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Curso de Matemáticas para Física por: Rafael Cautivo Sánchez

Curso de Matemáticas para Física

por: Rafael Cautivo Sánchez

Funciones trigonométricas (en el triángulo) Trigonometría Física I, vi@ Internet

B c A

α

b

a C

Trigonometría Física I, vi@ Internet

por: Rafael Cautivo Sánchez

Curso de Matemáticas para Física

Funciones trigonométricas (en el triángulo) •

Algunas consideraciones sobre el triángulo rectángulo

• • •

Sea un triángulo rectángulo cualquiera ∆ ABC Se distingue su hipotenusa y los catetos. En relación a un ángulo, distinguiremos el cateto adyacente a él y el cateto opuesto a el: Por ejemplo:

•

B Hipotenusa

A

c

a

α

Cateto opuesta a α

C

b Cateto adyacente a

α Trigonometría Física I, vi@ Internet

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Curso de Matemáticas para Física

Funciones trigonométricas (en el triángulo) •

Sea un triángulo rectángulo cualquiera

•

Se definen, para el ángulo

∆ ABC

α, las funciones siguientes:

• Seno, Coseno, Tangente

a = c b cateto adyacente cos(α) = = hipotenusa c a tg(α) = cateto opuesto = b cateto adyacente

cateto opuesto sen(α) = hipotenusa

B

c A

a

α

b

C

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Funciones trigonométricas (en el triángulo) Realicemos el ejercicio de determinar los valores de las funciones por: Rafael Cautivo Sánchez

Curso de Matemáticas para Física

trigonométricas para el ángulo

α del triángulo siguiente:

Midamos los lados del triángulo:

a ≈ 29 cm b ≈ 56 cm c ≈ 64 cm

c

α b

α ≈ 28º sen(α) sen(α)== a/c a/c

y calculemos:

cos(α) cos(α)==b/c b/c

sen(28º) ≈ 0,453125

tg(α) tg(α)==a/b a/b

cos(28º) ≈ 0,875 tg(28º) ≈ 0,51785

a

Evidentemente los resultados que proporcionan las calculadoras son mejores!

Trigonometría Física I, vi@ Internet

por: Rafael Cautivo Sánchez

Curso de Matemáticas para Física

Funciones trigonométricas (en el triángulo) ¿Cómo serán el verde?

sen(28°), cos(28°) y tg(28°) para el triángulo

Correcto. Los mismos, pues los lados del triángulo verde son proporcionales a los del otro triángulo!

c

α

sen(α) sen(α)== a/c a/c

a

cos(α) cos(α)==b/c b/c

α ≈ 28º

tg(α) tg(α)==a/b a/b

b Trigonometría Física I, vi@ Internet

Triangulaciones

por: Rafael Cautivo Sánchez

Curso de Matemáticas para Física

Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias :: ¿Cuál es la altura del árbol?

h tg (55°) = 30 m

h = 30 m ⋅ tg (55°) h

h = 30 m ⋅ 1,428 h = 42,84 m 55º 30 m.

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Triangulaciones

por: Rafael Cautivo Sánchez

Curso de Matemáticas para Física

Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias

::¿Cómo medir el ancho del río? Ejemplo,

A

si α = 72º y d = 20 m

h tg (α ) = d h = d⋅ tg (α ) h = 20 m ⋅ tg (72°)

d

h

B

α C

h = 20 m ⋅ 3,077 h = 61,55 m Trigonometría Física I, vi@ Internet

Triangulaciones

por: Rafael Cautivo Sánchez

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Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias

12700 km

89,05º α = 1,9º

d=?

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Triangulaciones

por: Rafael Cautivo Sánchez

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Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias

α = 1,9º/2 = 0,95º R

6370 km

d=? R tg (0,95°) = d

6370 km tg (0,95°) = d

d = 384.148 km

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Triangulaciones

384.600 km

por: Rafael Cautivo Sánchez

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Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias

61 ,8 °

¿C uál

e

Sol? l a a i c tan s la dis

Tarea

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Triangulaciones

por: Rafael Cautivo Sánchez

Curso de Matemáticas para Física

Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias

Técnica para medir distancias a estrellas cercanas

300 millones de km de base Trigonometría Física I, vi@ Internet

por: Rafael Cautivo Sánchez

Curso de Matemáticas para Física

Los valores de las funciones trigonométricas

•

Es claro que la trigonometría es útil sólo si conocemos los valores de ellas para cualquier ángulo.

•

Si no tenemos esta información, no nos sirve para nada.

•

Por esta razón, desde

el siglo II a.C. el astrónomo

Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7,1° y yendo hasta 180°

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Ejemplo de Tabla Trigonométrica

por: Rafael Cautivo Sánchez

Curso de Matemáticas para Física

Una página cualquiera

Ángulo(°) 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10

seno coseno tangente 0,0523 0,9986 0,0524 0,0525 0,9986 0,0526 0,0527 0,9986 0,0528 0,0529 0,9986 0,0529 0,0530 0,9986 0,0531 0,0532 0,9986 0,0533 0,0534 0,9986 0,0535 0,0536 0,9986 0,0536 0,0537 0,9986 0,0538 0,0539 0,9985 0,0540 0,0541 0,9985 0,0542 Trigonometría Física I, vi@ Internet

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Curso de Matemáticas para Física

Algunas interrogantes •

¿Cómo sabe la calculadora que

• • • • • • •

sen(120º) = 0,866 ? tan (325º) = – 0,7002 ? cos (1235º) = – 0,906 ? tg(– 45º) = – 1 ? Y no sabe... tg(90º) = -E- ? Error!! tg(270º) = -E- ?

Todo esto es un poco raro pero....

...lo aclararemos de inmediato.

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