Transp Chap5
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- Words: 2,071
- Pages: 33
Physique Générale I Chapitre 5 Le Mouvement Circulaire
2004-2005
Chapitre 5
1
Introduction Mécanique de Newton : déterministe Si on connait au temps t : - les forces agissant sur un objet - la position initiale - la vitesse initiale On est capable de déterminer son mouvement C’est à dire prédire où il sera en (t+Δt). Ces lois s’appliquent : - au mouvement rectiligne - au mouvement général à deux dimensions
- au mouvement circulaire
- voiture sur une trajectoire circulaire - satellite en orbite - point d’un corps en rotation 2004-2005
Chapitre 5
2
Accélération centripète • Position :
xP = r cos θ y P = r sin θ
• Vitesse : v = v x xˆ + v y yˆ = −v sin θ xˆ + v cos θ yˆ
= −v
yP
xˆ + v
xP
r r • Accélération : v dy P v a= − xˆ + r dt r vy
yˆ dxP yˆ dt vx
v2 v2 = − cos θ xˆ − sin θ yˆ r r 2004-2005
Chapitre 5
3
Accélération centripète v2 v2 a = − cos θ xˆ − sin θ yˆ r r
• direction : ay
• module : 2 v a = ax2 + ay2 = cos2 θ + sin2 θ r v2 = r
2004-2005
Chapitre 5
−(v 2 / r ).sin θ tgϕ = = ax −(v 2 / r ).cos θ = tg θ → radiale
signes “-” : centripète 4
Accélération centripète Un objet sur une trajectoire circulaire possède une accélération radiale (perpendiculaire à v): 2
v ar = − rˆ r Cette accélération est orientée vers le centre de la trajectoire ⇒ accélération centripète
2004-2005
Chapitre 5
5
Force centripète Un objet sur une trajectoire circulaire possède une accélération radiale centripète : v2 ar = − rˆ r • 1ère loi de Newton ∃ une force centripète Fr
• 2ème loi de Newton mv 2 Fr = m ar = − rˆ r L’origine de cette force peut varier : - voiture : forces de frottement - satellite : force d’attraction gravitationnelle - électron : force coulombienne 2004-2005
Chapitre 5
6
Voiture sur une trajectoire circulaire La seule force à même de produire une accélération centripète est le frottement statique entre les pneus et la route. La force centripète nécessaire au maintien sur la trajectoire ne peut être supérieure à fs(max)
mv 2 Fr = ≤ fs (max) = µs N = µs mg r
Vitesse maximale
v ≤
Rayon minimum
µs r g Indépendant de m
2004-2005
Chapitre 5
v2 r≥ µs g 7
Dérapage Si les forces de frottement ne peuvent fournir l’accélération centripète nécessaire au maintient sur la trajectoire circulaire ⇒ derapage
Les forces de frottement cinétique étant inférieures aux forces de frottement statique, on dérape d’autant plus … 2004-2005
Chapitre 5
8
fs
Fs sin θ
Virages relevés fs Fs cos θ
Lorsqu’on relève un virage, une partie de N contribue à fournir ar.
mg Selon y :N cos θ = w + fs sin θ → N= + fs tgθ cos θ mv 2 sin2 θ Selon x: mar = N sin θ + fs cos θ → = mg tgθ + fs ( + cos θ ) r cos θ fs = mg tgθ + cos θ v2 Si r = 900m Sans frottements: fs = 0 ⇒ tgθ = rg v = 30 m/s = 108 km/h Alors 2004-2005
Chapitre 5
θ = 6˚
9
En présence de frottements Selon y :N cos θ = w + µs N sin θ
→
N=
mg cos θ − µs sin θ
Selon x: mar = N sin θ + fs cos θ
µs mg cos θ mv 2 mg sin θ = + r cos θ − µs sin θ cos θ − µs sin θ v
2
v
2
=
cos θ − µs sin θ
=rg
Si Alors
2004-2005
r g (sin θ + µs cos θ ) (tg θ + µs ) (1− µs tg θ )
r = 900m, θ = 6˚, µs = 0.1 → v = 43 m/s = 154 km/h µs = 0.5 → v = 75 m/s = 270 km/h µs = 0.8 → v = 93 m/s = 336 km/h Chapitre 5
10
Poids effectif
2004-2005
Chapitre 5
11
Mouvement circulaire uniformément accéléré = Mouvement dans lequel le module de la vitesse est modifié. On peut décomposer le vecteur accélération en -une composante tangentielle (ll v) Responsable de la variation du module de v
dv ˆ aT = t dt
a = ar + aT
- une composante radiale (⊥ v) responsable de la variation de direction de v
v2 ar = − rˆ r
2004-2005
Chapitre 5
12
Mouvement quelconque = succession de mouvements circulaires uniformément accéléres (MCUA)
On peut séparer la trajectoire en tronçons sur lesquels a = ar + aT est constante. Chacun de ces tronçons correspond à un MCUA particulier 2004-2005
Chapitre 5
13
Position angulaire Lorsqu’un objet décrit une trajectoire circulaire, il y a une correspondance distance parcourue ⇔ angle balayé 360˚ s = 2π r 180˚ s = π r 90˚ s = π/2 r •Angle en radian :
s θ r
θ = 2π θ= π θ = π/2 θ=s/r
[rad]
Le radian est une unité sans dimension • Relation entre variables linéaire (s) et angulaire (θ)
s=θr 2004-2005
Chapitre 5
14
Correspondance degré / radian Angle
2004-2005
degré
radian
Cosinus
Sinus
0
0
√4/2 = 1
√0/2 = 0
30
π/6
√3/2
√1/2 = 1/2
45
π/4
√2/2
√2/2
60
π/3
√1/2 = 1/2
√3/2
90
π/2
√0/2 = 0
√4/2 = 1
Chapitre 5
15
Vitesse angulaire ≡ Variation de la position angulaire sur un intervalle de temps donné
Δθ rad • Vitesse angulaire moyenne : ω= [ ] Δt s • Vitesse angulaire instantanée : ω = lim Δθ = dθ [ rad ] Δt →0 Δt dt s La vitesse angulaire est un vecteur dont - la direction : axe de rotation - le sens : règle de la main droite •Relation entre vitesses angulaire (ω) et linéaire (v) dθ 1 ds 1 ω= → ω= ⋅ = ⋅v → v = r ⋅ ω dt r dt r s = r ⋅θ 2004-2005
Chapitre 5
16
Exemple : rotation des étoiles ≡ Considérons une étoile en rotation Masse M, rayon R, masse volumique ρ • Pour que la masse m reste sur l’étoile : Fg ≥ m ar → G
mM M 4 2 2 ≥ m ω R → ω ≤ G = π Gρ 2 3 3 R R → ωc =
4 π Gρ 3
• Masse volumique et vitesse critique - soleil : ω = (1/27) tour/jour < ωc = 8 tours/jour - pulsar : ω = 33 tours/jour → ρ gigantesque (1012 x soleil) 2004-2005
Chapitre 5
17
Accélération angulaire ≡ Variation de la vitesse angulaire sur un intervalle de temps donné • Accélération angulaire moyenne :
Δω rad α= [ 2 ] Δt s • Accélération angulaire instantanée :
Δω dω rad α = lim = [ 2 ] Δt →0 Δt dt s La vitesse angulaire est un vecteur dont - la direction : axe de rotation - le sens : règle de la main droite 2004-2005
Chapitre 5
18
Accélération angulaire • Relation entre accélérations angulaire (α) et linéaires (at et ar ) : L’accélération angulaire est reliée à l’accélération tangentielle
dω α= dt dv dω aT = = r⋅ = r ⋅α → aT = r ⋅ α dt dt L’accélération radiale est reliée à la vitesse angulaire v2 ar = − rˆ r v = r ⋅ω →
2004-2005
ar = −ω 2 ⋅ r rˆ
Chapitre 5
19
Vitesse et accélération angulaires
2004-2005
Chapitre 5
20
Mouvements de translation et de rotation Grandeur
Translation
Rotation
Relation
Position
x, s
θ
s=r.θ
Vitesse
v
ω
v=r.ω
Accélération
aT ar
α
aT = r . α
2004-2005
ar = - ω2. r
Chapitre 5
21
MRUA et MCUA x=rτ
v=rω
Accélération linéaire a constante
a=rα
Accélération angulaire α constante
v = v0 + a Δt v = (v0+v)/2
ω = ω0 + α Δt
Δx = v0 Δt + (a/2) (Δt)2
Δθ = ω0 Δt + (α/2) (Δt)2
Δx = (v0 +v)/2 Δt v2 = v02 + 2 a Δx
ω = (ω0+ ω)/2 Δθ = (ω0 + ω)/2 Δt ω2 = ω02 + 2 α Δθ
Loi de Newton :
τ=Iα
F=ma 2004-2005
Chapitre 5
22
Moment de force et accélération angulaire Moment de force: τ = r . Fa = r . (m aT) = r . (m r.α) = m r2 α
τ=Iα 2004-2005
avec
I = m . r2 moment d’inertie Chapitre 5
23
Moment d’inertie Inertie au mouvement de rotation ≡ Coefficient de proportionalité entre - le moment de force total appliqué - l’accélération angulaire résultante
Σi τi = I . α • propriété intrinsèque de l’objet (masse, forme) • dépend de la position de l’axe de rotation • pour un objet complexe :
I = Σi mi ri2 → Contribution importante pour les éléments éloignés de l’axe de rotation 2004-2005
Chapitre 5
24
Moment d’inertie • Deux masses ponctuelles : fonction de la position de l’axe) B A IA = m (L/2)2 + m (L/2)2 = m L2/2 IB = m (L/3)2 + m (2L/3)2 = 5 m L2/9 • Roue de bicyclette : I = Σi Δmi R2 = R2 (Σi Δmi ) = m R2 • Rayon de giration : I = m k2 2004-2005
Chapitre 5
k = (I/m)1/2 25
Remarques - Combinaison rotation-translation :
Σi Fi = m a - Rotation autour C.M. : Σi τi = I α - Translation C.M. :
a=rα
- Relation : - Poulie de masse non-négligeable :
T1
2004-2005
T1 ≠ T2
T2
Chapitre 5
26
Exercice -Pour la masse m : mg-T=ma - Pour la roue : τ =Iα=r.T
rT r 2T mr 2 (g − a) I= = = α a a
2004-2005
Chapitre 5
27
Loi de Kepler - Equation du mouvement G
m MT r2
v2 =m r
- Au cours d’une période : le satellite parcourt 2π r 2π r T= v
G
m MT r
2
m ⎛ 2π r ⎞ = ⎜ r ⎝ T ⎟⎠
2
→
2 ⎛ ⎞ 3 4 π 2 T =⎜ r ⎟ ⎝ MT G ⎠ C
Satellite géostationnaire : rs = (T2/C)2/3 avec T=24h rs = 42 400 km 2004-2005
Chapitre 5
28
Les marées Deux marées hautes par jour : lorsque la surface immergée rencontre une poche d’eau équatoriale
B
Renflement équatorial face à la lune : dû à l’attraction de la lune 2004-2005
A
Renflement équatorial opposé à la lune : dû à la rotation du système Terre-Lune autour CM (FA < FB et ω2 RA > ω2 RB) Chapitre 5
29
Système de référence en rotation Référentiel: Personne en rotation
Immobile
Référentiel personne : une balle au repos se met en mouvement selon une trajectoire Courbe.
Référentiel immobile : La balle continue en ligne droite avec sa vitesse initiale.
• Les lois de Newton - ne s’appliquent pas dans un référentiel en rotation (ou accéléré par rapport à un référentiel inertiel) - peuvent s’appliquer en utilisant un subterfuge consistant à introduire une force fictive 2004-2005
Chapitre 5
30
Force fictive de Coriolis Deux personnes sur une plate-forme en rotation Une balle lancée à vitesse v de A -> B passera derrière B comme si une force l’avait fait dévier vers l’arrière. Référentiels: Immobile
2004-2005
Personnes en rotation
Chapitre 5
31
Force fictive et accélération de Coriolis rB − rA = vt
sA = v At avec v A = rAω sB = v Bt avec v B = rBω s = (sB − sA ) = (v B − v A )t = (rB − rA )ω t = ω v t 2 Δx = v 0t + (a / 2) t 2 s = 0 + (ac / 2) t 2
Accélération de Coriolis 2004-2005
Chapitre 5
ac = 2ω v ac = −2 ω × v 32
Masses nuageuses A cause de la rotation de la terre, les vents ne s’élancent pas directement vers les régions de basse pression mais sont déviés comme si une force fictive agissait sur eux.
2004-2005
Chapitre 5
33
2004-2005
Chapitre 5
1
Introduction Mécanique de Newton : déterministe Si on connait au temps t : - les forces agissant sur un objet - la position initiale - la vitesse initiale On est capable de déterminer son mouvement C’est à dire prédire où il sera en (t+Δt). Ces lois s’appliquent : - au mouvement rectiligne - au mouvement général à deux dimensions
- au mouvement circulaire
- voiture sur une trajectoire circulaire - satellite en orbite - point d’un corps en rotation 2004-2005
Chapitre 5
2
Accélération centripète • Position :
xP = r cos θ y P = r sin θ
• Vitesse : v = v x xˆ + v y yˆ = −v sin θ xˆ + v cos θ yˆ
= −v
yP
xˆ + v
xP
r r • Accélération : v dy P v a= − xˆ + r dt r vy
yˆ dxP yˆ dt vx
v2 v2 = − cos θ xˆ − sin θ yˆ r r 2004-2005
Chapitre 5
3
Accélération centripète v2 v2 a = − cos θ xˆ − sin θ yˆ r r
• direction : ay
• module : 2 v a = ax2 + ay2 = cos2 θ + sin2 θ r v2 = r
2004-2005
Chapitre 5
−(v 2 / r ).sin θ tgϕ = = ax −(v 2 / r ).cos θ = tg θ → radiale
signes “-” : centripète 4
Accélération centripète Un objet sur une trajectoire circulaire possède une accélération radiale (perpendiculaire à v): 2
v ar = − rˆ r Cette accélération est orientée vers le centre de la trajectoire ⇒ accélération centripète
2004-2005
Chapitre 5
5
Force centripète Un objet sur une trajectoire circulaire possède une accélération radiale centripète : v2 ar = − rˆ r • 1ère loi de Newton ∃ une force centripète Fr
• 2ème loi de Newton mv 2 Fr = m ar = − rˆ r L’origine de cette force peut varier : - voiture : forces de frottement - satellite : force d’attraction gravitationnelle - électron : force coulombienne 2004-2005
Chapitre 5
6
Voiture sur une trajectoire circulaire La seule force à même de produire une accélération centripète est le frottement statique entre les pneus et la route. La force centripète nécessaire au maintien sur la trajectoire ne peut être supérieure à fs(max)
mv 2 Fr = ≤ fs (max) = µs N = µs mg r
Vitesse maximale
v ≤
Rayon minimum
µs r g Indépendant de m
2004-2005
Chapitre 5
v2 r≥ µs g 7
Dérapage Si les forces de frottement ne peuvent fournir l’accélération centripète nécessaire au maintient sur la trajectoire circulaire ⇒ derapage
Les forces de frottement cinétique étant inférieures aux forces de frottement statique, on dérape d’autant plus … 2004-2005
Chapitre 5
8
fs
Fs sin θ
Virages relevés fs Fs cos θ
Lorsqu’on relève un virage, une partie de N contribue à fournir ar.
mg Selon y :N cos θ = w + fs sin θ → N= + fs tgθ cos θ mv 2 sin2 θ Selon x: mar = N sin θ + fs cos θ → = mg tgθ + fs ( + cos θ ) r cos θ fs = mg tgθ + cos θ v2 Si r = 900m Sans frottements: fs = 0 ⇒ tgθ = rg v = 30 m/s = 108 km/h Alors 2004-2005
Chapitre 5
θ = 6˚
9
En présence de frottements Selon y :N cos θ = w + µs N sin θ
→
N=
mg cos θ − µs sin θ
Selon x: mar = N sin θ + fs cos θ
µs mg cos θ mv 2 mg sin θ = + r cos θ − µs sin θ cos θ − µs sin θ v
2
v
2
=
cos θ − µs sin θ
=rg
Si Alors
2004-2005
r g (sin θ + µs cos θ ) (tg θ + µs ) (1− µs tg θ )
r = 900m, θ = 6˚, µs = 0.1 → v = 43 m/s = 154 km/h µs = 0.5 → v = 75 m/s = 270 km/h µs = 0.8 → v = 93 m/s = 336 km/h Chapitre 5
10
Poids effectif
2004-2005
Chapitre 5
11
Mouvement circulaire uniformément accéléré = Mouvement dans lequel le module de la vitesse est modifié. On peut décomposer le vecteur accélération en -une composante tangentielle (ll v) Responsable de la variation du module de v
dv ˆ aT = t dt
a = ar + aT
- une composante radiale (⊥ v) responsable de la variation de direction de v
v2 ar = − rˆ r
2004-2005
Chapitre 5
12
Mouvement quelconque = succession de mouvements circulaires uniformément accéléres (MCUA)
On peut séparer la trajectoire en tronçons sur lesquels a = ar + aT est constante. Chacun de ces tronçons correspond à un MCUA particulier 2004-2005
Chapitre 5
13
Position angulaire Lorsqu’un objet décrit une trajectoire circulaire, il y a une correspondance distance parcourue ⇔ angle balayé 360˚ s = 2π r 180˚ s = π r 90˚ s = π/2 r •Angle en radian :
s θ r
θ = 2π θ= π θ = π/2 θ=s/r
[rad]
Le radian est une unité sans dimension • Relation entre variables linéaire (s) et angulaire (θ)
s=θr 2004-2005
Chapitre 5
14
Correspondance degré / radian Angle
2004-2005
degré
radian
Cosinus
Sinus
0
0
√4/2 = 1
√0/2 = 0
30
π/6
√3/2
√1/2 = 1/2
45
π/4
√2/2
√2/2
60
π/3
√1/2 = 1/2
√3/2
90
π/2
√0/2 = 0
√4/2 = 1
Chapitre 5
15
Vitesse angulaire ≡ Variation de la position angulaire sur un intervalle de temps donné
Δθ rad • Vitesse angulaire moyenne : ω= [ ] Δt s • Vitesse angulaire instantanée : ω = lim Δθ = dθ [ rad ] Δt →0 Δt dt s La vitesse angulaire est un vecteur dont - la direction : axe de rotation - le sens : règle de la main droite •Relation entre vitesses angulaire (ω) et linéaire (v) dθ 1 ds 1 ω= → ω= ⋅ = ⋅v → v = r ⋅ ω dt r dt r s = r ⋅θ 2004-2005
Chapitre 5
16
Exemple : rotation des étoiles ≡ Considérons une étoile en rotation Masse M, rayon R, masse volumique ρ • Pour que la masse m reste sur l’étoile : Fg ≥ m ar → G
mM M 4 2 2 ≥ m ω R → ω ≤ G = π Gρ 2 3 3 R R → ωc =
4 π Gρ 3
• Masse volumique et vitesse critique - soleil : ω = (1/27) tour/jour < ωc = 8 tours/jour - pulsar : ω = 33 tours/jour → ρ gigantesque (1012 x soleil) 2004-2005
Chapitre 5
17
Accélération angulaire ≡ Variation de la vitesse angulaire sur un intervalle de temps donné • Accélération angulaire moyenne :
Δω rad α= [ 2 ] Δt s • Accélération angulaire instantanée :
Δω dω rad α = lim = [ 2 ] Δt →0 Δt dt s La vitesse angulaire est un vecteur dont - la direction : axe de rotation - le sens : règle de la main droite 2004-2005
Chapitre 5
18
Accélération angulaire • Relation entre accélérations angulaire (α) et linéaires (at et ar ) : L’accélération angulaire est reliée à l’accélération tangentielle
dω α= dt dv dω aT = = r⋅ = r ⋅α → aT = r ⋅ α dt dt L’accélération radiale est reliée à la vitesse angulaire v2 ar = − rˆ r v = r ⋅ω →
2004-2005
ar = −ω 2 ⋅ r rˆ
Chapitre 5
19
Vitesse et accélération angulaires
2004-2005
Chapitre 5
20
Mouvements de translation et de rotation Grandeur
Translation
Rotation
Relation
Position
x, s
θ
s=r.θ
Vitesse
v
ω
v=r.ω
Accélération
aT ar
α
aT = r . α
2004-2005
ar = - ω2. r
Chapitre 5
21
MRUA et MCUA x=rτ
v=rω
Accélération linéaire a constante
a=rα
Accélération angulaire α constante
v = v0 + a Δt v = (v0+v)/2
ω = ω0 + α Δt
Δx = v0 Δt + (a/2) (Δt)2
Δθ = ω0 Δt + (α/2) (Δt)2
Δx = (v0 +v)/2 Δt v2 = v02 + 2 a Δx
ω = (ω0+ ω)/2 Δθ = (ω0 + ω)/2 Δt ω2 = ω02 + 2 α Δθ
Loi de Newton :
τ=Iα
F=ma 2004-2005
Chapitre 5
22
Moment de force et accélération angulaire Moment de force: τ = r . Fa = r . (m aT) = r . (m r.α) = m r2 α
τ=Iα 2004-2005
avec
I = m . r2 moment d’inertie Chapitre 5
23
Moment d’inertie Inertie au mouvement de rotation ≡ Coefficient de proportionalité entre - le moment de force total appliqué - l’accélération angulaire résultante
Σi τi = I . α • propriété intrinsèque de l’objet (masse, forme) • dépend de la position de l’axe de rotation • pour un objet complexe :
I = Σi mi ri2 → Contribution importante pour les éléments éloignés de l’axe de rotation 2004-2005
Chapitre 5
24
Moment d’inertie • Deux masses ponctuelles : fonction de la position de l’axe) B A IA = m (L/2)2 + m (L/2)2 = m L2/2 IB = m (L/3)2 + m (2L/3)2 = 5 m L2/9 • Roue de bicyclette : I = Σi Δmi R2 = R2 (Σi Δmi ) = m R2 • Rayon de giration : I = m k2 2004-2005
Chapitre 5
k = (I/m)1/2 25
Remarques - Combinaison rotation-translation :
Σi Fi = m a - Rotation autour C.M. : Σi τi = I α - Translation C.M. :
a=rα
- Relation : - Poulie de masse non-négligeable :
T1
2004-2005
T1 ≠ T2
T2
Chapitre 5
26
Exercice -Pour la masse m : mg-T=ma - Pour la roue : τ =Iα=r.T
rT r 2T mr 2 (g − a) I= = = α a a
2004-2005
Chapitre 5
27
Loi de Kepler - Equation du mouvement G
m MT r2
v2 =m r
- Au cours d’une période : le satellite parcourt 2π r 2π r T= v
G
m MT r
2
m ⎛ 2π r ⎞ = ⎜ r ⎝ T ⎟⎠
2
→
2 ⎛ ⎞ 3 4 π 2 T =⎜ r ⎟ ⎝ MT G ⎠ C
Satellite géostationnaire : rs = (T2/C)2/3 avec T=24h rs = 42 400 km 2004-2005
Chapitre 5
28
Les marées Deux marées hautes par jour : lorsque la surface immergée rencontre une poche d’eau équatoriale
B
Renflement équatorial face à la lune : dû à l’attraction de la lune 2004-2005
A
Renflement équatorial opposé à la lune : dû à la rotation du système Terre-Lune autour CM (FA < FB et ω2 RA > ω2 RB) Chapitre 5
29
Système de référence en rotation Référentiel: Personne en rotation
Immobile
Référentiel personne : une balle au repos se met en mouvement selon une trajectoire Courbe.
Référentiel immobile : La balle continue en ligne droite avec sa vitesse initiale.
• Les lois de Newton - ne s’appliquent pas dans un référentiel en rotation (ou accéléré par rapport à un référentiel inertiel) - peuvent s’appliquer en utilisant un subterfuge consistant à introduire une force fictive 2004-2005
Chapitre 5
30
Force fictive de Coriolis Deux personnes sur une plate-forme en rotation Une balle lancée à vitesse v de A -> B passera derrière B comme si une force l’avait fait dévier vers l’arrière. Référentiels: Immobile
2004-2005
Personnes en rotation
Chapitre 5
31
Force fictive et accélération de Coriolis rB − rA = vt
sA = v At avec v A = rAω sB = v Bt avec v B = rBω s = (sB − sA ) = (v B − v A )t = (rB − rA )ω t = ω v t 2 Δx = v 0t + (a / 2) t 2 s = 0 + (ac / 2) t 2
Accélération de Coriolis 2004-2005
Chapitre 5
ac = 2ω v ac = −2 ω × v 32
Masses nuageuses A cause de la rotation de la terre, les vents ne s’élancent pas directement vers les régions de basse pression mais sont déviés comme si une force fictive agissait sur eux.
2004-2005
Chapitre 5
33
