Trabajo De Geometria

Raquel Muñoz Fernández 3 eso A Marta Aguilera Molina

3 eso B

Introducción

Los cuerpos geometricos:

La geometría del espacio es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales. Llamamos cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el espacio tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio. Asimismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros cuerpos (sólidos, líquidos o gaseosos) en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que éste ocupa.

CUERPOS Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo a la forma de sus caras: - Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden dividirse en poliedros regulares y poliedros irregulares. - Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen por lo menos una cara curva.

La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el Análisis Matemático y sobre todo con -1-

las Ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría Descriptiva, del Dibujo Técnico e incluso en la fabricación de artesanías).

Clasificación de los lados de los cuerpos geometricod Tetraedro

Hexaedro (cubo)

Octaedro Dodecaedro Icosaedro

4 caras 8 caras 12 caras 20 caras 6 caras (triángulos (triángulos (pentágonos (triángulos (cuadrados) equiláteros) equiláteros) regulares) equiláteros) N° de caras

4

6

8

12

20

N° de vértices

4

8

6

20

12

N° de aristas

6

12

12

30

30

N° de lados de cada cara

3

4

3

5

3

N° aristas concurrentes en un vértice

3

3

4

3

5

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Clasificación de los cuerpos geometricos

Tetraedro regular: está formado por 4 caras triangulares.

Hexaedro regular: (cubo): está formado por 6 cuadrados.

Octaedro regular: está formado por 8 triángulos equiláteros.

Dodecaedro regular: lo forman 12 caras pentagonales.

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Icosaedro regular: está constituida por 20 triángulos equiláteros.

Prisma: Poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales llamados bases, cuyos planos son paralelos.

Pirámide: Poliedro que tiene una cara que es un polígono cualquiera al que se llama base y las caras laterales son triángulos que tienen un punto en común llamado vértice.

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Cono: es la superficie que se forma por una semirrecta que gira alrededor de un eje perpendicular al plano de una circunferencia en su centro, cumpliendo la condición de que su origen pertenece al eje y que la semirrecta no es perpendicular a él.

Esfera: corresponde a la superficie de una circunferencia que gira alrededor de su diámetro

Cilindro: Un cilindro es una figura geométrica formada por media revolución de un rectángulo. Consta de tres lados: dos caras idénticas circulares unidas por un plano curvo y cerrado perpendicular a ambas caras.

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Pirámide hexagonal: Es el cuerpo poliedro que tiene por base una región poligonal de 6 lados y cuyas caras laterales son regiones triangulares que concurren a un vértice común, llamado vértice o cúspide de la pirámide. Poliedros irregulares: Son aquellos que no tienen sus caras como polígonos regulares ni sus ángulos poliedros iguales. Pero hay otros cuerpos, como la esfera, el cilindro o el cono que no están limitados por polígonos, sino por superficies curvas; se llaman cuerpos redondos, que también han recibido desde antiguo una atención especial y cuyas superficies y volúmenes estaban ya estudiados en la obra de Euclides. Cuerpos redondos: Son los cuerpos limitados, parcial o totalmente, por superficies curvas. Utilidad: La mayoría de los poliedros son figuras que existen en la realidad. Un ejemplo de ellos son las pirámides y los virus.

Poliedros Un Poliedro es Cóncavo si tiene una cara cuyo plano atraviesa a la figura y Convexo si todo él está en el n-ésimo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras. Un Poliedro es Simple si no tiene orificios que lo atraviesen.

Poliedros regulares Un Poliedro Regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras. Un Poliedro es una porción de -6-

espacio limitada por polígonos planos, que tiene por elementos característicos las Caras, las Aristas y los Vértices: •

Los cuerpos geométricos tienen unas aristas, unas caras y también unos vértices.

-Caras: Son las superficies planas que forman el poliedro, las cuales se interceptan entre sí.

-Aristas: Son los segmentos formados por la intersección de dos (2) caras.

-Vértices: Son los puntos donde se interceptan 3 o más aristas.

-Solo hay cinco poliedros regulares, son:

Tetraedro : 4 caras triangulares que concurren 3 en cada vértice, tiene 4 vértices y 6 aristas.

•

Cubo : 6 caras cuadradas , que concurren tres en cada vértice , tiene 8 vértices y 12 aristas .

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•

Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice , tiene 6 vértices y 12 aristas.

•

•

Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren 3 en cada vértice, tiene 20 vértices y 30 aristas.

Icosaedro : Veinte caras triangulares que concurren 5 en cada vértice , tiene 12 vértices y 30 aristas.

Definiciones: Volumen: El volumen es la medida del espacio ocupado por un cuerpo. El volumen de los cuerpos es el resultado de sus tres dimensiones: ancho, alto y profundidad.El volumen resulta de la relación entre peso (masa) y densidad ya que la densidad se define como el cociente (división) entre la masa y el volumen.

Area lateral: El área es la magnitud geométrica que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones: largo y ancho. Para superficies planas el concepto es intuitivo y no requiere introducir técnicas de geometría diferencial avanzadas. Sin embargo, para poder definir el área de una -8-

superficie en general, que es un concepto métrico, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión, cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

Los cilindros, conos y esferas: Los cilindros, conos y esferas eran ya conocidos en los comienzos de las matemáticas, e incluso existía sobre ellos una cierta concepción mitológica, similar a la que existía para los poliedros regulares. Debido a la dificultad que presenta trabajar con infinitas caras, los cálculos con estas medidas hubieron de esperar a la época de Arquímedes. En la actualidad podríamos definir los cuerpos redondos como los cuerpos geométricos limitados, total o parcialmente, por superficies curvas, es decir, Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al menos, una de sus caras o superficies de forma curva.

El paralelepípedo El paralelepípedo es el prisma cuyas bases son paralelogramos. Un paralelepípedo es un cuerpo de seis caras pudiendo ser dos de ellas cuadradas (caras basales) y el resto rectangular (caras laterales). Si las caras laterales son perpendiculares a la altura del cuerpo entonces es le denomina paralelepípedo recto, en caso contrario se trata de un paralelepípedo oblicuo.

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El ortoedro Un ortoedro o cuboide es un paralelepípedo ortogonal, es decir, cuyas caras forman entre sí ángulos diedros rectos. Los ortoedros son prismas rectangulares rectos, y también son llamados paralelepípedos rectangulares. Vulgarmente se los denomina cajas de zapatos o simplemente cajas. Las caras opuestas de un ortoedro son iguales entre sí. El cubo es un caso especial de ortoedro, en el que todos sus lados son cuadrados

Prisma En geometría, un prisma es un poliedro formado por dos copias paralelas de alguna base poligonal unidas por caras que son rectángulos o paralelogramos. En el caso en que las caras de unión sean rectangulares, el objeto es llamado prisma recto. El prisma rectangular o cuboide, y el prisma octagonal se encuentran entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y octagonal, respectivamente.El volumen de un prisma es el producto del área de una de las bases y la distancia entre ellas (la longitud de los lados de unión, en caso de prismas recto

Pirámide Una pirámide es un poliedro con una cara (llamada "base") que es un polígono, y todos los demás lados triangulares que se unen en un punto en común (conocido como el "ápice"). Una pirámide recta es un tipo de pirámide dónde la línea que une el centro de la base con el ápice es perpendicular a ésta. La pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular. La pirámide regular-gonal (denotada Yn) teniendo triángulos equiláteros como lados es posible sólo para n = 3, 4, -10-

5. Estos corresponden al tetraedro, la pirámide de base cuadrada, y la pirámide de base pentagonal, respectivamente.

cilindro Un cilindro es una figura geométrica formada por media revolución de un rectángulo. Consta de tres lados: dos caras idénticas circulares unidas por un plano curvo y cerrado perpendicular a ambas caras. Si bien se conoce como "Cilindro" a la figura descripta con anterioridad, en un sentido más amplio se considera como una Figura cilíndrica a cualquiera que, si es intersectada por infinitos planos paralelos, genera siempre el mismo resultado en todos ellos. El cilindro es una figura cilíndrica correspondiente a una circunferencia, de una forma análoga pueden generarse cilindros con cualquier curva o superficie contenida en un plano.

Cono Un cono, en geometría elemental, es un sólido formado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo generado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen los lados opuestos se llama vértice. Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada formada por el conjunto de rectas que pasan por un punto (vértice) e intersectan una circunferencia. Dentro de este concepto caben formas más generales, por ejemplo el cono elíptico se obtiene al cambiar la base por una elipse. En este caso el cono elemental se llama cono elíptico recto.

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Esfera Una esfera (del griego σφαῖρα, «sfaira») es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la misma. Coloquialmente hablado también se refiere al sólido cuyo volumen se halla contenido en la superficie anterior; con este significado se emplea específicamente la palabra bola. La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico: en la superficie de una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso o también líquido (pero con líquidos que no se pueden mezclar), existen fuerzas superficiales que deformarán la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma, y este mínimo corresponde a una esfera, en ausencia de toda perturbación exterior. Se genera haciendo girar un semicírculo alrededor de un diámetro.

Tetraedro Un tetraedro regular es un poliedro formado por cuatro caras que son triángulos equiláteros, y cuatro vértices en cada uno de los cuales concurren tres caras. Es uno de los cinco poliedros perfectos llamados sólidos platónicos. Además es uno de los ocho poliedros convexos denominados deltaedros. Aplicándole la nomenclatura estándar de los sólidos de Johnson podría ser denominado pirámide triangular. Para la escuela pitagórica el tetraedro representaba el elemento fuego, puesto que pensaban que las partículas (átomos) del fuego tenían esta forma.

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Cubo Un cubo, o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadrados congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos. Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base. El hexaedro regular, al igual que el resto de los sólidos platónicos, cumple el Teorema de poliedros de Euler, pues tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas (8+6=12+2).

Octaedra Un octaedro es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Dodecaedro Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos

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Idocaedro Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de diecinueve lados o menos. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro.

Teorema de Euler El teorema de Euler, también conocido como teorema de Euler-Fermat, es una generalización del pequeño teorema de Fermat, y como tal afirma una proposición sobre divisibilidad de números. El teorema establece que: Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes. Fue discípulo y un gran matematico como lo fue Jean Bernoulli, pero superó rápidamente el notable talento matemático de su maestro. Su carrera profesional se circunscribió a las Academias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo, y la mayor parte de su trabajo se publicó en los anales de ciencias de estas instituciones. Fue protegido de Federico el Grande, en cuya corte protagonizó discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la Retórica, la Metafísica y la fisica. Perdió la vista de un ojo durante un experimento en óptica, y en 1766 la vista del otro, ya de mayor. Pasó los últimos años de su vida ciego, -14-

pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor. Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), la mayor parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos comenzó en 1911 y no hay indicios de que se complete. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes, pero en la actualidad se supone que alcanzará los 200 con facilidad. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, solo equiparable a Gauss.

Teorema de Cavalieri El Principio de Cavalieri (denominado en honor a su descubridor Bonaventura Cavalieri en el siglo XVII) es una ley geométrica que enuncia que la similitud de volumen en dos cuerpos. El enunciado podría ser: "Si dos cuerpos poseen la misma altura y además tienen la misma área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces: igual volumen". Hoy en día en la moderna teoría de geometría analítica el principio de cavalieri es tomado como uncaso especial del Principio de Fubini. Cavalieri no hizo un uso extensivo del principio, empleándolo sólo en su Método de las indivisibles que expone en el año 1635 con la publicación de su obra Geometria indivisibilibus y también aparece en 1647 en su Exercitationes Geometricae. Antes del principio siglo XVII sólo se podría calcular el volumen de algunos cuerpos especiales ya tratados geométricamente por los resultados obtenidos por el griego Arquímedes y Kepler. La idea del cálculo de volúmenes mediante la comparación de secciones dio paso al desarrollo de los primeros pasos del cálculo infinitesimal así como de las integrales. Fue alumno de Galileo, y enseñó matemáticas en Bolonia (1629). Su interés por las matemáticas fue estimulado por los trabajos de Euclides y luego de encontrar a Galileo, -15-

se consideró como un discípulo de este astrónomo. En Pisa, Cavalieri fue educado en matemáticas por Benedetto Castelli, un profesor de matemáticas en la Universidad de esa ciudad.

Poblemas de geometría Estos son los problemas de geometría 1. EL RADIO DEL CÍRCULO. 2. EL LADO DEL ROMBO. una plaza Teniendo en cuenta la figura,En hallar el circular de R=9 m. se quiere construir un radio del círculo. estanque de forma rómbica, según la figura. ¿Cuánto mide el lado del rombo?

3. EL ÁNGULO DE LAS DIAGONALES. ¿Cuántos grados mide el ángulo que forman las dos diagonales de las caras del cubo?

4. GOLPE DE VISTA. Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q respectivamente. El segmento PQ mide 3 centímetros. Por uno de los puntos (O) donde se cortas las circunferencias trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN? 5. EL ÁNGULO OBTUSO. ¿Cuánto mide el ángulo obtuso ABC? A, B y C son los puntos medios de los lados.

6. EL ÁNGULO EXTERIOR. En el triángulo isósceles ABC el ángulo A mide 50 . ¿Cuál es la medida del ángulo x?

7. CUADRADOS QUE SE CORTAN. Tenemos dos cuadrados iguales superpuestos, de manera que un vértice de uno está siempre en el centro del otro. ¿En qué posición el área comprendida entre los dos cuadrados es la mayor posible? 8. SEMEJANZA DE RECTÁNGULOS. Si el ancho de un marco es igual en sus dos direcciones, horizontal y vertical, como sucede casi siempre, el rectángulo constituido por el cuadro completo y el rectángulo de la tela pintada ¿serán semejentes?

-129. LOS DOS CUADRADOS. A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse cuadrados como muestra la figura adjunta. Sabiendo que el área del cuadrado inscrito es de cuatro unidades de superficie, ¿qué área tiene el cuadrado mayor?

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Raquel Muñoz Fernández Marta Aguilera Molina