Termodinamica De Sistemas Electricos Y Magneticos

Termodin´ amica de Sistemas El´ ectricos y Magn´ eticos P. L’Huissier

V. Pinto

M. Ram´ırez

10 de Diciembre de 2004

Resumen Dado un sistema determinado en equilibrio termodin´amico, es posible realizar un an´alisis de ´este cuando se le aplica un campo el´ectrico, magn´etico, o ambos. Las relaciones obtenidas tendr´ an que ver tanto con la magnitud de los campos aplicados, como con las propiedades intr´ınsecas del material.

1.

Introducci´ on

Cuando estudiamos termodin´amica, una buena parte del tiempo la dedicamos al estudio de las relaciones que son capaces de generar un cambio de energ´ıa en el sistema. Dentro de este estudio, los par´ametros intensivos y extensivos son un tema de vital importancia, sabiendo diferenciar qu´e par´ametro es intensivo y cual es extensivo, somos capaces de describir cual ser´a el aporte de trabajo de cierto fen´omeno al sistema. Desafortunadamente, no siempre resulta evidente cual es el par´ametro intensivo y cual es el extensivo. Este problema ocasion´o que el estudio de un cuerpo en presencia de un campo el´ectrico, o de uno magn´etico, no fuera realizado al mismo tiempo en que se desarroll´o la termodin´amica. En el a˜ no 1935, E.A Guggenheim (1) aplic´o Termodin´amica a un sistema sometido a un campo el´ectrico y magn´etico. Sus trabajos “ On Magnetic and Electrostatic Energy” y “The Thermodynamics of Magnetization” explican detalladamente el comportamiento de un cuerpo en estas condiciones. Con esto, sienta una base s´olida para futuros investigadores, ya que antes de esta publicaci´on, no exist´ıan trabajos de peso en el ´area. Posteriormente, en el a˜ no 1955, V. Heine (3) en su trabajo “The thermodinamics of the bodies in static Electromagnetic Fields” realiza el estudio para un cuerpo bajo la acci´on de los dos campos (el´ectrico y magn´etico). En las siguientes p´aginas, estudiaremos estos trabajos, y otros m´as, con el fin de poder explicar, de manera “sencilla” la Termodin´amica de un sistema bajo efectos electromagn´eticos.

2.

Preliminares

Para este trabajo, se utilizan algunos conocimientos de campos el´ectricos y magn´eticos en la materia, que recordaremos brevemente a continuaci´on.

2.1.

Polarizaci´ on y Corriente de Desplazamiento

~ uniforme sobre una regi´on determinada del espacio. ¿Qu´e suSupongamos un campo el´ectrico E cede si colocamos un cuerpo en ese campo? Las mediciones experimentales nos dicen que en ~ tiende a disminuir en presencia de materia. general el campo el´ectrico E En una mol´ecula y un ´atomo, los centros de carga (el equivalente del centro de masa) suelen no estar en el mismo punto. Debido a esto, una fuerza ejercida por un campo externo, ejercer´a un torque que intentar´a alinear las mol´eculas con este. Este fen´omeno es conocido como polarizaci´on.

No es necesario trabajar mucho para darse cuenta de que los dos fen´omenos anteriores est´ an profundamente relacionados. En efecto, si tenemos una mol´ecula y le aplicamos un campo (digamos producido por carga positiva), este repeler´a la carga del mismo signo, y atraer´a a la ~ Puesto que los campos negativa. Esto generar´a un peque˜ no campo en el sentido contrario a E. pueden superponerse, a pesar de que el campo polar sea peque˜ no, cuando trabajamos a escala macrosc´opica, tenemos del orden de 1023 mol´eculas, m´as que suficiente para tener un efecto notorio. Supongamos que p~ es el momento dipolar de una mol´ecula, el momento dipolar total de un cuerpo P~ queda definido por n X P~ = p~i i=0

esto es, la suma sobre las n mol´eculas. Sin entrar en detalles, diremos que el campo el´ectrico ~ queda determinado por el vector momento dipolar P~ de la forma efectivo D ~ = ε0 E ~ + P~ D ~ es conocido como la “corriente donde ε0 es el coeficiente de permisividad del vac´ıo. El vector D de desplazamiento”. ~ aplicado, sea uniforme, la Algo importante que mencionar es que, a pesar de que el campo E corriente de desplazamiento no lo ser´a. Su valor depender´a en gran medida de la geometr´ıa y de la masa del cuerpo. De acuerdo a esto, cuando se hable de “variaciones de la corriente de desplazamiento”, en general nos estaremos refiriendo a variaciones “espaciales” y no “temporales”.

2.2.

Paramagnetismo, Diamagnetismo y Ferromagnetismo

Supongamos el siguiente experimento. Se genera un campo magn´etico uniforme y se colocan una serie de materiales en este para ver lo que les sucede. Al terminar el experimento, las conclusiones son las siguientes: existen materiales que son repelidos por el campo, y existen materiales que son atra´ıdos por este, (en un rango muy amplio de magnitudes), no importando el sentido que tenga. Los materiales que son repelidos por el campo, reciben el nombre de materiales “diamagn´eticos”. El diamagnetismo se caracteriza por tener una magnitud muy peque˜ na a´ un para campos grandes. Es una propiedad de casi todas las sustancias org´anicas, y de muchas inorg´anicas. A decir verdad el diamagnetismo es una propiedad que tienen todos los cuerpos, solo que la mayoria de las veces, este es m´ınimo comparado con los otros dos efectos que veremos. De manera similar al diamagnetismo, existen materiales que son atra´ıdos hacia el campo. Estos reciben el nombre de “paramagn´eticos”. En general, cuando no detectamos diamagnetismo en un cuerpo, es porque el paramagnetismo es un fenomeno bastante mas poderoso. Existe un tercer tipo de materiales: los “ferromagn´eticos”. Estos tienen la caracter´ıstica principal de que la fuerza con la que son atra´ıdos por un campo es hasta 5 ´ordenes de magnitud mayor que un material paramagn´etico. Los materiales magneticos en general tienen muchas otras propiedades, algunas son que la magnetizaci´on depende de la temperatura.

2.3.

Momento Magn´ etico y Campo Magn´ etico

En el punto anterior, hemos hecho una descripci´on macrosc´opica, pero ¿qu´e pasa si miramos el sistema desde un punto de vista microsc´opico? De la misma manera que una part´ıcula puede ser polarizada por un campo el´ectrico, es posible que esta sea polarizada por un campo magn´etico. Si bien el fen´omeno no es exactamente el mismo a nivel microsc´opico (en el caso de la magnetizaci´on, el spin de giro de los electrones genera un momento magn´etico), a nivel macrosc´opico el efecto es an´alogo, esto es, si un cuerpo es colocado en una regi´on con un ~ las mol´eculas se alinear´an con este, produciendo un campo campo magn´etico uniforme (H), magn´etico efectivo. ~ Si denotamos por m ~ el momento magn´etico de una part´ıcula, definimos la magnetizaci´on M de un cuerpo como ~ = M

n X

m ~i

i=0

De manera similar a la del caso el´ectrico, podemos relacionar la magnetizaci´on con el campo ~ y el efectivo B ~ con la relaci´on aplicado H   ~ = µ0 H ~ +M ~ B µ0 es conocida como la permeabilidad magn´etica del vac´ıo.

3.

Termodin´ amica con campo el´ ectrico

Para esta parte del an´alisis supongamos un gas polar diat´omico sometido a un campo el´ectrico ~ constante. El gas es orientado en un instante particular con un ´angulo θ con respecto a un E ~ campo el´ectrico E

qE + p

+q

θ _ −q −qE Figura 1: Fuerzas ejercidas por un campo el´ectrico en una mol´ecula polar diat´omica. ~ mientras que la part´ıcula la part´ıcula positiva en el final de la mol´ecula siente una fuerza q E, ~ negativa siente −q E. La mol´ecula girar´a y puede ser estirada por las fuerzas debidas al campo el´ectrico que act´ ua en cada extremo. Entonces, debido al campo, los ´atomos se mueven d~x− y d~x+ , el trabajo hecho en esta mol´ecula es ~ · d~x− ) ~ · d~x+ ) + (q E ðWe1 = (q E ~ · d(~x+ − ~x− ) = qE

(1)

si definimos p~ como p~ = q(~x+ − ~x− ) donde el vector p~ apunta de la carga negativa a la positiva. En t´erminos de p~, el trabajo es ~ · d~ ðWe1 = E p Este trabajo es de una mol´ecula polar, para todo el gas sumamos sobre todas las mol´eculas N en el gas

ðWe =

N X

N X

~ · d~ ~ ·d E pn = E

n=1

! p~n

(2)

n=1

Donde el t´ermino en par´entesis es el momento dipolar total. La ecuaci´on (2) puede ser escrita en t´erminos de cantidades macrosc´opicas con la polarizaci´on P~ . Luego, (2) se transforma en ~ · dP~ . ðWe = E

(3)

Ahora, sabemos que en el sistema de unidades MKS la corriente de desplazamiento se puede escribir como ~ = ε0 E ~ + P~ D

(4)

Si calculamos el diferencial de P~ y lo reemplazamos en (3), obtenemos ~ · dD ~ ðWe = E

(5)

Hemos llegado a un poderoso resultado, ya que desde un an´alisis de fuerzas hemos intuido que el campo el´ectrico es un par´ametro extensivo y la corriente de desplazamiento un par´ametro intensivo. Con este resultado podemos postular las energ´ıa libre de Helmholtz, el potencial de Gibbs y la entalp´ıa, de la forma: ~ · dD ~ + µdN dF = −SdT + E ~ · dE ~ + µdN dH = T dS − D

(6)

~ · dE ~ + µdN dG = −SdT − D

(8)

(7)

donde F = U − TS ~ ·D ~ H =U −E

(10)

~ ·D ~ G = U − TS − E

(11)

(9)

y se pueden demostrar relaciones de Maxwell, por ejemplo  −

∂S ~ ∂D

 = T,N

~ ∂E ∂T

! (12) ~ D,N

4.

Termodin´ amica del Campo Magn´ etico

Los campos magn´eticos pueden obrar rec´ıprocamente con algunos materiales, haciendo trabajo sobre ellos. Aqu´ı consideramos el caso m´as simple, cuando el trabajo magn´etico es el u ´nico modo reversible posible del trabajo. En general, una sustancia paramagn´etica, diamagn´etica, o ferromagn´etica puede tener otros modos del trabajo. Por ejemplo, el gas del ox´ıgeno es paramagn´etico pero tambi´en es compresible. Una gotita del ox´ıgeno l´ıquido tendr´a una tensi´on superficial, as´ı que deformar la gotita es otra forma de trabajo. Pero en la mayor´ıa de los casos, los materiales magn´eticos son s´olidos, y razonablemente incompresibles. En este caso, la unica forma importante de trabajo es trabajo ´ magn´etico, y podemos entonces tratar la sustancia como sustancia magn´etica simple. Este es el u ´nico caso que consideraremos aqu´ı. Cuando un campo magn´etico externo se aplica a una muestra, la respuesta de la muestra (los dipolos que se dan vuelta) modifica el valor local del campo dentro de la muestra. A continuaci´on veremos dos formas de calcular el trabajo hecho por un campo magn´etico. Consideremos un solenoide, o bobina, como se muestra en la figura 2. Supongamos que el cable con el cual est´a construida tiene resistividad el´ectrica cero (superconductor). Una bater´ıa es conectada al solenoide, y la fuerza electromotriz (fem) de la bater´ıa es ajustable a voluntad. El sistema termodin´amico est´a dentro del solenoide, y el solenoide est´a encerrado por paredes adiab´aticas. Sistema termodinamico en el solenoide

Solenoide Pared Adiabatica +

−

Cable de resistividad cero

Bateria, o FEM ajustable

Figura 2: Sistema a analizar.

Si no hay cambios en el sistema, y si la corriente I es constante, la bater´ıa no necesita administrar fem por la perfecta conductividad del cable. ~ (~r). La corriente I Sea I la corriente y sea la magnetizaci´on local del sistema termodin´amico M ~ puede ser alterada a placer controlando la bater´ıa. La magnetizaci´on M (~r) entonces cambiar´ a. Asumimos que la magnetizaci´on en cualquier posici´on ~r es una funci´on uni-valuada de la corriente ~ (~r) = M ~ (~r; I) M Si el sistema termodin´amico no estuviera dentro de la bobina, la corriente I producir´ıa un ~ e (I). Este “campo” campo magn´etico (mas exactamente, una densidad magn´etica de flujo) B externo puede ser una funci´on de la posici´on dentro del selonoide, pero es lineal en I. Esto es ~ e = ~bI B

donde ~b es un vector funci´on de la posici´on. Suponemos que la corriente es aumentada, por lo tanto hay un incremento del campo externo ~ e . En respuesta a este cambio, el momento magn´etico cambia. En orden de acompa˜ B nar estos cambios, la bater´ıa debe entregar trabajo, y buscamos la relaci´on entre el trabajo hecho y los ~e y M ~. cambios en B La taza de cambio del trabajo hecho por la bater´ıa est´a dado por ðWmag = I × (voltaje) dt en la cual (voltaje) denota la fem inducida en las bobinas del selonoide por los cambios que ocurren en la bobina. La fem inducida en el selonoide se presenta desde dos fuentes. Una fuente es independiente ~ e . Quiz´ del sistema termodin´amico y sale de un cambio en el flujo asociado con el campo B as m´as que calcular este flujo y voltaje, podemos escribir la contribuci´on restante al dWmag directamente. Para un solenoide vac´ıo el trabajo es el cambio de energ´ıa del campo magn´etico, o   Z 1 2 ðWmag = d Be dV 2µ0 donde µ0 = 4π × 10−7 [T·m/A], y la integral es tomada sobre todo el volumen del solenoide. La segunda contribuci´on al ðWmag resulta desde el sistema termodin´amico en s´ı y consecuentemente es lo que nos interesa. Es evidente que el cambio de momento magn´etico de cada elemento infinitesimal del sistema contribuye separadamente y aditivamente a la fem inducida total, y m´as a´ un, que la fem inducida producida por cualquier carga en el momento dipolar no depende de la naturaleza del dipolo sino que s´olo de la taza de cambio de este momento y de sus posiciones en el selonoide. Consideremos entonces un modelo particular de un dipolo elemental en la posici´on ~r: un peque˜ no loop de corriente de ´area ~a y corriente i, con un momento magn´etico de m ~ = i~a. Si la corriente en el selonoide es I, el campo producido en el ~ e = ~b (~r) I. Este campo produce un acoplamiento de flujo a trav´es del peque˜ punto ~r es B no ~ loop de corriente de magnitud b (~r) · ~aI. As´ı la mutua inductancia entre el selonoide y el loop de corriente es ~b (~r) ·~a. Si la corriente en el loop de corriente cambia, consecuentemente induce un voltaje en el selonoide, dado por h i di (voltaje) = ~b (~r) · ~a dt d m ~ = ~b (~r) · dt ~ 1 ~ dm = Be · I dt As´ı el trabajo hecho por la bater´ıa es ðWmag ~ ~ e · dm =B dt dt Aunque este resultado ha sido obtenido para un modelo particular de un dipolo elemental, se ~ (~r) es sostiene para cualquier cambio en el momento del dipolo elemental. En particular, si M la magnetizaci´on, o el momento dipolar por unidad de volumen en el sistema en el punto ~r, ponemos

Z

~ (~r) dV M

m ~ =

Para obtener el trabajo total, sumamos sobre todos los dipolos elementales, o integramos sobre el volumen de la manera ðWmag = dt

Z

~ ~ e · dM dV B dt

Sumando las dos contribuciones al trabajo magn´etico, encontramos  Z   Z  1 2 ~ ~ e · dM ~ dV Be dV + B ðWmag = d 2µ0 Este es el resultado fundamental del cual la termodin´amica de sistemas magn´eticos est´a basada. ~ puede ser introducido en lugar del campo externo H ~e De pasada notamos que el campo local H ~ −H ~ e es el campo producido por la magnetizaci´on M ~ (~r) actuando notando que la diferencia H como una fuente magnetoest´atica. En este sentido, V. Heine (3) mostr´o que Z ~ · dB ~ dV ðWmag = H ~ yB ~ son valores locales. donde H ~ para representar el campo Otra forma de calcular el trabajo es la suguiente: definimos el H ~ aplicado que existir´ıa sin la muestra, y el B para representar el valor verdadero del campo en la muestra y vemos que el torque ejercido por un campo magn´etico sobre un solo dipolo magn´etico es: ~ ~τ = m ~ ×H ~. siendo m = µ0 M Entonces el trabajo hecho por el campo magn´etico es: ~ · dm dw = H ~ Sabiendo que el diferencial de energ´ıa normalizada y el dQ son:

du = dQ + dw dQ = T ds Podemos obtener que la energ´ıa normalizada para un sistema con campo magn´etico es: ~ · dm du = T ds + H ~ con esta relaci´on podemos hacer un an´alisis parecido al que hicimos antes para encontrar una especie de funci´ıon de Helmholz, entalp´ıa y energ´ıa magn´etica de Gibbs, (teniendo en cuenta ~ que remplazamos el −v por m ~ y el p por el H). ~ ·m h = u−H ~ f

= u − Ts

~ ·m g = h − Ts = u − H ~ − Ts

Las ecuaciones de estado diferenciadas son: ~ dh = T ds − m ~ · dH ~ · dm df = −sdT + H ~ ~ dg = −sdT − m ~ · dH Experimentalmente es mas f´acil trabajar con la temperatura y el campo magn´etico como ~ variables independientes, as´ı que la ecuaci´on que mas u ´til experimentalmente es g(T, H).

5.

Aplicaciones

Las aplicaciones en este campo son muchas. En este trabajo revisaremos dos: la desmagnetizaci´on adiab´atica y la sustancia de Curie.

5.1.

Sustancia de Curie

Para los materiales paramagn´eticos, la tendencia de que los dipolos sean alineados con el campo es balanceada por los efectos de colisiones al azar (en un gas) o las vibraciones del enrejado (en un s´olido), que tienden a seleccionar al azar la direcci´on del dipolo. ~ Contamos con que la magnetizaci´on de un material paramagn´etico aumente con  H en T cons  ~ ~ constante. De hecho se encuentra que M ~ = f H . El f H~ tante, y disminuya con T en H T     T ~ ~ H H es una funci´on lineal para T peque˜ no, y alcanza valor asint´otico para T , puesto que en ~ no puede aumentar m´as lejos. este l´ımite los dipolos se alinean perfectamente y por lo tanto M Una sustancia de Curie se define como cualquier sustancia que obedezca: ~ ~ = CH M T Todas las sustancias paramagn´eticas tienen este comportamiento para

~ H T

peque˜ no.

En t´erminos de m ~ tenemos que: ~ H T As´ı como un gas ideal las sustancias de Curie tienen una energ´ıa interna que solo depende de la temperatura, entonces veamos el diferencial de entrop´ıa: m ~ = C0

ds = Sustituyendo el

~ 1 H du − dm ~ T T

~ H T:

1 1 du − 0 md ~ m ~ T C Si comparamos las derivadas cruzadas tenemos que:     ∂ ~ 1 1 ∂m =− 0 ∂m ~ T u C ∂u m ds =

Como el (∂ m/∂u) ~ = 0, se tiene que 1/T s´olo depende de u y no de m, ~ por lo tanto tenemos que T depende de u e invirtiendo esto tenemos que u depende de T . Sabiendo que u = u(T ) podemos integrar la ecuaci´on para obtener la entrop´ıa de una sustancia de Curie    ~ 1 du H dT − dm. ~ ds = T dT T Como por definici´on tenemos que: du(T ) dT Siendo cm (T ) el calor especifico de magnetizaci´on constante, tenemos que el diferencial de entrop´ıa es: cm (T ) =

ds =

~ cm (T ) H dT − dm ~ T T

~ Usando que m ~ = C 0 H/T : cm (T ) m ~ dT − 0 dm ~ T C como no dependen unas de otras podemos integrar cada parte por separado, entonces obtenemos: ds =

T1

Z s(T1 , m ~ 1 ) − s(T0 , m ~ 0) =

T0


cm (T ) 1 dt − m ~ 21 − m ~ 20 0 T 2C

~ : En t´erminos de M ~ 1 ) − s(T0 , M ~ 0) = s(T1 , M

Z

T1

T0

 cm (T ) µ0  ~ 2 ~ 02 dt − M1 − M T 2C

Observamos que la entrop´ıa disminuye si una sustancia de Curie se magnetiza isot´ermicamente. Esto tiene sentido f´ısicamente porque los dipolos magn´eticos individuales se alinean m´ as ~ con el campo M de aumento, es decir el material se ordena microsc´opicamente. Esto tambi´en significa que el calor que se le debe quitar al material durante la magnetizaci´ on isot´ermica. Si una muestra se magnetiza reversible en T partiendo de cero a una magnetizaci´ on ~: M µ0 M 2 2C Si de otra forma la muestra se magnetiza de forma adiab´atica, es la temperatura la que aumentara, de forma an´aloga si la muestra se desmagnetiza a temperatura constante el calor debe ser provisto, si la desmagnetizaci´on se produce abiabaticamente la temperatura disminuir´a. Q=

Esta es la base de los refrigeradores magn´eticos.

5.2.

Desmagnetizaci´ on adiab´ atica

La temperatura m´ınima a la que se ha llegado es de 20 nK. El proceso al que se llegan a estas temperaturas fue creado en 1927 por William F. Giauque, quien durante sus estudios en Berkley, estudi´o este tipo de trabajo. Un d´ıa en 1933, y despu´es de 21 horas seguidas de trabajo, hizo su observaci´on trascendental. Su m´aquina hab´ıa obtenido una temperatura dentro de un d´ecimo de un grado del cero absoluto. Este experimento confirm´ o la tercera ley de la termodin´amica, la cual dice que la entrop´ıa de un cristal puro y perfecto es cero a temperatura cero — los ´atomos est´an perfectamente alineados y no se mueven. En 1949, recibi´o el Premio Nobel en qu´ımica por abrir nuevas ventanas de investigaci´on en qu´ımica y en f´ısica.

Entropia, S

Ahora explicaremos el proceso. En circuntancias normales, en un material paramagn´etico los “peque˜ nos imanes” de los electrones se orientan al azar; sin embargo, la mayor´ıa de ellos se alinean ante la presencia de un campo magn´etico. En t´erminos termodin´amicos, la aplicaci´ on de un campo magn´etico reduce la entrop´ıa del sistema paramagn´etico debido al orden que induce. Por lo tanto, una sustancia presenta dos curvas entrop´ıa/temperatura (Figura 3). No Magnetizado

Magnetizacion Isotermica

A

C

B

Magnetizado

Desmagnetizacion Adiabatica

Temperatura, T

Figura 3: La curva superior muestra la dependencia de la entrop´ıa del sistema en ausencia de campo magn´etico, mientras que la inferior muestra la dependencia cuando existe un campo. Una muestra de material paramagn´etico, como la sal de un metal en transici´on, se enfr´ıa hasta 1 K de la manera ya escrita. Lo m´as usado es sulfato de gadolonio, ya que cada ion de gadolonio tiene muchos electrones, pero se encuentra separado de sus vecinos por una capa de mol´eculas de agua de solvataci´on. Luego, se procede a magnetizar por medio de la aplicaci´ on de un campo magn´etico. Durante este proceso, la muestra est´a rodeada de gas helio, que proporciona un contacto t´ermico con el recipiente fr´ıo. Por tanto, la magnetizac´on es isot´ermica, emanando energ´ıa desde la muestra a medida que los de los electrones se alinean con el campo aplicado. Esta etapa se representa en la figura 3 por la l´ınea AB. Posteriormente se elimina el contacto t´ermico entre la muestra y sus alrededores, por lo que se procede a reducir el campo magn´etico lentamente a cero. Como no existe flujo de calor en esta u ´ltima etapa adiab´atica reversible, la entrop´ıa de la muestra permanece constante, de forma que su estado cambia de B a C en la figura 3. Ahora se encuentra en un estado con temperatura menor, con lo que la etapa de magnetizaci´on adiab´atica enfri´o la muestra. Temperaturas menores pueden alcanzarse con este mismo proceso si en lugar de los momentos magn´eticos electr´onicos se utilizan los momentos magn´eticos de los n´ ucleos. Este proceso de desmagnetizaci´on nuclear adiab´atica opera sobre el mismo principio que el m´etodo electr´onico y se ha utilizado para lograr el r´ecord mundial.

Temperatura, T

Temperatura, T (a)

Magnetizado

Entropia, S

No Magnetizado Magnetizado

Entropia, S

No Magnetizado

(b)

Figura 4: En esta ilustraci´on se muestra la inalcanzabilidad del cero absoluto. En (a) suponemos que el teorema de Nerst est´a errado, mientras que en (b) vemos que las etapas se hacen m´as peque˜ nas.

A partir del teorema de Nerst, sabemos que las curvas de entrop´ıa de las sustancias coinciden cuando T se aproxima a cero. Se concluye que la desmagnetizaci´on adiab´atica no puede utilizarse para enfriar un objeto hasta el cero absoluto en un n´ umero finito de etapas. Si el teorema fuese falso, entonces la entrop´ıa se comportar´ıa de la forma que se muestra en la figura 4(a). La u ´ltima etapa indicada podr´ıa enfriar el sistema a T = 0. Sin embargo, sabemos que las curvas coinciden a T = 0 (figura 4(b)), con lo que no existe una secuencia finita de etapas que pueda enfriar el sistema hasta T = 0. Por este m´etodo (y cualquier otro) el cero absoluto es inalcanzable.

6.

Conclusiones

Es posible obtener, de manera clara y precisa, el trabajo realizado por un campo el´ectrico y por el campo magn´etico. El an´alisis termodin´amico del sistema ha permitido encontrar la siguiente relaci´on para su energ´ıa ~ · dD ~ +H ~ · dM ~ + µdN dU = T dS − pdV + E Ahora, usando esta expresi´on, es posible realizar toda la termodin´amica que disponemos luego de este curso, para el cuerpo en un campo electromagn´etico. Nos atrevemos a decir que dado cualquier fen´omeno nuevo, bastar´a con determinar que par´ametro es intensivo y cual es el extensivo para poder hacerle un estudio termodin´amico. Desafortunadamente, determinar la condici´on de cada par´ametro puede resultar dificultoso.

7. 7.1.

Bibliograf´ıa Papers

(1) On magnetic and Electrostatic Energy, E. A. Guggenheim, Proc. Roy. Soc. 155A, 49,70 (1936). (2) The Thermodynamics of Magnetization, E. A. Guggenheim, Proc. Roy. Soc. 155A, 70,101 (1936).

(3) The thermodynamics of bodies in static electromagnetic fields, V. Heine, Proc. Cambridge Phil. Soc., 52, 546 (1956). (4) The thermodynamics of the electric field with special reference to chemical equilibrium, F. O. Koenig, J. Phys. Chem., 41, 597 (1937).

7.2.

Libros

(1) Thermodynamics and an introduction to thermostatics, Herbert B. Callen, Ap´endice B. (2) Thermodynamics, an advanced treatment for chemists and physicists, E. A. Guggenheim, cap´ıtulo 13. (3) Thermodynamics for chemist and biologists, Terrel Hill, cap´ıtulo 5. (4) Physical chemistry, Peter William Atkins, cap´ıtulo 7. (5) Fundamentos de la teor´ıa electromagn´etica, John R. Reitz y Frederick J. Milford, cap´ıtulos 4,5,10 y 11. (6) Electricidad y magnetismo, Edward Purcell, cap´ıtulos 10 y 11.