno lo que hizo Carmen es el procedimiento que se hace cuando se utiliza la regla de tres que quizás ya muchos lo saben pero no lo recordaban. Y continua diciendo: El procedimiento de la regla de tres es muy útil para este tipo de problemas donde se existen cuatro cantidades, tres conocidas y una desconocida, y como ya les había dicho anteriormente es muy útil en la vida diaria.

La maestra institucionalizó el uso de la regla de tres de la siguiente manera: Si tenemos cuatro valores A, B, C y X donde A, B y C se conocen y X se desconoce, además A y B se relacionan: Entonces

=

Por lo que

=

91

73

M

La ecuación

resulta de despejar a X de la igualdad de razones

74

As M

Maestra y si queremos otro valor como por ejemplo A Ah, pues se plantea de la siguiente manera: X es a B como C es a D, por lo que la igualdad queda Y la ecuación nos queda: =

=

Esta ecuación no es otra cosa que multiplicar los extremos y se divide entre el valor conocido.

75

As

Ah, sí maestra ya entendimos.

La maestra también les explicó lo siguiente para que les quedara más comprendido el uso de la regla de tres, aunque es algo que los alumnos deben de saber.

= a) La igualdad de es una razón de proporción donde se debe de cumplir la propiedad de proporcionalidad y este procedimiento nos permite comprobar si el valor de es correcto. Para comprobar lo que la maestra hizo, tomó en cuenta los datos del último problema de la primera sesión:

=

Entonces

76

M

Por lo que

=

Muchachos, para comprobar si el resultado es correcto hacemos uso de la igualdad de las razones de proporcionalidad

=

77

M

¿Tiene alguna duda? 92

78 79

As M

No, maestra Les voy a dar otra hoja donde están tres problemas para que los resuelvan, tienen 20 minutos.

93

Soluciones representativas del problema 1 Respuestas Alumno David

Escaneado

Clasificación de la estrategia Utiliza el procedimiento de razón proporcional para establecer a cuanto equivale 100g. y 2kg. Por medio de la división y multiplicación

Gloria

Utilizan el procedimiento de razón proporcional y establece la equivalencia de 100g, 500g y 2 kg

Alehli

Esta estrategia de resolución fue la que se consideró en el análisis a-priori, de solo multiplicar lo que equivale la unidad por los 2.7 kg. Valor unitario.

Soluciones representativas del problema 2 Respuestas Alumno Gabriela

Escaneado

Clasificación de la estrategia Esta estrategia fue la que se consideró en el análisis a-priori, buscar el valor unitario o constante de proporcionalidad y fue el procedimiento que realizo la mayoría de los alumnos.

94

Emely

Aquí los alumnos realizan la suma iterada de 3 veces el número y a lo que equivale una lata de frutas.

Carmen

En este procedimiento Carmen realiza una tabla donde relaciona los datos adecuadamente latas con latas y costo con costo y utiliza una x para representar el valor faltante, pero al realizar su procedimiento no lo hace utilizando el método de la regla de tres que es cruzado, ella busca el factor contante entre las cantidades

Soluciones representativas del problema 3 Respuestas Alumno

Joaquín

Escaneado

Clasificación de la estrategia

Los alumnos aquí buscaron cuantas veces cabe la ganancia en la cantidad ahorrada por María, para después dividir lo que ahorro Carlo por eso. En este procedimiento les da un resultado con muchos decimales y el alumno no lo considera como resultado erróneo. 95

Alehli

En este procedimiento buscan la a cuanto equivale la ganancia en porcentaje. En este procedimiento se observa el uso del método de la regla de tres pero de manera informal.

Laura

Las alumnas de este equipo utilizan el método e la regla de tres un poco más formal para obtener el porcentaje de la ganancia.

Jorge

En este procedimiento el alumno no encontró la solución correcta, realizo varias estrategias pero todas erróneas. 1-. Resta la ganancia al capital ahorrado 2.- Multiplica el monto ahorrado por 100 3.- Multiplica el monto ahorrado de Carlos por la ganancia que le dan a María Y al resultado lo divide entre 100 5.- Multiplica la cantidad ahorrada por María por 0.23 no argumenta de donde sale ese número. El alumno multiplica una cantidad que no está incluida en el problema por 30 y 60

Edson

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Jesus

El alumno explica su procedimiento de tal manera: Lo que hice fue dividir lo que ahorro María por la ganancia y fue 13,900 entre 319.70 y me salió 4 entonces multiplique los 4 por lo que tuvo de ganancia María y salió 1260.80 y eso entre 4 y la ganancia e Carlos fue de 393.75. Esto que el escribe no coincide con lo que el argumenta matemáticamente.

97