Curso de Matemáticas para Física por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
por: Rafael Cautivo Sánchez
Funciones trigonométricas (en el triángulo) Trigonometría Física I, vi@ Internet
B c A
α
b
a C
Trigonometría Física I, vi@ Internet
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Funciones trigonométricas (en el triángulo) •
Algunas consideraciones sobre el triángulo rectángulo
• • •
Sea un triángulo rectángulo cualquiera ∆ ABC Se distingue su hipotenusa y los catetos. En relación a un ángulo, distinguiremos el cateto adyacente a él y el cateto opuesto a el: Por ejemplo:
•
B Hipotenusa
A
c
a
α
Cateto opuesta a α
C
b Cateto adyacente a
α Trigonometría Física I, vi@ Internet
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Funciones trigonométricas (en el triángulo) •
Sea un triángulo rectángulo cualquiera
•
Se definen, para el ángulo
∆ ABC
α, las funciones siguientes:
• Seno, Coseno, Tangente
a = c b cateto adyacente cos(α) = = hipotenusa c a tg(α) = cateto opuesto = b cateto adyacente
cateto opuesto sen(α) = hipotenusa
B
c A
a
α
b
C
Trigonometría Física I, vi@ Internet
Funciones trigonométricas (en el triángulo) Realicemos el ejercicio de determinar los valores de las funciones por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
trigonométricas para el ángulo
α del triángulo siguiente:
Midamos los lados del triángulo:
a ≈ 29 cm b ≈ 56 cm c ≈ 64 cm
c
α b
α ≈ 28º sen(α) sen(α)== a/c a/c
y calculemos:
cos(α) cos(α)==b/c b/c
sen(28º) ≈ 0,453125
tg(α) tg(α)==a/b a/b
cos(28º) ≈ 0,875 tg(28º) ≈ 0,51785
a
Evidentemente los resultados que proporcionan las calculadoras son mejores!
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Funciones trigonométricas (en el triángulo) ¿Cómo serán el verde?
sen(28°), cos(28°) y tg(28°) para el triángulo
Correcto. Los mismos, pues los lados del triángulo verde son proporcionales a los del otro triángulo!
c
α
sen(α) sen(α)== a/c a/c
a
cos(α) cos(α)==b/c b/c
α ≈ 28º
tg(α) tg(α)==a/b a/b
b Trigonometría Física I, vi@ Internet
Triangulaciones
por: Rafael Cautivo Sánchez
Curso de Matemáticas para Física
Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias :: ¿Cuál es la altura del árbol?
h tg (55°) = 30 m
h = 30 m ⋅ tg (55°) h
h = 30 m ⋅ 1,428 h = 42,84 m 55º 30 m.
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Triangulaciones
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Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
::¿Cómo medir el ancho del río? Ejemplo,
A
si α = 72º y d = 20 m
h tg (α ) = d h = d⋅ tg (α ) h = 20 m ⋅ tg (72°)
d
h
B
α C
h = 20 m ⋅ 3,077 h = 61,55 m Trigonometría Física I, vi@ Internet
Triangulaciones
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Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
12700 km
89,05º α = 1,9º
d=?
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Triangulaciones
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Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
α = 1,9º/2 = 0,95º R
6370 km
d=? R tg (0,95°) = d
6370 km tg (0,95°) = d
d = 384.148 km
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Triangulaciones
384.600 km
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Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
61 ,8 °
¿C uál
e
Sol? l a a i c tan s la dis
Tarea
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Triangulaciones
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Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias
Técnica para medir distancias a estrellas cercanas
300 millones de km de base Trigonometría Física I, vi@ Internet
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Los valores de las funciones trigonométricas
•
Es claro que la trigonometría es útil sólo si conocemos los valores de ellas para cualquier ángulo.
•
Si no tenemos esta información, no nos sirve para nada.
•
Por esta razón, desde
el siglo II a.C. el astrónomo
Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7,1° y yendo hasta 180°
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Ejemplo de Tabla Trigonométrica
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Curso de Matemáticas para Física
Una página cualquiera
Ángulo(°) 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10
seno coseno tangente 0,0523 0,9986 0,0524 0,0525 0,9986 0,0526 0,0527 0,9986 0,0528 0,0529 0,9986 0,0529 0,0530 0,9986 0,0531 0,0532 0,9986 0,0533 0,0534 0,9986 0,0535 0,0536 0,9986 0,0536 0,0537 0,9986 0,0538 0,0539 0,9985 0,0540 0,0541 0,9985 0,0542 Trigonometría Física I, vi@ Internet
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Algunas interrogantes •
¿Cómo sabe la calculadora que
• • • • • • •
sen(120º) = 0,866 ? tan (325º) = – 0,7002 ? cos (1235º) = – 0,906 ? tg(– 45º) = – 1 ? Y no sabe... tg(90º) = -E- ? Error!! tg(270º) = -E- ?
Todo esto es un poco raro pero....
...lo aclararemos de inmediato.
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