Tfs Calculo Integral2.docx

APLICACIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA: CALCULOS ESTADISTICOS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL Daniel Acosta, Javier Darío Benítez, Juan Esteban Soto OBJETIVOS 1. Consultar e investigar temas de cálculo integral para la apropiación y puesta en práctica de estos temas, buscando su aplicabilidad al campo de estudio de los estudiantes. 2. Interpretar de una manera correcta los modelos problemáticos expuestos en este trabajo, haciendo uso de a investigación y os temas proporcionados por la docente en las sesiones de clase. 3. Encontrar respuestas utilizando operaciones matemáticas y analíticas a situaciones problemáticas, donde el estudiante logre llegar a conclusiones desde respuestas numéricas. MARCO TEORICO Integral Definida “La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal o X y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.”1 La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como: 𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎

Función de densidad de probabilidad La función de densidad es una función que tiene una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la “variable aleatoria” toma un valor determinado. Entonces la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre en una región especifica del espacio la posibilidad estará dada por la integral definida de esta variable ente un intervalo [a, b] La integral de densidad tiene dos propiedades: 1. La función de densidad siempre será positiva( 𝑓(𝑥) ≥ 0) ∞ 2. La probabilidad total es de 1 ∫−∞ 𝑓(𝑥) = 1

1

("La integral definida - hiru", 2019)

Distribución normal La distribución normal es una distribución con forma de campana donde las desviaciones estándar sucesivas con respecto a la media establecen valores de referencia para estimar el porcentaje de observaciones de los datos. Características: - La función considera la media y la desviación estándar. - Es simétrica Función de densidad de la distribución normal 𝑏

∫ 𝑎

1 𝜎√2𝜋

𝑒

−

(𝑥−𝜇)2 2𝜎2

𝑏

= ∫ 𝑎

1 𝑥−𝜇 2 ) 𝜎

1 𝜎√2𝜋

𝑒 −2(

𝜇 es la media (también puede ser la mediana, la moda o el valor esperado, según aplique) ● 𝜎 es la desviación estándar ● 𝜎 2 es la varianza ●

Función de error de Gauss La función error (también conocida como función error de Gauss) es una función no elemental que se utiliza comúnmente en las ecuaciones diferenciales homogéneas y en otros campos de las matemáticas y se puede expresar de la siguiente manera: erf(𝑥) =

2 √𝜋

𝑥

∫ 𝑒 −𝑡

2

0

Desviación estándar La desviación estándar es la medida de dispersión más común, que indica qué tan dispersos están los datos con respecto a la media. Mientras mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión de los datos. El símbolo σ (sigma) se utiliza frecuentemente para representar la desviación estándar de una población, mientras que s se utiliza para representar la desviación estándar de una muestra. La variación que es aleatoria o natural de un proceso se conoce comúnmente como ruido. La desviación estándar se puede utilizar para establecer un valor de referencia para estimar la variación general de un proceso. Desviación estándar para datos no agrupados 𝜎=√

(𝑥1 − 𝑥̅ )2 + (𝑥2 − 𝑥̅ )2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑥̅ )2 ∑𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 = 𝜎 = √ 𝑖=1 𝑛 𝑛

Desviación estándar para datos agrupados

𝜎=√

(𝑥1 − 𝑥̅ )2 𝑓1 + (𝑥2 − 𝑥̅ )2 𝑓2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑥̅ )2 𝑓𝑛 ∑𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑓𝑖 = 𝜎 = √ 𝑖=1 𝑛 𝑛

Media La media es el valor promedio de un conjunto de datos numéricos, calculada como la suma del conjunto de valores dividida entre el número total de valores. Existen muchas formas de calcular una media. La más conocida es la media aritmética. Media aritmética: Es una medida de posición central. La definimos como el valor característico de la serie de datos resultado de la suma de todas las observaciones dividido por el número total de datos. ∑𝑁 𝑖=1 𝑋1 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎(𝑋) = 𝑥̅ = 𝑛 Varianza La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. 𝜎2 =

(𝑥1 − 𝑥̅ )2 + (𝑥2 − 𝑥̅ )2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑥̅ )2 𝑛

Regla Empírica La regla empírica, a la que también se le conoce como la regla 68,5-95-99,7, constituye una manera útil de analizar datos estadísticos. Sin embargo, solo funciona para una distribución normal (la campana de Gauss) y solo es posible producir estimaciones. En una distribución normal (forma de campana), si tomamos una desviación estándar por ambos sentidos respecto del valor medio cubriríamos un espacio 68% de probabilidad de que ocurra un evento, por otro lado, con 2 desviaciones estándar por ambos sentidos respecto a este valor medio tendríamos un espacio cubierto del 95 % finalmente con 3 desviaciones estándar tenemos un espacio que cubre un 99% de que ocurra un evento. La curva normal es asintótica lo que significa que no toca el eje de los x; se pierden centésimas hacia infinito y –infinito. Esto es la regla empírica, es decir, un valor medio más menos una desviación estándar cubriremos un 68 de probabilidad en una curva normal, un valor medio más menos 2 veces la desviación estándar cubrirá el 95% de esta curva y el valor medio más menos 3 veces la desviación estándar cubre casi 100 %de probabilidad en una curva normal. Finalmente, para facilitar los cálculos cualquier

valor real se puede convertir en la escala z donde se tienen una media de 0, se cubren los valores de -3 a 3.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Como anteriormente se enuncio en el marco teórico, esta función nos permite resolver incógnitas a partir de dos datos, los cuales son la media y la desviación estándar o típica, gracias a esto podemos describir la probabilidad de un intervalo de los datos utilizando integrales definidas. a. En un determinado país se realizó un estudio con el fin de conocer la altura de sus pobladores adultos, donde se logró la siguiente conclusión; la estatura de la población adulta sigue una distribución normal de media 170 cm y desviación típica de 12cm ¿Qué porcentaje de la población tienen una estatura mayor a 170cm? ¿Qué porcentaje tiene una estatura mayor a 180 cm? ¿Qué porcentaje mide entre 165cm y 190 cm? SOLUCION DEL PROBLEMA Para comenzar, tenemos que conocer los siguientes datos, la media y la desviación estándar; las cuales en este ejercicio se proporcionan en el enunciado. 𝜇 = 170𝑐𝑚 , 𝜎 = 12𝑐𝑚 En este orden de ideas, lo siguiente es tomar la función de densidad de probabilidad de la distribución normal y reemplazar los valores anteriormente nombrados. 𝑏

∫

1

𝑒

1 𝑥−170 2 − ( ) 2 12

(1) 12√2𝜋 Después de tener la función de distribución lista para este ejercicio, comenzaremos a responder las preguntas que tenemos sobre la estatura de determinado país. 𝑎

¿Qué porcentaje de población tienen una estatura mayor a 170cm? Para lograr solucionar esta pregunta, tenemos que utilizar la integral (1), pero con una variación en sus intervalos, siendo 170 el inferior, además el intervalo superior es

desconocido así que como sabemos necesitamos encontrar la población que tiene una estatura mayor a 170cm, el intervalo superior será ∞. Reescribe y simplifica (𝑥−170)2 288

𝑒−

∞

∫ 170

5

3 ∙ 22 √𝜋

𝑥−170

Sustituye 𝑢 =

5 3∙22

5

→ 𝑑𝑥 = 3 ∙ 22 𝑑𝑢 2

1 ∞ 2𝑒 −𝑢 ∫ 𝑑𝑢 2 170 √𝜋 Esta es una integral especial (funcion error de Gauss) erf(𝑢) Reemplaza las integrales ya resueltas 2

1 ∞ 2𝑒 −𝑢 erf(𝑢) ∫ 𝑑𝑢 = 2 170 √𝜋 2 Deshacer la sustitucion 𝑢 =

𝑥−170 5

3∙22

∞

𝑒

∫ 170

−

(𝑥−170)2 288 5

3 ∙ 22 √𝜋

𝑥 − 170 𝑒𝑟 𝑓 ( 5 ) 2 3 ∙ 2 𝑑𝑥 = 2

Realizar la integral definida ∞ − 170

erf (

3∙

5 22

erf (

3∙

−

2 [

] ∞

∫

170 − 170

)

5 22

) =

2 [

1

170 12√2𝜋

1 = 0,5 2

] 1 𝑥−170 2 ) 12

𝑒 −2(

= 0,5

¿Qué porcentaje de población mide menos de 180? En la misma dinámica, en este necesitamos el porcentaje de población que mide más de 180cm, así que el intervalo inferior será de -∞ y el intervalo superior es 180cm Reescribe y simplifica

180 −

𝑒

∫

5

−∞

Sustituye 𝑢 =

(𝑥−170)2 288

3 ∙ 22 √𝜋

𝑥−170 5 3∙22

5

→ 𝑑𝑥 = 3 ∙ 22 𝑑𝑢 2

1 180 2𝑒 −𝑢 ∫ 𝑑𝑢 2 −∞ √𝜋 Esta es una integral especial (funcion error de Gauss) erf(𝑢) Reemplaza las integrales ya resueltas 2

1 180 2𝑒 −𝑢 erf(𝑢) ∫ 𝑑𝑢 = 2 −∞ √𝜋 2 Deshacer la sustitucion 𝑢 =

𝑥−170 5

3∙22

180 −

𝑒

∫

(𝑥−170)2 288 5

−∞

3 ∙ 22 √𝜋

𝑥 − 170 erf ( 5 ) 2 3 ∙ 2 𝑑𝑥 = 2

Realizar integral definida 3

3 ∙ 22 √𝜋 erf (

5

3

5 erf ( 3) + 1 3 ∙ 22 = ≈ 0.797671619036357 2

2 3 ) + 3 ∙ 2 √𝜋

3 ∙ 22 5

3 ∙ 22 √ 𝜋 180

∫

1 𝑥−170 2 − ( 𝑒 2 12 )

1

12√2𝜋 ¿Qué porcentaje de población mide 165 hasta 190?

= 0,7977

−∞

Por último, es un intervalo entre 165cm y 190cm, así que el intervalo inferior es de 165 y el intervalo superior es de 190 Reescribe y simplifica (𝑥−170)2 190 − 288 𝑒

∫

165

Sustituye 𝑢 =

5

3 ∙ 22 √𝜋

𝑥−170 5 3∙22

5

→ 𝑑𝑥 = 3 ∙ 22 𝑑𝑢

2

1 190 2𝑒 −𝑢 ∫ 𝑑𝑢 2 165 √𝜋 Esta es una integral especial (funcion error de Gauss) erf(𝑢) Reemplaza las integrales ya resueltas 2

1 190 2𝑒 −𝑢 erf(𝑢) ∫ 𝑑𝑢 = 2 165 √𝜋 2 Deshacer la sustitucion 𝑢 =

𝑥−170 5

3∙22

190 −

𝑒

∫

(𝑥−170)2 288 5

165

3 ∙ 22 √𝜋

𝑥 − 170 erf ( 5 ) 3 ∙ 22 𝑑𝑥 = 2

Realizar la integral definida 190 − 170

erf (

3∙

5 22

erf (

3∙

−

2 [

165 − 170

)

]

5 22

) =

2

3 3 5 5 3 ∙ 22 √𝜋 erf ( ) + 3 ∙ 22 √𝜋 erf ( 5) 3√ 2 3 ∙ 22 5

3 ∙ 22 √ 𝜋

[

] 5 5 )+erf( 5 ) 3√2 3∙22

erf(

2 190

∫ 165

1 12√2𝜋

≈ 0,61375

1 𝑥−170 2 − ( 𝑒 2 12 )

= 0,6137

GUIÓN [Daniel, Javier, Juan]: Hola a todas las personas que están visitando este video. [Javier]: El día de hoy vamos a hablarles acerca de una función muy útil en la estadística llamada Función de distribución normal, la cual cómo vamos a ver, es muy útil a la hora de modelar características de una población. [Daniel]: Ahora, antes de entrar en detalles acerca de las propiedades de la distribución normal o campana de Gauss, vamos a revisar el siguiente planteamiento. [Juan]: Supongamos que realizamos una encuesta a las personas de un país, en la cual queremos saber cuál es su estatura. [Juan]: De esta encuesta esperamos conocer parámetros tales como: cuál es la altura media de la población, y demás medidas descriptivas. [Daniel]: Los datos que vamos recibiendo los vamos organizando. En cuánta gente mide 1.60, cuantos miden 1.65, etc. Entonces al final lo que vamos a hacer es un gráfico, en la que en el eje x pondremos las distintas alturas encontradas y en el eje y, cuántas personas tienen esa altura. En el video se mostrará el tablero y a medida que hablamos, se irá construyendo el gráfico. [Javier]: entonces, por ejemplo 1.75; cuanta gente mide 1.75? bastante gente entonces esta barra representa el número de personas que han medido 1.75. [Daniel]: Cuánta gente ha medido 1.64? también bastantes, un poco menos pero también son muchos. [Juan]: Cuánta gente ha medido 1.70, pues muchísimos, cuánta gente ha medido 1.90, pues en ese caso menos porque es una altura bastante considerable y muy pocas personas miden 1.90. [Daniel]: cuanta gente mide 1.45, también muy poca gente mide esta altura. ¿O cuanta mide 2 metros? también muy poca. [Javier]: entonces si vamos haciendo el mismo ejercicio al final la gráfica nos queda una figura más o menos así (forma de campana). Entonces es cuando podemos decir que el parámetro estatura se ajusta a una curva normal. [Juan]: Esta curva tiene una serie de características, por ejemplo, el valor medio, también es el valor que se ha presentado con más frecuencia, es decir también es la moda. [Daniel]: Otra característica de esta curva es que es simétrica respecto a la media. Otra cosa curiosa es que muchos parámetros que podemos estudiar se ajustan a esta distribución. [Juan]: por cierto, la media de la población la vamos a representar con este símboloµ, que será la media poblacional. [Javier]: y tiene otra característica que es la siguiente que se representa con la letra sigma y que representa la desviación estándar. Que nos representa que tan agrupados están los datos con respecto a la media. [Daniel]: En la imagen podemos ver un ejemplo, en la cual se presenta una distribución heterogénea, y tomamos por ejemplo el nivel de ingresos en un barrio de clase media.

[Javier]: y en esta imagen podemos ver el caso de una distribución homogénea, en la que, siguiendo el ejemplo del nivel de ingresos, se trata de personas en la que la mayoría gana más o menos lo mismo. [Juan]: Para la situación heterogénea observamos que la curva es más achatada, lo cual nos indica que la desviación estándar es alta. En cambio, para la distribución homogénea vemos como los datos están más agrupados en torno a la media, por lo cual decimos que la desviación estándar es baja. [Javier]: Entonces para resumir una distribución normal se denota así: N (𝜇, 𝜎). [Daniel]: El matemático alemán Friedrich Gauss, fue quien logró encontrar una expresión matemática que modela la distribución normal, de ahí esta por qué a esta distribución se le conoce también por campana de Gauss. 𝑏

𝑓(𝑥) = ∫ 𝑎

1 𝜎√2𝜋

1 𝑥−𝜇 2 ) 𝜎

𝑒 −2(

[Juan]: Obsérvese cómo esta función involucra al número e, pi, [Juan]: entre las características de esta función encontramos que es simétrica, tiene una asíntota horizontal y lo más importante el área bajo la curva de esta función es igual a 1. [Daniel]: esto último quiere decir que la integral definida desde menos infinito a infinito de esta función es igual 1. [Javier]: La utilidad de este resultado es que podemos equiparar ese 1 con el 100% de una población. porque toda la población está englobada bajo esa curva. [Daniel]: Ahora, volviendo al ejemplo inicial que nos dice que en un determinado país la estatura de la población adulta sigue una distribución normal de media 170 cm y desviación típica de 12 cm. Entonces reemplazando estos valores en la función de Gauss obtenemos algo así (Se muestra la función en pantalla) [Javier]; aquí podemos observar la gráfica de esta curva realizada a través de Wólfram. Se usa la siguiente línea de código:

[Juan]: ya conociendo que el área bajo la curva de esta representa el porcentaje de la población distribuida bajo el parámetro estatura, podemos hacer preguntas interesantes que pueden ser resueltas mediante integrales definidas o utilizando las funciones de Wólfram. [Daniel]: por ejemplo: calcule el porcentaje de la población que tiene una estatura mayor a 170.

Al utilizar el Wólfram, se desarrolla la integral la cual nos muestra que el 50% de la oblación tiene una estatura mayor a 170cm, lo cual nos dice que la mitad de la población mide 170cm o más y la otra mitad mide 170cm o menos. Calcule el porcentaje de población que mide entre 1.65 y 190.

El software Wólfram, nos ayuda a realizar la integral definida, mostrando que aproximadamente el 61,37% mide entre 165cm y 190cm, así que la mayoría de la población se encuentra entre este intervalo de estaturas. Por último, podemos saber el porcentaje de las personas que tienen una estatura menor a 1.80

Para finalizar, la ultimo integral muestra que el 79,76% de la población mide 180cm o menos, dejándonos así con un porcentaje demasiado pequeño de las personas que miden más de 180cm, este es un gran método de ayuda para describir datos y probabilidades en una distribución normal. [Javier]: esperamos que este video haya sido de entendimiento para ustedes, muchas gracias.

REFERENCIAS: -

Desviación estándar. (2019). Recuperado de https://www.ditutor.com/estadistica/desviacion_estandar.html GestioPolis, E. (2019). ¿Qué es la distribución normal?. Recuperado de https://www.gestiopolis.com/que-es-la-distribucion-normal/ La integral definida hiru. (2019). Recuperado de https://www.hiru.eus/es/matematicas/la-integral-definida López, J. (2019). Varianza - Definición, qué es y concepto | Economipedia. Recuperado de https://economipedia.com/definiciones/varianza.html Media (promedio o media aritmética). (2016). Recuperado de https://www.universofo rmulas.com/estadística/descriptiva/media/ Montero, A. (2019). VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN [Ebook]. http://www.ugr.es/~eues/webgrupo/Docencia/MonteroAlonso/estadisticaII/tema2.pdf Píldoras Matemáticas. (2017). 01 Qué es la distribución normal [Video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=phY8Z9-TXCY Regla empírica (Términos estadísticos). (2017). Recuperado de https://glosarios.servidoralicante.com/terminos-estadistica/regla-empirica ¿Qué es la desviación estándar? - Minitab. (2019). Recuperado de https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/statistics/basicstatistics/supporting-topics/data-concepts/what-is-the-standard-deviation/