Treino 2a Frequencia

IADE Ciência Aplicada ao Design 2008/9 Exercícios para a 2a Frequência Constantes:

c = 3 × 108 m/s cW = 2,9 × 10−3 K m

Radiação e Temperatura Lei de Wien: λM T = cW 1. Coloca as seguintes gama de radiações por ordem crescente de energia/frequência:  a) raios-x  c) luz visível

 b) ondas de rádio  d) microondas

2. Coloca as seguintes «cores» por ordem crescente de energia/frequência:  a) UV  c) IV

 b) amarelo  d) verde

3. O Sol tem um pico de emissão de radiação em λM = 550 nm. A que temperatura está a superfície do Sol? Resposta: 550 × 10−9 × T = 2,9 × 10−3 ⇐⇒ T = 5273 K. 4. Mostre que a temperatura de uma chama azul (λM = 350 nm) é superior à de uma chama vermelha (λM = 650 nm). Resposta: Seja Ta a temperatura da chama azul e Tv a da chama vermelha. Então: 350 × 10−9 × Ta = 2,9 × 10−3 ⇐⇒ Ta = 8286 K e 650 × 10−9 × Tv = 2,9 × 10−3 ⇐⇒ Tv = 4461 K. Logo, Ta > Tv .

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5. A que comprimento de onda emite o corpo humano radiação? Resposta: cw = λM T 2,9 × 10−3 = λM (273 + 36,5) λM =

2,9 × 10−3 = 9,37 × 10−6 m 273 + 36, 5

Visão e Cor 6. Compara os três espectros de radiação visível mais comuns: Sol, luz de incandescência (vela, lâmpadas, etc) e luz de fluorescência. Resposta: O espectro solar está uniformemente distribuído entre o vermelho e o violeta, com um pouco de mais intensidade no amarelo. O espectro de incandescência tem muita intensidade nos vermelhos e laranjas e bastante menos nos verdes, azuis e violetas. A luz fluorescente tem picos de descontinuidade na emissão dos comprimentos de onda verdes e azuis.

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7. Tristímulo é:  a) serem necessários três comp. de onda em simultâneo para dar uma sensação de côr;  b) serem necessários três comp. de onda em sequência para dar uma sensação de côr;  c) qualquer sensação de côr pode ser reproduzida com três estímulos visuais;  d) qualquer radiação invisível é o resultado da mistura de três estímulos visuais. 8. Metamerismo é:  a) a mesma sensação de côr pode ser produzida por dois espectros de luz diferentes;  b) ser preciso três cores para ter uma luz visível;  c) o que se vê para além da luz visível;  d) o efeito que o UV tem na pele. 9. Indica quais os espaços de côr dependentes (D) e independentes (I) do dispositivo de reprodução:  a) RGB  d) CMY

 b) Lab  e) HSV

 c) XYZ  f) Pantone

10. No espaço de côr XYZ, o que representa o Y?  a) intensidade  c) largura

 b) amarelo  d) comp. de onda

11. Representa geometricamente os espaços de côr RGB e CMY, assinalando o que aches importante. Resposta:

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12. Representa geometricamente o espaço de côr HSV, assinalando o que aches importante. Resposta:

13. Desenha o diagrama de cromacidade xy e representa nele os seguintes itens: a) o branco, b) duas cores complementares, c) um espaço RGB, d) um espaço CMY, e) a linha do magenta, f) a posição aproximada das 7 cores do arco-iris. Resposta:

verde

amarelo c) d)

b) vermelho

a)

cião b)

e) magenta

azul violeta

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Relatividade Equações importantes: Adição das velocidades de Galileu: v = v 0 + u Adição das velocidades de Lorentz: v =

v0 + u 0 1 + vc2u

∆t0 Dilatação dos tempos: ∆t = q 2 1 − uc2 14. Uma nave desloca-se à velocidade de u = 0,9c em relação ao planeta X. Qual a velocidade da luz emitida pelos faróis da nave em relação a esse planeta (a) segundo a Relatividade Clássica?  a) v = 0,9c  b) v = c  c) v = 1,9c  d) v = 0 m/s. (b) segundo a Relatividade Restrita?  a) v = 0,9c  b) v = c  c) v = 1,9c  d) v = 0 m/s. 15. Um neutrão em repouso decai num protão, num electrão e num neutrino ao fim de 11min. Ao fim de quanto tempo se dará este decaimento se o neutrão estiver à velocidade de 0,5c? Resposta: Dilatação dos tempos: ∆t0 11 11 ∆t = q =q =√ = 12,7 min. 1 − 0,25 (0,5c)2 u2 1 − c2 1 − c2

16. Enuncia o paradoxo dos gémeos. Apresenta a sua solução com seguinte exemplo: segundo o gémeo na Terra, o seu irmão viajou durante 10 anos à velocidade de 0,8c. Resposta: Enunciado: O paradoxo dos gémeos consiste no seguinte raciocínio: Um de dois gémeos faz uma viagem espacial numa nave a uma velocidade próxima da da luz, enquanto que o seu irmão fica na Terra. Designemos por A o gémeo que viaja e por T o que fica na Terra. Para o gémeo que ficou

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na Terra (T ), o seu irmão A envelheceu menos, devido à contracção dos tempos: ∆t0 ∆t = q . 2 1 − uc2 (Nota que ∆t0 é o tempo que passou na nave do ponto de vista da Terra e que u é a velocidade da nave em relação à Terra.) No entanto, o gémeo que viajou (A) pode afirmar que ele é que esteve imóvel e que o irmão na Terra (T ) é que se afastou e aproximou. Segundo este gémeo A, foi irmão T que sofreu a contracção dos tempos e que envelheceu menos. Tem-se novamente ∆t0 ∆t = q , u2 1 − c2 mas agora ∆t0 é o tempo que passou na Terra do ponto de vista da nave e u é a velocidade da Terra em relação à nave (portanto, simétrico da velocidade anterior). Temos assim um paradoxo: segundo T , A está mais novo; segundo A, é T quem está mais novo. Afinal, quem tem razão? Resolução: Este é um paradoxo falso. Os gémeos não estão em situações simétricas. Para que os gémeos se encontrem e possam comparar as idades, um terá que voltar para trás. Nesse momento de mudança de direcção, irá notar a desaceleração e a aceleração, e a simetria fica quebrada. Existem assim 3 pontos de vista inérciais: o do gémeo na Terra (T ), o do gémeo na nave (A) durante a viagem de ida e o do gémeo da nave durante a viagem de regresso. Com os dados do enunciado, podemos fazer os seguintes cálculos: Gémeo na Terra (T ): O meu irmão A viajou 5 anos para lá e 5 anos para cá. A distância máxima que esteve foi: u=

∆x0 ∆x0 ⇐⇒ 0,8c = ∆t 5 ⇐⇒ ∆x0 = 5 × 0,8c = 4c = 4 anos-luz

Para mim, o tempo na nave do meu irmão gémeo passou mais devagar: ∆t0 ∆t0 ∆t = q ⇐⇒ 10 = q 2 2 1 − uc2 1 − (0,8c) c2 p ⇐⇒ ∆t0 = 10 1 − 0,64 = 6 anos. 6

Portanto o meu irmão A afastou-se da Terra durante 5 anos à velocidade de 0,8c, ficando a 4 anos-luz. Depois voltou com a mesma velocidade e demorou os mesmos 5 anos. Dentro da nave passou apenas 6 anos (3 anos na ida e 3 anos no regresso). Gémeo na nave (A): Eu vi a Terra a afastar-se de mim à velocidade de 0,8c durante os primeiros 3 anos e depois a aproximar-se de mim com a mesma velocidade durante outros 3 anos. Enquanto nos afastámos, notei que na Terra o tempo passou mais devagar: ∆t0 ∆t0 ∆t = q ⇐⇒ 3 = q 2 2 1 − uc2 1 − (0,8c) c2 p ⇐⇒ ∆t0 = 3 1 − 0,64 = 1,8 anos. Pode parecer então que, para o gémeo na nave, passam apenas 2 × 1,8 = 3,6 anos na Terra. No entanto, durante a viagem de regresso o gémeo da nave não pode acrescentar que na Terra o tempo passa mais devagar, devido à dilatação dos tempos. Esta dilatação só é verificada na primeira parte do movimento, enquanto a Terra se afasta da nave. Na segunda parte, quando a Terra se aproxima da nave, a simetria é finalmente quebrada e o gémeo A vê o gémeo T a envelhecer muito mais depressa que ele, até se obter o resultado de 10 anos para o gémeo T. 17. A figura seguinte representa o diagrama espaço-tempo de um acontecimento A. Coloca nesse diagrama os seguintes novos acontecimentos: (a) (b) (c) (d)

Um Um Um Um

acontecimento acontecimento acontecimento acontecimento

que que que que

possa ser influenciado por A. possa ter influenciado A. A não possa influenciar. não possa influenciar A.

Resposta: ct a)

c) d)

a)

45º

A

45º

b)

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c)

d) b)

x

Modelização 18. Calcula a equação da potência do motor de um guindastre (P ), sabendo que depende da velocidade a que consegue elevar massas (v) e da força (F ) que consegue suportar. Nota que: [F ] = N = Kg m/s2 , [P ] = W = Kg m2 / s3 .

Resposta: Começamos por admitir que a equação da potência do motor será do tipo: P ∝ F AvB . Temos que calcular o valor de A e B. Segundo a nossa hipótese, as unidades da potência serão: [P ] = [F ]A [v]B   Kg m A  m B = s2 s KgA mA mB s2A sB A A+B Kg m = . s2A+B =

Por outro lado, do enunciado sabemos que [P ] =

Kg m2 . s3

Igualando estas duas expressões temos que:  (  A = 1 A=1 ⇐⇒ A+B =2  B = 1.  2A + B = 3 Ou seja, a equação é: P ∝ F v.

19. Descobre a fórmula para o cálculo da potência (P ) de uma turbina, admitindo que depende da densidade do ar (d), do raio das pás (r) e

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da sua velocidade de rotação (v). Lembra que as unidades de potência são [P ] = W = Kg m2 / s3 e que as de densidade são [d] = Kg/m3 . Resposta: Começamos por admitir que a equação da potência será do tipo: P ∝ dA rB v C . Temos que calcular o valor de A, B e C. Segundo a nossa hipótese, as unidades da potência serão: [P ] = [d]A [r]B [v]C   Kg A B  m C = m m3 s KgA B mC m m3A sC A −3A+B+C Kg m = . sC =

Por outro lado, do enunciado sabemos que [P ] =

Kg m2 . s3

Igualando estas duas expressões temos que:     A = 1 A = 1 −3A + B + C = 2 ⇐⇒ B = 2     C=3 C = 3. Ou seja, a equação é: P ∝ d r2 v 3 .

20. Admite que a equação da potência de uma turbina é P = d r2 v 3 . (a) Quanto aumentará a potência de fizer uma turbina 5× maior? (b) Fez-se um modelo 5× menor. Quantas vezes mais rápido terá que rodar a turbina do modelo para ter a mesma potência que a turbina real? Resposta: 2 v 3 a potência do modelo e P = d r 2 v 3 a potência da Seja Pm = dm rm r r r r m turbina real.

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(a) Neste caso, dm = dr , 5rm = rr e vm = vr . Então: Pr = dr rr2 vr3 3 = dm (5rm )2 vm 2 3 = 25(dm rm vm )

= 25Pm . Aumentará a potência 25×. (b) Neste caso, dm = dr , 5rm = rr e Pm = Pr . Então: 2 3 2 3 dm rm vm = dr rr2 vr3 ⇐⇒dm rm vm = dm (5rm )2 vr3 3 ⇐⇒vm = 25vr3 p ⇐⇒vm = 3 25vr3 3 ⇐⇒vm = 2,9vr .

O modelo terá que rodar 2,9 vezes mais rápido. 21. Qual a expressão para o período T de oscilação de uma mola, sabendo que depende da massa m pendurada na mola, da constante de elasticidade K da mola e da aceleração da gravidade g? Nota que [K] = N/m = Kg/s2 . Resposta: Podemos assumir que T ∝ mA K B g C . Por outro lado, sabemos que: [m] = Kg, [K] = N/m = Kg s−2 , [g] = m s−2 [T ] = s. Então, [T ] = KgA (Kg s−2 )B (m s−2 )C = KgA KgB s−2B mC s−2C = KgA+B mC s−2B−2C . Ora como temos que [T ] = s, podemos escrever:   1   A + B = 0 A = 2 ⇐⇒ C = 0 C=0     −2B − 2C = 1 B = − 12 . 10

A expressão final fica então: r T ∝

m , K

que não depende de g, ao contrário do que era sugerido no enunciado.

22. Construi-se um modelo da suspensão de um carro. As molas do modelo têm uma constante de elasticidade 100× menor que as molas reais e a massa do modelo do carro é 50× menor que a massa do carro real. Qual a relação entre o período das vibrações da suspensão do modelo e do carro real? (Usa a equação da pergunta anterior.) Resposta: Temos que mr = 50mm Kr = 100Km , logo, r Tr =

mr Kr

r

50mm 100Km r r 50 mm = 100 Km =

= 0,71Tm .

23. A resistência de uma raquete é proporcional à área da secção do braço da raquete. Um modelo de uma nova raquete quebra-se quando sujeito a uma força de 80 N, e é 10× menor que a raquete real. Qual a resistência da raquete real? Resposta: Seja Fm a força a que o modelo resiste, enquanto que Fr é a mesma força para a raquete real. Se a raquete real é 10× maior que o modelo, então a área é 102 = 100× maior. Logo a resistência aumenta 100×, passando para 80 × 100 = 8000 N.

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