Tugas Nasab

Nama

: Satori

NIM

: 106017000547

Prodi

: Pendidikan Matematika

Semester

: VIB (enam /B)

Tugas Kuliah : Nilai awal dan Syarat batas Aplikasi Persamaan Differensial Contoh 1 Sebuah prisma yang memiliki bidang potong berbentuk segitiga samasisi dengan panjang sisi l mengapung dalam sebuah kolam cairan yang memiliki kerapatan berat ρ dengan posisi tingginya sejajar dengan sumbu vertikal. Prisma tersebut digerakan dengan cara memindahkan dari posisi kesetimbangannya (lihat gambar) dan memberikannya sebuah kecepatan awal. Tentukanlah persamaan differensial yang mengatur pergerakan selanjutnya dari prisma tersebut. Kesetimbangan terjadi ketika gaya apung dari cairan yang dipindahkan sama besar dengan gaya gravitasi pada benda. Luas segitiga sama-sisi

dengan panjang sisi l adalah

A=

1 3l 2 4 . Untuk prisma yang ditunjukan

dalam gambar , dimana h unit terendam pada kesetimbangan, volume air

yang dipindahkan pada kesetimbangan adalah

memberikan gaya apung sebesar

F=

V=

h 3l 2 4 , sehingga

hρ 3l 2 4 . Melalui prinsip Archimedes,

gaya apung ini pada kesetimbangan harus sama besar dengan berat dari prisma mg ; jadi, hρ 3l 2 = mg 4

(1)

Secara sembarang kita ambil arah ke atas sebagai arah x-positif. Jika prisma diangkat keluar dari air sejauh x(t ) unit, seperti ditunjukkan dalam gambar, maka prisma tersebut tidak lagi berada pada kesetimbangan. Gaya ke bawah

atau negatif pada benda yang demikian masih tetap mg ; tetapi gaya apung [h − x(t )]ρ 3l 2 4 atau positifnya berkurang menjadi . Maka menurut hukum kedua Newton mx =

[h − x(t )]ρ 3l 2 − mg 4

Dengan memasukan (1) ke dalam persamaan terakhir ini, kita dapat menyederhanakannya menjadi x +

ρ 3l 2 x=0 4m

Contoh 2 Sebuah silinder padat yang sebagian terendam di dalam air yang memiliki kerapatan padat 62,5 lb/ft3 , dengan sumbunya kearah vertikal, berayun – ayun ke atas dan ke bawah dengan periode 0,6 detik. Tentukanlah diameternya jika silinder tersebut berbobot 2 lb. 3 Dengan ρ = 62,5lb / ft dan m = 2/32 slug, sehingga

x + 1000πr 2 x = 0 Yang memilki solus umum x(t ) = c1 cos 1000πrt + c2 sin 1000πrt Frekuensi

suduynya

ω = r 1000π ,

frekuensi

f = ω / 2π = r 250 / π = 8,92r , periodenya adalah

dirinya

adalah

T = 1 / f = 1 / 8,92r . Kita

diberikan 0,6 = T = 1 / 8,92r , jadi r = 0,187 ft = 2,24 inci dengan diameter 4,48 inci.