Trabalho De Grupo 4

EESSCCOOLLAA SSEECCUUNNDDÁÁRRIIAA DDEEAALLCCOOCCHHEETTEE MATEMÁTICA A

11.º ANO

Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial I

Ficha de Trabalho Grupo

Exercício 1 A Maria vai sempre de carro, com o pai, para a Escola, saindo de casa entre as sete e meia e as oito da manhã. Admite que, quando a Maria sai de casa t minutos depois das sete e meia, a duração da viagem, em minutos, é dada por ݀ሺ‫ݐ‬ሻ = 45 −

5600 ሺ‫ ∈ ݐ‬ሾ0; 30ሿሻ + 300

‫ݐ‬ଶ

As aulas da Maria começam sempre às oito e meia. a) Mostra que, se a Maria sair de casa às 7h40, chega à escola às 8h11, mas se sair de casa às 7h55, já chega atrasada às aulas. b) Recorrendo às capacidades da calculadora gráfica, resolve o seguinte problema: Até que horas pode a Maria sair de casa, de modo a que não chegue atrasada às aulas? A resolução deve incluir • • •

Uma explicação de que, para que a Maria não chegue atrasada às aulas, é necessário que ‫ ݐ‬+ ݀ሺ‫ݐ‬ሻ ≤ 60 O(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora A resposta ao problema em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

c) Resolve a alínea anterior, recorrendo desta vez a métodos exclusivamente analíticos.

Exercício 2 Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função ‫ݒ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ‫ ݐ‬ଷ − 15‫ ݐ‬ଶ + 63‫ݐ‬

onde t designa o tempo (medido em minutos), contando a partir do início da experiência, e v(t) designa a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em centenas de rotações por minuto) a) Sem recorrer à calculadora, excepto para eventuais cálculos numéricos, determina: a. os intervalos de tempo onde se registaram aumentos da velocidade de rotação do eixo do motor. b. qual foi a velocidade máxima atingida, nos primeiros oito minutos da experiência. Apresenta o resultado em centenas de rotações por minuto. b) Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, determina durante quanto tempo é que, nos primeiros oito minutos da experiência, a velocidade de rotação do eixo do motor foi superior a 6000 rotações por minuto. Escreve o resultado final em minutos e segundos (com o número de segundos arredondado às unidades). Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtidos, bem como as coordenadas dos pontos relevantes para a resolução do problema (apresenta as abcissas com duas casas decimais) c) Resolve a alínea anterior, recorrendo desta vez a métodos exclusivamente analíticos.

Exercício 3 Considera a função f, de domínio ℝ\ሼ1ሽ, definida por ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 2 +

1 1−‫ݔ‬

a) Sem recorrer à calculadora, determina dos números reais x tais que ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≤ 1. Apresenta a resposta final sob a forma de intervalo (ou união de intervalos). b) O gráfico da função f tem duas assímptotas. Escreve as suas equações. c) Caracteriza a função inversa de f no conjunto onde se encontrar definida.

Exercício 4 Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo de fruta com capacidade de dois litros. Por questões de marketing, as embalagens deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular. a) Mostra que a área total da embalagem é dada por 2‫ ݔ‬ଷ + 8 ‫ܣ‬ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ݔ‬

x é o comprimento da aresta da base, em decímetros. Nota: Recorda que 1 litro = 1dm3 b) Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostra que existe um valor de x para o qual a área total da embalagem é mínima e determina-o

Exercício 5 Considera que se pretende construir um recipiente a partir de uma folha de papel de dimensão A4 (297mm × 210mm). a) Recorrendo às potencialidades da calculadora gráfica averigua: a. Se é possível construir um recipiente com capacidade superior a um litro. b. Qual a capacidade máxima que se consegue atingir. Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtidos, bem como as coordenadas dos pontos relevantes para a resolução do problema (apresenta as abcissas com duas casas decimais) b) Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, apresenta uma outra resolução das alíneas anteriores.

Nota: O trabalho deve conter obrigatoriamente: capa; introdução; desenvolvimento (resolução dos exercícios); gráficos obtidos na resolução do problema; índice; bibliografia e conclusão.

Data limite de entrega: 20 de Abril de 2009