Tugas Kelompok Nasab

Tugas : teladan 1 Buatlah sebuah contoh soal persamaan differensial dan selesaikan dengan penyelesaian persamaan differensial biasa dan deret pangkat. '' ' Soal : xy − ( x + 2) y + 2 y = 0 1. penyelesaian dengan persamaan differensial biasa :

xy '' − ( x + 2) y ' + 2 y = 0

1 (kedua ruas dikali dengan x )

2 2 y '' − (1 + ) y ' + y = 0 x x Keterangan : 2 a. R(x) = (−1 − x ) 2 b. S(x) = x 2 2 1 + ( −1 − ) + = 0 x x c. x Jadi, salah satu solusinya adalah y = e x Misalkan : y = e v

dy dv = ex + ve x dx dx 2 d2y dv dv x d v = e + e x + e x + ve x 2 2 dx dx dx dx 2 2 d y d v dv = e x ( 2 + 2 + v) 2 dx dx dx Maka : 2 2 y '' − (1 + ) y ' + y = 0 x x 2 d v dv 2 dv 2 e x ( 2 + 2 + v ) − (1 + )(e x + ve x ) + e x v = 0 dx x dx x dx 2 x d v dv dv e dv ve x ve x e x 2 + 2e x + e xv − e x − ve x − 2 −2 +2 =0 dx dx x dx x x dx d 2v dv dv 2 dv 1 ex ( 2 + 2 − − )=0 x dx dx x dx dx ( kedua ruas dikali dengan e ) d 2v dv dv 2 dv +2 − − =0 2 dx dx x dx dx d 2 v dv 2 dv + − =0 dx 2 dx x dx

d 2v 2 dv + (1 − ) =0 2 x dx dx Misalkan : dv =P a. dx d 2 v dp = 2 dx b. dx Maka : dp 2 + (1 − ) P = 0 dx x 2

∫ (1− x ) dx

Pe =c x e P 2 =c x cx 2 P= x e P = cx 2 .e − x dv = cx 2 .e − x dx v = ∫ cx 2 e − x dx

v = c ∫ x 2 e − x dx

v = c1 [(− x 2 e − x ) + 2( − xe − x − e − x ) + c 2 ] v = c1 [− x 2 e − x − 2 xe − x − 2e − x + c 2 ] y = −c1e − x ( x 2 + 2 x + 2) + c1c 2 x x e kedua ruas dikali dengan e y = −c1 ( x 2 + 2 x + 2) + c1c 2 e x y = k1 ( x 2 + 2 x + 2) + k 2 e x

2.Penyelesaian dengan deret pangkat Misalkan ∞

y = ∑ am xm m =0

= a o + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 + a 6 x 6 + ... ∞

y = ∑ m.a m x '

m −1

m =1

= a1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + 4a 4 x 3 + 5a 5 x 4 + 6a 6 x 5 + ... ∞

y '' = ∑ m(m − 1)a m x

m−2

m=2

= 2a + 6a 3 x + 12a 4 x 2 + 20a 5 x 3 + 30a 6 x 4 + ... xy '' − ( x + 2) y ' + 2 y = 0 x( 2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 + 20a5 x 3 + 30a 6 x 4 + 42a7 x.5 ..) − ( x + 2 )( a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + 4a4 x 3 + 5a5 x 4 + 6a6 x 5 + ... ) + 2( a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + a5 x 5 + a6 x 6 + ... ) = 0 ( 2a2 x + 6a3 x 2 + 12a4 x 3 + 20a5 x 4 + 30a 6 x 5 + .42a7 x 6 + ... ) − ( a1 x + 2a2 x 2 + 3a3 x 3 + 4a4 x 4 + 5a5 x 5 + 6a6 x 6 + ... ) − ( 2a1 + 4a2 x + 6a3 x 2 + 8a4 x 3 + 10a5 x 4 + 12a6 x 5 + ... ) + ( 2a0 + 2a1 x + 2a2 x 2 + 2a3 x 3 + 2a4 x 4 + 2a5 x 5 + 2a6 x 6 + ... ) = 0 ( − 2a1 + 2a0 ) + ( 2a2 − a1 − 4a2 + 2a1 ) x + ( 6a3 − 2a2 − 6a3 + 2a2 ) x 2 + ( 12a4 − 3a3 − 8a4 + 2a3 ) x 3 + ( 20a5 − 4a4 − 10a5 + 2a4 ) x 4 + ( 30a6 − 5a5 − 12a6 + 2a5 ) x 5 + ( − 6a6 + 2a6 + 42a7 ) x 6 + ... = 0 ( − 2a1 + 2a0 ) + ( − 2a2 + a1 ) x + ( 4a4 − a3 ) x 3 + ( 10a5 − 2a4 ) x 4 + ( 18a6 − 3a5 ) x 5 + ( − 4a6 + 42a7 ) x 6 + ... = 0

10a5 − 2a 4 = 0 10a5 = 2a 4 1 a 4 − 2a1 + 2a 0 = 0 5 − 2a1 = −2a 0 1 a3 a5 = a1 = a 0 5 4 a a5 = 3 20 − 2a 2 + a1 = 0 a5 =

18a 6 − 3a5 = 0 18a 6 = 3a5

− 2a 2 = − a 2a 2 = a1

a a2 = 1 1 2 a6 = a5 6 a a2 = 0 1 a3 2 a6 = 6 20 4a 4 − a3 = 0 a 4a 4 = a3 a6 = 3 120 a a4 = 3 4

y = a o + a1 x + a 2 x 2 + a3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 + a 6 x 6 + ... a0 2 a a a x + a3 x 3 + 3 x 4 + 3 x 5 + 3 x 6 + ... 2 4 20 120 4 5 6 x x x = c + a3 ( x 3 + + + + ...) 4 20 120 x4 x5 x6 x4 x5 x6 = a3 ( x 3 + + + + ... ) + ( x 3 + + + + ... ) 4 20 120 4 20 120 x4 x5 x6 = a3 ( x 3 + + + + ... ) + a 0 e x 4 20 120 = a o + a1 x +

Jadi solusinya adalah x 4 x5 x6 3 y = a3 ( x + + + + ... ) + a0 e x 4 20 120