Transformas De Fourier-mukai

Transformadas de Fourier-Mukai Dar´ıo S´anchez G´omez Departamento de Matem´aticas Universidad de Salamanca Salamanca, Noviembre de 2008

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 1/1

Introducción

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 2/1

Introducción • Transformada de Fourier: para un espacio vectorial real E

f 7→

Z

f (x)e2πi<x, > dx

E

establece un isomorfismo entre el espacio de funciones integrables L2 (E) y L2 (E ∗ ).

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 2/1

Introducción • Transformada de Fourier: para un espacio vectorial real E

f 7→

Z

f (x)e2πi<x, > dx

E

establece un isomorfismo entre el espacio de funciones integrables L2 (E) y L2 (E ∗ ). • S. Mukai (’81): Reformula algebraicamente la

transformada de Fourier. Define una equivalencia entre las ˆ categorías derivadas D− (X) y D− (X) •

∗ •

L

SX→Xˆ (E ) = Rˆ π∗ (π E ⊗ P) ˆ su variedad dual y P el siendo X una variedad abeliana, X ˆ fibrado de Poincaré de X × X

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 2/1

Categoría Derivada

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 3/1

Categoría Derivada Sean C y D categorías (aditivas). Un functor F : C → D es plenamente fiel si existen isomorfismos functoriales HomC (A, B) ≃ HomD (F (A), F (B))

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 3/1

Categoría Derivada Sean C y D categorías (aditivas). Un functor F : C → D es plenamente fiel si existen isomorfismos functoriales HomC (A, B) ≃ HomD (F (A), F (B)) Ejemplo: Las equivalencias son functores plenamente fieles.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 3/1

Categoría Derivada Sean C y D categorías (aditivas). Un functor F : C → D es plenamente fiel si existen isomorfismos functoriales HomC (A, B) ≃ HomD (F (A), F (B)) Ejemplo: Las equivalencias son functores plenamente fieles. • F ⊣ H si HomD (F (A), B) ≃ HomC (A, H(B))

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 3/1

Categoría Derivada Sean C y D categorías (aditivas). Un functor F : C → D es plenamente fiel si existen isomorfismos functoriales HomC (A, B) ≃ HomD (F (A), F (B)) Ejemplo: Las equivalencias son functores plenamente fieles. • F ⊣ H si HomD (F (A), B) ≃ HomC (A, H(B)) • G ⊣ F si HomD (B, F (A)) ≃ HomC (G(B), A)

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 3/1

Categoría Derivada Sean C y D categorías (aditivas). Un functor F : C → D es plenamente fiel si existen isomorfismos functoriales HomC (A, B) ≃ HomD (F (A), F (B)) Ejemplo: Las equivalencias son functores plenamente fieles. • F ⊣ H si HomD (F (A), B) ≃ HomC (A, H(B)) • G ⊣ F si HomD (B, F (A)) ≃ HomC (G(B), A) • Si existen son únicos.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 3/1

Categoría Derivada Sean C y D categorías (aditivas). Un functor F : C → D es plenamente fiel si existen isomorfismos functoriales HomC (A, B) ≃ HomD (F (A), F (B)) Ejemplo: Las equivalencias son functores plenamente fieles. • F ⊣ H si HomD (F (A), B) ≃ HomC (A, H(B)) • G ⊣ F si HomD (B, F (A)) ≃ HomC (G(B), A) • Si existen son únicos. • Si F es una equivalencia F −1 ≃ H ≃ G

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 3/1

Categoría Derivada

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 4/1

Categoría Derivada Sea C es una categoría k-lineal.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 4/1

Categoría Derivada Sea C es una categoría k-lineal. Un functor de Serre es una equivalencia k-lineal S : C → C tal que, para toda pareja A, B ∈ Ob(C ) existen isomorfismos bifunctoriales

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 4/1

Categoría Derivada Sea C es una categoría k-lineal. Un functor de Serre es una equivalencia k-lineal S : C → C tal que, para toda pareja A, B ∈ Ob(C ) existen isomorfismos bifunctoriales ∼

Hom(A, B) → Hom(B, S(A))∗

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 4/1

Categoría Derivada Sea C es una categoría k-lineal. Un functor de Serre es una equivalencia k-lineal S : C → C tal que, para toda pareja A, B ∈ Ob(C ) existen isomorfismos bifunctoriales ∼

Hom(A, B) → Hom(B, S(A))∗ • Para toda equivalencia F : C → D existen isomorfismos

SD ◦ F ≃ F ◦ SC

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 4/1

Categoría Derivada Sea C es una categoría k-lineal. Un functor de Serre es una equivalencia k-lineal S : C → C tal que, para toda pareja A, B ∈ Ob(C ) existen isomorfismos bifunctoriales ∼

Hom(A, B) → Hom(B, S(A))∗ • Para toda equivalencia F : C → D existen isomorfismos

SD ◦ F ≃ F ◦ SC • Si F tiene adjunto por la izquierda G ⇒ existe el adjunto

por la derecha H = SC ◦ G ◦ SD −1

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 4/1

Categoría Derivada Sea C es una categoría k-lineal. Un functor de Serre es una equivalencia k-lineal S : C → C tal que, para toda pareja A, B ∈ Ob(C ) existen isomorfismos bifunctoriales ∼

Hom(A, B) → Hom(B, S(A))∗ • Para toda equivalencia F : C → D existen isomorfismos

SD ◦ F ≃ F ◦ SC • Si F tiene adjunto por la izquierda G ⇒ existe el adjunto

por la derecha H = SC ◦ G ◦ SD −1 Una familia Σ ⊂ D, D triangulada, es una clase generadora si

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 4/1

Categoría Derivada Sea C es una categoría k-lineal. Un functor de Serre es una equivalencia k-lineal S : C → C tal que, para toda pareja A, B ∈ Ob(C ) existen isomorfismos bifunctoriales ∼

Hom(A, B) → Hom(B, S(A))∗ • Para toda equivalencia F : C → D existen isomorfismos

SD ◦ F ≃ F ◦ SC • Si F tiene adjunto por la izquierda G ⇒ existe el adjunto

por la derecha H = SC ◦ G ◦ SD −1 Una familia Σ ⊂ D, D triangulada, es una clase generadora si • Homi (σ, a) = 0

∀i ∈ Z ∀σ ∈ Σ, entonces a = 0

• Homi (a, σ) = 0

∀i ∈ Z ∀σ ∈ Σ, entonces a = 0

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 4/1

Categoría Derivada

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 5/1

Categoría Derivada Db (X) la categoría derivada de complejos acotados de haces cohentes de X, donde X es una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 5/1

Categoría Derivada Db (X) la categoría derivada de complejos acotados de haces cohentes de X, donde X es una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado. • Todo objeto en Db (X) es perfecto.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 5/1

Categoría Derivada Db (X) la categoría derivada de complejos acotados de haces cohentes de X, donde X es una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado. • Todo objeto en Db (X) es perfecto. • Existe el functor de Serre SX (E • ) = E • ⊗ ωX [dim X]

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 5/1

Categoría Derivada Db (X) la categoría derivada de complejos acotados de haces cohentes de X, donde X es una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado. • Todo objeto en Db (X) es perfecto. • Existe el functor de Serre SX (E • ) = E • ⊗ ωX [dim X]

n o • Σ = Ox , haz estructural del subesquema cerrado{x} ֒→ X es una clase generadora.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 5/1

Categoría Derivada Db (X) la categoría derivada de complejos acotados de haces cohentes de X, donde X es una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado. • Todo objeto en Db (X) es perfecto. • Existe el functor de Serre SX (E • ) = E • ⊗ ωX [dim X]

n o • Σ = Ox , haz estructural del subesquema cerrado{x} ֒→ X es una clase generadora. • Db (X) es indescomponible ⇔ X es conexo.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 5/1

Transformadas Integrales

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 6/1

Transformadas Integrales X, Y variedades algebraicas propias sobre k algebraicamente cerrado.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 6/1

Transformadas Integrales X, Y variedades algebraicas propias sobre k algebraicamente cerrado. Def: Llamaremos functor integral de núcleo K• al functor exacto K• ΦX→Y

: D− (X) → D− (Y ) •

E 7→

L ∗ • RπY ∗ (πX E ⊗ K• )

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 6/1

Transformadas Integrales X, Y variedades algebraicas propias sobre k algebraicamente cerrado. Def: Llamaremos functor integral de núcleo K• al functor exacto K• ΦX→Y

: D− (X) → D− (Y ) •

E 7→ Si

K•

∈

Db (X

× Y ),

• K ΦX→Y

L ∗ • RπY ∗ (πX E ⊗ K• )

aplica Db (X) en Db (Y ).

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 6/1

Transformadas Integrales X, Y variedades algebraicas propias sobre k algebraicamente cerrado. Def: Llamaremos functor integral de núcleo K• al functor exacto K• ΦX→Y

: D− (X) → D− (Y ) •

E 7→ Si

K•

∈

Db (X

× Y ),

• K ΦX→Y

L ∗ • RπY ∗ (πX E ⊗ K• )

aplica Db (X) en Db (Y ).

K• ∗L• • ΦL• ◦ ΦK• Y →Z X→Y ≃ ΦX→Y con

K•

∗

L•

:=

∗ RπX,Z ∗ (πX,Y

L • ∗ L• ). K ⊗ πY,Z

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 6/1

Transformadas Integrales X, Y variedades algebraicas propias sobre k algebraicamente cerrado. Def: Llamaremos functor integral de núcleo K• al functor exacto K• ΦX→Y

: D− (X) → D− (Y ) •

E 7→ Si

K•

∈

Db (X

× Y ),

• K ΦX→Y

L ∗ • RπY ∗ (πX E ⊗ K• )

aplica Db (X) en Db (Y ).

K• ∗L• • ΦL• ◦ ΦK• Y →Z X→Y ≃ ΦX→Y con

K•

∗

L•

:=

∗ RπX,Z ∗ (πX,Y

L • ∗ L• ). K ⊗ πY,Z

• Existe adjunto por la derecha y por la izquierda.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 6/1

Transformadas Integrales

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 7/1

Transformadas Integrales Def: K• ∈ Db (X × Y ) es fuertemente simple sobre X si

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 7/1

Transformadas Integrales Def: K• ∈ Db (X × Y ) es fuertemente simple sobre X si 1. HomiD(Y ) (Ljx∗1 K• , Ljx∗2 K• ) = 0, salvo si i ∈ [0, dim X] y x1 = x2

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 7/1

Transformadas Integrales Def: K• ∈ Db (X × Y ) es fuertemente simple sobre X si 1. HomiD(Y ) (Ljx∗1 K• , Ljx∗2 K• ) = 0, salvo si i ∈ [0, dim X] y x1 = x2 2. Hom0D(Y ) (Ljx∗ K• , Ljx∗ K• ) = k

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 7/1

Transformadas Integrales Def: K• ∈ Db (X × Y ) es fuertemente simple sobre X si 1. HomiD(Y ) (Ljx∗1 K• , Ljx∗2 K• ) = 0, salvo si i ∈ [0, dim X] y x1 = x2 2. Hom0D(Y ) (Ljx∗ K• , Ljx∗ K• ) = k Th: X e Y variedades proyectivas lisas y K• ∈ Db (X × Y ). •

• F = ΦK es plenamente fiel ⇐⇒ K es fuertemente simple sobreX X→Y

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 7/1

Transformadas Integrales Def: K• ∈ Db (X × Y ) es fuertemente simple sobre X si 1. HomiD(Y ) (Ljx∗1 K• , Ljx∗2 K• ) = 0, salvo si i ∈ [0, dim X] y x1 = x2 2. Hom0D(Y ) (Ljx∗ K• , Ljx∗ K• ) = k Th: X e Y variedades proyectivas lisas y K• ∈ Db (X × Y ). •

• F = ΦK es plenamente fiel ⇐⇒ K es fuertemente simple sobreX X→Y

Th (Orlov): F : Db (X) → Db (Y ) exacto, plenamente fiel y con adjunto, siendo X e Y lisas. Entonces existe un único objeto, salvo • b K• isomorfismos, K en D (X × Y ) tal que F ≃ ΦX→Y

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 7/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 8/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

• K ΦX→Y

Def: Un functor integral : Db (X) → Db (Y ) se dice que es un functor Fourier-Mukai si es una equivalencia de categorías. Si además el núcleo K• es un complejo concentrado en un haz coherente en grado cero, el functor se llama transformada de Fourier-Mukai.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 8/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

• K ΦX→Y

Def: Un functor integral : Db (X) → Db (Y ) se dice que es un functor Fourier-Mukai si es una equivalencia de categorías. Si además el núcleo K• es un complejo concentrado en un haz coherente en grado cero, el functor se llama transformada de Fourier-Mukai. • ∼ Sea F : Db (X) → Db (Y ), con X e Y lisas, entonces F ≃ ΦK X→Y y

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 8/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

• K ΦX→Y

Def: Un functor integral : Db (X) → Db (Y ) se dice que es un functor Fourier-Mukai si es una equivalencia de categorías. Si además el núcleo K• es un complejo concentrado en un haz coherente en grado cero, el functor se llama transformada de Fourier-Mukai. • ∼ Sea F : Db (X) → Db (Y ), con X e Y lisas, entonces F ≃ ΦK X→Y y 1. dim X = dim Y

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 8/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

• K ΦX→Y

Def: Un functor integral : Db (X) → Db (Y ) se dice que es un functor Fourier-Mukai si es una equivalencia de categorías. Si además el núcleo K• es un complejo concentrado en un haz coherente en grado cero, el functor se llama transformada de Fourier-Mukai. • ∼ Sea F : Db (X) → Db (Y ), con X e Y lisas, entonces F ≃ ΦK X→Y y 1. dim X = dim Y ∗ ω ≃ K• ⊗ π ∗ ω 2. K• ⊗ πX X Y Y

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 8/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

• K ΦX→Y

Def: Un functor integral : Db (X) → Db (Y ) se dice que es un functor Fourier-Mukai si es una equivalencia de categorías. Si además el núcleo K• es un complejo concentrado en un haz coherente en grado cero, el functor se llama transformada de Fourier-Mukai. • ∼ Sea F : Db (X) → Db (Y ), con X e Y lisas, entonces F ≃ ΦK X→Y y 1. dim X = dim Y ∗ ω ≃ K• ⊗ π ∗ ω 2. K• ⊗ πX X Y Y •

Prop: ΦK X→Y es un functor de Fourier-Mukai si y sólo si es plenamente fiel y ∗ K• ⊗ πX ωX ≃ K• ⊗ πY∗ ωY

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 8/1

Transformada Mukai Corolario: Si

K• ΦX→Y

de

es FM entonces

FourierK• ΦY →X

es FM.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 9/1

Transformada Mukai K• ΦX→Y

de

FourierK• ΦY →X

Corolario: Si es FM entonces es FM. K• ⇒ ΦX→Y FM ⇒ K• es fuertemente simple sobre X e Y.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 9/1

Transformada Mukai K• ΦX→Y

de

FourierK• ΦY →X

Corolario: Si es FM entonces es FM. K• ⇒ ΦX→Y FM ⇒ K• es fuertemente simple sobre X e Y.

Prop:

K• ΦX→Y

es FM ⇐⇒ K• es fuertemente simple sobre X, Y.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 9/1

Transformada Mukai

de

K• ΦX→Y

FourierK• ΦY →X

Corolario: Si es FM entonces es FM. K• ⇒ ΦX→Y FM ⇒ K• es fuertemente simple sobre X e Y.

Prop:

K• ΦX→Y

Th[TB]:

es FM ⇐⇒ K• es fuertemente simple sobre X, Y.

K• ΦX→Y

es FM ⇔ es plenamente fiel y K• ΦX→Y

(Ox ) ⊗ ωY ≃

K• ΦX→Y

(Ox )

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 9/1

Transformada Mukai

de

K• ΦX→Y

FourierK• ΦY →X

Corolario: Si es FM entonces es FM. K• ⇒ ΦX→Y FM ⇒ K• es fuertemente simple sobre X e Y.

Prop:

K• ΦX→Y

Th[TB]:

es FM ⇐⇒ K• es fuertemente simple sobre X, Y.

K• ΦX→Y

es FM ⇔ es plenamente fiel y K• ΦX→Y

(Ox ) ⊗ ωY ≃

K• ΦX→Y

(Ox )

⇒ si ωY es trivial, plenamente fiel ⇔ FM

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 9/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

Th: Sean X e Y variedades proyectivas lisas de dimensión n y m K• respectivamente y ΦX→Y : D b (X) → D b (Y ) un functor de Fourier-Mukai.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 10/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

Th: Sean X e Y variedades proyectivas lisas de dimensión n y m K• respectivamente y ΦX→Y : D b (X) → D b (Y ) un functor de Fourier-Mukai. 1. Los adjuntos por la derecha, K• ∨

L ∗ K• ∨ ⊗ πX ωX [n] ΦY →X

e izquierda,

L

∗ ⊗ πY ωY [m]

•

de ΦK X→Y son functorialmente isomorfos y • quasi-inversos de ΦK X→Y . ΦY →X

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 10/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

Th: Sean X e Y variedades proyectivas lisas de dimensión n y m K• respectivamente y ΦX→Y : D b (X) → D b (Y ) un functor de Fourier-Mukai. 1. Los adjuntos por la derecha, K• ∨

L ∗ K• ∨ ⊗ πX ωX [n] ΦY →X

e izquierda,

L

∗ ⊗ πY ωY [m]

•

de ΦK X→Y son functorialmente isomorfos y • quasi-inversos de ΦK X→Y . ΦY →X

2. X e Y tienen igual dimensión.

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 10/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

Th: Sean X e Y variedades proyectivas lisas de dimensión n y m K• respectivamente y ΦX→Y : D b (X) → D b (Y ) un functor de Fourier-Mukai. 1. Los adjuntos por la derecha, K• ∨

L ∗ K• ∨ ⊗ πX ωX [n] ΦY →X

e izquierda,

L

∗ ⊗ πY ωY [m]

•

de ΦK X→Y son functorialmente isomorfos y • quasi-inversos de ΦK X→Y . ΦY →X

2. X e Y tienen igual dimensión. 3. Los fibrados canónicos de X e Y tienen igual orden. Además si r = rk(K• ) entonces r es mayor o igual que dicho orden o r es cero, ⊗r ⊗r esto es ωX ≃ OX y ωY ≃ OY .

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 10/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

Th: Sean X e Y variedades proyectivas lisas de dimensión n y m K• respectivamente y ΦX→Y : D b (X) → D b (Y ) un functor de Fourier-Mukai. 1. Los adjuntos por la derecha, K• ∨

L ∗ K• ∨ ⊗ πX ωX [n] ΦY →X

e izquierda,

L

∗ ⊗ πY ωY [m]

•

de ΦK X→Y son functorialmente isomorfos y • quasi-inversos de ΦK X→Y . ΦY →X

2. X e Y tienen igual dimensión. 3. Los fibrados canónicos de X e Y tienen igual orden. Además si r = rk(K• ) entonces r es mayor o igual que dicho orden o r es cero, ⊗r ⊗r esto es ωX ≃ OX y ωY ≃ OY . 4. ωX es trivial si y sólo si ωY lo es. En tal caso el functor • quasi-inverso de ΦK X→Y .

K• ∨ [n] ΦY →X

es un

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 10/1

Transformada Mukai

de

Fourier-

Th: Sean X e Y variedades proyectivas lisas de dimensión n y m K• respectivamente y ΦX→Y : D b (X) → D b (Y ) un functor de Fourier-Mukai. 1. Los adjuntos por la derecha, K• ∨

L ∗ K• ∨ ⊗ πX ωX [n] ΦY →X

e izquierda,

L

∗ ⊗ πY ωY [m]

•

de ΦK X→Y son functorialmente isomorfos y • quasi-inversos de ΦK X→Y . ΦY →X

2. X e Y tienen igual dimensión. 3. Los fibrados canónicos de X e Y tienen igual orden. Además si r = rk(K• ) entonces r es mayor o igual que dicho orden o r es cero, ⊗r ⊗r esto es ωX ≃ OX y ωY ≃ OY . 4. ωX es trivial si y sólo si ωY lo es. En tal caso el functor • quasi-inverso de ΦK X→Y .

K• ∨ [n] ΦY →X

es un

5. Para todo i ∈ Z con i ≥ 0 se tiene el isomorfismo H 0 (X, ωX ⊗i ) ≃ H 0 (Y, ωY ⊗i ).

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 10/1

Transformadas cohomológicas

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 11/1

Transformadas cohomológicas D b (X) E

•



v

/ A∗ ⊗ Q ⊂ H ∗ (X, Q)

vector de Mukai

p / v(E • ) = ch(E • ) td(X)

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 11/1

Transformadas cohomológicas D b (X) E

•



v

/ A∗ ⊗ Q ⊂ H ∗ (X, Q)

H ∗ (X, Q)

p / v(E • ) = ch(E • ) td(X)

β

fK

•

/ H ∗ (Y, Q)

/ πY ∗ (π ∗ β · v(K• )) X

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 11/1

Transformadas cohomológicas D b (X) E

•



v

/ A∗ ⊗ Q ⊂ H ∗ (X, Q)

H ∗ (X, Q)

p / v(E • ) = ch(E • ) td(X)

β

fK

•

/ H ∗ (Y, Q)

/ πY ∗ (π ∗ β · v(K• )) X

•

D b (X) v

 H ∗ (X, Q) •

ΦK X→Y

/ D b (Y )

fK

v

 / H ∗ (Y, Q)

•

•

y f K depende funtorialmente del núcleo, f K

∗L•

•

•

= fL ◦ fK .

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 11/1

Transformadas cohomológicas D b (X) E

•



v

/ A∗ ⊗ Q ⊂ H ∗ (X, Q)

H ∗ (X, Q)

p / v(E • ) = ch(E • ) td(X)

β

fK

•

/ H ∗ (Y, Q)

/ πY ∗ (π ∗ β · v(K• )) X

•

D b (X) v

 H ∗ (X, Q) •

ΦK X→Y

/ D b (Y )

fK

v

 / H ∗ (Y, Q)

•

•

•

•

•

y f K depende funtorialmente del núcleo, f K ∗L = f L ◦ f K . R Métrica de Mukai: < u, w >:= − X exp(c1 (X)/2)u∗ · w

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 11/1

Transformadas cohomológicas D b (X) E

•



v

/ A∗ ⊗ Q ⊂ H ∗ (X, Q)

H ∗ (X, Q)

p / v(E • ) = ch(E • ) td(X)

β

fK

•

/ H ∗ (Y, Q)

/ πY ∗ (π ∗ β · v(K• )) X

•

D b (X) v

 H ∗ (X, Q) •

ΦK X→Y

/ D b (Y )

fK

v

 / H ∗ (Y, Q)

•

•

•

•

•

y f K depende funtorialmente del núcleo, f K ∗L = f L ◦ f K . R Métrica de Mukai: < u, w >:= − X exp(c1 (X)/2)u∗ · w P • χ(E • , F • ) = i (−1)i dim Exti (E • , F • )

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 11/1

Transformadas cohomológicas D b (X) E

•



v

/ A∗ ⊗ Q ⊂ H ∗ (X, Q)

H ∗ (X, Q)

p / v(E • ) = ch(E • ) td(X)

β

fK

•

/ H ∗ (Y, Q)

/ πY ∗ (π ∗ β · v(K• )) X

•

D b (X) v

 H ∗ (X, Q)

ΦK X→Y

/ D b (Y )

fK

v

 / H ∗ (Y, Q)

•

•

•

•

•

•

y f K depende funtorialmente del núcleo, f K ∗L = f L ◦ f K . R Métrica de Mukai: < u, w >:= − X exp(c1 (X)/2)u∗ · w • χ(E • , F • ) = − < v(E • ) , v(F • ) >

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 11/1

Transformadas cohomológicas D b (X) E

•



v

/ A∗ ⊗ Q ⊂ H ∗ (X, Q)

H ∗ (X, Q)

p / v(E • ) = ch(E • ) td(X)

β

fK

•

/ H ∗ (Y, Q)

/ πY ∗ (π ∗ β · v(K• )) X

•

D b (X) v

 H ∗ (X, Q)

ΦK X→Y

/ D b (Y )

fK

v

 / H ∗ (Y, Q)

•

•

•

•

•

•

y f K depende funtorialmente del núcleo, f K ∗L = f L ◦ f K . R Métrica de Mukai: < u, w >:= − X exp(c1 (X)/2)u∗ · w • χ(E • , F • ) = − < v(E • ) , v(F • ) >

• K• • [Mukai-Cˇaldˇararu] ΦK una FM, entonces f es isometría. X→Y

Transformadas de Fourier-Mukai– p. 11/1