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1.

√

Tarea. Demostrar por métodos de energía que v = ±ω0 A2−x2

En el sistema masa-resorte, se cumple que E = U + K = 12 mv 2 + 21 kx2 (F) Pero sabemos que el desplazamiento en al M.A.Sestá dado por: x(t) = Asen(ω0 t + φ) derivando x˙ = ω0 Acos(ω0 t + φ) reemplazando ésta ecuación en (F) tenemos: E = 12 mA2 ω02 cos2 (ω0 t + φ) + 12 kA2 sen2 (ω0 t + φ) pero sabemos que ω02 =

k , m

por tanto

k E = 12 mA2 m cos2 (ω0 t + φ) + 12 kA2 sen2 (ω0 t + φ) = 21 kA2 [cos2 (ωo t + φ) + sen2 (ωo t + φ)]

E = 21 kA2 →Constante Igualando (1) con la cte, nos queda: 1 mv 2 2

v2 =

+ 12 kx2 = 21 kA2 k(A2 −x2 ) =ω02 (A m

− x2 )

p √ v = ± ω02 (A − x2 ) →v = ±ω0 A2 − x2 Para calcular la velocidad del cuerpo en un desplazamiento el signo ±indica que para un valor de xdado, el cuerpo se puede mover en ambas direcciones.

1

2.

Tarea. Demostrar que en el sistema masa-resortese (vertical), se cumple el M.A.S

En un t = o k4l − mg = 0 (F) pero en un t > 0 mg − k(4l + y) = m¨ y mg − k4l − ky = m¨ y ¨ =0 por la ecuacion (F), tenemos que my + ky k y = 0, donde ω02 = y¨ + m el M.A.S

k , m

por tanto en un sistema masa-resorte vertical sí se cumple

El M.A.S vertical no difiere en su esencia del horizontal. El único cambio real es que la posición de equilibrio en x = 0 ya no corresponde al punto donde el resorte no está estirado.

2

3.

Tarea. ¿Son las vibraciones de moléculas aplicaciones del M.A.S?

Si dos átomos están separados menos de unos cuantos diámetros atómicos pueden ejercer fuerza de atracción entre sí. Por otra parte, si los átomos están tan cercanos que sus capas electrónicas se trasladan, la fuerzas entre ellos son de repulsión. Entre estos limites, hay una separación de equilibrio en la que los átomos forman una molécula. si los átomos se desplazan del equilibrio, oscilaran. -¿Son estas O.A.S? Si consideramos un tipo de interacción entre átomos llamado, interacción de Van Der Walls, éstas pueden ser un M.A.S si la amplitud es pequeña en comparacion con el radio x R0 es decir, Ro << 1 -DEMOSTRACIÓN: Si tomamos el centro de un átomo como el origen, el otro estará a una distancia r; r = Ro se ha observado experimentalmente que esta función se puede describir con la h

i Ro 6 Ro 12 −2 r (F) donde vo es una constante función de energía potencia, U = vo r con unidades J. Si los átomos están muy separados v = 0; Si están separados por la distancia de equilibrio r = R0 y U = −Uo La fuerza sobre el segundo átomo es la derivada negativa de la ecuación (F) h 12 i h

i 12Ro 26Ro6 12Uo Ro 13 Ro 7 Fr = − dU = U o − = − dr r13 r7 Ro r r A fin de estudiar oscilaciones de amplitud pequeña alrededor de la separación de equilibrio r = Ro , introducimos la cantidad xpara representar el desplazamiento respecto al equilibrio: x = r − Ro → r = Ro + x  13  7  h   i 12Uo Ro Ro 12Uo 1 1 Fr = Ro − = − Ro +x Ro +x Ro (1+(x/Ro )13 ) (1+(x/Ro )7 ) Si consideramos que 1 (1+(x/Ro )13 ) 1 (1+(x/Ro )7 )

x Ro

<< 1 y usando el teorema binominal, tenemos

= (1 + (x/Ro )−13 ) ≈ 1 + (−13) Rxo = (1 + (x/Ro )−7 ) ≈ 1 + (−7) Rxo 3

o = 1 − 13 Rxo − 1 + 7 Rxo = Fr = 12U Ro o k = 72U Ro

12Uo Ro

h

−6x Ro

4

i

=



−72Uo Ro



x; ésta es la ley de Hooke con

2 Tarea. Demostrar que A = √ 2 2 F2o 2 2 2 y ωmax = ω b +m (ωo −ω )
2 ωo2− 21 mb

4.

Sabemos que la ecuación de un O.A.A es: x¨ +

b x˙ m

+

k x m

+

Fo sen(ωt) m

=0

para resolver esta ecuación podemos usar el método de coeficientes indeterminados, considerando una ecuación de la forma ay 00 + by 0 + cy = f (x) Supongamos que podemos encontrar una función y = yo (x) que satisfaga esta ecuación, y0 es una solución particular de la ecuación diferencial. Si consideramos que y = Ayo ; reemplazando obtenemosa(Ayo )00 + b(Ayo )0 + c(Ayo ) = f (x); si asociamos estos términos y los consideramos como ecuaciones homogéneas tenemos: ay 00 + by 0 + cy = 0; si y1 y y2 son soluciones de esta ecuación tenemos que Ay1 + By2 son soluciones generales de la ecuación homogénea, nos quedaría algo de la siguiente manera xo (t) = C1 sen(ωt) + C2 cos(ωt) d2 [C1 sen(ωt) + dt2 Fo sen(ωt) = 0 m

k C2 cos(ωt)]+ mb dtd [C1 sen(ωt) + C2 cos(ωt)]+ m [C1 sen(ωt) + C2 cos(ωt)]+

Con un poco de cálculo y álgebra llegamos a ecuaciones de la siguiente forma: ωbC1 + (k − ω 2 m)C2 = F0 (F) (k − ω 2 m)C1 − ωbC2 = 0 De (F): (k−ω 2 m)Fo ωb



Fo −(k−ω 2 m)C2 , ωb

−

(k−ω 2 m)2 C2 ωb

(k−ω 2 m)2

reemplazando tenemos: (k − ω 2 m) Fo −(k−ω ωb − ωbC2 = 0



2

C2 ωb + = (k−ωωbm)Fo ωb  22  2 m)2 2 C2 ω b +(k−ω = (k−ωωbm)Fo ωb C2 =

(

)

k−ω 2 m Fo 2 ω b2 +(k−ω 2 m)2 2

ωbC1 − (k − ω m) ωbC1 = F0 +



(k−ω2 m)Fo ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

(k−ω2 m)

 = Fo

2

Fo ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

5

2 m)C 2

− ωbC2 = 0

ωbC1 = C1 =

i h 2 2 F0 ω 2 b2 +(k−ω 2 m) +(k−ω 2 m) ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

F0 ωb ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2



Entonces la solución particular es: x(t) = xo (t) =

Fo ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

xo (t) = √

F0 ωb sen(ωt)+ ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

(k−ω2 m)Fo ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

 cos(ωt)

[ωbsen(ωt) + (k − ω 2 m)cos(ωt)]; pero sabemos que φ = arctan

Fo cos(ωt ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

Fo ω 2 b2 +(mωo2 −ω 2 m)2

x(t) = √

Fo ω 2 b2 +m2 (ωo2 −ω 2 )2

ωb (k−ω 2 m)

+ φ)

x(t) = e−bt (Acosαt + Bsenαt) + √ x(t) = √

h

Fo ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

donde ωo2 =

k m

= A, esta expresión corresponde a la amplitud.

q k Si consideramos a b muy pequeño y si ω = (esto indica que k − ω 2 m es muy m pequeño), por tanto la frecuencia angular de la oscilación máximo esta dada por: ωmax = q 2

ωo2 − 14 mb 2

ωes máximo cuando b → 0 y ωes mínimo cuando b > 0

6

i

5.

Tarea. Demostrar que δ = arctan

Sabemos que x(t) = Asen(ωt + φ)(F)donde A = definido por: senφ =

C1 A

cosφ =

C2 A



ωb k−ω 2 m



p C12 + C22 y φes el ángulo de fase tanφ =

C1 C2

Para comprobarlo, desarrollamos la ecuación (F)aplicando la formula del seno de la suma Asenωtcosφ + Acosωtsenφ = (Asenφ)cos(ωt) + (Acosφ)sen(ωt) Si tenemos

senφ = √

C1 C12 +C22

cosφ = √

A CA! cos(ωt) + A CA2 sen(ωt) → C1 cos(ωt) + C2 sen(ωt) = x(t) Como C1 = A=

Fo ωb y ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

C2 =

Fo (k−ω 2 m) ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

  Fo ωb p ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2 ωb 1 C12 + C22 pero φ = arctan C = arctan = arctan k−ω 2m Fo (k−ω 2 m) C2 ω 2 b2 +(k−ω 2 m)2

7

C2 C12 +C22

Referencias [1] Sears- Zemansky-Young-Freedman. Física Universitaria. Vol1. 11a Edición Pearson Addison Wesley.} [2] Simmons, George Finlay. Differential equatinos: Theory, Technique and Practice. Mac Graw Hill 2007 [3] Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con problemas de modelado 5ta edicion. [4] Notas del profesor

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